Osią liczbową nazywamy prostą, na której zaznaczamy: zwrot (strzałkę, która wskazuje, w którą stronę liczby się zwiększają), liczby $0$ oraz $1$.

RZdh2SHy5Q2rL

Na ilustracji znajduje się oś liczbowa ze zwrotem skierowanym w prawą stronę. Na osi zaznaczone są dwa punkty: 0 i 1. Odcinek między tymi punktami jest zaznaczony na niebiesko. Jest to odcinek jednostkowy.

Punkty $0$ i $1$ wyznaczają końce odcinka, który nazywamy jednostką osi liczbowej, a jego długość jest równa $1$.

Odczytamy współrzędną punktu $A$ na osi liczbowej.

Rs9zVXhrfGJfH

Rysunek przedstawia oś liczbową od 0 do 11 z podziałką co jeden. Na osi zaznaczono punkt A o wartości 4.

Punkt $A$ ma współrzędną $A=4$.

Odczytamy współrzędną punktu $B$ na osi liczbowej.

R1cckdMxaQ6YN

Rysunek przedstawia oś liczbową od 0 do 90 z podziałką co 10. Na osi zaznaczono punkt B o wartości 30.

Zauważmy, że odcinek jednostkowy na tej osi ma długość $10$, więc punkt $B$ ma współrzędną $B=30$.

Odczytamy współrzędną punktu $C$ na osi liczbowej.

ROCMI3hcAfbEd

Rysunek przedstawia oś liczbową. Na osi zaznaczono punkt współrzędnej 0 oraz punkt o współrzędnej 16. Pomiędzy tymi punktami są cztery odcinki jednostkowe. Na osi, na prawo od punktu 0 oznaczono także punkt C, którego odległość od punktu 0 jest równa siedmiu odcinkom jednostkowym.

Obliczymy najpierw długość odcinka jednostkowego na tej osi liczbowej. Zauważmy, że między liczbami $0$ oraz $16$ są cztery odcinki jednostkowe. Otrzymujemy zatem, że jeden odcinek jednostkowy ma długość $16:4=4$. Między punktami $0$ oraz $C$ znajduje się siedem odcinków jednostkowych, więc punkt $C$ ma współrzędną $C=7·4=28$.

Zaznaczymy na osi liczbowej zbiór liczb spełniających warunek $x⩽4$, a następnie podamy wszystkie liczby naturalne, które spełniają podany warunek.

Rozwiązanie:

Zapis $x⩽4$ oznacza, że $x$ jest liczbą mniejszą lub równą $4$. Zatem na osi liczbowej mamy zaznaczyć liczby, które są mniejsze lub równe liczbie $4$. Rysujemy oś liczbową i zaznaczamy na niej liczbę $4$, a następnie liczby mniejsze od $4$, które leżą na osi liczbowej na lewo od tej liczby.

RCktmsjZI7Qqn

Ilustracja przedstawia oś liczbową ze zwrotem skierowanym w prawą stronę. Na osi zaznaczono punkt 4 zamalowanym kółkiem. Zaznaczone zostały również wszystkie liczby znajdujące się na lewo od liczby cztery.

Zatem liczby naturalne, które spełniają podany warunek to: $0$, $1$, $2$, $3$, $4$.

Zapiszemy warunek, jaki spełniają liczby zaznaczone na osi liczbowej:

RT7HjFGiCxFoV

Ilustracja przedstawia oś liczbową ze zwrotem skierowanym w prawą stronę. Na osi zaznaczono punkt 6 niezamalowanym kółkiem. Zaznaczone zostały również wszystkie liczby znajdujące się na lewo od liczby sześć.

RVOgBpHTfCK6a

Ilustracja przedstawia oś liczbową ze zwrotem skierowanym w prawą stronę. Na osi zaznaczono punkt -3 zamalowanym kółkiem. Zaznaczone zostały również wszystkie liczby znajdujące się na prawo od liczby minus trzy.

Rozwiązanie:

1. Zbiór liczb zaznaczony na osi liczbowej jest opisany za pomocą warunku $x<6$.

2. Zbiór liczb zaznaczony na osi liczbowej jest opisany za pomocą warunku $x⩾-3$.

Zaznaczymy na osi liczbowej wszystkie liczby:

1. nie mniejsze niż $\left(-3\frac{1}{2}\right)$,

2. ujemne.

Rozwiązanie:

1. Liczby, które są nie mniejsze niż $\left(-3\frac{1}{2}\right)$, to takie liczby $x$, które spełniają warunek $x⩾-3\frac{1}{2}$.

Wobec tego, zbiór liczb spełniających warunek $x⩾-3\frac{1}{2}$ przedstawia się na osi liczbowej następująco:

R1Q6pa4fesCD3

Ilustracja przedstawia oś liczbową ze zwrotem skierowanym w prawą stronę. Na osi zaznaczono punkt $-3\frac{1}{2}$ zamalowanym kółkiem. Zaznaczone zostały również wszystkie liczby znajdujące się na prawo od liczby $-3\frac{1}{2}$.

2. Liczby, które są ujemne, to takie liczby $x$, które spełniają warunek $x<0$.

Wobec tego, zbiór liczb spełniających warunek $x<0$ przedstawia się na osi liczbowej następująco:

RzaDbTDYOPBgy

Ilustracja przedstawia oś liczbową ze zwrotem skierowanym w prawą stronę. Na osi zaznaczono punkt $0$ nie zamalowanym kółkiem. Zaznaczone zostały również wszystkie liczby znajdujące się na lewo od liczby $0$.

Zaznaczymy na osi liczbowej wszystkie liczby, które spełniają jednocześnie podane warunki, a następnie wymienimy liczby całkowite, które spełniają te warunki.

1. wszystkie liczby mniejsze od $2$ i większe od $\left(-4\right)$,

2. wszystkie liczby nie mniejsze niż $2$ i nie większe niż $6$.

Rozwiązanie:

1. Liczby, które są mniejsze od $2$ i większe od $\left(-4\right)$, to takie liczby $x$, które spełniają warunki: $x<2$ oraz $x>-4$.

Zatem:

RpXPeY5CIoNBo

Ilustracja przedstawia oś liczbową ze zwrotem skierowanym w prawą stronę. Na osi zaznaczono kolorem niebieskim punkt -4 niezamalowanym kółkiem. Zaznaczone na niebiesko zostały również wszystkie liczby znajdujące się na prawo od liczby minus cztery. Kolorem czerwonym zaznaczono punkt 2 niezamalowanym kółkiem. Zaznaczone na czerwono zostały również wszystkie liczby znajdujące się na lewo od liczby dwa. Część osi liczbowej zaznaczona jest jednocześnie kolorem niebieskim i kolorem czerwonym. Są to liczby znajdujące się jednocześnie na prawo od liczby -4 i na lewo od liczby dwa.

Liczby całkowite, które spełniają podane warunki to: $-3,-2,-1,0,1$.

2. Liczby, które są nie mniejsze niż $2$ i nie większe niż $6$, to takie liczby $x$, które spełniają warunki $x⩾2$ oraz $x⩽6$.

RHZ495WvASGjK

Ilustracja przedstawia oś liczbową ze zwrotem skierowanym w prawą stronę. Na osi zaznaczono kolorem niebieskim punkt 2 zamalowanym kółkiem. Zaznaczone na niebiesko zostały również wszystkie liczby znajdujące się na prawo od liczby dwa. Kolorem czerwonym zaznaczono punkt 6 zamalowanym kółkiem. Zaznaczone na czerwono zostały również wszystkie liczby znajdujące się na lewo od liczby sześć. Część osi liczbowej zaznaczona jest jednocześnie kolorem niebieskim i kolorem czerwonym. Są to liczby znajdujące się jednocześnie na prawo od liczby 2 i na lewo od liczby sześć.

Liczby całkowite, które spełniają podane warunki to: $2, 3, 4, 5, 6$.

Wyznaczymy zbiór liczb całkowitych, których odległość na osi liczbowej od liczby $3$ jest nie większa niż $5\frac{1}{2}$.

Rozwiązanie:

Narysujmy oś liczbową i zaznaczmy na niej liczbę $3$.

Zauważmy, że liczby $x$, których odległość od liczby $3$ jest nie większa niż $5\frac{1}{2}$ spełniają warunki: $x⩾-2\frac{1}{2}$ oraz $x⩽8\frac{1}{2}$.

Omawiany zbiór liczb przedstawia się następująco na osi liczbowej:

R11gBvBdyu7XE

Ilustracja przedstawia oś liczbową ze zwrotem skierowanym w prawą stronę. Na osi zaznaczono dwa punkty: $-2\frac{1}{2}$ i $8\frac{1}{2}$. Oba punkty zaznaczono zamalowanymi kółkami. Zaznaczone zostały również wszystkie liczby znajdujące się jednocześnie na prawo od liczby $-2\frac{1}{2}$ i na lewo od liczby $8\frac{1}{2}$. Nad osią liczbową zaznaczono, że odległość punktu $-2\frac{1}{2}$ od punktu 3 oraz odległość punktu $8\frac{1}{2}$ od punktu 3 wynosi $5\frac{1}{2}$.

Liczby całkowite, które spełniają podany warunek to: $-2$, $-1$, $0$, $1$, $2$, $3$, $4$, $5$, $6$, $7$, $8$.

Załóżmy, że pewien zbiór liczb jest określony za pomocą warunków $x⩾k$ oraz $x⩽k+4$, gdzie $k$ jest pewną liczbą całkowitą. Wyznaczymy, ile liczb całkowitych należy do zbioru liczb, który jest określony za pomocą tych warunków jednocześnie.

Rozwiązanie:

Zauważmy, że jeśli $k$ jest pewną liczbą całkowitą, to $k<k+4$.

Najmniejszą liczbą całkowitą, która należy do podanego zbioru jest $k$, a największą $k+4$.

Pomiędzy tymi liczbami znajdują się jeszcze $3$ liczby całkowite: $k+1$, $k+2$, $k+3$.

Zatem jest $5$ liczb całkowitych, które spełniają oba warunki jednocześnie.