2. Punkty kratowe w układzie współrzędnych

R1ByCvj29Wyuc

Podczas wpisywania haseł do naszej krzyżówki trzeba wiedzieć, gdzie wpisać pierwszą literę. Jej położenie opisano za pomocą liczby i litery, np. $2 A$ . Taki opis określa dokładnie położenie pola w diagramie.

Ćwiczenie 1

R9jqIVlraPL5t1

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Poziomo

$2 A$ – $100 cm$ ,

$8 A$ – najmniejsza liczba trzycyfrowa,

$5 B$ – może być liczbowa,

$1 C$ – odcinek łączący sąsiednie wierzchołki wielokąta,

$5 D$ – figura przestrzenna.

Pionowo

$5 A$ – czworokąt o równych bokach,

$9 B$ – $1000 kg$ .

Położenie punktów na mapie

Geografowie określają położenie obiektów na kuli ziemskiej, korzystając z układu współrzędnych geograficznych, które wyznaczają południki, równoleżniki, równik i bieguny. Punkt zaznaczony na siatce geograficznej opisywany jest za pomocą pary liczb, nazywanej jego współrzędnymi geograficznymi. Pierwsza współrzędna to długość geograficzna, a druga – szerokość geograficzna. Punkt przecięcia południka zerowego z równikiem to początek układu współrzędnych.

W tej części materiału rozwiążesz zadania dotyczące położenia na mapie.

Przykład 1

Współrzędne punktu $A$ to $60 °$ długości geograficznej wschodniej i $40 °$ szerokości geograficznej północnej.

W zapisie międzynarodowym: $A = (60 ° E, 40 ° N)$ .

Ćwiczenie 2

Odczytaj współrzędne geograficzne (szerokość i długość) następujących miejscowości:

Międzyrzec Podlaski,
Tarnów
Kraków

R16Am6UD4m8LW1

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

$52$ N, $23$ E
$50$ N, $21$ E
$50$ N, $20$ E

R5eOK8xPMkoAc

Ćwiczenie 2

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 3

Poruszając się w nieznanym terenie swoje położenie można określić posługując się np. planem okolicy. Opisz za pomocą pary uporządkowanej położenie na planie:

Wielkiego Stawu Polskiego,
Kościelca,
Opalonego Wierchu.

RlYCoBCqwnQWf1

Para uporządkowana to obiekt matematyczny powstały z dowolnych dwóch elementów, np. $(A, 1)$ , w którym określono który element jest pierwszy, a który drugi.

$(D, 9)$
$(B, 7)$
$(D, 11)$

R1UXJ9whB6dUu

Ćwiczenie 3

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 4

R6hEF5zI8rwvY1

Animacja pokazuje fragment mapy Polski. Należy odczytać miejsce znajdujące się na trzech podanych współrzędnych geograficznych. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R1IMAKYdMV3bS

Jakie obiekty znajdują się w kwadratach o współrzędnych: 1.

(C, 10)

1. Wielki Staw Polski, 2. Kozia Przełęcz, 3. Kościelec, 4. schronisko, 5. Morskie Oko, 6. Wielki Wołoszyn, 7. Mnich, 8. Opalony Wierch, 9. Czarny Staw Polski,
2.

(A, 10)

1. Wielki Staw Polski, 2. Kozia Przełęcz, 3. Kościelec, 4. schronisko, 5. Morskie Oko, 6. Wielki Wołoszyn, 7. Mnich, 8. Opalony Wierch, 9. Czarny Staw Polski,
3.

(F, 10)

1. Wielki Staw Polski, 2. Kozia Przełęcz, 3. Kościelec, 4. schronisko, 5. Morskie Oko, 6. Wielki Wołoszyn, 7. Mnich, 8. Opalony Wierch, 9. Czarny Staw Polski.

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RUhWSJ27AV1jn

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

W praktyce do szybkiego wyznaczania położenia obiektu (nawet poruszającego się) wykorzystuje się najczęściej Globalny System Nawigacji (GPS), który obejmuje swym zasięgiem całą kulę ziemską. System ten jest ogólnodostępny, z jego usług może korzystać każda osoba, która posiada odpowiedni odbiornik.

Układy współrzędnych stosuje się również w wielu innych dziedzinach wiedzy, np. w geodezji, fizyce (do opisywania ruchu ciał).

Kartezjański układ współrzędnych

Każdy punkt na osi liczbowej można opisać za pomocą liczby, czyli jego współrzędnej, np. $A = 6$ , $A$ ma współrzędną $6$ .

RQTDfUmjUxFpq1

Ilustracja przedstawia oś liczbową. Na osi opisano punkty 0, 1 i 6. Punkt A leży na osi w punkcie sześć. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Podobnie opisujemy położenie punktów na płaszczyźnie, ale punkty zaznaczamy w prostokątnym układzie współrzędnych.

W matematyce najczęściej posługujemy się układem współrzędnych, który tworzą dwie wzajemnie prostopadłe osie liczbowe. Punkt $O$ przecięcia tych prostych nazywany jest początkiem układu współrzędnych.

RbxjsequMOPsZ1

Rysunek układu współrzędnych. Oś pozioma X przedstawiona jest od minus siedmiu do siedmiu i oznaczona jako oś odciętych, oś pionowa Y przedstawiona jest od minus trzech do czterech i oznaczona jest jako oś rzędnych. Punkt przecięcia osi X i Y to początek układu współrzędnych. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Oś pozioma (pierwsza oś) nazywana jest osią odciętych lub osią $X$ .
Oś pionowa (druga oś) nazywana jest osią rzędnych lub osią $Y$ .

Ciekawostka

Prostokątny układ współrzędnych nazywany jest układem kartezjańskim od Kartezjusza (Rene Descartes’a), znakomitego siedemnastowiecznego francuskiego matematyka, przyrodnika i filozofa, którego uważa się za prekursora stosowania metod geometrycznych w zagadnieniach algebraicznych.
Powszechnie znana jest sentencja filozoficzna Kartezjusza „Myślę, więc jestem”.

R108iatHO3vBz1

ilustracja przedstawia Kartezjusza na tle zapisków matematycznych. Mężczyzna jest w średnim wieku, ma ciemne kędzierzawe włosy, wąsy i ma na sobie elegancki surdut z dużym płaskim kołnierzem. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Współrzędne

Definicja: Współrzędne

Każdemu punktowi $P$ zaznaczonemu w układzie współrzędnych odpowiada uporządkowana para liczb $(x, y)$ nazywanych jego współrzędnymi.
Zapisujemy

P = (x, y)

R1Rc49LNgYp3M1

Zapis: P=x,y. Pierwsza współrzędna x to odcięta punktu P. Druga współrzędna y to rzędna punktu P. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Pierwsza współrzędna określa położenie punktu względem osi $X$ , a druga – względem osi $Y$ .

Aby wyznaczyć pierwszą współrzędną $(x)$ punktu $P$ , można zaznaczyć prostą prostopadłą do osi $X$ przechodzącą przez punkt $P$ . Liczba odpowiadająca punktowi, w którym ta prosta przecina oś $X$ , jest pierwszą współrzędną punktu $P$ – odciętą punktu $P$ .
Aby wyznaczyć drugą współrzędną $(y)$ punktu $P$ , można zaznaczyć prostą prostopadłą do osi $Y$ , przechodzącą przez punkt $P$ . Liczba odpowiadająca punktowi, w którym ta prosta przecina oś $Y$ , jest drugą współrzędną punktu $P$ – rzędną punktu $P$ .

Przykład 2

RZcHBCnNTjswJ

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus sześciu do sześciu oraz z pionową osią Y od minus trzech do trzech. Na płaszczyźnie zaznaczono cztery punkty. Punkty te to: A=-2,2, punkt B=4,-1, punkt C=-1,-2 i D=2,1 — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Współrzędne punktu $A$ : pierwsza współrzędna to $- 2$ , a druga to $2$ . Zapisujemy $A = (- 2, 2)$ .

Współrzędne punktu $B$ : pierwsza współrzędna to $4$ , a druga to $- 1$ . Zapisujemy $B = (4, - 1)$ .

Współrzędne punktu $C$ : pierwsza współrzędna to $- 1$ , a druga to $- 2$ . Zapisujemy $C = (- 1, - 2)$ .

Współrzędne punktu $D$ : pierwsza współrzędna to $2$ , a druga to $1$ . Zapisujemy $D = (2, 1)$ .

Przykład 3

Najczęściej na obu osiach układu współrzędnych obieramy jednakowe jednostki tak, aby można było zaznaczyć dane punkty.

R1RWOVWTEI7Xl

Rysunki dwóch układów współrzędnych. Układ z lewej strony ma na poziomej osi X liczby od minus trzydziestu do trzydziestu z podziałką co 10, a na pionowej osi Y liczby od minus dwudziestu do czterdziestu z podziałką co dziesięć. Na płaszczyźnie zaznaczono dwa punkty: A=10,40 oraz B=-30,-20. W prawym układzie współrzędnych pozioma oś X przedstawiona jest od minus trzystu pięćdziesięciu do trzystu pięćdziesięciu z podziałką co 50 oraz pionowa oś Y przedstawiona jest od minus dwustu do dwustu z podziałką co pięćdziesiąt. Na płaszczyźnie zaznaczono dwa punkty: G=-150,200 oraz H=350,-150. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

A = (10, 40)

B = (- 30, - 20)

G = (- 150, 200)

H = (350, - 150)

Przykład 4

W zastosowaniach praktycznych, gdy na osiach układu współrzędnych zaznaczane są różne wielkości, jednostki mogą mieć różne długości.

Ryhs7zBHKZxMI1

Ilustracja przedstawia wykres zależności między objętością względną i temperaturą w stopniach Celsjusza. Na rysunku przedstawiono pierwszą ćwiartkę układu współrzędnych z poziomą osią reprezentującą temperaturę t w stopniach Celsjusza od zera do stu z podziałką co dwadzieścia. Pionowa oś przedstawia objętość względną rtęci V ukośnik V indeks dolny zero koniec indeksu. Podziałka na osi pionowej jest od 1 do 1,020 z podziałką co 0,005 ; Wykres zależności jest ukośnym odcinkiem od początku układu, czyli od punktu o współrzędnych 0;1 i biegnie do punktu krytycznego o współrzędnych 100;1,019 — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Wykres zmiany objętości rtęci w zależności od temperatury.

Przykład 5

W układzie współrzędnych zaznaczone są punkty leżące na osiach układu.

RMAJsXyhWQcvy1

Rysunek przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus siedmiu do siedmiu oraz z pionową osią Y od minus czterech do czterech. Na płaszczyźnie zaznaczono 12 następujących punktów: A=0;2, B=-1;0, C=-3;0, D=0;4, E=2;0, F=3;0, G=0;-1, H=0;-3, I=-2;0, J=0;-2, K=1;0, L=0;3 — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Odczytajmy ich współrzędne.
Punkty leżące na osi $X$ :
$C = (- 3, 0)$ , $I = (- 2, 0)$ , $B = (- 1, 0)$ , $K = (1, 0)$ , $E = (2, 0)$ , $F = (3, 0)$ .
Punkty leżące na osi $Y$ :
$D = (0, 4)$ , $L = (0, 3)$ , $A = (0, 2)$ , $G = (0, - 1)$ , $J = (0, - 2)$ , $H = (0, - 3)$ .
Zauważmy, że

punkty leżące na osi $X$ mają drugą współrzędną równą $0$ ,
punkty leżące na osi $Y$ mają pierwszą współrzędną równą $0$ .

Początek układu współrzędnych (punkt $O$ ) ma współrzędne $(0, 0)$ .

Ćwiczenie 5

Podaj współrzędne punktu $A$ .

R1WoHoAUIoCRr1

Wówczas punkt $A$ ma współrzędne $A = (- 1, 4)$ .

RYMBkhIfvEkQs

R1ICZ7SqiXTee

Ćwiczenie 5

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 6

Odczytaj współrzędne zaznaczonych punktów.

RHGdh9A4eO8cz1

Ilustracja układu współrzędnych z poziomą osią X od minus siedmiu do siedmiu i pionową osią Y od minus trzech do trzech. Punkt A jest przesunięty względem środka układu współrzędnych o trzy jednostki w prawo. Punkt B jest przesunięty względem środka układu współrzędnych o jedną jednostkę w prawo i jedną jednostkę do góry. Punkt C jest przesunięty względem środka układu współrzędnych o cztery jednostki do góry. Punkt D jest przesunięty względem środka układu współrzędnych o jedną jednostkę w lewo. Punkt E jest przesunięty względem środka układu współrzędnych o dwie jednostki w lewo i jedną jednostkę do góry. Punkt F jest przesunięty względem środka układu współrzędnych o dwie jednostki w lewo i dwie jednostki w dół. Punkt G jest przesunięty względem środka układu współrzędnych o jedną jednostkę w dół. Punkt H jest przesunięty względem środka układu współrzędnych o cztery jednostki w prawo i trzy jednostki w dół. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R1PeqiiFtlHSs

Na podstawie powyższego wykresu, połącz w pary punkt i jego współrzędne.

A

Możliwe odpowiedzi: 1.

(0, 4)

, 2.

(- 1, 0)

, 3.

(3, 0)

, 4.

(4, - 3)

, 5.

(0, - 1)

, 6.

(- 2, 1)

, 7.

(1, 1)

, 8.

(- 2, - 2)

B

Możliwe odpowiedzi: 1.

(0, 4)

, 2.

(- 1, 0)

, 3.

(3, 0)

, 4.

(4, - 3)

, 5.

(0, - 1)

, 6.

(- 2, 1)

, 7.

(1, 1)

, 8.

(- 2, - 2)

C

Możliwe odpowiedzi: 1.

(0, 4)

, 2.

(- 1, 0)

, 3.

(3, 0)

, 4.

(4, - 3)

, 5.

(0, - 1)

, 6.

(- 2, 1)

, 7.

(1, 1)

, 8.

(- 2, - 2)

D

Możliwe odpowiedzi: 1.

(0, 4)

, 2.

(- 1, 0)

, 3.

(3, 0)

, 4.

(4, - 3)

, 5.

(0, - 1)

, 6.

(- 2, 1)

, 7.

(1, 1)

, 8.

(- 2, - 2)

E

Możliwe odpowiedzi: 1.

(0, 4)

, 2.

(- 1, 0)

, 3.

(3, 0)

, 4.

(4, - 3)

, 5.

(0, - 1)

, 6.

(- 2, 1)

, 7.

(1, 1)

, 8.

(- 2, - 2)

F

Możliwe odpowiedzi: 1.

(0, 4)

, 2.

(- 1, 0)

, 3.

(3, 0)

, 4.

(4, - 3)

, 5.

(0, - 1)

, 6.

(- 2, 1)

, 7.

(1, 1)

, 8.

(- 2, - 2)

G

Możliwe odpowiedzi: 1.

(0, 4)

, 2.

(- 1, 0)

, 3.

(3, 0)

, 4.

(4, - 3)

, 5.

(0, - 1)

, 6.

(- 2, 1)

, 7.

(1, 1)

, 8.

(- 2, - 2)

H

Możliwe odpowiedzi: 1.

(0, 4)

, 2.

(- 1, 0)

, 3.

(3, 0)

, 4.

(4, - 3)

, 5.

(0, - 1)

, 6.

(- 2, 1)

, 7.

(1, 1)

, 8.

(- 2, - 2)

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 7

W poniższym układzie współrzędnych zostało zaznaczonych sześć punktów: $A$ , $B$ , $C$ , $D$ , $E$ , $F$ . Wyznacz ich współrzędne.

REqcr4HkqT3WN1

RIzHt8JL12Epw

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 8

W układzie współrzędnych ustaw punkt $P$ tak, aby miał dane współrzędne.

R1FgGqlypIYjw1

R57ptv9RZE5RB

Ćwiczenie 7

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiartki układu współrzędnych

Przykład 6

RnR4jUMbvuxUW1

Rysunek układu współrzędnych. Pozioma oś X oraz pionowa oś Y dzielą płaszczyznę na cztery ćwiartki: pierwsza ćwiartka to prawa górna płaszczyzna, druga ćwiartka to lewa górna płaszczyzna, trzecia ćwiartka to lewa dolna płaszczyzna, czwarta ćwiartka to prawa dolna płaszczyzna. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Osie układu współrzędnych dzielą płaszczyznę na cztery części nazywane ćwiartkami.

Ćwiartki numerujemy cyframi rzymskimi: $I$ , $II$ , $III$ , $IV$ przeciwnie do ruchu wskazówek zegara.
Punktów leżących na osiach układu współrzędnych nie zaliczamy do żadnej ćwiartki.

Przykład 7

Zmieniaj położenie punktu zaznaczonego w układzie współrzędnych.
Zaobserwuj znaki pierwszej oraz drugiej współrzędnej punktu w poszczególnych ćwiartkach układu współrzędnych.

RHzxTgdNCN6OP1

Zwróć uwagę na fakt, iż w zależności od tego, w jakiej ćwiartce znajduje się punkt, takie ma współrzędne. Każda ćwiartka wyznaczona jest z innej kombinacji półosi dodatnich i ujemnych, zatem mamy cztery klasy współrzędnych.

Jeżeli punkt należy do:

$I$ ćwiartki układu współrzędnych, to obie jego współrzędne są liczbami dodatnimi,
$II$ ćwiartki układu współrzędnych, to jego pierwsza współrzędna jest liczbą ujemną, a druga dodatnią,
$III$ ćwiartki układu współrzędnych, to obie jego współrzędne są liczbami ujemnymi,
$IV$ ćwiartki układu współrzędnych, to jego pierwsza współrzędna jest liczbą dodatnią, a druga ujemną.

R1KwbgBO0EzA01

Rysunek układu współrzędnych z poziomą osią X oraz z pionową osią Y. W pierwszej ćwiartce zaznaczony punkt R=x,y, dla którego obie współrzędne są liczbami dodatnimi. W drugiej ćwiartce zaznaczono punkt P=x,y, dla którego pierwsza współrzędna, czyli x jest liczbą ujemną, a druga, czyli y jest liczbą dodatnią. W trzeciej ćwiartce zaznaczono punkt M=x,y, dla którego obie współrzędne są liczbami ujemnymi. W czwartej ćwiartce zaznaczono punkt S=x,y, dla którego pierwsza współrzędna, czyli x jest liczbą dodatnią, a druga, czyli y jest liczbą ujemną. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 9

Podaj współrzędne punktów $A$ , $B$ oraz $C$ i sprawdzaj ich poprawność za pomocą testera.

RMoJlb53bl99l

Raj4cYsgfldkf

Ćwiczenie 9

Uzupełnij zdania, przeciągając w luki odpowiednie współrzędne lub kliknij w lukę i wybierz odpowiedź z listy rozwijalnej. Punkty

A = (- 4, 5)

oraz

B =

(5, 0)

, 2.

(2, 5)

, 3.

(- 3, 0)

, 4.

(0, 1)

, 5.

(- 4, 2)

, 6.

(4, 10)

, 7.

(0, 9)

, 8.

(1, - 5)

leżą na prostej równoległej do osi

X

.Punkty

A = (1, 10)

oraz

B =

(5, 0)

, 2.

(2, 5)

, 3.

(- 3, 0)

, 4.

(0, 1)

, 5.

(- 4, 2)

, 6.

(4, 10)

, 7.

(0, 9)

, 8.

(1, - 5)

leżą na prostej równoległej do osi

Y

.Punkty

A =

(5, 0)

, 2.

(2, 5)

, 3.

(- 3, 0)

, 4.

(0, 1)

, 5.

(- 4, 2)

, 6.

(4, 10)

, 7.

(0, 9)

, 8.

(1, - 5)

oraz

B =

(5, 0)

, 2.

(2, 5)

, 3.

(- 3, 0)

, 4.

(0, 1)

, 5.

(- 4, 2)

, 6.

(4, 10)

, 7.

(0, 9)

, 8.

(1, - 5)

leżą na osi

Y

. Punkty

A =

(5, 0)

, 2.

(2, 5)

, 3.

(- 3, 0)

, 4.

(0, 1)

, 5.

(- 4, 2)

, 6.

(4, 10)

, 7.

(0, 9)

, 8.

(1, - 5)

oraz

B =

(5, 0)

, 2.

(2, 5)

, 3.

(- 3, 0)

, 4.

(0, 1)

, 5.

(- 4, 2)

, 6.

(4, 10)

, 7.

(0, 9)

, 8.

(1, - 5)

leżą na osi

X

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 10

Narysuj układ współrzędnych; dobierz odpowiednio jednostkę i zaznacz punkty $A$ i $B$ .

$A = (- 200, 300)$ , $B = (100, 500)$
$A = (- 150, - 50)$ , $B = (250, - 50)$
$A = (40, - 60)$ , $B = (20, 100)$
$A = (- 15, 45)$ , $B = (- 30, - 60)$
$A = (1000, - 3000)$ , $B = (2000, 2000)$
$A = (- 1500, - 500)$ , $B = (- 2500, 1500)$

RKntFgLL5kHWI

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Przeanalizuj współrzędne każdej pary punktów. Zauważ w nich schemat i dobierz odpowiednią długość podziałki na osi. Na przykład w podpunkcie a) niech podziałka wskazuje punkty na osi co $100$ jednostek.

R19stPu8vKDM9

Ćwiczenie 10

Połącz współrzędne punktu z najlepszą jednostką w układzie współrzędnych .

A = (- 200, 300)

B = (100, 500)

Możliwe odpowiedzi: 1. Odcinek jednostokowy długości

20

., 2. Odcinek jednostokowy długości

500

., 3. Odcinek jednostokowy długości

15

., 4. Odcinek jednostokowy długości

100

., 5. Odcinek jednostokowy długości

50

., 6. Odcinek jednostokowy długości

1000

A = (- 150, - 50)

B = (250, - 50)

Możliwe odpowiedzi: 1. Odcinek jednostokowy długości

20

., 2. Odcinek jednostokowy długości

500

., 3. Odcinek jednostokowy długości

15

., 4. Odcinek jednostokowy długości

100

., 5. Odcinek jednostokowy długości

50

., 6. Odcinek jednostokowy długości

1000

A = (40, - 60)

B = (20, 100)

Możliwe odpowiedzi: 1. Odcinek jednostokowy długości

20

., 2. Odcinek jednostokowy długości

500

., 3. Odcinek jednostokowy długości

15

., 4. Odcinek jednostokowy długości

100

., 5. Odcinek jednostokowy długości

50

., 6. Odcinek jednostokowy długości

1000

A = (- 15, 45)

B = (- 30, - 60)

Możliwe odpowiedzi: 1. Odcinek jednostokowy długości

20

., 2. Odcinek jednostokowy długości

500

., 3. Odcinek jednostokowy długości

15

., 4. Odcinek jednostokowy długości

100

., 5. Odcinek jednostokowy długości

50

., 6. Odcinek jednostokowy długości

1000

A = (1000, - 3000)

B = (2000, 2000)

Możliwe odpowiedzi: 1. Odcinek jednostokowy długości

20

., 2. Odcinek jednostokowy długości

500

., 3. Odcinek jednostokowy długości

15

., 4. Odcinek jednostokowy długości

100

., 5. Odcinek jednostokowy długości

50

., 6. Odcinek jednostokowy długości

1000

A = (- 1500, - 500)

B = (- 2500, 1500)

Możliwe odpowiedzi: 1. Odcinek jednostokowy długości

20

., 2. Odcinek jednostokowy długości

500

., 3. Odcinek jednostokowy długości

15

., 4. Odcinek jednostokowy długości

100

., 5. Odcinek jednostokowy długości

50

., 6. Odcinek jednostokowy długości

1000

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RXx1rivUEC72f

Ćwiczenie 11

$P = (0, 0)$
$P = (- 8, 0)$
$P = (0, - 5)$
$P = (6, 0)$
$P = (0, - 100)$
$P = (6, 0)$
$P = (1,2, 0)$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RzzKmswJbW1Hp

Ćwiczenie 12

$I$
$II$
$IIII$
$IV$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R16FEeX7Sveyd

Ćwiczenie 13

Tak, ponieważ odcięta jest liczbą ujemną
Nie, ponieważ odcięta jest liczbą ujemną
Tak, ponieważ rzędna jest liczbą ujemną.
Nie, ponieważ obie współrzędne są ujemne.
Tak, ponieważ obie współrzędne są ujemne.

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R3mlWtYjWEcU7

Ćwiczenie 14

Przyporządkuj punkty do odpowiedniej ćwiartki układu współrzędnych.

I

ćwiartka Możliwe odpowiedzi: 1.

F = (- 809, 9)

, 2.

C = (- 23, - 33)

, 3.

G = (- 91, - 3)

, 4.

A = (12, 32)

, 5.

H = (312, 132)

, 6.

B = (- 26, 187)

, 7.

E = (100, - 765)

, 8.

I = (10, - 1)

, 9.

D = (- 365, 2)

II

ćwiartka Możliwe odpowiedzi: 1.

F = (- 809, 9)

, 2.

C = (- 23, - 33)

, 3.

G = (- 91, - 3)

, 4.

A = (12, 32)

, 5.

H = (312, 132)

, 6.

B = (- 26, 187)

, 7.

E = (100, - 765)

, 8.

I = (10, - 1)

, 9.

D = (- 365, 2)

III

ćwiartka Możliwe odpowiedzi: 1.

F = (- 809, 9)

, 2.

C = (- 23, - 33)

, 3.

G = (- 91, - 3)

, 4.

A = (12, 32)

, 5.

H = (312, 132)

, 6.

B = (- 26, 187)

, 7.

E = (100, - 765)

, 8.

I = (10, - 1)

, 9.

D = (- 365, 2)

IV

ćwiartka Możliwe odpowiedzi: 1.

F = (- 809, 9)

, 2.

C = (- 23, - 33)

, 3.

G = (- 91, - 3)

, 4.

A = (12, 32)

, 5.

H = (312, 132)

, 6.

B = (- 26, 187)

, 7.

E = (100, - 765)

, 8.

I = (10, - 1)

, 9.

D = (- 365, 2)

Przeciągnij punkty do odpowiedniej ćwiartki układu współrzędnych.

I ćwiartka
II ćwiartka
III ćwiartka
IV ćwiartka

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R7A2HQorKDoYO

Ćwiczenie 15

$a = - 2$
$a = 0$
$a = 3$
$a = - 2$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R8VuGGshheYD1

Ćwiczenie 16

$- 6$
$- 7$
$7$
$0$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ry2hWLHEKH8rS

Ćwiczenie 17

Punkty $A = (- 2, 3)$ i $B = (- 2, - 3)$ mają taką samą rzędną.
Punkty $A = (0, - 4)$ i $B = (0, 3)$ znajdują się na osi odciętych.

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Polecenie 1

Zaznacz w układzie współrzędnych cztery różne punkty $P$ , $R$ , $S$ , $T$ , z których każdy znajduje się w innej ćwiartce układu współrzędnych. Odczytaj współrzędne tych punktów, przerysuj poniższą tabelę do zeszytu i uzupełnij odpowiednimi liczbami.

R1Ejcmno876K9

Ilustracja przedstawia tabelę, która ma pięć wierszy i cztery kolumny. W pierwszym wierszu i pierwszej kolumnie zapisano "Nazwa punktu", w pierwszym wierszu i drugiej kolumnie zapisano "Pierwsza współrzędna punktu", w pierwszym wierszu i trzeciej kolumnie zapisano "Druga współrzędna punktu", w pierwszym wierszu i czwartej kolumnie zapisano "Numer ćwiartki układu współrzędnych, w której znajduje się punkt". W drugim wierszu i pierwszej kolumnie zapisano P, w trzecim wierszu i pierwszej kolumnie zapisano R, w czwartym wierszu i pierwszej kolumnie zapisano S, w piątym wierszu i pierwszej kolumnie zapisano T. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 18

Zaznacz w układzie współrzędnych taki punkt $P$ , którego

Podaj współrzędne punktu $P$ , którego

obie współrzędne są równe,
druga współrzędna jest o $6$ mniejsza od pierwszej,
pierwsza współrzędna jest dwukrotnie większa od drugiej.

Ry2CIdNoRgMBw

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Wybierz dwie takie same liczby, aby stały na pierwszym i drugim miejscu współrzędnych punktu $P$ .
Wybierz dowolną liczbę na pierwszą współrzędną, następnie odejmij od niej $6$ aby określić drugą współrzędną.
Wybierz dowolną liczbę na pierwszą współrzędną, następnie podziel ją na $2$ , aby wyznaczyć drugą współrzędną.

R10Gtxn5cKaQS

R1SqCnPcYBSdv

RVM4YcFQbxHDz

1. $P = (2, 2)$

2. $P = (4, - 2)$

3. $P = (4, 2)$

Ćwiczenie 19

Zaznacz w układzie współrzędnych punkty $A$ , $B$ , $C$ , $D$ , $E$ . Co powiesz o ich wzajemnym położeniu?

Dane są punkty $A$ , $B$ , $C$ , $D$ , $E$ . Co powiesz o ich wzajemnym położeniu?

$A = (2, - 3)$ , $B = (2, - 1)$ , $C = (2, 3)$ , $D = (2, 0)$ , $E = (2, 2)$
$A = (4, - 3)$ , $B = (- 2, - 3)$ , $C = (- 4, - 3)$ , $D = (0, - 3)$ , $E = (1, - 3)$
$A = (1, 1)$ , $B = (- 1, - 1)$ , $C = (4, 4)$ , $D = (- 3, - 3)$ , $E = (0, 0)$

R1ENo4BUWY3vC

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Zauważ, że w podpunkcie $(1)$ pierwsza współrzędna jest taka sama, czyli wszystkie punkty leżą na tej samej prostej; podobnie w podpunkcie $(2)$ – wszystkie drugie współrzędne punków są takie same, więc punkty leżą na tej samej prostej. Jakie orientacje mają te proste? W podpunkcie $(3)$ obydwie współrzędne każdego z punktów są takie same, co oznacza, że nie leżą na prostej pionowej ani poziomej.

Ry6qQYYZSAEDK

R161RDJd8sSDQ

RjhpcZLbv0Vxi

Punkty leżą na pionowej prostej.
Punkty leżą na poziomej prostej.
Punkty leżą na prostej nachylonej do osi $X$ pod pewnym kątem $α$ .

Ćwiczenie 20

Odszyfruj sentencję, którą przypisuje się francuskiemu filozofowi Kartezjuszowi.
$(1, 3)$ , $(4, 4)$ , $(2, 3)$ , $(3, 1)$ , $(5, 4)$ , $(4, 4)$ , $(2, 1)$ , $(5, 2)$ , $(2, 3)$ , $(4, 4)$ , $(5, 3)$ , $(6, 1)$ ,
$(4, 2)$ .

Rfo4GYxUcjEH21

Rysunek układu współrzędnych z zaznaczonymi punktami o współrzędnych A =(1, 1), B =(1, 2), C =(1, 3), D =(1, 4), E =(2, 1), F =(2, 2), G =(2, 3), H =(2, 4), I =(3, 1), J =(3, 2), K =(3, 3), L =(3, 4), Ł =(4, 1), M =(4, 2), N =(4, 3), O =(4, 4), P =(5, 1), R =(5, 2), S =(5, 3), T =(5, 4), U =(6, 1), W =(6, 2), Y =(6, 3), Z =(6, 4). — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Aby znaleźć np. punkt $(1, 3)$ na osi $x$ znajdujemy $1$ , a na osi $y$ szukamy $3$ .

Punkty o współrzędnych wymiernych

W dalszej części materiału zawarte są informacje na temat punktów o współrzędnych wymiernych. Analizując zawarte tu przykłady, poznasz interpretację geometryczną takich punktów.

Z określeniem punktu w układzie współrzędnych spotykamy się wybierając miejsce na widowni kinowej czy teatralnej. Wtedy jedna ze współrzędnych zapisywana jest za pomocą cyfr arabskich, druga za pomocą znaków rzymskich.

Jednym z najstarszych układów współrzędnych jest układ współrzędnych geograficznych.

Położenie punktu na mapie określa się za pomocą dwóch liczb zwanych szerokością geograficzną i długością geograficzną.

Ćwiczenie 21

Korzystając z poniższej mapy, połącz w pary miasta i ich współrzędne geograficzne.

R1U44i9RGEXHa

Mapa polski z zaznaczonymi miastami : Łódź, Szczecin, Toruń, Dzierżoniów, Niepołomice. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R19eBmmM7QSD9

Szczecin Możliwe odpowiedzi: 1.

(18.7; 53)

, 2.

(20.4; 50.4)

, 3.

(16.7; 51)

, 4.

(14.7; 53.3)

, 5.

(19.4; 51.9)

Łódź Możliwe odpowiedzi: 1.

(18.7; 53)

, 2.

(20.4; 50.4)

, 3.

(16.7; 51)

, 4.

(14.7; 53.3)

, 5.

(19.4; 51.9)

Toruń Możliwe odpowiedzi: 1.

(18.7; 53)

, 2.

(20.4; 50.4)

, 3.

(16.7; 51)

, 4.

(14.7; 53.3)

, 5.

(19.4; 51.9)

Niepołomice Możliwe odpowiedzi: 1.

(18.7; 53)

, 2.

(20.4; 50.4)

, 3.

(16.7; 51)

, 4.

(14.7; 53.3)

, 5.

(19.4; 51.9)

Dzierżoniów Możliwe odpowiedzi: 1.

(18.7; 53)

, 2.

(20.4; 50.4)

, 3.

(16.7; 51)

, 4.

(14.7; 53.3)

, 5.

(19.4; 51.9)

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Rla43rW0r3ZEZ

Ćwiczenie 21

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Układ współrzędnych jest wykorzystywany nie tylko przy sporządzaniu map (współrzędne geograficzne), ale także w urządzeniach do nawigacji, np. GPS. Zwykły samochodowy GPS podaje współrzędne z dużą dokładnością, można więc bardzo dokładnie wyznaczyć trasę przejazdu do określonego celu.

Punkty skrajne Polski:

R14THkFv7bROH1

Rysunek mapy Polski z zaznaczonymi punktami skrajnymi Polski. Na północy są to przylądek Rozewie i wieś Raczki Elbląskie. Na wschodzie jest to wieś Zosin. Na południu są to szczyty Opołonek i Rysy. Na zachodzie jest to wieś Osinów Dolny. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Najdalej na północ wysunięty kraniec Polski o współrzędnych $54 ° 50' N$ – miejscowość Jastrzębia Góra w gminie Władysławowo, powiat pucki.
Najdalej na południe wysunięty kraniec Polski $49 ° 00' N$ – szczyt Opołonek w gminie Lutowiska, powiat bieszczadzki.
Najdalej na zachód wysunięty kraniec Polski $14 ° 07' E$ – kolano Odry koło Osinowa Dolnego w gminie Cedynia, powiat gryfiński.
Najdalej na wschód wysunięty kraniec Polski $24 ° 08' E$ – kolano Bugu we wsi Zosin w gminie Horodło, powiat hrubieszowski.

Środek geometryczny Polski znajduje się we wsi Piątek, $15 km$ na wschód od Łęczycy, $19 km$ na południe od Kutna, a $33 km$ na północ od Łodzi.

Ćwiczenie 22

Określ współrzędne geograficzne środka Polski.

RVfAt8yzsT5sX

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

$52 ° 06' N$ oraz $19 ° 25' E$

R18JAW81Hhk3M

Ćwiczenie 22

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Polecenie 2

Jednym z najbardziej tajemniczych miejsc na ziemi jest Trójkąt Bermudzki.
Określ współrzędne geograficzne jego wierzchołków i dowiedz się, czym się charakteryzuje ten obszar. Skorzystaj z Internetu, aby dowiedzieć się, jakie punkty wchodzą w skład Trójkąta Bermudzkiego i odczytaj ich współrzędne z mapy.

Wierzchołkami Trójkąta Bermudzkiego są Bermudy ( $32 ° 18' N$ , $64 ° 47' W$ ), Puerto Rico ( $18 ° 15' N$ , $66 ° 33' W$ ) oraz południowe wybrzeże Florydy ( $25 ° 54' N$ , $81 ° 41' W$ ). Na tym obszarze dochodzi do niewyjaśnionych zatonięć i zaginięć statków.

Ćwiczenie 23

R3hzZM9oscZYP

Odpowiedz na poniższe pytania, wpisując w luki odpowiednie wartości. Jak jest różnica czasu słonecznego między skrajnymi punktami Polski wschodnim i zachodnim?
Odpowiedź: Różnica wynosi około Tu uzupełnij minut.W Szczecinie jest godzina

12

w południe czasu słonecznego. Która godzina czasu słonecznego jest wtedy w Lublinie?
Odpowiedź: W Lublinie jest godzina Tu uzupełnij:Tu uzupełnij.W Warszawie czas słoneczny określany jest według południka

15 °

. Jaka jest różnica czasu słonecznego między Warszawą a Rzeszowem?
Odpowiedź: Różnica wynosi Tu uzupełnij minut.

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Oblicz różnice pomiędzy długościami geograficznymi wskazanych punktów, a następnie oblicz różnice czasów. Pamiętaj, że $1 °$ odpowiada $4$ minutom czasu.

Ciekawostka

Odpowiednikiem układu współrzędnych na płaszczyźnie jest układ współrzędnych w przestrzeni. Za jego pomocą można opisać na przykład ruch samolotu.

Ciekawostka

Układ współrzędnych w przestrzeni składa się z trzech wzajemnie prostopadłych osi liczbowych $X$ , $Y$ , $Z$ . Położenie punktu w przestrzeni określa trójka liczb $(x, y, z)$ .

RRCHVf9eFThS3

Ćwiczenie 24

Określ, w której ćwiartce znajduje się podany punkt. Przeciągnij współrzędną do odpowiedniego okienka.

I

ćwiartka Możliwe odpowiedzi: 1.

(3 \frac{1}{2}, - 1)

, 2.

(- 2, - 1)

, 3.

(1, 1)

, 4.

(- 3, 4)

, 5.

(11, - 2)

, 6.

(- 2 \frac{3}{5}, 6)

, 7.

(- \frac{1}{23}, 7)

, 8.

(100, - 1)

, 9.

(4 \frac{2}{9}, \frac{1}{3})

, 10.

(3, - 4)

, 11.

(- 11, 2)

, 12.

(- 5, - 6)

II

ćwiartka Możliwe odpowiedzi: 1.

(3 \frac{1}{2}, - 1)

, 2.

(- 2, - 1)

, 3.

(1, 1)

, 4.

(- 3, 4)

, 5.

(11, - 2)

, 6.

(- 2 \frac{3}{5}, 6)

, 7.

(- \frac{1}{23}, 7)

, 8.

(100, - 1)

, 9.

(4 \frac{2}{9}, \frac{1}{3})

, 10.

(3, - 4)

, 11.

(- 11, 2)

, 12.

(- 5, - 6)

III

ćwiartka Możliwe odpowiedzi: 1.

(3 \frac{1}{2}, - 1)

, 2.

(- 2, - 1)

, 3.

(1, 1)

, 4.

(- 3, 4)

, 5.

(11, - 2)

, 6.

(- 2 \frac{3}{5}, 6)

, 7.

(- \frac{1}{23}, 7)

, 8.

(100, - 1)

, 9.

(4 \frac{2}{9}, \frac{1}{3})

, 10.

(3, - 4)

, 11.

(- 11, 2)

, 12.

(- 5, - 6)

IV

ćwiartka Możliwe odpowiedzi: 1.

(3 \frac{1}{2}, - 1)

, 2.

(- 2, - 1)

, 3.

(1, 1)

, 4.

(- 3, 4)

, 5.

(11, - 2)

, 6.

(- 2 \frac{3}{5}, 6)

, 7.

(- \frac{1}{23}, 7)

, 8.

(100, - 1)

, 9.

(4 \frac{2}{9}, \frac{1}{3})

, 10.

(3, - 4)

, 11.

(- 11, 2)

, 12.

(- 5, - 6)

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Zbiory punktów w układzie współrzędnych

W układzie współrzędnych można zaznaczać nie tylko poszczególne punkty, ale zbiory punktów, tworzące proste czy półpłaszczyzny.

Przykład 8

Uruchom aplet i wykonaj polecenia w nim zawarte.

R1D06FBB40qqb1

Przykład 9

Uruchom aplet i wykonaj polecenia w nim zawarte.

R19NJVgYcXF051

Przykład 10

Uruchom aplet i wykonaj polecenia w nim zawarte.

R1BXuDqkUPEue11

Punkty, których druga współrzędna jest połową pierwszej współrzędnej, leżą na prostej. Są to wszystkie punkty $P = (x, y)$ takie, że $y = \frac{1}{2} x$ i $x$ jest dowolną liczbą rzeczywistą.

Przykład 11

Uruchom aplet i wykonaj polecenia w nim zawarte.

RzhlrcMU6LIv51

Takie punkty mogą się znaleźć tylko w pierwszej, drugiej i trzeciej ćwiartce układu współrzędnych. Wszystkie takie punkty tworzą prostą o równaniu $y = 2 x$ .

Przykład 12

Zaznaczymy w układzie współrzędnych trzy punkty o współrzędnych $(x, x + 3)$ , gdzie $x$ jest dowolną liczbą rzeczywistą.

Zapis $(x, x + 3)$ oznacza, że pierwsza współrzędna punktu jest dowolna, a druga jest o $3$ większa od pierwszej.

Jeśli pierwsza współrzędna punktu $A$ będzie równa $1$ , to druga jest równa $1 + 3 = 4$ .
Zapisujemy: $x = 1$ , $y = 1 + 3 = 4$ . Wtedy $A = (1, 4)$ .
Jeśli pierwsza współrzędna punktu $B$ będzie równa $- 1$ , to druga jest równa $- 1 + 3 = 2$ .
Zapisujemy $x = - 1$ , $y = - 1 + 3 = 2$ . Wtedy $B = (- 1, 2)$ .
Jeśli pierwsza współrzędna punktu $C$ będzie równa $- 3$ , to druga jest równa $- 3 + 3 = 0$ .
Zapisujemy $x = - 3$ , $y = - 3 + 3 = 0$ . Wtedy $C = (- 3, 0)$ .

R179EFyWtpm1b1

Rysunek układu współrzędnych z zaznaczonymi punktami o współrzędnych A =(1, 4), B =(-1, 2) i C =(-3, 0). — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 25

RAlnuEzBunqMR

Na rysunku widzimy układ współrzędnych z zaznaczonymi następującymi punktami: A=2, 3, B=2, 2, C=5, 2, D=3, 0, E=0, 1, F=-2, 2, G=-2, 0, H=-1, -1, I=0, -1, J=2, -2, K=4, -2. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RRmlvUEOXAHnx

Wykorzystaj powyższe informacje i uzupełnij zdania, przeciągając w luki odpowiednie nazwy punktów lub kliknij w lukę i wybierz odpowiedź z listy rozwijalnej. Punkty o równych pierwszych współrzędnych: 1.

B

H

, 2.

F

G

, 3.

E

I

, 4.

J

K

, 5.

C

D

, 6.

F

J

Punkty o równych drugich współrzędnych: 1.

B

H

, 2.

F

G

, 3.

E

I

, 4.

J

K

, 5.

C

D

, 6.

F

J

Punkty, których współrzędnych są liczbami przeciwnymi: 1.

B

H

, 2.

F

G

, 3.

E

I

, 4.

J

K

, 5.

C

D

, 6.

F

J

Punkty, których pierwsza współrzędna jest równa

- 2

: 1.

B

H

, 2.

F

G

, 3.

E

I

, 4.

J

K

, 5.

C

D

, 6.

F

J

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 26

Zapisz za pomocą wzoru zależność między współrzędnymi punktów zaznaczonych w układzie współrzędnych.

R14dvDa3gnYxI1

Rysunki dwóch układów współrzędnych. Na pierwszym rysunku zaznaczone punkty o współrzędnych (-4, -1), (-2, -1), (0, -1), (2, -1), (3, -1). Na drugim rysunku zaznaczone punkty o współrzędnych (-3, 3), (-3, 2), (-3, 0), (-3, -1), (-3, -2). — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R7SewlqH9Ztsd

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RfdZmqy2baizd

Ćwiczenie 27

$A (4, 8)$
$B (8, 4)$
$C (- 2, 4)$
$D (- 3, - 6)$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 28

Znajdź liczbę $m$ , wiedząc, że

punkt $P = (m - 3, - 1)$ leży na osi $Y$ ,
punkt $G = (2, 2 m + 6)$ leży na osi $X$ .

RwjTmxYh74w69

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Jeżeli punkt leży na osi $Y$ , to oznacza, że pierwsza współrzędna jest równa zero. Jeżeli punkt leży na osi $X$ , to druga współrzędna jest równa zero. Rozwiąż odpowiednie równania.

$m = 3$
$m = - 3$

Ćwiczenie 29

Ile punktów, których obie współrzędne są liczbami całkowitymi, należy do wyróżnionego obszaru?

RG3cgnwsERj3v1

Rysunki dwóch układów współrzędnych z zaznaczonymi obszarami. Na pierwszym rysunku zaznaczona nieregularna figura. Na drugim rysunku czworokąt, którego wierzchołki mają współrzędne (-2, 3), (1, -3), (-4, -3) i (-4, 0). — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

$19$
$25$

R1b7As8BQeqyy

Ćwiczenie 29

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 30

Umieść podane punkty w odpowiednich miejscach układu współrzędnych. W której ćwiartce układu współrzędnych znajduje się największa liczba punktów, a w której najmniejsza?

Zastanów się w których miejscach układu współrzędnych leżą poniższe punkty. W której ćwiartce układu współrzędnych znajduje się największa liczba punktów, a w której najmniejsza?

Podane jest $10$ punktów:

A = (2, 3)

B = (3, 2)

C = (0, - 4)

D = (- 4, 0)

E = (- 2, 4)

F = (2, - 4)

G = (4, - 2)

H = (- 4, 2)

I = (- 5, - 5)

J = (5, 5)

RZvXGVyMxPE6p

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Rn0fRc7Z86mpH

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Najwięcej punktów znajduje się w $I$ ćwiartce.

Ćwiczenie 31

Na poniższym układzie współrzędnych dobierz odpowiednią jednostkę, i zaznacz w nim punkty:

Zastanów się, w których miejscach w układzie współrzędnych leżą punkty:

$A = (20, 70)$

$B = (- 30, 20)$

$C = (- 40, 0)$

$D = (0, - 20)$

$E = (- 60, - 70)$

$F = (50, - 50)$ .

Wypisz punkty

leżące na osi rzędnych
leżące na osi odciętych
których współrzędne są liczbami przeciwnymi
należące do $I$ , $II$ , $III$ i $IV$ ćwiartki układu współrzędnych

RDOEov31GV8s2

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RfNA4hhSfANUP

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Najlepiej przyjąć, że jedna podziałka na osi liczbowej to $10$ .

Pierwsza ćwiartka jest na górze po prawej stronie, tam gdzie obie współrzędne są dodatnie. Druga ćwiartka jest na górze po lewej stronie. Trzecia ćwiartka jest na dole po lewej stronie. Czwarta ćwiartka jest na dole po prawej stronie.

$D$
$C$
$F$
$I$ ćw. $A$ , $II$ ćw. $B$ , $III$ ćw. $E$ , $IV$ ćw. $F$

Ćwiczenie 32

Zaznacz w układzie współrzędnych taki punkt, którego suma współrzędnych jest równa $0$ . Zaznacz jeszcze $7$ takich punktów. Jaka jest zależność między pierwszą a drugą współrzędną każdego z punktów?

RG4dhGyHKSCuU

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Znajdź takie punkty, których suma współrzędnych jest równa $0$ . Podaj przykład siedmiu takich punktów. Jaka jest zależność między pierwszą a drugą współrzędną każdego z punktów?

RftMpc69ao4Jl

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Rk1TgDiWpqxCu

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus 6 do 6 oraz z pionową osią Y od minus 4 do 5. Na płaszczyźnie zaznaczono osiem punktów: A=(-4,4), B=(-3,3), C=(-2,2), D=(-1,1), E=(0,0), F=(1,-1), G=(2,-2) i H=(3,-3). — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Przykłady takich punktów to: $A = (- 4, 4)$ , $B = (- 3, 3)$ , $C = (- 2, 2)$ , $D = (- 1, 1)$ , $A = (0, 0)$ , $F = (1, - 1)$ , $G = (2, - 2)$ i $H = (3, - 3)$ .

Pierwsza współrzędna jest liczbą przeciwną do drugiej współrzędnej.

Roxv3IuAfwcnJ

Ćwiczenie 33

w $I$ lub w $II$ ćwiartce układu współrzędnych
w $II$ lub w $III$ ćwiartce układu współrzędnych
w $II$ lub w $IV$ ćwiartce układu współrzędnych
w $I$ lub w $IV$ ćwiartce układu współrzędnych

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R1Tirdh8sg927

Ćwiczenie 34

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R1b5OmSzgShKb

Ćwiczenie 35

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 36

Narysuj układ współrzędnych i zaznacz w nim poniższe punkty.

Zastanów się, w których miejscach w układzie współrzędnych leżą punkty:

$A = (2, 3)$ , $B = (5, 0)$ , $C = (0, - 3)$ , $D = (6, 1)$

$E = (- 4, 4)$ , $F = (- 3, 0)$ , $G = (- 1, - 2)$ , $H = (- 3, - 7)$

$I = (5, - 2)$ , $J = (4, - 4)$ , $K = (2, - 6)$ , $L = (0, 0)$ .

RcV71bgBngCb9

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 37

Zaznacz w układzie współrzędnych punkt $A = (x, y)$ taki, że

Podaj współrzędne punktu $A = (x, y)$ takiego, że

$x = 3$ , $y = x - 2$
$x = - 2$ , $y = x - 1$
$x = 1$ , $y = 2 x$
$x = y$ , $y = - 3$

R1UFMKrZUwg3n

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Podstaw w miejsce $x$ lub $y$ podaną liczbę.

RkfCaazbn1vkW

Rysunek układu współrzędnych z zaznaczonymi czterema punktami. Punkt A1 ma współrzędne 3, 1, punkt A2 ma współrzędne -2, -3, punkt A3 ma współrzędne 1, 2, punkt A4 ma współrzędne -3, -3. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Punkt $A_{1}$ ma współrzędne $(3, 1)$ , punkt $A_{2}$ ma współrzędne $(- 2, - 3)$ , punkt $A_{3}$ ma współrzędne $(1, 2)$ , punkt $A_{4}$ ma współrzędne $(- 3, - 3)$ .

R19CNyPSgWo9J

Ćwiczenie 38

Zaznacz w układzie współrzędnych $5$ punktów spełniających podany warunek. Na jakiej prostej leżą wszystkie te punkty?

Podaj współrzędne pięciu punktów spełniających podany warunek. Na jakiej prostej leżą wszystkie te punkty?

Pierwsza współrzędna jest dwukrotnie mniejsza od drugiej.
Druga współrzędna jest równa $4$ .
Pierwsza współrzędna jest równa $- 3$ .

RBKFenEaspGKi

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RO3o7LEQIXBPt

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Punkty leżą na prostej $y = 2 x$ .
RagXD93gLpLq0
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Punkty leżą na prostej $y = 4$ .
RaIbO1yDgjofm
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Punkty leżą prostej $x = (- 3)$ .
R14eGyh3GK46s
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RTCKtOE0YLn20

Ćwiczenie 39

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 40

Zaznacz w układzie współrzędnych zbiór punktów $(x, y)$ , których współrzędne spełniają podany warunek.

$- 2 ⩽ x ⩽ 3$ i $0 ⩽ y ⩽ 4$
$- 0, 5 ⩽ x ⩽ 3, 5$ i $- 1, 5 ⩽ y ⩽ 5, 5$

R1bJ5jFK8aVbh

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RNf1J5a2XDh52

Ćwiczenie 40

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 41

Zapoznaj się z poniższym rysunkiem.

RW317Mqlg4D451

Rysunki czterech układów współrzędnych: Na pierwszym zaznaczone punkty leżące powyżej prostej równoległej do osi OX i przecinającej oś OY w punkcie (0, 1) wraz z tą prostą. Na drugim zaznaczone punkty leżące po lewej stronie prostej równoległej do osi OY i przecinającej oś OX w punkcie (3, 0) wraz z tą prostą. Na trzecim zaznaczone punkty leżące wewnątrz kwadratu, którego wierzchołki mają współrzędne (2, 2), (-2, 2), (-2, -2), (2, -2) wraz z tym kwadratem. Na czwartym zaznaczone punkty leżące wewnątrz kąta, którego wierzchołek znajduje się w punkcie o współrzędnych (0, 1). Jedno ramię pokrywa się z prostą OY i przechodzi przez punkt (0, 3). Drugie ramię kąta przechodzi przez punkt o współrzędnych (4, 3). Zaznaczony obszar obejmuje wnętrze kąta wraz z jego wierzchołkiem i ramionami. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R9a3NsfmRHZ82

Zapisz warunek, jaki muszą spełniać współrzędne punktów należących do zaznaczonego obszaru. a) Możliwe odpowiedzi: 1.

y ⩾ 1

, 2.

x ⩾ 0

y ⩾ \frac{1}{2} x + 1

, 3.

x ⩽ 3

, 4.

- 2 ⩽ x ⩽ 2

- 2 ⩽ y ⩽ 2

b) Możliwe odpowiedzi: 1.

y ⩾ 1

, 2.

x ⩾ 0

y ⩾ \frac{1}{2} x + 1

, 3.

x ⩽ 3

, 4.

- 2 ⩽ x ⩽ 2

- 2 ⩽ y ⩽ 2

c) Możliwe odpowiedzi: 1.

y ⩾ 1

, 2.

x ⩾ 0

y ⩾ \frac{1}{2} x + 1

, 3.

x ⩽ 3

, 4.

- 2 ⩽ x ⩽ 2

- 2 ⩽ y ⩽ 2

d) Możliwe odpowiedzi: 1.

y ⩾ 1

, 2.

x ⩾ 0

y ⩾ \frac{1}{2} x + 1

, 3.

x ⩽ 3

, 4.

- 2 ⩽ x ⩽ 2

- 2 ⩽ y ⩽ 2

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 42

Wyznacz współrzędne $3$ punktów znajdujących się na odcinku $A B$ , gdzie $A = (- 4, 4)$ , $B = (3, - 3)$ .

R1LtmfuH2X33Y

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R1K6dCcMdoJqh

Zaznacz podane punkty w układzie współrzędnych, następnie narysuj odcinek $A B$ . Wyznacz współrzędne tych punktów, które leżą na otrzymanym odcinku.

Zastanów się, na jakiej prostej leży odcinek $A B$ . Wyznacz współrzędne tych punktów, które leżą na tym odcinku.

Na przykład $C = (- 2, 2)$ , $D = (- 1, 1)$ , $E = (2, - 2)$ .

R1GOZ1sMq1VCZ

Ćwiczenie 43

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Notatnik

Możesz skorzystać z poniższego pola tekstowego do zapisania swoich notatek, rozwiązań zadań i innych informacji, które uważasz za potrzebne.

R1b8OvSPUG8s3

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

1. Zbiory na osi liczbowej

3. Środek odcinka. Długość odcinka