R1c8xFmkB8ZSI
Ilustracja przedstawia oszklony dach budynku w kształcie trójkąta równoramiennego.

Proste, odcinki i kąty

Źródło: dostępny w internecie: hjrivas z Pixabay, domena publiczna.

6. Kąty przyległe i wierzchołkowe

Dwie przecinające się proste wyznaczają cztery kąty. Takie sytuacje spotykamy wokół nas, np. dwie przecinające się ścieżki, dwie krzyżujące się ulice, dwa kije leżące na sobie. Również przekątne w czworokącie wypukłym przecinają się i wyznaczają cztery kąty.

RwkvF30xanxZI
Ilustracja przedstawia dwie przecinające się proste. Na rysunku zaznaczono również cztery kąty o wspólnym wierzchołku, który jest punktem przecięcia prostych. Te kąty to alfa, beta, gamma i sigma.
RE8MHWQsUYlZ1
Ilustracja przedstawia prostokąt, w którym poprowadzono przekątne. Na rysunku zaznaczono również cztery kąty o wspólnym wierzchołku, który jest punktem przecięcia przekątnych. Te kąty to alfa, beta, gamma i sigma.
RMy2ECY36UbUU
Ilustracja przedstawia równoległobok, w którym poprowadzono przekątne. Na rysunku zaznaczono również cztery kąty o wspólnym wierzchołku, który jest punktem przecięcia przekątnych. Te kąty to alfa, beta, gamma i sigma.
RN8egvdtJa4Y0
Ilustracja przedstawia trapez, w którym poprowadzono przekątne. Na rysunku zaznaczono również cztery kąty o wspólnym wierzchołku, który jest punktem przecięcia przekątnych. Te kąty to alfa, beta, gamma i sigma.

Kąty przyległe

Kąty przyległe
Definicja: Kąty przyległe

Dwa kąty wypukłe, które mają jedno ramię wspólne, a pozostałe ramiona tworzą prostą, nazywamy kątami przyległymi.

R1K34ceElP4A31
Rysunek kątów przyległych alfa i beta. Kąty te mają jedno ramię wspólne, a pozostałe ramiona tworzą prostą.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Lena i Milena miały zmierzyć za pomocą kątomierza narysowany kąt. Zapoznaj się z animacją, aby zobaczyć jak sobie poradziły z tym zadaniem.

R1MdTxNyFgxPF1
Animacja przedstawia w jaki sposób należy mierzyć kąty przyległe.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Film dostępny pod adresem /preview/resource/R1MdTxNyFgxPF

Katy przylegle i katy wierzcholkowe_4300
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Animacja przedstawia w jaki sposób należy mierzyć kąty przyległe.

1
Polecenie 1

Zapoznaj się z poniższym apletem.

Zapoznaj się z opisem poniższej animacji.

RdWcgQHi5Ufs91
Animacja pokazuje dwie proste przecinające się. Między nimi zaznaczona jest para kątów przyległych. Na jednej prostej leży punkt P. Zaznaczone kąty mają miary 75 stopni i 105 stopni. Możemy zmienić położenie punktu P w taki sposób, że zaznaczone kąty mają miary 120 stopni i 60 stopni. Zmieniając położenie punktu P zauważamy, że suma miar zaznaczonych kątów jest zawsze taka sama i wynosi 180 stopni.

Zasób interaktywny dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/a/DU5NmRrS1

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Suma miar kątów przyległych
Własność: Suma miar kątów przyległych

Suma miar kątów przyległych jest równa 180°.

R1FpNuHKnNgvz1
Rysunek kątów przyległych alfa i beta. Zapis: alfa+beta=180 stopni.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
1
Polecenie 2

Zapoznaj się z poniższym apletem.

Zapoznaj się z opisem poniższej animacji.

RTXuJUG57krXx1
Animacja pokazuje dwie proste przecinające się. Między nimi jest zaznaczona para kątów przyległych. Na jednej prostej leży punkt P. Zmieniając położenie prostej zauważamy, że zmienia się wzajemne położenie ramion i wierzchołków zaznaczonych kątów.

Zasób interaktywny dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/a/DU5NmRrS1

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Kąty przyległe
Własność: Kąty przyległe

Kąty przyległe mają wspólny wierzchołek.

Kąty wierzchołkowe

Kąty wierzchołkowe 
Definicja: Kąty wierzchołkowe 

Kąty wypukłe, których ramiona uzupełniają się do prostych, nazywamy kątami wierzchołkowymi.

R1edWsqEmcwoW1
Rysunek kątów wierzchołkowych alfa i beta, których ramiona uzupełniają się do prostych.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Zapoznaj się z animacją, aby dowiedzieć sie więcej o kątach wierzchołkowych.

R1BeKu0cUPYw11
Animacja przedstawia w jaki sposób należy mierzyć kąty wierzchołkowe.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Film dostępny pod adresem /preview/resource/R1BeKu0cUPYw1

Atrapa_animacji
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Animacja przedstawia w jaki sposób należy mierzyć kąty wierzchołkowe.

1
Przykład 1
R1dBQ6GQ9dS5I1
Animacja pokazuje dwie proste przecinające się. Między prostymi zaznaczona para kątów wierzchołkowych. Każdy z zaznaczonych kątów ma miarę 105 stopni. Na jednej prostej leży punkt P. Przesuwając punkt P możemy otrzymać inne pary kątów wierzchołkowych, np. o mierze 70 stopni każdy. Zmieniając położenie punktu P, zmienia się wzajemne położenie ramion i wierzchołków zaznaczonych kątów. Zaznaczone kąty wierzchołkowe zawsze mają taką samą miarę.

Zasób interaktywny dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/a/DU5NmRrS1

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Kąty wierzchołkowe   
Własność: Kąty wierzchołkowe   

Kąty wierzchołkowe mają równe miary.

R1Mgu3WNGQ7QQ1
Rysunek kątów wierzchołkowych alfa i beta, których ramiona uzupełniają się do prostych. Zapis: alfa=beta.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
1
R126ZfOMlRJio
Ćwiczenie 1
Oblicz miary drugich kątów przyległych i uzupełnij zdania, wpisując w luki odpowiednie liczby. Jeden z kątów przyległych ma miarę 127°, więc drugi z kątów ma miarę Tu uzupełnij°.Jeden z kątów przyległych ma miarę 19°, więc drugi z kątów ma miarę Tu uzupełnij°.Jeden z kątów przyległych ma miarę 56°, więc drugi z kątów ma miarę Tu uzupełnij°.Jeden z kątów przyległych ma miarę 139°, więc drugi z kątów ma miarę Tu uzupełnij°.Jeden z kątów przyległych ma miarę 179°, więc drugi z kątów ma miarę Tu uzupełnij°.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
RTRPWPTIaYqG71
Ćwiczenie 2
Uzupełnij poniższą lukę. Kliknij w nią, aby rozwinąć listę, a następnie wybierz poprawną odpowiedź. Jeśli kąty przyległe są sobie równe, to każdy z nich ma miarę równą 1. 90°, 2. 180°, 3. 0°, 4. 45°, 5. 360°.

Przeciągnij i upuść.

45˚, 180˚, 360˚, 0˚, 90˚

Jeśli kąty przyległe są sobie równe, to każdy z nich ma miarę równą ............ stopni.

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
R1GbbFC7hHF14
Ćwiczenie 3
Zaznacz zdanie prawdziwe. Możliwe odpowiedzi: 1. Suma miar kątów przyległych jest równa mierze kąta półpełnego., 2. Kąty przyległe mogą być jednocześnie kątami rozwartymi.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
R2OK0dRxW6UD91
Ćwiczenie 4
Jeden z kątów przyległych ma miarę o 56° mniejszą od miary kąta półpełnego. Jaka jest miara drugiego z tych kątów? Uzupełnij lukę, wpisując poprawną wartość. Odpowiedź: Drugi kąt ma miarę Tu uzupełnij°.

Jeden z kątów przyległych ma miarę o 56˚ mniejszą od miary kąta półpełnego. Jaka jest miara drugiego z tych kątów?

Odp.: Drugi kąt ma miarę ............ °.

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Rimyy8ek4CIii
Ćwiczenie 5
Jeden z kątów przyległych ma miarę o 90° większą od miary drugiego z kątów. Oblicz miary obu kątów, następnie uzupełnij odpowiedź wpisując wyniki w kolejności rosnącej. Odpowiedź: Szukane kąty przyległe mają miary Tu uzupełnij° i Tu uzupełnij°.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
R1Nlgr1eyP7wc
Ćwiczenie 6
Jeden z kątów przyległych ma miarę 5 razy większą od miary drugiego z kątów. Oblicz miary obu kątów, następnie uzupełnij odpowiedź wpisując wyniki w kolejności rosnącej. Odpowiedź: Szukane kąty przyległe mają miary Tu uzupełnij° i Tu uzupełnij°.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Ćwiczenie 7

Trzy proste przecinające się w jednym punkcie podzieliły płaszczyznę na sześć kątów.

R13Qef0KsdOuE1
Rysunek trzech prostych przecinających się w jednym punkcie. Między prostymi utworzyły się kąty 1, 2, 3, 4, 5, 6.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
R1FP2zyZhEXHF
Dokończ zdanie, wybierając wszystkie poprawne odpowiedzi.
Spośród kątów 1 - 6 pary kątów wierzchołkowych to: Możliwe odpowiedzi: 1. 1 i 4, 2. 2 i 5, 3. 3 i 6, 4. 1 i 6, 5. 2 i 4, 6. 3 i 5
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
R1WsPSdAFd7qy
Ćwiczenie 7
Na rysunku przecięły się dwie proste. Ile w ten sposób par kątów wierzchołkowych otrzymaliśmy? Zaznacz prawidłową odpowiedź. Możliwe odpowiedzi: 1. jedną, 2. dwie, 3. trzy, 4. cztery
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Ćwiczenie 8

Rysunek przedstawia kąty ostre i rozwarte.

RX9EmgOsB0l3Q1
Rysunek trzech prostych przecinających się w punkcie O. Między prostymi utworzyły się kąty S O P, P O R, R O K, K OT, T O N.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
R1DGJBVxvyT2d
Zaznacz wszystkie zdania prawdziwe. Możliwe odpowiedzi: 1. Kąty NOT i POR to kąty wierzchołkowe., 2. Kąty NOS i ROK mają taką samą miarę., 3. Kąt TON jest przyległy do kąta NOS., 4. Suma kątów POR i KOT wynosi 180°., 5. Kąty POK i NOT nie są kątami wierzchołkowymi.

  • Kąty NOT i POR to kąty wierzchołkowe.
  • Kąty NOS i ROK mają taką samą miarę.
  • Kąt TON jest przyległy do kąta NOS.
  • Suma kątów POR i KOT wynosi 180°.
  • Kąty POK i NOT nie są kątami wierzchołkowymi.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
R1HF46GHEqH1d
Ćwiczenie 8
Zaznacz wszystkie zdania prawdziwe. Możliwe odpowiedzi: 1. Kąty przyległe mogą mieć równe miary., 2. Kąty wierzchołkowe mogą mieć równe miary., 3. Kąty przyległe mogą mieć różne miary., 4. Kąty wierzchołkowe mogą mieć różne miary., 5. Suma dowolnej pary kątów przyległych wynosi 180°., 6. Suma dowolnej pary kątów wierzchołkowych wynosi 180°.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Notatnik

Możesz skorzystać z poniższego pola tekstowego do zapisania swoich notatek, rozwiązań zadań i innych informacji, które uważasz za potrzebne.

R1b8OvSPUG8s3
(Uzupełnij).
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
5. Mierzenie kątów
Wielokąty, koła i okręgi