1. Rodzaje trójkątów i ich własności

Trójkąty, to jedne z podstawowych figur geometrycznych. Podział na trójkąty, czyli triangulację, wykorzystuje się między innymi w grafice komputerowej oraz w geodezji do ustalania położenia obiektów oraz ich pomiarów.

Przyjmuje się, że holenderski matematyk i astronom Willebrord Snell van Royen zwany krótko Snelliusem jest ojcem współczesnej triangulacji. W publikacji „Eratosthenes batavus, de terrae ambitus vera quantitate” w latach $1615$–$1617$ napisał o triangulacji, czyli o sposobie wyznaczania współrzędnych punktów położonych na dużych obszarach, opierającym się na pomiarze w terenie układu trójkątów. Wprawdzie idea ta pojawiła się wcześniej, ale przyjmuje się, że praca Snelliusa była przełomowa. Czterysta lat temu Snellius wyznaczył obwód Ziemi, przy czym jego wynik różnił się od znanego dziś obwodu zaledwie o $3,5\%$.

R1XdRhwcjYGrY

Ilustracja przedstawia kartę z księgi, po lewej stronie znajduje się portret elegancko ubranego mężczyzny, posiadającego wąsy oraz brodę i krótką fryzurę. Jest to portret Willebrorda Snella. Po prawej stronie karty widnieje strona tytułowa jego publikacji pod tytułem Eratosthenes batavus, de terrae ambitus vera quantitate.

W tym materiale poznasz własności różnych trójkątów. Dowiesz się także, w jaki sposób klasyfikujemy trójkąty ze względu na długości boków oraz miary kątów. Rozwiążesz zadania dotyczące tych zagadnień.

W aplecie powyżej jest przedstawiony trójkąt równoramienny. Ma on co najmniej dwa boki równej długości zwane ramionami. Trzeci bok takiego trójkąta nazywa się podstawą.

Wysokości trójkąta

Zapoznaj się z poniższym apletem poświęconym wysokościom trójkąta.

R1TQMRjaXartd1

Animacja przedstawia różne rodzaje trójkątów.

Animacja przedstawia różne rodzaje trójkątów.

Film dostępny pod adresem /preview/resource/R1TQMRjaXartd

Animacja przedstawia różne rodzaje trójkątów.

Wysokość trójkąta

Definicja: Wysokość trójkąta

Wysokość trójkąta to odcinek łączący wierzchołek trójkąta z przeciwległym bokiem (lub jego przedłużeniem) i prostopadły do tego boku.

R74D6l9fKHm4O1

Rysunek trójkąta ostrokątnego, trójkąta prostokątnego i trójkąta rozwartokątnego o bokach a, b, c. W każdym poprowadzone trzy wysokości: h z indeksami dolnymi a, b, c opuszczonymi odpowiednio na boki a, b i c.

Wysokość najczęściej oznaczamy małą literą $h$.

Ćwiczenie 1

Korzystając z linijki i kratek w zeszycie, narysuj:

1. trójkąt równoramienny o podstawie $3 \mathrm{cm}$,

2. trójkąt prostokątny o przeciwprostokątnej długości $5 \mathrm{cm}$,

3. trójkąt równoramienny rozwartokątny o ramionach długości $5\frac{1}{2} \mathrm{cm}$,

4. trójkąt równoboczny o bokach długości $6 \mathrm{cm}$.

RtXeagLZmZlqP

Pokaż podpowiedź

1. Zacznij od narysowania podstawy tego trójkąta o długośći $3 \mathrm{cm}$.

2. Trójkątem egipskim nazywamy trójkąt prostokątny, którego boki pozostają w stosunku $3:4:5$.

3. Zacznij od narysowania dwóch boków tego trójkąta o długości $5\frac{1}{2} \mathrm{cm}$ tak, aby kąt między nimi był kątem rozwartym.

4. Narysuj podstawę tego trójkąta o długości $6 \mathrm{cm}$ oraz jej symetralną, a następnie za pomocą linijki narysuj odcinki łączące końce podstawy z symetralną tak, aby miały one długość $6 \mathrm{cm}$.

Pokaż przykładową odpowiedź

Rqg6GYesHZnnx

R17dq61OyhAOI

Ćwiczenie 1

Wpisz odpowiednie miary kątów tak, aby zdania były prawdziwe. 1. W pewnym trójkącie równoramiennym miara kąta przy wierzchołku to $100°$, a miary kątów przy podstawie są równe Tu uzupełnij$°$ i Tu uzupełnij$°$. 2. W pewnym trójkącie prostokątnym miary kątów ostrych wynoszą $60°$ i Tu uzupełnij$°$. 3. W pewnym trójkącie równoramiennym miara kąta przy podstwie to $30°$, a miara kąta przy wierzchołku jest równa Tu uzupełnij$°$. 4. W każdym trójkącie równobocznym wszystkie kąty wewnętrzne mają miarę Tu uzupełnij$°$.

Wpisz odpowiednie miary kątów tak, aby zdania były prawdziwe. 1. W pewnym trójkącie równoramiennym miara kąta przy wierzchołku to $100°$, a miary kątów przy podstawie są równe Tu uzupełnij$°$ i Tu uzupełnij$°$. 2. W pewnym trójkącie prostokątnym miary kątów ostrych wynoszą $60°$ i Tu uzupełnij$°$. 3. W pewnym trójkącie równoramiennym miara kąta przy podstwie to $30°$, a miara kąta przy wierzchołku jest równa Tu uzupełnij$°$. 4. W każdym trójkącie równobocznym wszystkie kąty wewnętrzne mają miarę Tu uzupełnij$°$.

Ćwiczenie 2

Dany jest trójkąt. Dorysuj do niego taki trójkąt, aby powstał trójkąt:

1. prostokątny

2. rozwartokątny

3. równoramienny

   R1dhsifWuKstk1

   Rysunek trójkąta rozwartokątnego.

   

RsgxvYQtaHhzt

Pokaż podpowiedź

Przedłuż podstawę trójkąta o odpowiednią długość, a następnie narysuj nowe ramię trójkąta.

Pokaż odpowiedź

R1cC2XHTQAuTh1

Rysunki trzech trójkątów. Rozwiązanie zadania.

RzeGOJyvvyAQK

Ćwiczenie 2

Wpisz nazwy trójkątów tak, aby zdania były prawdziwe. 1. Trójkąt, który ma dwa boki tej samej długości i trzeci bok innej długości, to trójkąt Tu uzupełnij. 2. Trójkąt, który ma jeden kąt $90°$, to trójkąt Tu uzupełnij. 3. Trójkąt, który ma wszystkie boki tej samej długości, to trójkąt Tu uzupełnij. 4. Trójkąt, który ma jeden kąt większy niż $90°$, to trójkąt Tu uzupełnij.

Wpisz nazwy trójkątów tak, aby zdania były prawdziwe. 1. Trójkąt, który ma dwa boki tej samej długości i trzeci bok innej długości, to trójkąt Tu uzupełnij. 2. Trójkąt, który ma jeden kąt $90°$, to trójkąt Tu uzupełnij. 3. Trójkąt, który ma wszystkie boki tej samej długości, to trójkąt Tu uzupełnij. 4. Trójkąt, który ma jeden kąt większy niż $90°$, to trójkąt Tu uzupełnij.

Ćwiczenie 3

Narysuj trzy jednakowe trójkąty prostokątne, a następnie podziel jeden z nich na $2$ trójkąty prostokątne, drugi – na $3$ trójkąty prostokątne, a trzeci - na $4$ trójkąty prostokątne.

Rs56do54amJwx1

Rysunek trójkąta prostokątnego.

R1JL69PthSnQ4

Pokaż podpowiedź

Aby podzielić podany trójkąt na dwa trójkąty prostokątne, należy narysować odcinek prostopadły do przeciwprostokątnej.

Pokaż odpowiedź

RYHAUVUMflncB1

Rysunek trzech trójkątnych prostokątów podzielonych na trójkąty prostokątne - rozwiązanie zadania.

R16Rlg4nB8O15

Ćwiczenie 3

W trójkącie równobocznym poprowadzono jego wysokość. Wysokość ta dzieli trójkąt na dwa trójkąty Możliwe odpowiedzi: 1. prostokątne, 2. ostrokątne, 3. rozwartokątne, 4. równoramienne

Ćwiczenie 4

Narysuj trójkąt rozwartokątny, a następnie podziel go na $4$ trójkąty rozwartokątne.

R7EJo8ZahkLCB1

Rysunek trójkąta rozwartokątnego.

R11H8pChX7PCX

Pokaż podpowiedź

Wybierz punkt na jednym z boków trójkąta i z tego punktu narysuj odpowiednią liczbę odcinków, aby podzielić trójkąt.

Pokaż odpowiedź

RO2cdOsH60HV81

Rysunek trójkąta rozwartokątnego podzielonego trójkąty rozwartokątne - rozwiązanie zadania.

ROOOOzfTXCJZJ

Ćwiczenie 4

Które z podanych kątów mogą być kątami trójkąta równoramiennego rozwartokątnego? Zaznacz prawidłową odpowiedź. Możliwe odpowiedzi: 1. $120°$, $30°$, $30°$, 2. $90°$, $45°$, $45°$, 3. $120°$, $40°$, $20°$

Ćwiczenie 6

Wskaż rysunek, na którym zaznaczono wysokość trójkąta.

RXw028uLhJdAZ1

Rysunki czterech różnych trójkątów. W każdym trójkącie poprowadzony odcinek łączący jeden z wierzchołków trójkąta z podstawą. W trójkącie A między odcinkiem a podstawą nie ma kąta prostego. W trójkącie B między odcinkiem a podstawą nie ma kąta prostego. W trójkącie C między odcinkiem a podstawą jest kąt prosty. W trójkącie D między odcinkiem a podstawą nie ma kąta prostego.

RlU7xdYzRE4Bn

Możliwe odpowiedzi: 1. Rysunek $A$, 2. Rysunek $B$, 3. Rysunek $C$, 4. Rysunek $D$

• Rysunek $A$
• Rysunek $B$
• Rysunek $C$
• Rysunek $D$

Ćwiczenie 7

Wskaż, na którym rysunku zielony odcinek nie jest wysokością trójkąta.

R1SdOsJX748TI1

Rysunki czterech różnych trójkątów. W każdym trójkącie poprowadzony odcinek łączący jeden z wierzchołków trójkąta z podstawą. W trójkącie A odcinek znajduje się poza obrysem trójkąta, między odcinkiem i przedłużeniem podstawy jest kąt prosty. W trójkącie B odcinek znajduje się wewnątrz trójkąta, między odcinkiem i podstawą nie ma kąta prostego. W trójkącie C odcinek znajduje się wewnątrz trójkąta, między odcinkiem i podstawą jest kąt prosty. W trójkącie D odcinek znajduje się poza obrysem trójkąta, między odcinkiem i przedłużeniem podstawy jest kąt prosty.

R1Q27x9mVkRFH

Możliwe odpowiedzi: 1. $A$, 2. $B$, 3. $C$, 4. $D$

• $A$
• $B$
• $C$
• $D$

Notatnik

Możesz skorzystać z poniższego pola tekstowego do zapisania swoich notatek, rozwiązań zadań i innych informacji, które uważasz za potrzebne.