Rugxl3pYb4aoJ
Ilustracja przedstawia szklany dach ułożony z trójkątnych elementów.

Wielokąty, koła i okręgi

Źródło: David Bartus, dostępny w internecie: https://unsplash.com/.

2. Konstrukcja trójkąta o danych bokach

Konstrukcje geometryczne różnią się od zwykłego rysowania. Do ich wykonania możemy wykorzystywać tylko cyrkiel i linijkę, przy czym linijka nie służy do mierzenia, a tylko do rysowania odcinków, prostych lub półprostych. Natomiast za pomocą cyrkla możemy odmierzać odcinki, rysować okręgi i łuki okręgów. Oczywiście używamy też ołówka.

Konstrukcje wykonywano już w starożytności, rozwiązując w ten sposób wiele problemów geometrycznych.

1
Przykład 1

Olaf postanowił narysować w programie GeoGebra trójkąt o bokach długości: 6 cm, 3 cm i 4 cm.

Zaczął rysunek od najdłuższego boku. Potem, z końców tego boku narysował odcinki o długościach 4 cm i 3 cm, i próbował znaleźć punkt, który będzie trzecim wierzchołkiem trójkąta.

RAArGRh7c1rHT1
Rysunek odcinka o długości 6 cm. Do jego końców dorysowane są odcinki o długościach 4 cm i 3 cm, które nie łączą się.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Uruchom aplet i wykonaj w nim to zadanie.

RGYpI6MYtsi1711
Animacja pokazuje kreślenie trójkąta, gdy dane są trzy odcinki o długościach: 6 cm, 3 cm i 4 cm. Dany jest najdłuższy bok AB. Z końców tego boku poprowadzone są odcinki o długościach 3 cm i 4 cm (oba do góry). Odcinki nie łączą się. Zmieniając kąt nachylenia krótszych odcinków do odcinka AB zauważamy, że końce tych odcinków połączą się i powstanie trójkąt.

Zasób interaktywny dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/a/Dk5MdyXb5

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
1
Przykład 2

Uruchom aplety i wykonaj zadania w nich zawarte.

RI8brUUTJ4Xxy11
Animacja pokazuje odcinek AB = 6 cm. Z końców tego odcinka poprowadzone są odcinki o długościach 3 cm i 4 cm (oba do góry). Odcinki nie łączą się. Zmieniając kąt nachylenia krótszych odcinków do odcinka AB zauważamy, że końce tych odcinków połączą się i powstanie trójkąt. Końce mogą łączyć się na dwa sposoby, gdy znajdują się nad lub pod najdłuższym odcinkiem. Zauważamy, że poruszając końcami odcinków, końce zataczają okręgi.

Zasób interaktywny dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/a/Dk5MdyXb5

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
R1bDSUk9qGKs811
1. Animacja pokazuje trójkąt o bokach 6 cm, 3 cm i 4 cm. Wierzchołki A, B trójkąta są środkami okręgów o promieniach 4 cm i 3 cm. Należy podać opis konstrukcji trójkąta, gdy dane są trzy odcinki. Kolejność konstrukcji: rysujemy odcinek AB = 6 cm, rysujemy okrąg ośrodku A i promieniu 4 cm, rysujemy okrąg ośrodku B i promieniu 3 cm, okręgi przecinają się w punktach C i D, kreślimy odcinki AC i BC, powstaje trójkąt A B C.

Zasób interaktywny dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/a/Dk5MdyXb5

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Nierówność trójkąta

1
Przykład 3
RQywwwlpIHJfR11
Animacja pokazuje trójkąt A B C zbudowany z trzech odcinków, których długość możemy zmieniać. Zmieniając długości boków należy obserwować jak zmienia się wielkość i kształt trójkąta. Zauważamy, że: jeżeli długości boków AC = 4 cm, BC =3 cm to długość boku AB musi być większa od 1 cm a mniejsza od 7 cm. Jeżeli długości boków AB = 6 cm, BC =3 cm to długość boku AC musi być większa od 3 a mniejsza od 9. Jeżeli długości boków AB =6 cm, AC =4 cm to długość boku BC musi być większa od 2 i mniejsza od dziesięciu.

Zasób interaktywny dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/a/Dk5MdyXb5

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Poprzednie zadanie pokazuje, że boki trójkąta nie mogą mieć całkiem dowolnych długości. Jeżeli dana jest długość jednego z boków, to suma długości dwóch pozostałych musi być od niej większa.

Ważne!

Suma długości dwóch boków trójkąta jest zawsze większa od długości trzeciego boku.
Jest to tak zwany warunek trójkąta.

R1RrIjLd84Bx31
Rysunek trójkąta o bokach długości a, b i c. Zapis: a + b > c, a + c > b, b + c > a.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
RjRnJoRlhlnxH
Ćwiczenie 1
Dane są długości trzech odcinków. Które odcinki mogą być bokami trójkąta? Zaznacz poprawną odpowiedź. Możliwe odpowiedzi: 1. 2 cm, 4 cm, 6 cm, 2. 1 cm, 5 cm, 3 cm, 3. 2 cm, 4 cm, 8 cm, 4. 3 cm, 4 cm, 6 cm
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
R1Z3k0QJuTiz21
Ćwiczenie 2
Czy odcinki o długościach: 9 cm, 3 cm i 5 cm mogą być bokami trójkąta? Zaznacz poprawną odpowiedź. Możliwe odpowiedzi: 1. Tak, ponieważ 9+3>5 oraz 9+5>3, 2. Nie, ponieważ 9+3>5 oraz 9+5>3, 3. Tak, ponieważ 3+5<9, 4. Nie, ponieważ 3+5<9

  • Tak ponieważ 9   +   3   >   5 oraz 9   +   5   >   3
  • Nie ponieważ 9   +   3   >   5 oraz 9   +   5   >   3
  • Tak ponieważ 3   +   5   <   9
  • Nie ponieważ 3   +   5   <   9
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Ćwiczenie 3

Wykonaj konstrukcję trójkąta o trzech danych bokach.

RddJfHtiwKvvq
Szkicownik.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Opisz konstrukcję trójkąta o trzech danych bokach.

RlaImZuEC7XsR
(Uzupełnij).
Ćwiczenie 4

Narysuj dane: trzy odcinki o długościach 5 cm, 4 cm i 3 cm.
Następnie wykonaj konstrukcję trójkąta o bokach długości 5 cm, 4 cm i 3 cm.
Jaki rodzaj trójkąta powstał?

R1QoSdU91HiMM
Szkicownik.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Opisz konstrukcję trójkąta o bokach długości 5 cm, 4 cm i 3 cm.
Jaki rodzaj trójkąta powstał?

R1YcAXd3BjZ5J
(Uzupełnij).
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Ćwiczenie 5

Narysuj dwa odcinki różnej długości. Dłuższy oznacz literą a, krótszy literą b.
Następnie wykonaj konstrukcję trójkąta

  1. równobocznego o boku a

  2. równobocznego o boku b

  3. równoramiennego o podstawie b i ramionach a

  4. równoramiennego o podstawie a i ramionach b

Jeśli jakaś konstrukcja jest niewykonalna przy wybranych przez Ciebie długościach odcinków, uzasadnij dlaczego.

RCyus6utzvlBM
Szkicownik.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
RAZjhGtryZGzh
Ćwiczenie 5
Podczas konstrukcji trójkąta narysowano dwa łuki o promieniu a i jeden łuk o promieniu b. Jaki trójkąt skonstruowano? Zaznacz poprawną odpowiedź. Możliwe odpowiedzi: 1. Trójkąt równoramienny o podstawie b i ramionach a., 2. Trójkąt równoramienny o podstawie a i ramionach b., 3. Trójkąt o podstawie b i wysokości a., 4. Trójkąt o podstawie a i wysokośći b.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Ćwiczenie 6

Narysuj na kartce A4 odcinek o długości 5 cm. Skonstruuj 6 trójkątów równobocznych o boku 5 cm, ale połącz je w taki sposób, żeby utworzyły ciekawą figurę. Możesz pomalować wnętrza trójkątów kolorowymi kredkami.

Rhvp2Pt8dTqaz
Szkicownik.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Opisz konstrukcję sześciu trójkątów równobocznych o boku 5 cm, ale połączonych w taki sposób, żeby utworzyły ciekawą figurę.

R1NQF8e8vhS78
(Uzupełnij).
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Notatnik

Możesz skorzystać z poniższego pola tekstowego do zapisania swoich notatek, rozwiązań zadań i innych informacji, które uważasz za potrzebne.

R1b8OvSPUG8s3
(Uzupełnij).
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
1. Rodzaje trójkątów i ich własności
3. Suma kątów wewnętrznych trójkąta