R1KArxESX7CXy
Rysunek przedstawia boisko. Na końcu boiska jest kosz do koszykówki. Napis: Wielokąty, koła i okręgi.

Wielokąty, koła i okręgi

Źródło: Santiago Pagnotta, dostępny w internecie: https://pexels.com/, domena publiczna.

4. Własności prostokąta i kwadratu

Okno, tablica, zeszyt, blat biurka, ekran mają kształt prostokątów. Wskaż w swoim otoczeniu przedmioty w kształcie kwadratów.

W tym materiale przypomnisz sobie podstawowe wiadomości dotyczące prostokątów i kwadratów. Poznasz definicje tych czworokątów, odkryjesz własności oraz policzysz ich obwody. Dowiesz się, jak przy pomocy przyborów geometrycznych rysować te figury.

Prostokąt i kwadrat

Zapoznaj się z animacją, a zobaczysz gdzie można natknąć się na kwadraty i prostokąty.

RMI0bfx0HhULK1
Animacja budynki na planie miasta, które mają kształt kwadratu i prostokąta.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Film dostępny pod adresem /preview/resource/RMI0bfx0HhULK

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Animacja budynki na planie miasta, które mają kształt kwadratu i prostokąta.

Prostokąt
Definicja: Prostokąt

Prostokąt to czworokąt, który ma wszystkie kąty proste.

RJ9riQcSmIB0S1
Rysunek prostokąta A B C D.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Własności prostokąta:

  • Przeciwległe boki są równoległe i równej długości.

  • Wszystkie kąty są proste.

  • Przekątne są równej długości i dzielą się na połowy.

    RtZQFau3i37Hr1
    Rysunek prostokąta A B C D. Poprowadzone przekątne przecinają się w punkcie S.
    Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

    W prostokącie ABCD:

  • AB∥DC i AD∥BC, AB=DC i AD=BC.

  • Miary kątów: A, B, C i D są równe 90°.

  • AC=BD.

  • AS=SC=12AC oraz BS=SD=12BD.

Kwadrat
Definicja: Kwadrat

Kwadrat to prostokąt, który ma wszystkie boki równej długości.

RYmiWOQSXs1fl1
Rysunek kwadratu A B C D.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Własności kwadratu:

  • Przeciwległe boki są równoległe, wszystkie boki są równej długości.

  • Wszystkie kąty są proste.

  • Przekątne są prostopadłe do siebie, równej długości i dzielą się na połowy.

    RuDq25Wrr5Sp01
    Rysunek kwadratu A B C D. Poprowadzone przekątne przecinają się w punkcie S.
    Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

    W kwadracie ABCD:

  • AB∥DC i  AD∥BC, AB=DC=AD=BC

  • Miary kątów: A, B, C i D są równe 90°.

  • AC⊥BD, AC=BD oraz AS=SC=DS=SB

1
Polecenie 1

Uruchom aplet i wykonaj zawarte w nim zadanie.

R1dX3xAUOtJGO1
Aplet przedstawia czworokąt A B C D. Należy przemieszczać wierzchołki czworokąta tak, aby powstał prostokąt o wymiarach 6 cm i 8 cm. Otrzymujemy przykładowy prostokąt K L M N, w którym kreślimy przekątne KM i LN. Zauważamy, że w prostokącie przekątne mają takie same miary, co sprawdzamy wykorzystując linijkę.

Zasób interaktywny dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/a/DSoFTyqv

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
RA5jU1HbWxxhP
W pewnym prostokącie ABCD boki AB i CD są równoległe. Bok AB ma długość 4 cm, a bok BC ma długość 6 cm. Uzupełnij poniższe zdania, wpisując w luki odpowiednie liczby. Bok CD ma długość Tu uzupełnij cm.Bok AD ma długość Tu uzupełnij cm.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
1
Polecenie 2

Uruchom aplet i wykonaj zawarte w nim zadanie.

R17x2sCnUsy9p11
Animacja prezentuje kwadrat, w którym poprowadzone są przekątne. Należy zmierzyć linijką jego przekątne, a następnie sprawdzić kątomierzem pod jakim kątem się one przecinają. Po dokonaniu pomiarów zauważamy, że w kwadracie przekątne są równe i przecinają się pod kątem prostym.

Zasób interaktywny dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/a/DSoFTyqv

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
RdsedQFtq93dp
Zaznacz wszystkie zdania prawdziwe. Możliwe odpowiedzi: 1. Przekątne kwadratu przecinają się w połowie swoich długości., 2. Przekątne kwadratu przecinają się pod kątem prostym, 3. Przekątne kwadratu mają różne długości., 4. Przekątne kwadratu nie przecinają się w żadnym punkcie.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
1
Polecenie 3

Uruchom aplet i wykonaj zawarte w nim polecenie.

R1RKtIx6yGcBg11
Animacja prezentuje prostokąt A B C D z poprowadzonymi przekątnymi. Należy poruszać wierzchołkiem C prostokąta i obserwować kąt przecięcia się przekątnych prostokąta oraz długości jego boków. Zauważamy, że wszystkie boki prostokąta są tej samej długości, gdy kąt między jego przekątnymi jest kątem prostym. Prostokąt jest kwadratem, gdy ma boki tej samej długości.

Zasób interaktywny dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/a/DSoFTyqv

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Odpowiedź:

Prostokąt jest kwadratem wtedy, kiedy jego przekątne przecinają się pod kątem prostym.

RlTRBcEThHoPU
Które warunki musi spełnić prostokąt, aby być kwadratem? Zaznacz wszystkie prawidłowe odpowiedzi. Możliwe odpowiedzi: 1. Musi mieć wszystkie boki jednakowej długości., 2. Jego przekątne muszą się przecinać pod kątem prostym., 3. Musi mieć dwie pary boków równoległych., 4. Jego przekątne muszą się przecinać w połowie.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
1
Polecenie 4

Uruchom aplet i wykonaj zawarte w nim polecenie.

RNvboaJ6dRenM11
Animacja prezentuje romb A B C D z poprowadzonymi przekątnymi. Należy poruszać wierzchołkiem A i obserwować miary kątów tego rombu i długości jego przekątnych. Zauważamy, że gdy miary kątów tego rombu są równe, to jego przekątne są tej samej długości. Romb jest kwadratem, gdy jego kąty są kątami prostymi. Po zaobserwowaniu zmian, można zrobić to samo z wierzchołkiem D i zaobserwować, czy własności się zmieniają.

Zasób interaktywny dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/a/DSoFTyqv

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Odpowiedź:

Romb jest kwadratem wtedy, kiedy obie jego przekątne mają takie same długości.

RZS4WMc3DJOsE
Które warunki musi spełnić romb, aby być kwadratem? Zaznacz wszystkie prawidłowe odpowiedzi. Możliwe odpowiedzi: 1. Jego przekątne muszą być jednakowej długości., 2. Dowolny jego kąt wewnętrzny musi być kątem prostym., 3. Musi mieć wszystkie boki jednakowej długości., 4. Jego przekątne muszą się przecinać pod kątem prostym.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Przykład 1

Narysujmy prostokąt za pomocą ekierki.

R18dxuAAiXszB1
Animacja przedstawia w jaki sposób możemy narysować prostokąt.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Film dostępny pod adresem /preview/resource/R18dxuAAiXszB

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Animacja przedstawia w jaki sposób możemy narysować prostokąt.

Ważne!

Wymiary prostokąta to długości jego boków wychodzących z jednego wierzchołka. Często nazywamy je długością i szerokością prostokąta.

RyRbLc0IfMLxF1
Rysunek prostokąta. Boki prostokąta są podpisane są następująco: szerokość i długość.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Ważne!

  • Odcinki łączące przeciwległe wierzchołki czworokąta nazywamy przekątnymi.

  • Odcinki AC i BD to przekątne prostokąta.

R1LJ800vAzHIO1
Rysunek prostokąta A B C D. w którym poprowadzono przekątne A C oraz B D przecinające się w  punkcie S.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

  • Przekątne prostokąta są równej długości.

AC=BD.

  • Punkt, w którym przecinają się przekątne, dzieli każdą z nich na dwie równe części.

AS=CS=BS=DS.

  • Odcinki KM i LN to przekątne kwadratu.

    R1AYylewd0mvp1
    Rysunek kwadratu K L M N, w którym poprowadzone przekątne K M oraz L N przecinające się w punkcie S.
    Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

  • Przekątne kwadratu są są równe.

KM=NL.

  • Punkt, w którym przecinają się przekątne, dzieli każdą z nich na dwie równe części.

LS=NS=MS=KS.

  • Przekątne kwadratu są prostopadłe.

NL⊥KM.

Obwód prostokąta i kwadratu

Przykład 2

Pan Kowalski zamierza ogrodzić siatką działkę w kształcie prostokąta o wymiarach 25 m i 35 m. Ile metrów siatki musi kupić, jeśli zamierza pozostawić miejsce na bramę wjazdową o szerokości 3 m i miejsce na furtkę o szerokości 1 m?

R1JFsO1s82ITV1
Animacja przedstawia zadanie, które należy rozwiązać wykorzystując odpowiednie w własności prostokąta.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Film dostępny pod adresem /preview/resource/R1JFsO1s82ITV

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Animacja przedstawia zadanie, które należy rozwiązać wykorzystując odpowiednie w własności prostokąta.

Zapamiętaj!

Obwód wielokąta (np. prostokąta, trójkąta, sześciokąta) to suma długości wszystkich jego boków.

Przykład 3

Obliczmy obwód prostokąta o bokach długości 5 cm i 8 cm.

Każdy prostokąt ma dwie pary boków o takich samych długościach, zatem obwód tego prostokąta wynosi 5 cm+5 cm+8 cm+8 cm=26 cm.

1
Polecenie 5

Uruchom aplet i wykonaj zawarte w nim zadanie.

R7TcIWBY1oygW1
Animacja pokazuje różne prostokąty leżące na kratownicy. Należy podać obwód każdego prostokąta.

Zasób interaktywny dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/a/DSoFTyqv

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
RB71wLqpQB5gB
Podaj obwody prostokątów o bokach podanej długości. Uzupełnij poniższe zdania, wpisując w luki odpowiednie liczby. Prostokąt, w którym boki mają długości 5 cm i 6 cm, ma obwód równy Tu uzupełnij cm.Prostokąt, w którym boki mają długości 1 cm i 8 cm, ma obwód równy Tu uzupełnij cm.Prostokąt, w którym boki mają długości 3 cm i 8 cm, ma obwód równy Tu uzupełnij cm.Prostokąt, w którym boki mają długości 3 cm i 4 cm, ma obwód równy Tu uzupełnij cm.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
1
Polecenie 6

Uruchom aplet i wykonaj zapisane tam polecenie.

RCanMyjYUhRRR1
Animacja pokazuje różne kwadraty leżące na kratownicy. Należy podać obwód każdego kwadratu.

Zasób interaktywny dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/a/DSoFTyqv

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
R15sA26uk6OW3
Oblicz obwody kwadratów o bokach podanej długości. Uzupełnij poniższe zdania, wpisując w luki odpowiednie liczby. Kwadrat, w którym bok ma długość 2 cm, ma obwód równy Tu uzupełnij cm.Kwadrat, w którym bok ma długość 5 cm, ma obwód równy Tu uzupełnij cm.Kwadrat, w którym bok ma długość 6 cm, ma obwód równy Tu uzupełnij cm.Kwadrat, w którym bok ma długość 4 cm, ma obwód równy Tu uzupełnij cm.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
1
Polecenie 7

Uruchom aplet i wykonaj zawarte w nim polecenie.

R8p6r4py5LpC61
Animacja pokazuje prostokąt leżący na kratownicy. Należy przesunąć jeden wierzchołek tak, aby utworzyć inny prostokąt o podanym obwodzie.

Zasób interaktywny dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/a/DSoFTyqv

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
RWxfZyIahzV07
Wyznacz jakie wymiary mogą mieć prostokąty o podanych obwodach. Uzupełnij zdania, przeciągając w luki odpowiednie wymiary lub kliknij w lukę i wybierz odpowiedź z listy rozwijalnej. Prostokąt o obwodzie 22 cm może mieć długości boków równe 1. 3 cm i 6 cm, 2. 6 cm i 5 cm, 3. 3 cm i 7 cm, 4. 4 cm i 7 cm, 5. 5 cm i 4 cm, 6. 6 cm i 8 cm.Prostokąt o obwodzie 28 cm może mieć długości boków równe 1. 3 cm i 6 cm, 2. 6 cm i 5 cm, 3. 3 cm i 7 cm, 4. 4 cm i 7 cm, 5. 5 cm i 4 cm, 6. 6 cm i 8 cm.Prostokąt o obwodzie 20 cm może mieć długości boków równe 1. 3 cm i 6 cm, 2. 6 cm i 5 cm, 3. 3 cm i 7 cm, 4. 4 cm i 7 cm, 5. 5 cm i 4 cm, 6. 6 cm i 8 cm.Prostokąt o obwodzie 18 cm może mieć długości boków równe 1. 3 cm i 6 cm, 2. 6 cm i 5 cm, 3. 3 cm i 7 cm, 4. 4 cm i 7 cm, 5. 5 cm i 4 cm, 6. 6 cm i 8 cm.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
1
Polecenie 8

Uruchom aplet i wykonaj zawarte w nim polecenie.

RrHef9BDIk6K51
Animacja pokazuje kwadrat leżący na kratownicy. Należy przesunąć jeden wierzchołek tak, aby utworzyć inny kwadrat o podanym obwodzie.

Zasób interaktywny dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/a/DSoFTyqv

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
RfTiSbbx77G05
Oblicz jaką długość boku będą miały kwadraty o podanych obwodach. Uzupełnij poniższe zdania, wpisując w luki odpowiednie liczby. Kwadrat o obwodzie 8 cm ma bok długości Tu uzupełnij cm.Kwadrat o obwodzie 16 cm ma bok długości Tu uzupełnij cm.Kwadrat o obwodzie 28 cm ma bok długości Tu uzupełnij cm.Kwadrat o obwodzie 4 cm ma bok długości Tu uzupełnij cm.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
RAZRisIfE9SLf
Ćwiczenie 1
Zaznacz zdanie prawdziwe. Możliwe odpowiedzi: 1. Każdy prostokąt jest kwadratem., 2. Każdy kwadrat jest prostokątem., 3. W każdym prostokącie kąt między przekątnymi jest prosty.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Ćwiczenie 2

Ile kwadratów widzisz na rysunku? A ile prostokątów?

RoSqPWliYfZW71
Rysunek prostokąta podzielonego na kwadraty i prostokąty.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
R12Oo6AY6V4iQ
Uzupełnij odpowiedź, wpisując w luki odpowiednie liczby. Odpowiedź: Powyższy rysunek zawiera Tu uzupełnij kwadraty oraz Tu uzupełnij prostokątów.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
RFiegd4rrB1bG
Ćwiczenie 2
Dany jest kwadrat, w którym połączono środki boków znajdujących się na przeciwko siebie. Uzupełnij poniższe zdania, wpisując w luki odpowiednie liczby. W tej figurze możemy wyróżnić Tu uzupełnij kwadratów.W tej figurze możemy wyróżnić Tu uzupełnij prostokąty, które nie są kwadratami.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Ćwiczenie 3

Narysuj dwie proste prostopadłe. Zaznacz na nich cztery punkty, tak aby były wierzchołkami kwadratu o przekątnych długości 6 cm.

RfdF8MqAimxH0
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Opisz konstrukcję kwadratu o przekątnych długości 6 cm.

RhX9yRa6a4i1x
(Uzupełnij).
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Ćwiczenie 4

Narysuj kwadrat, w którym suma długości przekątnych jest równa 14 cm.

R4OSuft7l4BfR
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Opisz konstrukcję kwadratu, w którym suma długości przekątnych jest równa 14 cm.

R1OXE8xD44MLt
(Uzupełnij).
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Ćwiczenie 5

Narysuj prostokąt, w którym

  1. boki mają długości 4 cm, 6 cm

  2. jeden bok ma długość 30 mm, a drugi jest 2 razy dłuższy

  3. jeden bok ma 6 cm, a drugi jest o 3 cm krótszy

  4. połowa przekątnej ma długość 2 cm 5 mm

RDapKAtRmVO1H
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Opisz sposób rysowania prostokąta, w którym

  1. boki mają długości 4 cm, 6 cm

  2. jeden bok ma długość 30 mm, a drugi jest 2 razy dłuższy

  3. jeden bok ma 6 cm, a drugi jest o 3 cm krótszy

  4. połowa przekątnej ma długość 2 cm 5 mm

RYakPTvF9ubYm
(Uzupełnij).
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Ćwiczenie 6

Narysuj prostokąt, którego przekątna ma długość 8 cm, a kąt rozwarty między przekątnymi ma miarę 120°.

R8vO1SxTMLb5Z
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Napisz instrukcję rysowania prostokąta, którego przekątna ma długość 8 cm, a kąt rozwarty między przekątnymi ma miarę 120°.

R1H8GPmGzg68B
(Uzupełnij).
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Ćwiczenie 7

Na poniższym rysunku przedstawiono czworokąty.

R16lB5BlqYvII1
Rysunek dziesięciu różnych czworokątów.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
R1ayhwCzpghWS
Które z powyższych czworokątów są kwadratami a które prostokątami? Przeciągnij litery odpowiadające czworokątom do właściwej grupy. Kwadraty Możliwe odpowiedzi: 1. H, 2. F, 3. E, 4. J, 5. H, 6. F Prostokąty Możliwe odpowiedzi: 1. H, 2. F, 3. E, 4. J, 5. H, 6. F
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
RoyoUQUBqcPdL
Ćwiczenie 7
Które z poniższych czworokątów nie są prostokątami? Zaznacz poprawne odpowiedzi. Możliwe odpowiedzi: 1. równoległobok, 2. romb, 3. kwadrat, 4. trapez
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
RI65xWCAiHSg5
Ćwiczenie 8
Zaznacz wszystkie czworokąty, które nie są prostokątami. Możliwe odpowiedzi: 1. równoległobok, 2. romb, 3. kwadrat, 4. trapez
1
RIb0n2XRKFxgZ
Ćwiczenie 8
Łączenie par. Oceń prawdziwość poniższych zdań. Przy każdym zdaniu w tabeli zaznacz „Prawda” albo „Fałsz”.. Każdy prostokąt jest kwadratem.. Możliwe odpowiedzi: Prawda, Fałsz. Każdy równoległobok jest prostokątem.. Możliwe odpowiedzi: Prawda, Fałsz. Każdy kwadrat jest rombem.. Możliwe odpowiedzi: Prawda, Fałsz. Każdy trapez jest kwadratem.. Możliwe odpowiedzi: Prawda, Fałsz
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
1
Ćwiczenie 8

Uruchom aplet i wykonaj zapisane tam polecenie.

R1BrjMlaQOsFC1
Animacja pokazuje czworokąt leżący na kratownicy. Wierzchołki czworokąta leżą w punktach kratowych kratownicy. Należy przesunąć wierzchołki czworokąta tak, aby powstał prostokąt.

Zasób interaktywny dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/a/DSoFTyqv

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Ćwiczenie 9

Wypisz pary odcinków równoległych i prostopadłych.

RmBii48gFLqX51
Rysunek prostokąta J O L A.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
RWyacVhSDPTkV
(Uzupełnij).
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Ćwiczenie 10

Narysuj

  1. prostokąt o bokach długości 3 cm i 5 cm,

  2. prostokąt o bokach długości 1 dm i 6 cm,

  3. prostokąt o wymiarach 7 cm 2 mm i 4 cm 5 mm,

  4. kwadrat o boku długości 4 cm 3 mm.

RRXa0hiIWMNpq
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
RTWVPOeF2Ehlp
Ćwiczenie 10
Dany jest prostokąt o bokach długości 3 cm oraz 5 cm. Zaznacz zdanie prawdziwe. Możliwe odpowiedzi: 1. Jeżeli przedłużymy dłuższy bok o 1 cm, a długość krótszego boku podwoimy, to otrzymamy kwadrat., 2. Jeżeli skrócimy dłuższy bok o 2 cm, a krótszy bok przedłużymy o 1 cm, to otrzymamy kwadrat., 3. Jeżeli jeżeli przedłużymy każdy z boków o 5 cm, to otrzymamy kwadrat.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Ćwiczenie 11

Czworokąt ABCD to prostokąt, a czworokąt KLMN to kwadrat. Odcinki AC i BD to przekątne w prostokącie ABCD, odcinki KM i LN to przekątne w kwadracie KLMN.

RUi2Zj8j311RV
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
R9QqnHt61Wvxq
Łączenie par. . AD i BC. Możliwe odpowiedzi: Prostopadłe, Równoległe, Równej długości. AD i AB. Możliwe odpowiedzi: Prostopadłe, Równoległe, Równej długości. DC i AB. Możliwe odpowiedzi: Prostopadłe, Równoległe, Równej długości. KL, LM, MN i NK. Możliwe odpowiedzi: Prostopadłe, Równoległe, Równej długości. KL i LM. Możliwe odpowiedzi: Prostopadłe, Równoległe, Równej długości. DB i AC. Możliwe odpowiedzi: Prostopadłe, Równoległe, Równej długości. NL i KM. Możliwe odpowiedzi: Prostopadłe, Równoległe, Równej długości
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
R1PB6MFptfNNh
Ćwiczenie 11
Dany jest prostokąt ABCD z zanaczonymi przekątnymi AC i BD oraz kwadrat KLMN z zanaczonymi przekątnymi KM i LN. Uzupełnij luki w zdaniach. Kliknij w lukę, aby rozwinąć listę i wybierz brakującą liczbę dla każdej równości. Odcinki AD i BC są 1. równej długości, 2. równej długości, 3. równej długości, 4. równej długości, 5. równej długości, 6. prostopadłe, 7. równoległe, 8. prostopadłe, 9. równej długości, 10. równoległe, 11. równej długości, 12. prostopadłe, 13. równoległe, 14. równoległe, 15. równej długości, 16. równej długości, 17. prostopadłe, 18. równej długości, 19. prostopadłe.Odcinki AD i AB są 1. równej długości, 2. równej długości, 3. równej długości, 4. równej długości, 5. równej długości, 6. prostopadłe, 7. równoległe, 8. prostopadłe, 9. równej długości, 10. równoległe, 11. równej długości, 12. prostopadłe, 13. równoległe, 14. równoległe, 15. równej długości, 16. równej długości, 17. prostopadłe, 18. równej długości, 19. prostopadłe.Odcinki DC i AB są 1. równej długości, 2. równej długości, 3. równej długości, 4. równej długości, 5. równej długości, 6. prostopadłe, 7. równoległe, 8. prostopadłe, 9. równej długości, 10. równoległe, 11. równej długości, 12. prostopadłe, 13. równoległe, 14. równoległe, 15. równej długości, 16. równej długości, 17. prostopadłe, 18. równej długości, 19. prostopadłe.Odcinki KL, LM, MN i NK są 1. równej długości, 2. równej długości, 3. równej długości, 4. równej długości, 5. równej długości, 6. prostopadłe, 7. równoległe, 8. prostopadłe, 9. równej długości, 10. równoległe, 11. równej długości, 12. prostopadłe, 13. równoległe, 14. równoległe, 15. równej długości, 16. równej długości, 17. prostopadłe, 18. równej długości, 19. prostopadłe.Odcinki KL i LM są 1. równej długości, 2. równej długości, 3. równej długości, 4. równej długości, 5. równej długości, 6. prostopadłe, 7. równoległe, 8. prostopadłe, 9. równej długości, 10. równoległe, 11. równej długości, 12. prostopadłe, 13. równoległe, 14. równoległe, 15. równej długości, 16. równej długości, 17. prostopadłe, 18. równej długości, 19. prostopadłe.Odcinki DB i AC są 1. równej długości, 2. równej długości, 3. równej długości, 4. równej długości, 5. równej długości, 6. prostopadłe, 7. równoległe, 8. prostopadłe, 9. równej długości, 10. równoległe, 11. równej długości, 12. prostopadłe, 13. równoległe, 14. równoległe, 15. równej długości, 16. równej długości, 17. prostopadłe, 18. równej długości, 19. prostopadłe.Odcinki NL i KM są 1. równej długości, 2. równej długości, 3. równej długości, 4. równej długości, 5. równej długości, 6. prostopadłe, 7. równoległe, 8. prostopadłe, 9. równej długości, 10. równoległe, 11. równej długości, 12. prostopadłe, 13. równoległe, 14. równoległe, 15. równej długości, 16. równej długości, 17. prostopadłe, 18. równej długości, 19. prostopadłe.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Ćwiczenie 12

Czworokąt ABCD to prostokąt, a czworokąt KLMN to kwadrat.

RUi2Zj8j311RV
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
R1Rrpi4KqjWtR
Uzupełnij poniższe zdania podanymi wyrazami. Kliknij w lukę, aby rozwinąć listę i wybierz poprawną odpowiedź w każdym przypadku. Odcinki NL i KM przecinają się pod kątem 1. ostrym, 2. rozwartym, 3. ostrym, 4. ostrym, 5. prostym, 6. prostym, 7. prostym, 8. prostym, 9. ostrym, 10. ostrym, 11. rozwartym.Odcinki AD i AB przecinają się pod kątem 1. ostrym, 2. rozwartym, 3. ostrym, 4. ostrym, 5. prostym, 6. prostym, 7. prostym, 8. prostym, 9. ostrym, 10. ostrym, 11. rozwartym.Odcinki NM i ML przecinają się pod kątem 1. ostrym, 2. rozwartym, 3. ostrym, 4. ostrym, 5. prostym, 6. prostym, 7. prostym, 8. prostym, 9. ostrym, 10. ostrym, 11. rozwartym.Odcinki DB i AC przecinają się pod kątem 1. ostrym, 2. rozwartym, 3. ostrym, 4. ostrym, 5. prostym, 6. prostym, 7. prostym, 8. prostym, 9. ostrym, 10. ostrym, 11. rozwartym.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
RdjebhFlzHDtu
Ćwiczenie 12
Dany jest prostokąt ABCD z zanaczonymi przekątnymi AC i BD oraz kwadrat KLMN z zanaczonymi przekątnymi KM i LN. Uzupełnij luki w zdaniach. Kliknij w lukę, aby rozwinąć listę i wybierz brakującą liczbę dla każdej równości. Odcinki NL i KM przecinają się pod kątem 1. rozwartym, 2. ostrym, 3. ostrym, 4. prostym, 5. prostym, 6. prostym, 7. prostym, 8. rozwartym, 9. rozwartym, 10. ostrym.Odcinki AD i AB przecinają się pod kątem 1. rozwartym, 2. ostrym, 3. ostrym, 4. prostym, 5. prostym, 6. prostym, 7. prostym, 8. rozwartym, 9. rozwartym, 10. ostrym.Odcinki NM i ML przecinają się pod kątem 1. rozwartym, 2. ostrym, 3. ostrym, 4. prostym, 5. prostym, 6. prostym, 7. prostym, 8. rozwartym, 9. rozwartym, 10. ostrym.Odcinki DB i AC przecinają się pod kątem 1. rozwartym, 2. ostrym, 3. ostrym, 4. prostym, 5. prostym, 6. prostym, 7. prostym, 8. rozwartym, 9. rozwartym, 10. ostrym.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Ćwiczenie 13

  1. Wskaż cztery kolejne wierzchołki prostokąta, którego przekątną jest dany odcinek.

    R1blowVamQJ511
    Rysunek odcinka
    Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

  2. Wskaż cztery kolejne wierzchołki kwadratu, którego przekątną jest dany odcinek.

    R1J4Ocr0vFg1B1
    Rysunek odcinka.
    Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
RQXdyauhB8VFY
Ćwiczenie 13
Oceń, czy poniższe zdania są prawdziwe czy fałszywe. Zaznacz wszystkie zdania prawdziwe. Możliwe odpowiedzi: 1. Przekątne w prostokącie są różnej długości., 2. Przekątne w kwadracie są równej długości., 3. Punkt przecięcia przekątnych w prostokącie i kwadracie dzieli przekątne na dwie równe części., 4. Prostokąt posiada dwie przekątne., 5. W kwadracie jest nieskończenie wiele przekątnych.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
1
RwzarotmTxKc91
Ćwiczenie 14
Przeciągnij odpowiedni opis do pasującej figury.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
R1YzoWacHl1rc
Ćwiczenie 14
Określ kształt podanych przedmiotów. Dopasuj przedmioty do odpowiednich grup, przeciągając je. kwadrat Możliwe odpowiedzi: 1. płyta chodnikowa, 2. znak drogowy oznaczający "parking", 3. kartka papieru, 4. przyciski na klawiaturze z literami, 5. podręczniki, 6. latawiec, 7. znak "ustąp pierwszeństwa", 8. ściany pudełek na buty, 9. serwetka, 10. telewizory plazmowe prostokąt Możliwe odpowiedzi: 1. płyta chodnikowa, 2. znak drogowy oznaczający "parking", 3. kartka papieru, 4. przyciski na klawiaturze z literami, 5. podręczniki, 6. latawiec, 7. znak "ustąp pierwszeństwa", 8. ściany pudełek na buty, 9. serwetka, 10. telewizory plazmowe czworokąt, który nie jest prostokątem Możliwe odpowiedzi: 1. płyta chodnikowa, 2. znak drogowy oznaczający "parking", 3. kartka papieru, 4. przyciski na klawiaturze z literami, 5. podręczniki, 6. latawiec, 7. znak "ustąp pierwszeństwa", 8. ściany pudełek na buty, 9. serwetka, 10. telewizory plazmowe
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
R1ZqWYF5iqoDX
Ćwiczenie 15
Oceń, czy poniższe zdania są prawdziwe czy fałszywe. Zaznacz wszystkie zdania prawdziwe. Możliwe odpowiedzi: 1. Prostokąt to czworokąt, którego każdy kąt ma 90°., 2. Prostokąt ma wszystkie boki równoległe., 3. Kwadrat ma boki równej długości., 4. Kąt między przekątnymi każdego prostokąta jest prosty., 5. Kąt między przekątnymi kwadratu jest prosty.

  • Prostokąt to czworokąt, którego każdy kąt ma 90 ° .
  • Każdy kwadrat jest prostokątem.
  • Każdy prostokąt jest kwadratem.
  • Prostokąt ma wszystkie boki równoległe.
  • Kwadrat ma boki równej długości.
  • Kąt między przekątnymi każdego prostokąta jest prosty.
  • Kąt między przekątnymi kwadratu jest prosty.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Ćwiczenie 16

Rysunek przedstawia kwadrat ACEH podzielony na kwadraty i prostokąty.

R1K4yKpj72zsR1
Rysunek kwadratu A C E H podzielonego na kwadraty i prostokąty.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

  1. Ile prostokątów widzisz na rysunku?

  2. Ile kwadratów widzisz na rysunku?

  3. Wypisz nazwy sześciu dowolnych prostokątów znajdujących się na rysunku.

  4. Wypisz nazwy pięciu dowolnych kwadratów znajdujących się na rysunku.

R11bmEsEJYGEb
(Uzupełnij).
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
R1M3y5bqLzagf
Ćwiczenie 16
Kwadrat ABCD o boku długości 12 cm podzielono na pół prowadząc prostą równoległą do boków AB oraz CD przechodzącą przez środek boków AD i CB. Jakie wymiary mają dwa powstałe w ten sposób prostokąty? Możliwe odpowiedzi: 1. 6 cm×12 cm, 2. 3 cm×12 cm, 3. 6 cm×6 cm, 4. 3 cm×6 cm
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Ćwiczenie 17

Prostokąt o bokach długości 4 cm i 20 cm można podzielić na pięć jednakowych kwadratów o boku 4 cm.

Rd5Y2KdNebAMF1
Rysunek prostokąta podzielonego na pięć jednakowych kwadratów.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Rx8UwVKxqgLdi
Jaką długość będzie miał bok każdego kwadratu, który otrzymamy, dzieląc w podobny sposób prostokąt o wymiarach 8 cm i 48 cm? Ile kwadratów otrzymamy? Wpisz w luki prawidłowe odpowiedzi. Bok każdego kwadratu będzie wynosić Tu uzupełnij cm oraz otrzymamy Tu uzupełnij kwadratów.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Ćwiczenie 18
RxEMmaNsmBBbe
Masz do dyspozycji 100 jednakowych prostokątów o wymiarach 2 cm i 3 cm. Z ilu takich prostokątów można ułożyć kwadrat? Wykonaj odpowiednie rysunki. Kwadrat można ułożyć z Tu uzupełnij, Tu uzupełnij, Tu uzupełnij, Tu uzupełnij prostokątów.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
RB8S8AHo0HnlJ
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
R1A9fTxFnuk1d
Masz do dyspozycji 100 jednakowych prostokątów o wymiarach 2 cm i 3 cm. Z ilu takich prostokątów można ułożyć kwadrat? Wykonaj odpowiednie rysunki. Kwadrat można ułożyć z Tu uzupełnij, Tu uzupełnij, Tu uzupełnij, Tu uzupełnij prostokątów.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
RqGCaaaIJ4uRl
Ćwiczenie 19
Oblicz obwód kwadratu o boku długości 5 cm.
Uzupełnij lukę w odpowiedzi, wpisując poprawną wartość. Odpowiedź: Obwód kwadratu wynosi Tu uzupełnij cm
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
RlyvNzzGawdUR
Ćwiczenie 20
Obwód kwadratu wynosi 36 cm. Oblicz długość jego boku.
Uzupełnij lukę w odpowiedzi, wpisując poprawną wartość. Odpowiedź: Długość boku kwadratu wynosi Tu uzupełnij cm.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
RoqNM6baZRCmS
Ćwiczenie 21
Zaznacz zdanie prawdziwe. Możliwe odpowiedzi: 1. Jeśli bok kwadratu zwiększymy o 3 cm, to obwód kwadratu zwiększy się o 6 cm., 2. Jeśli długość boku kwadratu zmniejszy się dwa razy, to obwód tego kwadratu też zmniejszy się dwa razy.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
R7mbZ9eaq870L
Ćwiczenie 22
Dany jest prostokąt o bokach długości 5 cm i 6 cm. Oblicz jego obwód.
Uzupełnij poniższą lukę. Kliknij w nią, aby rozwinąć listę, a następnie wybierz poprawną odpowiedź. Odpowiedź: Obwód prostokąta wynosi 1. 24, 2. 12, 3. 22, 4. 16 cm.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Ćwiczenie 23
R9wjrseGJBosl
Obwód prostokąta jest równy 24 cm, a jeden z jego boków ma długość 5 cm. Oblicz długość drugiego boku tego prostokąta.
Uzupełnij poniższą lukę. Kliknij w nią, aby rozwinąć listę, a następnie wybierz poprawną odpowiedź. Odpowiedź: Długość drugiego boku prostokąta jest równa 1. 8, 2. 9, 3. 7, 4. 6 cm.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Ćwiczenie 24
R15waVBaEw6Ki
Obwód prostokąta jest równy 14 cm. Przekątna dzieli ten prostokąt na dwa trójkąty o obwodach 12 cm. Oblicz długość przekątnej tego prostokąta.
Uzupełnij lukę w zdaniu, wpisując poprawną wartość. Odpowiedź: Przekątna tego prostokąta ma długość Tu uzupełnij cm.

Obwód prostokąta jest równy 14 cm. Przekątna dzieli ten prostokąt na dwa trójkąty o obwodach 12 cm. Oblicz długość przekątnej tego prostokąta.

Odp.: Przekątna ma długość ............ cm.

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
RqhN7foPYTR3K
Ćwiczenie 25
Na planie w skali 1:1000 prostokątna działka ma wymiary 45 mm x 50 mm. Oblicz obwód tej działki. Wynik podaj w metrach.
Uzupełnij lukę w zdaniu, wpisując poprawną wartość. Odpowiedź: Obwód działki wynosi Tu uzupełnij m.

Na planie w skali 1 : 1000 prostokątna działka ma wymiary 45 mm x 50 mm. Oblicz obwód tej działki. Wynik podaj w metrach.

Odp.: Obwód działki wynosi ............ m.

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
RDGhTP326YmCT
Ćwiczenie 26
Prostokąt i kwadrat mają takie same obwody równe 32 cm. Jeden z boków prostokąta jest o 2 cm krótszy od boku kwadratu. Jakie wymiary ma prostokąt?
Uzupełnij luki w odpowiedzi, wpisując odpowiednie liczby. Odpowiedź: Krótszy bok prostokąta ma długość Tu uzupełnij cm, natomiast bok dłuższy Tu uzupełnij cm.

Prostokąt i kwadrat mają takie same obwody równe 32 cm. Jeden z boków prostokąta jest o 2 cm krótszy od boku kwadratu. Jakie wymiary ma prostokąt?

Odp.: Prostokąt ma wymiary (krótszy bok) ............ cm i (dłuższy bok) ............ cm.

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
R118WhvjorcBn
Ćwiczenie 27
Szerokość prostokąta wynosi 4 cm, a jego długość jest trzy razy dłuższa. Oblicz obwód tego prostokąta.
Uzupełnij lukę w odpowiedzi, wpisując poprawną wartość. Odpowiedź: Obwód prostokąta jest równy Tu uzupełnij cm.

Szerokość prostokąta wynosi 4 cm, a jego długość jest trzy razy dłuższa. Oblicz obwód tego prostokąta.

Odp.: Obwód prostokąta jest równy ............ cm.

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Notatnik

Możesz skorzystać z poniższego pola tekstowego do zapisania swoich notatek, rozwiązań zadań i innych informacji, które uważasz za potrzebne.

R1b8OvSPUG8s3
(Uzupełnij).
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
3. Suma kątów wewnętrznych trójkąta
5. Równoległobok i jego własności