R1KArxESX7CXy
Rysunek przedstawia boisko. Na końcu boiska jest kosz do koszykówki. Napis: Wielokąty, koła i okręgi.

Wielokąty, koła i okręgi

Źródło: Santiago Pagnotta, dostępny w internecie: https://pexels.com/, domena publiczna.

7. Trapez i jego rodzaje

W bieżącym materiale przekonamy się jak dużo ciekawych własności geometrycznych można wywnioskować analizując czworokąt, który ma przynajmniej jedną parę boków równoległych.

Zapoznaj się z poniższą animacją, aby dowiedzieć się jakie figury nazywamy trapezami. Zastanów się, jaką wspólną cechę mają wszystkie narysowane figury.

R1KjlnfYIRDZM1
Animacja przedstawia, jakie figury możemy nazywać trapezami.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Film dostępny pod adresem /preview/resource/R1KjlnfYIRDZM

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Animacja przedstawia, jakie figury możemy nazywać trapezami.

Trapez
Definicja: Trapez

Trapez to czworokąt, który ma przynajmniej jedną parę boków równoległych.

Rg8WtuGMd6Thv1
Rysunek trapezu A B C D. Zapis: AB równoległe do CD.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Równoległe boki trapezu nazywamy podstawami, pozostałe dwa boki – ramionami trapezu.

RV2rSrCPNiWNk1
Rysunek trapezu. Podpisane boki podstawa górna, ramię, podstawa dolna, ramię.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
1
Polecenie 1

Na każdym rysunku trzy punkty są wierzchołkami trapezu. Zaznacz czwarty wierzchołek zgodnie z poleceniem zamieszczonym w aplecie.

RSZ1Vb9H1ygkY1
Animacja przedstawia trzy różne trapezy. W pierwszym i drugim trapezie należy tak zmienić położenie jednego z wierzchołków trapezu, aby trapezy miały równe ramiona. W trzecim trapezie należy tak zmienić położenie jednego z wierzchołków trapezu, aby trapez miał podstawę dolną dwa razy dłuższą od podstawy górnej.

Zasób interaktywny dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/a/DSiEtjsnu

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Uwaga:

Ostatni przykład ma więcej niż jedno prawidłowe rozwiązanie.

RHbQi0BYuhvrZ
Zaznacz wszystkie figury, które są trapezami Możliwe odpowiedzi: 1. Kwadrat, 2. Romb, 3. Prostokąt, 4. Równoległobok, 5. Czworokąt o każdym boku innej długości.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Trapez równoramienny
Definicja: Trapez równoramienny

Trapez, którego ramiona są równej długości i niebędący równoległobokiem, nazywamy trapezem równoramiennym.

RwpbkQcKx02dF1
Rysunek trapezu równoramiennego A B C D, gdzie A D i C B są jego ramionami. Zapis: długość A D = C B.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Ważne!

Własności trapezu równoramiennego

  • Przekątne trapezu równoramiennego są równej długości.

    RJO8KVMPou2Fz1
    Rysunek trapezu równoramiennego A B C D z poprowadzonymi przekątnymi A C i B D. Zapis: długość A C = B D.
    Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

  • Kąty przy tej samej podstawie mają równe miary.

    R1Rzoc0UiBlWO1
    Rysunek trapezu równoramiennego. Zaznaczono kąty leżące przy jednym ramieniu alfa i beta oraz odpowiadające im kąty leżące przy drugim ramieniu alfa i beta.
    Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Trapez prostokątny
Definicja: Trapez prostokątny

Trapez, którego przynajmniej jedno ramię jest prostopadłe do obu podstaw, nazywamy trapezem prostokątnym.

RBt9OawBtEMhj1
Rysunek trapezu prostokątnego A B C D, o podstawach A B i C D. Zapis: AD prostopadłe do DC i AD prostopadłe do AB.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
R9K5CWps2Gj7C11
Animacja przedstawia różne czworokąty. W każdym należy przesunąć jeden wierzchołek tak, aby powstał trapez równoramienny.

Zasób interaktywny dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/a/DSiEtjsnu

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Ćwiczenie 1

Zapoznaj się z poniższą grafiką, na której zamieszczono różne wielokąty.

R15FfRHcgV6gn1
Rysunek dziewięciu różnych wielokątów.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Dane są następujące wielokąty: trapez o różnych ramionach, kwadrat, romb, który nie jest kwadratem i równoległobok, który nie jest prostokątem.

R1IRXmeNzWwPH
Zaznacz wszystkie zdania prawdziwe. Możliwe odpowiedzi: 1. Wszystkie figury są czworokątami., 2. Wszystkie figury mają boki równej długości., 3. Wszystkie figury mają dwa boki równej długości., 4. Wszystkie figury mają co najmniej jeden kąt prosty., 5. Wszystkie figury mają równe kąty., 6. Wszystkie figury mają dwie pary boków równoległych., 7. Wszystkie figury mają przynajmniej jedną parę boków równoległych.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Ćwiczenie 2

Na każdym rysunku trzy punkty są wierzchołkami trapezu. Zaznacz czwarty wierzchołek tak, aby trapez miał:

  1. ramiona różnej długości

  2. ramiona równej długości

  3. dolną podstawę dwa razy dłuższą od górnej

R1Rpo9LEyOTuD1
Dwa rysunki złożone z trzech punktów.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
RoBg0HSUclDaD
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
RK5dBPJV7SiHW
Ćwiczenie 2
Zaznacz wszystkie własności, które musi spełniać każdy trapez. Możliwe odpowiedzi: 1. Musi posiadać minimum dwie pary boków równoległych., 2. Musi być czworokątem., 3. Musi posiadać minimum jedną parę boków równoległych., 4. Musi mieć podstawy równej długości.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Ćwiczenie 3

Narysuj trapez, w którym podstawa górna ma długość 4 cm, dolna 10 cm, a ramiona mają długość 4 cm.

RZTOpZ5CsNppq
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Opisz jak skonstruować trapez, w którym podstawa górna ma długość 4 cm, dolna 10 cm, a ramiona mają długość 4 cm.

R1Tq0DWozVdSa
(Uzupełnij).
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Ćwiczenie 4

Narysuj trapez:

  1. w którym każde ramię ma długość 4 cm,

  2. w którym jedno ramię jest prostopadłe do obu podstaw.

W obu trapezach poprowadź przekątne, porównaj ich długości oraz zmierz wszystkie kąty.

R1496scEz2p84
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Dany jest trapez:

  1. w którym każde ramię ma długość 4 cm,

  2. w którym jedno ramię jest prostopadłe do obu podstaw.

W obu trapezach poprowadzono przekątne. Zastanów się jak mają się do siebie ich długości oraz jakie kąty ma ten trapez.

R1LGXFOwmtzWK1
Uzupełnij zdania, przeciągając w luki odpowiednie słowa lub kliknij w lukę i wybierz odpowiedź z listy rozwijalnej. W trapezie, którego ramiona są równej długości, kąty leżące przy tej samej podstawie mają 1. równej długości, 2. równe miary, 3. różne miary, 4. różnej długości, 5. ostre, 6. różnej długości, 7. równej długości, 8. rozwarte, 9. proste, a przekątne są 1. równej długości, 2. równe miary, 3. różne miary, 4. różnej długości, 5. ostre, 6. różnej długości, 7. równej długości, 8. rozwarte, 9. proste.W trapezie, którego jedno ramię jest prostopadłe do obu podstaw, dwa kąty są 1. równej długości, 2. równe miary, 3. różne miary, 4. różnej długości, 5. ostre, 6. różnej długości, 7. równej długości, 8. rozwarte, 9. proste, a przekątne 1. równej długości, 2. równe miary, 3. różne miary, 4. różnej długości, 5. ostre, 6. różnej długości, 7. równej długości, 8. rozwarte, 9. proste długości.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Ćwiczenie 5

Narysuj  brakujący wierzchołek czworokąta tak, aby powstał:

  1. trapez prostokątny,

    RZkjGkktYl5ul1
    Dwa rysunki złożone z trzech punktów.
    Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

  2. trapez równoramienny.

    R103sYOMPKhKF1
    Dwa rysunki złożone z trzech punktów.
    Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
RVOPzjsJQ8YHz
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
RnoQrqmA2lkuN
Ćwiczenie 5
Które własności spełnia każda figura, która jest trapezem równoramiennym? Zaznacz wszystkie poprawne odpowiedzi. Możliwe odpowiedzi: 1. Figura jest czworokątem., 2. Figura ma przynajmniej jedną parę boków równoległych., 3. Figura ma przekątne równej długości., 4. Figura ma wszystkie boki równej długości., 5. Figura ma przynajmniej jeden kąt prosty.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Kąty w trapezie – zadania

1
Polecenie 2

Oblicz miary pozostałych kątów w trapezie równoramiennym.

Rybqwf8yaVMM71
Aplet Geogebry

Zasób interaktywny dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/a/DSiEtjsnu

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
RSwLotJyQbhgN
Dany jest trapez równoramienny, który ma kąty alfa i BETA przy jednym ramieniu oraz kąty GAMMA i DELTA przy drugim ramieniu. W tym trapezie kąty alfa i GAMMA leżą przy krótszej podstawie, a kąty BETA i DELTA leżą przy dłuższej podstawie. Dana jest miara jednego kąta. Oblicz miary pozostałych kątów tego trapezu równoramiennego. Uzupełnij poniższe zdania, wpisując w luki odpowiednie liczby. Jeżeli w tym trapezie miara kąta DELTA wynosi czterdzieści pięć stopni, to miara kąta alfa wynosi Tu uzupełnijstopień, miara kąta BETA wynosi Tu uzupełnijstopień i miara kąta GAMMA wynosi Tu uzupełnijstopień. Jeżeli w tym trapezie miara kąta alfa wynosi sto dziesięć stopni, to miara kąta BETA wynosi Tu uzupełnijstopień, miara kąta GAMMA wynosi Tu uzupełnijstopień i miara kąta GAMMA wynosi Tu uzupełnijstopień. Jeżeli w tym trapezie miara kąta BETA wynosi sześćdziesiąt stopni, to miara kąta alfa wynosi Tu uzupełnijstopień, miara kąta GAMMA wynosi Tu uzupełnijstopień i miara kąta DELTA wynosi Tu uzupełnijstopień.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Ćwiczenie 6
R1G0hbV8tTmJf1
Uzupełnij zdania wpisując w pola miary kątów. Kąt ostry trapezu prostokątnego ma miarę trzydzieści osiem stopni. Kąt rozwarty tego trapezu ma miarę Tu uzupełnijstopień.Kąt ostry trapezu równoramiennego ma miarę dziewiętnaście stopni. Kąt rozwarty tego trapezu ma miarę Tu uzupełnijstopień.Kąt rozwarty trapezu równoramiennego ma miarę sto dwadzieścia trzy stopnie. Kąt ostry tego trapezu ma miarę Tu uzupełnijstopień.Jeden z kątów trapezu prostokątnego ma miarę sto pięćdziesiąt cztery stopnie. Kat ostry tego trapezu ma miarę Tu uzupełnijstopień.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
RjNdRPil0iF8S1
Ćwiczenie 7
Jakie to trapezy? Uzupełnij zdania, przeciągając w luki odpowiednie słowa lub kliknij w lukę i wybierz odpowiedź z listy rozwijalnej. Trapez o kątach trzydzieści pięć stopni, trzydzieści pięć stopni i sto czterdzieści pięć stopni jest trapezem 1. prostokątnym, 2. prostokątnym, 3. prostokątnym, 4. różnoramiennym, 5. różnoramiennym, 6. równoramiennym, 7. równoramiennym, 8. różnoramiennym, 9. równoramiennym, 10. prostokątnym.Trapez o kątach sto dwadzieścia pięć stopni, pięćdziesiąt pięć stopni i sto dwadzieścia pięć stopni jest trapezem 1. prostokątnym, 2. prostokątnym, 3. prostokątnym, 4. różnoramiennym, 5. różnoramiennym, 6. równoramiennym, 7. równoramiennym, 8. różnoramiennym, 9. równoramiennym, 10. prostokątnym.Trapez o kątach czterdzieści pięć stopni, siedemdziesiąt pięć stopni i sto trzydzieści pięć stopni jest trapezem 1. prostokątnym, 2. prostokątnym, 3. prostokątnym, 4. różnoramiennym, 5. różnoramiennym, 6. równoramiennym, 7. równoramiennym, 8. różnoramiennym, 9. równoramiennym, 10. prostokątnym.Trapez o kątach trzydzieści stopni, dziewięćdziesiąt stopni i sto pięćdziesiąt stopni jest trapezem 1. prostokątnym, 2. prostokątnym, 3. prostokątnym, 4. różnoramiennym, 5. różnoramiennym, 6. równoramiennym, 7. równoramiennym, 8. różnoramiennym, 9. równoramiennym, 10. prostokątnym.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Ćwiczenie 8

Zapoznaj się z trapezami przedstawionymi na poniższym rysunku.

R1dgldpoCUNwx1
Rysunek trzech trapezów. Trapez A o podstawach długości 12 cm i 36 cm oraz ramionach 25 cm i 30 cm. Trapez B o podstawach długości 3 m i 8 m oraz ramionach 6 m i 4 m. Trapez C o podstawach długości 2 dm i 9 dm oraz ramionach 5 dm i 11 dm.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
RDrEsSmSEEIiS
Jakie obwody mają te trapezy? Uzupełnij poniższe zdania, wpisując w luki odpowiednie liczby. Obwód trapezu a wynosi Tu uzupełnij cm.Obwód trapezu b wynosi Tu uzupełnij m.Obwód trapezu c wynosi Tu uzupełnij dm.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Ćwiczenie 9
RF3WPxN0KqnMt1
Uzupełnij poniższe zdania, wpisując w luki odpowiednie liczby. Obwód trapezu, którego podstawa dolna ma sześć cm, podstawa górna jest dwa razy dłuższa, a ramiona mają długości pięć cm i siedem cm wynosi Tu uzupełnij cm. Obwód trapezu równoramiennego o ramieniu długości osiem cm, podstawie dolnej równej dwa cm i górnej dziesięć cm wynosi Tu uzupełnij cm. Obwód trapezu równoramiennego wynosi trzydzieści dziewięć cm, a podstawy mają długości dziewięć cm i sześć cm. Długość ramienia tego trapezu wynosi Tu uzupełnij cm. Obwód trapezu równoramiennego wynosi pięćdziesiąt osiem cm. Suma długości podstaw jest równa czterdzieści cm. Długość ramienia trapezu wynosi Tu uzupełnij cm.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
R1erxH2pORXtR1
Ćwiczenie 10
Zaznacz wszystkie zdania prawdziwe. Możliwe odpowiedzi: 1. Każdy prostokąt jest trapezem., 2. Każdy kwadrat jest trapezem prostokątnym., 3. Każdy romb jest trapezem., 4. Każdy trapez prostokątny jest prostokątem., 5. W trapezie równoramiennym przekątne są różnej długości., 6. W trapezie suma miar kątów przy tej samej podstawie wynosi sto osiemdziesiąt stopni.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Ćwiczenie 11
R1Et9gdbMchzh1
Uzupełnij poniższe odpowiedzi, wpisując w luki odpowiednie liczby. Trapez zbudowany jest z trzech trójkątów równobocznych o boku długości sześć cm. Odpowiedź: Obwód tego trapezu wynosi Tu uzupełnij cm. Trapez zbudowany jest z kwadratu o boku sześć cm i trójkąta prostokątnego, którego dwa boki mają długości dziesięć cm i osiem cm. Odpowiedź: Obwód tego trapezu wynosi Tu uzupełnij cm.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Notatnik

Możesz skorzystać z poniższego pola tekstowego do zapisania swoich notatek, rozwiązań zadań i innych informacji, które uważasz za potrzebne.

R1b8OvSPUG8s3
(Uzupełnij).
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
6. Własności rombu
8. Klasyfikacja czworokątów