4. Pole równoległoboku i rombu

R4MPJUMZitjX2

Wiele płytek ma kształt rombu. Układa sie z nich przeróżne mozaiki.

RTDPcV2aOrIqd

Ilustracja przedstawia mozaiki z płytkami w kształcie rombu. — Źródło: dostępny w internecie: www.pixabay.com, domena publiczna.

Warto wiedzieć ile należy zakupić materiału, aby wystarczyło na konkretną powierzchnię.

W tym materiale zawarte są informacje dotyczące pól różnych równoległoboków oraz rombów.

Pole równoległoboku – wzór

Przykład 1

Wytnij z papieru w kratkę równoległobok niebędący prostokątem. Rozetnij go na dwie części tak, aby można z nich było ułożyć prostokąt. Ułóż z tych części prostokąt. Jak ma się pole wyciętego równoległoboku do ułożonego prostokąta?

Odpowiedź:

Pole powierzchni wyciętego równoległoboku będzie takie samo jak ułożonego prostokąta.

RChO1knd1qfdV1

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ważne!

Pole równoległoboku obliczamy, mnożąc długość podstawy równoległoboku przez wysokość opuszczoną na tę podstawę.

R16BDUrgowPai1

Rysunek równoległoboku o jednym boku równym a i wysokości opuszczonej na ten bok równej h. Zapis: P =a razy h. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Przykład 2

W równoległoboku narysowano wysokości i zmierzono je linijką. Następnie obliczono dwoma sposobami pole równoległoboku.

RXxBNPgr1gMkQ1

Rysunek równoległoboku, w którym poprowadzono wysokość h =2,5 cm opuszczoną na bok a =2cm oraz wysokość g =1,6 cm opuszczoną na bok b =3,2 cm. Obok równoległoboku znajdują się zapisy: P=2 cm razy 2,5 cm = 5 centymetrów kwadratowych oraz P= 3,2 cm razy 1,6 cm = 5,12 centymetra kwadratowego. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Otrzymane wyniki różnią się. Wynika to z małej dokładności pomiaru wysokości $g$ równoległoboku.

Pole rombu – wzór

Ważne!

Ponieważ romb jest równoległobokiem, jego pole obliczamy tak, jak pole równoległoboku.

R1ZEh5yThWlNS1

Rysunek rombu o boku a i wysokości h. Zapis: P = a razy h. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Zapoznaj się z poniższą animacją.

RkQOCp3yMzwaV1

Pole rombu

Reguła: Pole rombu

Pole rombu jest połową iloczynu długości jego przekątnych.

RLi9JJlVa8PYv1

Rysunek rombu z zaznaczonymi przekątnymi e i f. Zapis: P = ułamek, licznik e razy f mianownik 2. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 1

Oblicz pola równoległoboków przedstawionych na rysunku. Długość boku jednej kratki wynosi $1$ .

RaziSC4Y9XKs11

Rysunki czterech różnych równoległoboków. Równoległobok A to prostokąt o wymiarach 3 kratki na 5 kratek, równoległobok B wygląda jak prostokąt przechylony w lewo, ma podstawę długości trzech kratek i wysokość pięciu kratek, równoległobok C wygląda jak prostokąt przechylony delikatnie w prawo, ma podstawę długości trzech kratek i wysokość pięciu kratek, równoległobok D wygląda jak prostokąt przechylony mocno w prawo, ma podstawę długości trzech kratek i wysokość pięciu kratek. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R7STR6ggTJiCv

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 2

Zapoznaj się z poniższą ilustracją.

RoK9ZNbI5ZAXw1

Rysunki czterech różnych równoległoboków, zbudowanych między dwiema prostymi równoległymi w taki sposób, że każdy równoległobok ma parę boków znajdujących się na tych prostych. Pierwszy równoległobok jest przechylony w prawo, a jego boki znajdujące się na prostych mają długość trzech kratek, w drugim równoległoboku sąsiadujące boki są do siebie prostopadłe, a jego boki znajdujące się na prostych mają długość dwóch kratek, trzeci równoległobok jest przechylony w prawo, a jego boki znajdujące się na prostych mają długość trzech kratek, czwarty równoległobok jest przechylony w lewo, a jego boki znajdujące się na prostych mają długość trzech kratek. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R19cT5YDBc3R1

Wszystkie te równoległoboki mają jednakowe pola powierzchni.
Wśród tych równoległoboków nie ma kwadratu.
Wszystkie te równoległoboki mają jednakową wysokość.
Wśród tych równoległoboków nie ma prostokąta.

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 3

RVQBWckbrmCCU

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R1EjoV1vLNcQU

Uzupełnij zdania, przeciągając w luki odpowiednie wielkości pól lub kliknij w lukę i wybierz odpowiedź z listy rozwijalnej. Równoległobok o podstawie długości

3 cm

i wysokości

3 cm

ma pole równe 1.

12 {cm}^{2}

, 2.

9 {cm}^{2}

, 3.

8 {cm}^{2}

, 4.

10 {cm}^{2}

, 5.

15 {cm}^{2}

.Równoległobok o podstawie długości

3 cm

i wysokości

4 cm

ma pole równe 1.

12 {cm}^{2}

, 2.

9 {cm}^{2}

, 3.

8 {cm}^{2}

, 4.

10 {cm}^{2}

, 5.

15 {cm}^{2}

.Równoległobok o podstawie długości

3 cm

i wysokości

5 cm

ma pole równe 1.

12 {cm}^{2}

, 2.

9 {cm}^{2}

, 3.

8 {cm}^{2}

, 4.

10 {cm}^{2}

, 5.

15 {cm}^{2}

.Równoległobok o podstawie długości

2 cm

i wysokości

4 cm

ma pole równe 1.

12 {cm}^{2}

, 2.

9 {cm}^{2}

, 3.

8 {cm}^{2}

, 4.

10 {cm}^{2}

, 5.

15 {cm}^{2}

.Równoległobok o podstawie długości

2 cm

i wysokości

5 cm

ma pole równe 1.

12 {cm}^{2}

, 2.

9 {cm}^{2}

, 3.

8 {cm}^{2}

, 4.

10 {cm}^{2}

, 5.

15 {cm}^{2}

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 4

W każdym równoległoboku zaznaczono kolorem jedną wysokość. Oblicz pola równoległoboków.

R10XoZ1JKg8b41

Rysunki czterech równoległoboków, w których podane wysokości są opuszczone do danego boku. Pierwszy równoległobok o boku długości 3,6 dm i wysokości 15 cm. Drugi równoległobok o boku długości 14 cm i wysokości 1,2 dm. Trzeci równoległobok o boku długości 1,6 dm i wysokości 5 cm. Czwarty równoległobok o boku długości 1 dm i wysokości 24 cm. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RdbmXenAJif87

Połącz równoległoboki z odpowiadającymi im polami. równoległobok

a

Możliwe odpowiedzi: 1.

2,4 {dm}^{2}

, 2.

168 {cm}^{2}

, 3.

540 {cm}^{2}

, 4.

0,8 {dm}^{2}

równoległobok

b

Możliwe odpowiedzi: 1.

2,4 {dm}^{2}

, 2.

168 {cm}^{2}

, 3.

540 {cm}^{2}

, 4.

0,8 {dm}^{2}

równoległobok

c

Możliwe odpowiedzi: 1.

2,4 {dm}^{2}

, 2.

168 {cm}^{2}

, 3.

540 {cm}^{2}

, 4.

0,8 {dm}^{2}

równoległobok

d

Możliwe odpowiedzi: 1.

2,4 {dm}^{2}

, 2.

168 {cm}^{2}

, 3.

540 {cm}^{2}

, 4.

0,8 {dm}^{2}

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 5

Przerysuj równoległoboki. Oblicz pole równoległoboku dwoma sposobami. Wyniki mogą różnić się między sobą. Wyjaśnij, dlaczego.

Na rysunku znajdują się równoległoboki, których podstawy i wysokości zmierzono linijką. Oblicz pola równoległoboków z rysunków na dwa sposoby. Wyniki mogą różnić się między sobą. Wyjaśnij, dlaczego.

Ruaq9QsRyIXSv1

Rysunki czterech różnych równoległoboków. Równoległobok A ma bok długości 2,5 cm i opadającą na niego wysokość długości 1,5 cm oraz drugi bok długości 2,1 cm i opadającą na niego wysokość długości 1,8 cm. Równoległobok B ma bok długości 1cm i opadającą na niego wysokość długości 2 cm oraz drugi bok długości 2,2 cm i opadającą na niego wysokość długości 0,9 cm. Równoległobok C ma bok długości 1 cm i opadającą na niego wysokość długości 2,5 cm oraz drugi bok długości 3,5 cm i opadającą na niego wysokość długości 0,7 cm. Równoległobok D ma bok długości 1 cm i opadającą na niego wysokość długości 2 cm oraz drugi bok długości 2,2 cm i opadającą na niego wysokość długości 0,9 cm. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R5gKKeFPMhqJb1

Rysunki czterech różnych równoległoboków z zaznaczonymi wszystkimi wysokościami i długościami boków. Podane pola figur. Rozwiązanie zadania. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Pole równoległoboku $A$ , licząc je dla podstawy długości $2, 5 cm$ , to $3, 75 {cm}^{2}$ , a dla podstawy długości $2, 1 cm$ to $3, 78 {cm}^{2}$ . Pole równoległoboku $B$ , licząc je dla podstawy długości $1 cm$ , to $2 {cm}^{2}$ , a dla podstawy długości $2, 2 cm$ to $1, 98 {cm}^{2}$ . Pole równoległoboku $C$ , licząc je dla podstawy długości $1 cm$ , to $2, 5 {cm}^{2}$ , a dla podstawy długości $3, 5 cm$ to $2, 45 {cm}^{2}$ . Pole równoległoboku $D$ , licząc je dla podstawy długości $1 cm$ , to $2 {cm}^{2}$ , a dla podstawy długości $2, 2 cm$ to $1, 98 {c m}^{2}$ .

Różnica w wynikach to rezultat niedokładnego pomiaru linijką.

Ważne!

Dokładność pomiarów ma wpływ na wynik.

Ćwiczenie 6

Oblicz pole równoległoboku przedstawionego na rysunku $I$ . Skorzystaj ze wskazówki przedstawionej na rysunku $II$ . Za jednostkę pola przyjmij najmniejszy kwadrat wyznaczony przez linie siatki.

R1exEGbvuXiyK1

Rysunki dwóch takich samych równoległoboków. Na pierwszym rysunku równoległobok, którego długości boków nie można odczytać bezpośrednio z rysunku. Na drugim rysunku znajduje się taki sam równoległobok, na zewnątrz tego równoległoboku, poprowadzone są odcinki, które tworzą prostokąt o wymiarach pięć kratek na siedem kratek. Na jego bokach leżą wierzchołki równoległoboku. Drugi równoległobok podzielony jest na cztery trójkąty prostokątne, dwa o przyprostokątnych długości trzech kratek i czterech kratek, dwa o przyprostokątnych długości jednej kratki i czterech kratek oraz jeden prostokąt o wymiarach trzy kratki na jedną kratkę. Rysunek ułatwia obliczenie pola równoległoboku. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Narysuj w zeszycie w kratkę inny równoległobok o wierzchołkach w punktach kratowych. Oblicz jego pole w taki sposób, jak w punkcie 1.

2. Zaproponuj inny równoległobok o wierzchołkach w punktach kratowych. Oblicz jego pole w taki sposób, jak w punkcie 1.

$19$

Ćwiczenie 7

Rozwiązując to zadanie, dowiesz się między innymi, jak można doświadczalnie wyznaczyć pole dowolnego czworokąta.
Wytnij taki czworokąt, który nie jest trapezem i którego każdy bok ma inną długość. Zaznacz środki boków tego czworokąta i połącz je tak, jak na rysunku. Rozetnij czworokąt wzdłuż narysowanych linii. Z otrzymanych czterech czworokątów ułóż równoległobok. Zmierz długości odpowiednich odcinków i oblicz pole otrzymanego równoległoboku.

RvPjTuQAvZGQF1

Rysunek czworokąta, którego każdy bok jest różnej długości. Środki przeciwległych boków czworokąta są połączone i dzielą figurę na cztery części. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Zastanów się, które kąty czworokątów będą kątami równoległoboku. Na wyciętych elementach oznacz je literami $α$ i $β$ .

R1WBlS0da5nqr

Ćwiczenie 8

Oblicz pole rombu. o wysokości

4 cm

i o boku długości

7 cm

Możliwe odpowiedzi: 1.

154 {dm}^{2}

, 2.

168 {cm}^{2}

, 3.

152 {dm}^{2}

, 4.

28 {cm}^{2}

o boku długości

21 cm

i wysokości

8 cm

Możliwe odpowiedzi: 1.

154 {dm}^{2}

, 2.

168 {cm}^{2}

, 3.

152 {dm}^{2}

, 4.

28 {cm}^{2}

o wysokości

14 dm

i o boku długości

11 dm

Możliwe odpowiedzi: 1.

154 {dm}^{2}

, 2.

168 {cm}^{2}

, 3.

152 {dm}^{2}

, 4.

28 {cm}^{2}

o boku długości

19 dm

i wysokości

8 dm

Możliwe odpowiedzi: 1.

154 {dm}^{2}

, 2.

168 {cm}^{2}

, 3.

152 {dm}^{2}

, 4.

28 {cm}^{2}

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R1AcdqdcTGfTf

Ćwiczenie 9

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 10

Oblicz pola danych rombów. Za jednostkę pola przyjmij najmniejszy kwadrat utworzony przez linie siatki.

RCny54HncTeYP1

Rysunki czterech rombów. Pierwszy romb ma przekątne długości 8 i 4. Drugi romb ma przekątne długości 4 i 4. Trzeci romb ma przekątne długości 2 i 6. Czwarty romb ma przekątne długości 10 i 6. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R1GEe1M83jYvX

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 11

Oblicz pola danych rombów. Wynik podaj w centymetrach kwadratowych.

RoRDG0PqNEhJt1

Rysunki czterech rombów. Pierwszy romb ma przekątne długości 0,6 dm i 12 cm. Drugi romb ma przekątne długości 7,8 cm i 3,2 cm. Trzeci romb ma przekątne długości 0,82 dm i 8,2 cm. Czwarty romb ma przekątne długości 20 dm i 18 dm. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R16VjwqOvWPXD

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 12

Przekątne większych rombów mają długości $8$ i $4$ . Przekątne kwadratów mają długość $4$ . Oblicz pole niebieskiej figury, złożonej ze wszystkich rombów.

RC59oHCLU3hOr1

Rysunek niebieskiej figury zbudowanej z różnych wielokątów. Jest ona zbudowana z siedmiu większych rombów oraz dwóch kwadratów. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

REEGLIr4M8st7

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R1S8JV5bVphuZ

Ćwiczenie 13

Pole rombu jest równe iloczynowi długości boku i długości wysokości.
Pole kwadratu jest równe połowie iloczynu długości jego przekątnych.
Pole dowolnego równoległoboku jest równe połowie iloczynu długości jego przekątnych.
Pole rombu jest równe połowie iloczynu długości jego przekątnych.

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 14

R6HojPW87TSaT

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 15

RJlXg3OnmBuAe

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 16

Wysokość rombu o przekątnych długości $12 dm$ i $6 dm$ jest równa $5 dm$ . Oblicz, ile wynosi długość boku tego rombu.

RmjsJ2B9dw9PB1

Rysunek rombu o wysokości h =5 dm. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RESB2ueGW50RO

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Notatnik

Możesz skorzystać z poniższego pola tekstowego do zapisania swoich notatek, rozwiązań zadań i innych informacji, które uważasz za potrzebne.

R1b8OvSPUG8s3

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

3. Pole trójkąta

5. Pole trapezu