1. Stosowanie prostych wzorów

RUNQvlsFK7qn1

Obliczanie temperatur

Na świecie stosuje się różne jednostki temperatury. W Polsce podajemy temperaturę w stopniach Celsjusza. W Stanach Zjednoczonych i kilku mniejszych krajach Ameryki oficjalną skalą temperatury jest skala Fahrenheita. W Kanadzie i Wielkiej Brytanii stosuje się zarówno stopnie Celsjusza, jak i Fahrenheita. Inną, podstawową jednostką temperatury jest kelwin. Skalę Kelvina stosuje się bardzo często w badaniach naukowych.

Przykład 1

Aby przeliczyć kelwiny na stopnie Celsjusza należy skorzystać ze wzoru: $t = T - 273, 15$ ,

gdzie:

$T$ – temperatura w kelwinach,
$t$ – temperatura w stopniach Celsjusza.

Na przykład, żeby zamienić $300 K$ na stopnie Celsjusza, wstawiamy do wzoru zamiast $T$ liczbę $300$ i wykonujemy odejmowanie.

t = 300 - 273

15 = 26, 85 ° C

Zatem

300 K=26,85°C

Aby przeliczyć stopnie Celsjusza na kelwiny należy skorzystać ze wzoru:

$T = t + 273, 15$ ,

gdzie

$T$ – temperatura w kelwinach,
$t$ – temperatura w stopniach Celsjusza.

Na przykład, żeby zamienić $100 ° C$ , czyli temperaturę wrzenia wody, na kelwiny, wstawiamy do wzoru $t = 100$ i wykonujemy dodawanie.

T = 100 + 273, 15 = 373, 15 K

Zatem

100 ° C=373,15K

RsuUWU8L3TYfU

Ćwiczenie 1

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Rw05xWrs6I6fE

Ćwiczenie 2

Uzupełnij równości, przeciągając w luki odpowiednie liczby lub kliknij w lukę i wybierz odpowiedź z listy rozwijalnej. dwadzieścia stopni C, równa się 1. dwadzieścia siedem przecinek pięć, 2. dwadzieścia sześć przecinek osiem pięć, 3. dwieście dziewięćdziesiąt trzy przecinek jeden pięć, 4. trzysta trzy przecinek jeden pięć, 5. dwieście osiemdziesiąt trzy przecinek jeden pięć, 6. dwieście siedemdziesiąt trzy przecinek jeden pięć K 1. dwadzieścia siedem przecinek pięć, 2. dwadzieścia sześć przecinek osiem pięć, 3. dwieście dziewięćdziesiąt trzy przecinek jeden pięć, 4. trzysta trzy przecinek jeden pięć, 5. dwieście osiemdziesiąt trzy przecinek jeden pięć, 6. dwieście siedemdziesiąt trzy przecinek jeden pięć stopień C, równa się, trzysta K dziesięć stopni C, równa się 1. dwadzieścia siedem przecinek pięć, 2. dwadzieścia sześć przecinek osiem pięć, 3. dwieście dziewięćdziesiąt trzy przecinek jeden pięć, 4. trzysta trzy przecinek jeden pięć, 5. dwieście osiemdziesiąt trzy przecinek jeden pięć, 6. dwieście siedemdziesiąt trzy przecinek jeden pięć K 1. dwadzieścia siedem przecinek pięć, 2. dwadzieścia sześć przecinek osiem pięć, 3. dwieście dziewięćdziesiąt trzy przecinek jeden pięć, 4. trzysta trzy przecinek jeden pięć, 5. dwieście osiemdziesiąt trzy przecinek jeden pięć, 6. dwieście siedemdziesiąt trzy przecinek jeden pięć stopień C, równa się, trzysta przecinek sześć pięć K trzydzieści stopni C, równa się 1. dwadzieścia siedem przecinek pięć, 2. dwadzieścia sześć przecinek osiem pięć, 3. dwieście dziewięćdziesiąt trzy przecinek jeden pięć, 4. trzysta trzy przecinek jeden pięć, 5. dwieście osiemdziesiąt trzy przecinek jeden pięć, 6. dwieście siedemdziesiąt trzy przecinek jeden pięć K zero stopień C, równa się 1. dwadzieścia siedem przecinek pięć, 2. dwadzieścia sześć przecinek osiem pięć, 3. dwieście dziewięćdziesiąt trzy przecinek jeden pięć, 4. trzysta trzy przecinek jeden pięć, 5. dwieście osiemdziesiąt trzy przecinek jeden pięć, 6. dwieście siedemdziesiąt trzy przecinek jeden pięć K

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Przykład 2

Aby przeliczyć temperaturę w stopniach Celsjusza $(t)$ na temperaturę w stopniach Fahrenheita $(T)$ należy skorzystać ze wzoru: $T = \frac{9}{5} \cdot t + 32$ .

$36, 6 ° C$ to prawidłowa temperatura człowieka. Obliczmy, ile to stopni Fahrenheita.

T = \frac{9}{5} \cdot 36, 6 + 32 = \frac{329, 4}{5} + 32 = \frac{658, 8}{10} + 32 = 65, 88 + 32 = 97, 88 ° F

Prawidłowa temperatura ciała człowieka wynosi $97, 88 ° F$ .

ROL9TA0CTtj3B

Ćwiczenie 3

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R1Hn4HVi5xgXD

Ćwiczenie 4

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R1ZZpXQtHoaiH

Ćwiczenie 5

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ważne!

Aby policzyć średnią temperaturę jakiegoś okresu, należy zsumować wszystkie temperatury, a następnie otrzymaną sumę podzielić przez liczbę pomiarów.

T_{śr} = \frac{(T_{1} + T_{2} + \dots + T_{n})}{n}

Ćwiczenie 6

Tabela przedstawia temperatury w kolejnych dniach lipca.

Dzień	Temperatura $(° C)$
$9$	$21$
$10$	$17$
$11$	$20$
$12$	$25$
$13$	$22$
$14$	$21$
$15$	$23$
$16$	$24$
$17$	$29$
$18$	$34$
$19$	$31$
$20$	$25$
$21$	$28$
$22$	$32$
$23$	$28$

RT17hCvk2GQ7o

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Układanki i wzory

Przykład 3

Kasia układała z klocków prostopadłościany, za każdym razem dokładając do kolejnego prostopadłościanu jeden klocek. Z ilu klocków składały się poszczególne prostopadłościany?

R16zTC83HihoZ1

Rysunek czterech prostopadłościanów złożonych z klocków w kształcie sześcianów. Prostopadłościan A jest złożony z dwóch klocków, prostopadłościan B jest złożony z trzech klocków, prostopadłościan C jest złożony z czterech klocków, prostopadłościan D jest złożony z pięciu klocków. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Odpowiedź: $2$ , $3$ , $4$ , $5$ .

Z ilu klocków będzie się składać dziesiąty prostopadłościan?
A z ilu trzydziesty drugi?

Zauważ, że trzeci prostopadłościan składa się z $(3 + 1)$ klocków, a czwarty $(4 + 1)$ klocków.

Zależność pomiędzy numerem prostopadłościanu a liczbą klocków wykorzystanych do jej budowy można zapisać za pomocą wzoru:

k = n + 1

Poszczególne litery występujące we wzorze oznaczają:

$k$ – liczba klocków w prostopadłościanie
$n$ – numer prostopadłościanu

Odpowiedź:

Dziesiąty prostopadłościan składa się z $11$ klocków.
Trzydziesty drugi prostopadłościan składa się z $33$ klocków.

RNwWAi66oEL6X

Ćwiczenie 7

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RdMa3LKlp59uW

Ćwiczenie 8

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R1LZteRm0taOc

Ćwiczenie 8

Połącz wzory na

n

-ty etap budowy figury z zapałek z opisaną konstrukcją budowy.

5 n + 1

Możliwe odpowiedzi: 1. Pierwszy etap to kwadrat zbudowany z czterech zapałek, w drugim etapie nadbudowujemy kolejny kwadrat wykorzystując jeden z boków, czyli wykorzystujemy trzy zapałki. Tak wygląda konstrukcja każdego kolejnego etapu., 2. , 3. , 4.

4 n^{2}

4 n - 1

3 n + 1

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 9

Amelia i Tomek układają figury z zapałek według pewnych reguł. Amelia tworzy kolejne figury tak, jak na rysunku poniżej.

RGECh68jFs2zx

Rysunek przedstawia etap budowy figury z zapałek według Amelii. Pierwszy etap przedstawia pięciokąt zbudowany z pięciu zapałek. W kolejnym etapie zostaje dobudowany taki sam pięciokąt w taki sposób, aby dotykał się z pierwszym w jednym z wierzchołków. Każdy kolejny etap konstrukcji wygląda dokładnie tak samo jak drugi.. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Tomek tworzy kolejne figury tak, jak na rysunku poniżej.

R1D5XNjOS4zfG

Rysunek przedstawia etap budowy figury z zapałek według Tomka. Pierwszy etap przedstawia pięciokąt zbudowany z pięciu zapałek. W kolejnym etapie zostaje dobudowany taki sam pięciokąt na jednym z boków istniejącego już pięciokąta. Do jego budowy zostały użyte cztery zapałki. Każdy kolejny etap konstrukcji wygląda dokładnie tak samo jak drugi. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Odkryj regułę według której Amelia buduje kolejne figury. Narysuj figurę o numerze $IV$ . Zapisz wzór na liczbę zapałek $(z)$ potrzebnych do zbudowania figury o numerze $n$ .
Odkryj regułę według której Tomek buduje kolejne figury. Narysuj figurę o numerze $IV$ . Zapisz wzór na liczbę zapałek $(z)$ potrzebnych do zbudowania figury o numerze $n$ .

R1CbXMk2wqLAt

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Przykładowa odpowiedź:

$z = 5 n$ Liczba zapałek potrzebna do budowy kolejnych figur: $5$ , $10$ , $15$ , $20$ , $\dots$ .
$z = 4 n + 1$ Liczba zapałek potrzebna do budowy kolejnych figur: $5$ , $9$ , $13$ ,
$17$ , $\dots$ .

Notatnik

Możesz skorzystać z poniższego pola tekstowego do zapisania swoich notatek, rozwiązań zadań i innych informacji, które uważasz za potrzebne.

R1b8OvSPUG8s3

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

2. Rozwiązywanie równań metodami niealgebraicznymi

Elementy algebry