Odgadniemy liczbę $x$ spełniającą równanie

• Szukana liczba musi być mniejsza od $10$ (bo jej suma z liczbą $3$ jest równa $10$).

• Musi być liczbą nieparzystą (liczba $10$ jest parzysta, więc suma liczby $3$ i liczby $x$ też musi być parzysta).

• Liczba $3$ jest mniejsza od połowy liczby $10$, więc szukana liczba musi być większa od połowy liczby $10$, czyli od $5$.

• Liczby „podejrzane” o to, że spełniają równanie to $7$ i $9$.

• Sprawdzamy, czy liczba $7$ jest rozwiązaniem równania.

Stwierdzamy, że liczba $7$ jest szukanym rozwiązaniem.

Odpowiedź:
$x=7$.

Znajdziemy liczbę $x$ spełniającą równanie $8·x=72$.
Pytamy – przez jaką liczbę trzeba pomnożyć $8$, aby otrzymać $72$. Korzystając z tabliczki mnożenia ustalamy, że szukana liczba to $9$.

R1VGNp568U3C1

Ilustracja

$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$	$7$	$8$	$9$	$10$
$2$	$4$	$6$	$8$	$10$	$12$	$14$	$16$	$18$	$20$
$3$	$6$	$9$	$12$	$15$	$18$	$21$	$24$	$27$	$30$
$4$	$8$	$12$	$16$	$20$	$24$	$28$	$32$	$36$	$40$
$5$	$10$	$15$	$20$	$25$	$30$	$35$	$40$	$45$	$50$
$6$	$12$	$18$	$24$	$30$	$36$	$42$	$48$	$54$	$60$
$7$	$14$	$21$	$28$	$35$	$42$	$49$	$56$	$63$	$70$
$8$	$16$	$24$	$32$	$40$	$48$	$56$	$64$	$72$	$80$
$9$	$18$	$27$	$36$	$45$	$54$	$63$	$72$	$81$	$90$
$10$	$20$	$30$	$40$	$50$	$60$	$70$	$80$	$90$	$100$

Odpowiedź:
$x=9$.

Rozwiążemy graficznie równanie $x+2=8$.
Oznaczmy niebieskie prostokąty jako $x$, a każdy kwadrat jako $1$.

RUOediVN9bIyZ

Ilustracja przedstawia schematycznie równanie. Prostokąt jest oznaczony jako iks, a kwadrat jako jeden. Równanie: prostokąt i dwa kwadraty są równe ośmiu kwadratom czyli iks plus dwa równa się osiem. Następnie dochodzi do skreślenia dwóch kwadratów z lewej i prawej strony równania. Wówczas prostokąt równa się sześciu kwadratom, czyli iks równa się sześć.

Odpowiedź:
Rozwiązaniem równania jest liczba $6$.

Rozwiążemy graficznie równanie $x-3=2$.
Lewą stronę równania zapisujemy w postaci sumy.

R109wDB9PjQWD

Ilustracja przedstawia schematycznie równanie. Prostokąt jest oznaczony jako iks, zielony kwadrat jako minus jeden a różowy kwadrat jako jeden. Równanie: prostokąt i trzy zielone kwadraty są równe dwóm różowym kwadratom. Zapis równania iks plus otwarcie nawiasu minus trzy zamknięcie nawiasu równa się dwa.

Do obu stron równania dodajemy $3$, bo suma liczb przeciwnych jest równa $0$.

R1CNGCSswARq7

Ilustracja przedstawia schematycznie równanie. Prostokąt jest oznaczony jako iks, zielony kwadrat jako minus jeden a różowy kwadrat jako jeden. Równanie: prostokąt, trzy zielone kwadraty oraz trzy różowe kwadraty są równe pięciu różowym kwadratom. Zapis równania iks plus otwarcie nawiasu minus trzy zamknięcie nawiasu plus trzy równa się dwa plus trzy.

RzPrgnHnbcJcX

Ilustracja przedstawia schematycznie równanie. Prostokąt jest oznaczony jako iks, zielony kwadrat jako minus jeden a różowy kwadrat jako jeden. Równanie: prostokąt, trzy zielone kwadraty oraz trzy różowe kwadraty są równe pięciu różowym kwadratom. Dochodzi do skreślenie trzech zielonych i trzech różowych kwadratów po lewej stronie równania. Pod spodem zapisano minus trzy plus trzy równa się zero.

Rpk5BikD6KTKQ

Ilustracja przedstawia schematycznie równanie. Prostokąt jest oznaczony jako iks, różowy kwadrat jako jeden. Równanie: prostokąt równa się pięciu różowym kwadratom.

Z rysunku odczytujemy, że rozwiązaniem równania jest liczba $5$.

Rozwiążemy graficznie równanie $x+3=2+x$.

R3jT5GM95IY9n

Ilustracja przedstawia schematycznie równanie. Sześciokąt jest oznaczony jako iks, a trójkąt jako jeden. Równanie: sześciokąt i trzy trójkąty jest równy dwóm trójkątom i jednemu sześciokątowi.

Od każdej ze stron równania odejmujemy wspólny element – czyli sześciokąt.

R1dXPzl5fBOsD

Ilustracja przedstawia schematycznie równanie. Zielony trójkąt jest oznaczony jako jeden. Równanie: Trzy trójkąty są równe dwóm trójkątom. Zapis równania: iks plus trzy minus iks równa się iks plus dwa minus iks. Pod spodem trzy równa się dwa.

Po lewej stronie znaku równości znajdują się trzy trójkąty, a po prawej dwa.
Otrzymaliśmy równość fałszywą. Równanie nie ma rozwiązania.

Rozwiążemy równanie $3x+5=x+11$.
Zilustrujemy równanie, które mamy rozwiązać.

R1TlpD2y5xTTC

Ilustracja przedstawia schematycznie równanie. Prostokąt jest oznaczony jako iks, a kwadrat jako jeden. Równanie trzy prostokąty i pięć kwadratów jest równe jednemu prostokątowi i jedenastu kwadratom. Zapis równania: trzy iks plus pięć równa się iks plus jedenaście.

Zauważmy, że na rysunku po obu stronach znaku równości znajduje się pięć kwadratów. Zaczynamy od usunięcia ich.

RHkaCcXJErsDs

Ilustracja przedstawia schematycznie równanie. Prostokąt jest oznaczony jako iks, a kwadrat jako jeden. Równanie trzy prostokąty i pięć kwadratów jest równe jednemu prostokątowi i jedenastu kwadratom. Skreślono pięć kwadratów po każdej stronie równania. Zapis równania: trzy iks plus pięć minus pięć równa się iks plus jedenaście minus pięć.

RD9ugbHzspYHp

Ilustracja przedstawia schematycznie równanie. Prostokąt jest oznaczony jako iks, a kwadrat jako jeden. Równanie trzy prostokąty równają się jednemu prostokątowi i sześciu kwadratom. Zapis równania: trzy iks równa się iks plus sześć.

Teraz usuwamy z obu stron równania po jednym prostokącie oznaczonym jako $x$.

RmzpeZ3pa6eFO

lustracja przedstawia schematycznie równanie. Prostokąt jest oznaczony jako iks, a kwadrat jako jeden. Równanie trzy prostokąty równają się jednemu prostokątowi i sześciu kwadratom. Po każdej stronie równania skreślono po jednym prostokącie. Zapis równania: trzy iks minus iks równa się iks plus sześć minus iks.

R1KFQjHLFMRlA

lustracja przedstawia schematycznie równanie. Prostokąt jest oznaczony jako iks, a kwadrat jako jeden. Równanie dwa prostokąty równają się sześciu kwadratom. Zapis równania: dwa iks równa się sześć.

Po lewej stronie równania znajdują się dwa jednakowe prostokąty, zatem i po prawej stronie powinny znaleźć się dwa jednakowe zestawy kwadratów. Każdą ze stron dzielimy na dwie jednakowe części.

Ro0PQIr2m0HVF

Ilustracja przedstawia schematycznie równanie. Prostokąt jest oznaczony jako iks, a kwadrat jako jeden. Równanie dwa prostokąty równają się sześciu kwadratom. Kwadraty po prawej stronie podzielono na dwie grupy po trzy kwadraty. Od każdego prostokąta odchodzi jedna strzałka prowadząca do jednej grupy kwadratów. Zapis równania: dwa iks podzielić na dwa równa się sześć podzielić na dwa. W następnej linii iks równe trzy.

Odpowiedź:
Rozwiązaniem równania jest liczba $3$.

Rozwiążemy równanie $x·4=96$.
Tworzymy graf, ilustrujący równanie.

RNAghL6aWEMVt

Ilustracja przedstawia graf. Od niewiadomej iks poprowadzono strzałkę do liczby dziewięćdziesiąt sześć. Nad strzałką zapisano razy cztery. Obok zapisano iks razy cztery równa się dziewięćdziesiąt sześć.

Działaniem odwrotnym do mnożenia jest dzielenie.

RFSsRQi4HwLdy

Ilustracja przedstawia dwa grafy. Pierwszy graf: od niewiadomej iks poprowadzono strzałkę do liczby dziewięćdziesiąt sześć. Nad strzałką zapisano razy cztery. Strzałkę powrotną podpisano podzielić na cztery. Drugi graf : od liczby dwadzieścia cztery poprowadzono strzałkę do liczby dziewięćdziesiąt sześć. Nad strzałką zapisano razy cztery. Strzałkę powrotną podpisano podzielić na cztery.

Z rysunku odczytujemy rozwiązanie równania: $x=24$.

Rozwiążemy równanie $5x-6=34$ metodą działań odwrotnych.

R1M6wVJyAa1nq

Ilustracja przedstawia graf. Od niewiadomej iks poprowadzono strzałkę do pustego kwadratu. Nad strzałką zapisano razy pięć. Od pustego kwadratu poprowadzono strzałkę do liczby trzydzieści cztery. Nad strzałką zapisano minus sześć. Od liczby trzydzieści cztery poprowadzono powrotną strzałkę do pustego kwadratu i podpisano ją plus sześć. Od pustego kwadratu poprowadzono strzałkę do niewiadomej iks i podpisano ją podzielić na pięć.

RoRTywTqYu5aG

Ilustracja przedstawia graf. Od liczby osiem poprowadzono strzałkę do liczby czterdzieści. Na strzałce zapisano razy pięć. Od liczby czterdzieści poprowadzono strzałkę do liczby trzydzieści cztery. Nad strzałką zapisano minus sześć. Od liczby trzydzieści cztery poprowadzono strzałkę powrotną do liczby czterdzieści i podpisano ją plus sześć. Od liczby czterdzieści poprowadzono strzałkę do liczby osiem i podpisano ją podzielić na pięć.

Odpowiedź:
Rozwiązaniem równania jest liczba $8$.

Rozwiążemy równanie $4x+1=3x+4$.
Ilustrujemy równanie za pomocą wagi.
Każda kulka waży $x$, a każdy odważnik $1$ (przy tej samej jednostce).

R1JLQq2jRjhsi

Ilustracja przedstawia wagę szalkową. Na lewej szalce położono cztery odważniki w kształcie kuli z napisem iks oraz jeden odważnik z napisem jeden, a po prawej są cztery odważniki z napisem jeden na każdym oraz trzy odważniki w kształcie kuli z napisem iks. Szalki są na tym samym poziomie.

Waga pozostanie w równowadze, jeżeli z każdej szalki zdejmiemy taką samą ilość towaru.
Z obu szalek zdejmujemy po jednym odważniku.

RX5C97ONfZQc8

Ilustracja przedstawia wagę szalkową. Na lewej szalce położono cztery odważniki w kształcie kuli z napisem iks, a po prawej są trzy odważniki z napisem jeden na każdym oraz trzy odważniki w kształcie kuli z napisem iks. Szalki są na tym samym poziomie.

Zapisujemy równanie ilustrujące wykonaną operację. Równanie jest równoważone początkowemu.

Teraz zdejmujemy z każdej szalki po trzy kulki – waga pozostanie nadal w równowadze.

RlXsFqnFYOGTC

Ilustracja przedstawia wagę szalkową. Na lewej szalce położono odważnik w kształcie kuli z napisem iks, a po prawej są trzy odważniki z napisem jeden na każdym. Szalki są na tym samym poziomie.

Zapisujemy kolejne równanie – otrzymując równanie równoważne początkowemu.

Odpowiedź:
Rozwiązaniem równania jest liczba $3$.

Określimy, ile rozwiązań ma równanie $3+2x=2x+3$.
Równanie rozwiążemy za pomocą wagi, otrzymując kolejno równania równoważne.
Każdy trójkąt waży $x$, a każdy kwadrat $1$ (przy tej samej jednostce).

RJpMeJ3t3LLRt

Ilustracja przedstawia wagę szalkową. Na każdej szalce postawione są dwa odważniki w kształcie trójkąta z napisem iks oraz trzy odważniki w kształcie kwadratów z napisem jeden. Szalki są na tym samym poziomie.

Z każdej strony wagi zdejmujemy po trzy kwadraty. Waga pozostaje w równowadze.

R1IkSJClSqTxL

Ilustracja przedstawia wagę szalkową. Na każdej szalce postawione są dwa odważniki w kształcie trójkąta z napisem iks. Szalki są na tym samym poziomie.

Teraz zdejmujemy z każdej strony wagi po jednym trójkącie. Waga pozostaje w równowadze.

RatcekBQvDxqJ

Ilustracja przedstawia wagę szalkową. Na każdej szalce postawiony jest odważnik w kształcie trójkąta z napisem iks. Szalki są na tym samym poziomie.

Otrzymaliśmy tożsamość. Równanie spełnia każda liczba.

Odpowiedź:
Równanie ma nieskończenie wiele rozwiązań.

znaleźć wszystkie liczby spełniające to równanie lub wykazać, że nie ma takich liczb.