2. Własności prostopadłościanów i sześcianów

Bryły geometryczne otaczają nas każdego dnia i na każdym kroku. Sześciany, kule, ostrosłupy i przede wszystkim, prostopadłościany to bryły, z których zbudowane są otaczające nas przedmioty, budynki, czy środki transportu.

R9V1j7VqEEUQA

Na ilustracji przedstawiono panoramę miasta, za rzeką. Widoczne wysokie biurowce oraz drapacze chmur.

W materiale omówimy jak zbudowany jest prostopadłościan oraz obliczymy sumę długości jego krawędzi. Bazując na części teoretycznej oraz omówionych przykładach, rozwiążemy ćwiczenia interaktywne.

Przypomnij sobie najważniejsze informacje dotyczące prostopadłościanu i sześcianu.

Przykład 1

R105WutpyL3AX1

Animacja przedstawia skrzynię oraz blok w kształcie prostopadłościanu.

Animacja przedstawia skrzynię oraz blok w kształcie prostopadłościanu.

Film dostępny pod adresem /preview/resource/R105WutpyL3AX

Animacja przedstawia skrzynię oraz blok w kształcie prostopadłościanu.

Już wiesz

Z każdego wierzchołka prostopadłościanu wychodzą trzy krawędzie. Długości tych krawędzi to wymiary prostopadłościanu, czyli długość, szerokości i wysokość.

RgYeTFkNcMLt51

Rysunek prostopadłościanu o krawędziach długości a, b, c.

Przykład 2

RgmI1BlOtB2Qn1

Animacja przedstawia dwa opakowania w kształcie sześcianów.

Animacja przedstawia dwa opakowania w kształcie sześcianów.

Film dostępny pod adresem /preview/resource/RgmI1BlOtB2Qn

Animacja przedstawia dwa opakowania w kształcie sześcianów.

Już wiesz

Prostopadłościan, którego wszystkie krawędzie mają równe długości to sześcian.

RRfEQCF3C7QuC1

Rysunek sześcianu o krawędziach długości a.

Spójrz na rysunek bryły zamieszczony poniżej.

RXn238xqo2Xcl1

Rysunek przedstawia bryłę, która ma dwie podstawy w kształcie pewnego czworokąta i cztery ściany boczne w kształcie prostokąta.

Na podstawie samego rysunku nie jesteśmy w stanie stwierdzić, jakim wielokątem jest podstawa tej bryły. Może to być prostokąt lub kwadrat, ale także romb lub równoległobok.

Jeżeli jest dodatkowo informacja, że rysunek przedstawia prostopadłościan, to wiadomo, że podstawa jest prostokątem.

Ćwiczenie 1

Rysunek przedstawia figury przestrzenne. Podstawą każdej z tych figur jest kwadrat.

R116ueNDyePPK1

Rysunek czterech graniastosłupów prostych i dwóch graniastosłupów pochyłych. Dwa z czterech graniastosłupów prostych mają ściany tej samej wielkości.

R503AAOAtHAwZ

Ile prostopadłościanów i ile sześcianów jest na tym rysunku?
Zaznacz poprawną odpowiedź. Możliwe odpowiedzi: 1. $6$ prostopadłościanów, $4$ sześciany, 2. $6$ prostopadłościanów, $2$ sześciany, 3. $2$ prostopadłościany, $4$ sześciany, 4. $4$ prostopadłościany, $2$ sześciany

• $6$ prostopadłościanów, $4$ sześciany
• $6$ prostopadłościanów, $2$ sześciany
• $2$ prostopadłościany, $4$ sześciany
• $4$ prostopadłościany, $2$ sześciany

Ćwiczenie 6

R1YjFsWCE0POi

Podstawą prostopadłościanu jest kwadrat. Oblicz długość boku tego kwadratu, jeżeli suma długości krawędzi wychodzących z jednego wierzchołka prostopadłościanu wynosi $29\mathrm{ cm}$, a wysokość prostopadłościanu jest równa $7\mathrm{ cm}$. Uzupełnij lukę, wpisując poprawną wartość. Odpowiedź: Długość boku tego kwadratu wynosi Tu uzupełnij $\mathrm{cm}$.

Podstawą prostopadłościanu jest kwadrat. Oblicz długość boku tego kwadratu, jeżeli suma długości krawędzi wychodzących z jednego wierzchołka prostopadłościanu wynosi $29\mathrm{ cm}$, a wysokość prostopadłościanu jest równa $7\mathrm{ cm}$. Uzupełnij lukę, wpisując poprawną wartość. Odpowiedź: Długość boku tego kwadratu wynosi Tu uzupełnij $\mathrm{cm}$.

Pokaż podpowiedź

RKIvLq6lSSrrE

Na rysunku widać prostopadłościan o długości podstawy x cm i wysokości 7 cm. Pod bryłą znajduje się równanie x+x+7=29.

Ćwiczenie 7

Zapoznaj się z poniższą ilustracją.

RYWntKlNhNo6i

RYHeMS00K9CLS

Kasia buduje sześcian o krawędzi $3\mathrm{ cm}$ z małych sześcianów o krawędzi $1\mathrm{ cm}$. Na razie zbudowała bryłę, którą przedstawia poniższy rysunek.
Ile małych sześcianów musi Kasia jeszcze dołożyć? Zaznacz poprawną odpowiedź. Możliwe odpowiedzi: 1. $18$, 2. $12$, 3. $20$, 4. $14$

RjY9Nd5UGmE9v

Kasia buduje sześcian o krawędzi $3\mathrm{ cm}$ z małych sześcianów o krawędzi $1\mathrm{ cm}$. Na razie zbudowała figurę, która składa się z dziewięciu małych sześcianów.
Ile małych sześcianów musi Kasia jeszcze dołożyć? Wskaż poprawną odpowiedź. Możliwe odpowiedzi: 1. $18$, 2. $12$, 3. $20$, 4. $14$

Ćwiczenie 8

Zapoznaj się z poniższą ilustracją.

R1HSJZjsInEEq

R17iHwC8bWxc5

Michał skleja duży sześcian z małych sześcianów o krawędzi $3\mathrm{ cm}$. Na razie skleił bryłę, którą przedstawia poniższy rysunek.
Michał postanowił użyć jak najmniejszej liczby małych sześcianów. Zaznacz wszystkie zdania, które są prawdziwe. Możliwe odpowiedzi: 1. Długość krawędzi dużego sześcianu będzie równa $9\mathrm{ cm}$., 2. Michał musi jeszcze użyć $56$ małych sześcianów., 3. Jedna warstwa dużego sześcianu będzie sklejona z $16$ małych sześcianów., 4. Do sklejenia dużego sześcianu Michał wykorzysta $64$ małe sześciany.

R108sKCHnqS9y

Michał skleja duży sześcian z małych sześcianów o krawędzi $3\mathrm{ cm}$. Na razie skleił figurę, która składa się z ośmiu sześcianów i są one ułożone w ten sposób, że najdłuższa krawędź tej figury ma długość $12 \mathrm{cm}$ .
Michał postanowił użyć jak najmniejszej liczby małych sześcianów. Zaznacz wszystkie zdania, które są prawdziwe. Możliwe odpowiedzi: 1. Długość krawędzi dużego sześcianu będzie równa $9\mathrm{ cm}$., 2. Michał musi jeszcze użyć $56$ małych sześcianów., 3. Jedna warstwa dużego sześcianu będzie sklejona z $16$ małych sześcianów., 4. Do sklejenia dużego sześcianu Michał wykorzysta $64$ małe sześciany.

Ćwiczenie 9

Zapoznaj się z poniższą ilustracją.

RuKceLTbQKkZ1

R1CW8dVxNhjr2

Który rysunek na pewno przedstawia prostopadłościan?
Zaznacz wszystkie poprawne odpowiedzi. Możliwe odpowiedzi: 1. $A$, 2. $B$, 3. $C$, 4. $D$

R1Mpkb6QhgsFx

Która figura na pewno przedstawia prostopadłościan?
Zaznacz wszystkie poprawne odpowiedzi. Możliwe odpowiedzi: 1. Graniastosłup prosty czworokątny, który w podstawie ma figurę o wymiarach $a$ i $b$., 2. Graniastosłup prosty czworokątny, który w podstawie ma figurę o wymiarach $a$ i $a$., 3. Graniastosłup prosty czworokątny, który w podstawie ma figurę o wymiarach $a$ i $b$, dodatkowo kąt między bokami podstawy wynosi $90°$., 4. Graniastosłup prosty czworokątny, który w podstawie ma figurę o wymiarach $a$ i $a$, dodatkowo kąt między bokami podstawy wynosi $90°$.

Ćwiczenie 10

Zapoznaj się z poniższą ilustracją.

R1SBmxzt4Xfoo

R12FyJcNT5z3Z

Który rysunek na pewno przedstawia sześcian?
Zaznacz poprawną odpowiedź. Możliwe odpowiedzi: 1. $A$, 2. $B$, 3. $C$, 4. $D$

RmXYzLsK9y1W3

Która figura na pewno przedstawia sześcian?
Zaznacz poprawną odpowiedź. Możliwe odpowiedzi: 1. Graniastosłup prosty czworokątny o wysokości $a$, który w podstawie ma figurę o wymiarach $a$ i $b$., 2. Graniastosłup prosty czworokątny o wysokości $a$, który w podstawie ma figurę o wymiarach $a$ i $a$., 3. Graniastosłup prosty czworokątny o wysokości $a$, który w podstawie ma figurę o wymiarach $a$ i $b$, dodatkowo kąt między bokami podstawy wynosi $90°$., 4. Graniastosłup prosty czworokątny o wysokości $a$, który w podstawie ma figurę o wymiarach $a$ i $a$, dodatkowo kąt między bokami podstawy wynosi $90°$.

Notatnik

Możesz skorzystać z poniższego pola tekstowego do zapisania swoich notatek, rozwiązań zadań i innych informacji, które uważasz za potrzebne.