1. Pole powierzchni prostopadłościanu i sześcianu

Rn6pFhILv63xq

Pakowałeś kiedyś prezent świąteczny w papier ozdobny?
Zastanawiałeś się ile papieru zużywasz?
Czym jest zużyty papier (poza zakładkami) dla pudełka, które pakujesz?

Ten coroczny niepozorny rytuał ma swoje odzwierciedlenie w matematyce. Podobnie jak budowa pudełek, karmników, malowanie pomieszczeń, ocieplanie bloków itp. Wszystkie te codzienne czynności, do których należy oszacować przybliżoną powierzchnię lub ilość zużytego materiału mają bezpośredni związek z powierzchnią brył, w szczególności wielościanów.

Na początek zajmiemy się polem powierzchni jednego z najbardziej rozpowszechnionych wielościanów – prostopadłościanu.

Przypomnijmy najważniejsze własności prostopadłościanu i sześcianu.

R16zirfYtvJck1

Rysunek sześcianu i prostopadłościanu. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Siatka prostopadłościanu

R1OGwp2NacClD1

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Siatka sześcianu

R2x3l7vKuyxmT1

Pole powierzchni prostopadłościanu

RtWhMkyWumFML1

Siatka każdego prostopadłościanu składa się z trzech par prostokątów o takich samych wymiarach. Przyjmując, że wymiary jednej pary prostokątów to $a$ na $b$ , wymiary drugiej pary prostokątów to $b$ na $c$ , a wymiary trzeciej pary prostokątów to $a$ na $c$ , możemy wyznaczyć wzór ogólny na pole powierzchni prostopadłościanu. Będzie to suma trzech składników, każdy składnik to pole odpowiedniego prostokąta pomnożone przez ilość takich prostokątów w siatce, czyli $P = 2 a b + 2 b c + 2 a c$ .

Pole powierzchni prostopadłościanu

Definicja: Pole powierzchni prostopadłościanu

Pole powierzchni prostopadłościanu to suma pól wszystkich jego ścian.

$P = P_{1} + P_{2} + P_{3} + P_{4} + P_{5} + P_{6}$ .

RIgXmLs5HQeua1

Rysunek siatki prostopadłościanu z zaznaczonymi polami poszczególnych ścian: P z indeksem dolnym jeden, P z indeksem dolnym dwa, P z indeksem dolnym trzy, P z indeksem dolnym cztery, P z indeksem dolnym pięć, P z indeksem dolnym sześć. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ważne!

W prostopadłościanie są trzy pary ścian o tych samych wymiarach, czyli także o tych samych polach

$P_{1} = P_{3}$ ,

$P_{2} = P_{4}$ ,

$P_{5} = P_{6}$ .

Pole powierzchni prostopadłościanu możemy także obliczyć, korzystając ze wzorów:

$P = 2 \cdot (a \cdot b + a \cdot c + b \cdot c)$

lub

$P = 2 \cdot a \cdot b + 2 \cdot a \cdot c + 2 \cdot b \cdot c$

gdzie: $a$ , $b$ i $c$ to wymiary prostopadłościanu.

RYoH2JWQUtfLl1

Rysunek prostopadłościanu o krawędziach podstawy równych a i b oraz krawędzi bocznej równej c. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Pole powierzchni sześcianu

R1boYb8j51Sm21

Siatka każdego sześcianu składa się z sześciu takich samych kwadratów. Przyjmując, że długość boku jednego takiego kwadratu wynosi $a$ , możemy wyznaczyć wzór ogólny na pole powierzchni sześcianu. Będzie to pole powierzchni jednego kwadratu pomnożone przez ilość kwadratów, czyli $P = 6 \cdot a^{2}$ .

Pole powierzchni sześcianu

Reguła: Pole powierzchni sześcianu

Pole powierzchni sześcianu możemy obliczyć, korzystając ze wzoru

$P = 6 \cdot a^{2}$ ,

gdzie $a$ – długość krawędzi sześcianu.

R1IH1Kvuz4o501

Rysunek sześcianu o krawędziach długości a. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R1cjgJSHnMHir

Ćwiczenie 1

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R1WOwdgGOmmTK

Ćwiczenie 1

Dany jest prostopadłościan o wymiarach

10 cm \times 2, 2 cm \times 5 cm

. Uzupełnij zdania, przeciągając w luki odpowiednie liczby lub kliknij w lukę i wybierz odpowiedź z listy rozwijalnej. Najmniejsza ściana tego prostopadłościanu ma pole powierzchni równe 1.

11 {cm}^{2}

, 2.

186 {cm}^{2}

, 3.

166 {cm}^{2}

, 4.

50 {cm}^{2}

, 5.

22 {cm}^{2}

, 6.

25 {cm}^{2}

.Największa ściana tego prostopadłościanu ma pole powierzchni równe 1.

11 {cm}^{2}

, 2.

186 {cm}^{2}

, 3.

166 {cm}^{2}

, 4.

50 {cm}^{2}

, 5.

22 {cm}^{2}

, 6.

25 {cm}^{2}

.Średnia ściana tego prostopadłościanu ma pole powierzchni równe 1.

11 {cm}^{2}

, 2.

186 {cm}^{2}

, 3.

166 {cm}^{2}

, 4.

50 {cm}^{2}

, 5.

22 {cm}^{2}

, 6.

25 {cm}^{2}

.Pole całkowite tego prostopadłościanu wynosi 1.

11 {cm}^{2}

, 2.

186 {cm}^{2}

, 3.

166 {cm}^{2}

, 4.

50 {cm}^{2}

, 5.

22 {cm}^{2}

, 6.

25 {cm}^{2}

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 2

Oblicz pola powierzchni podanych prostopadłościanów.

R1aTgz0cl47rd
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
R1cgTgfqCnG98
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
RRm9EtWT8Jyge
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R4ASIU4LBlSZe

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 3

R1PT9mzIRhdWh1

Przeciągnij i upuść pola powierzchni prostopadłościanów o podanych wymiarach.

$206 m^{2}$ , $206 000 {cm}^{2}$ , $15 200 {cm}^{2}$ , $38 {cm}^{2}$ , $1 952 {dm}^{2}$ , $0, 0038 {dm}^{2}$ , $15, 2 m^{2}$ , $195, 2 m^{2}$

a) $1 cm \times 3 cm \times 4 cm$ ,    $P =$ ....................
b) $2 dm \times 6 dm \times 8 dm$ ,    $P =$ ....................
c) $30 dm \times 500 cm \times 11 m$ ,    $P =$ ....................
d) $40 cm \times 4 dm \times 12 m$ ,    $P =$ ....................

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

iQfrn0QRsc_d5e306

Ćwiczenie 4

Uzupełnij pola powierzchni sześcianów, korzystając z przedstawionych siatek.

RWCLEO9zQQJuC

Rysunek czterech siatek sześcianów. Siatka A składa się z sześciu jednakowych kwadratów. Bok kwadratu ma długość sześciu centymetrów. Siatka B składa się z sześciu jednakowych kwadratów. Bok kwadratu ma długość dziewięciu centymetrów. Siatka C składa się z sześciu jednakowych kwadratów. Bok kwadratu ma długość dziesięciu centymetrów. Siatka D składa się z sześciu jednakowych kwadratów. Bok kwadratu ma długość dwunastu centymetrów. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R121Dfnks2seC

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 5

Oblicz pole powierzchni sześcianu, jeżeli suma długości wszystkich krawędzi tego sześcianu wynosi

$60 cm$
$84 cm$
$96 cm$

$150 {cm}^{2}$
$294 {cm}^{2}$
$384 {cm}^{2}$

Ćwiczenie 6

Oblicz sumę długości wszystkich krawędzi sześcianu, jeżeli jego pole powierzchni wynosi

$1,5 {cm}^{2}$
$8,64 {cm}^{2}$
$2,94 {cm}^{2}$

Możesz skorzystać z kalkulatora.

$6 cm$
$14,4 cm$
$8,4 cm$

Ćwiczenie 7

Rozstrzygnij, czy zdanie jest prawdziwe, czy fałszywe.

R1arCuF1vW0Sy

Pole powierzchni prostopadłościanu o wymiarach $1 x 1 x 3$ jest $4$ razy mniejsze od pola powierzchni prostopadłościanu o wymiarach $2 x 2 x 6$ .
Sześcian o krawędzi długości $3$ ma pole powierzchni o $2$ mniejsze od pola powierzchni prostopadłościanu o wymiarach $2 x 3 x 4$ .

Ćwiczenie 8

Jakie wymiary i jakie pole powierzchni ma sześcian, którego siatkę można wykonać wykorzystując cały arkusz papieru przedstawiony na rysunku? Z arkusza wycinamy pojedyncze ściany, z których następnie formujemy siatkę. Kratka ma bok długości $1$ .

R1BfbkCgntE1A1

Rysunek dwóch prostokątnych arkuszy papieru o bokach długości 6 i 4 oraz 3 i 18. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RcZQE69PNLvPZ

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 9

Jakie wymiary i jakie pole powierzchni może mieć prostopadłościan, którego siatkę można wykonać wykorzystując cały arkusz papieru przedstawiony na rysunku? Z arkusza wycinamy pojedyncze ściany, z których następnie formujemy siatkę. Kratka ma bok długość $1$ .

Ry80b0TuconSC1

Rysunek dwóch prostokątnych arkuszy papieru o bokach długości 7 i 4 oraz 6 i 5. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R1FPLqZRyOtkN

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 10

Skrzynka na owoce ma wymiary zewnętrzne: $50 cm$ (długość), $60 cm$ (szerokość) i $40 cm$ (wysokość). Jakie jest „zewnętrzne” pole powierzchni tej skrzynki? Podaj wynik w decymetrach kwadratowych.

Pole powierzchni tej skrzynki wynosi $118 {dm}^{2}$ (skrzynka nie ma górnej ściany - pokrywki).

R1J4efaim4o6Z

Ćwiczenie 11

W szkolnej pracowni matematycznej są drewniane klocki:

50

klocków w kształcie prostopadłościanu o wymiarach

3 cm

4 cm

5 cm

oraz

100

klocków sześciennych o krawędzi

4 cm

. Uczniowie klasy

5 b

postanowili pomalować wszystkie jednym kolorem farby. Zakupili puszkę farby, która wystarczy do pomalowania powierzchni

1 m^{2}

. Czy wystarczy zakupionej farby do pomalowania wszystkich klocków?
Uzupełnij odpowiedzi, przeciągając w luki odpowiednie liczby i słowa lub kliknij w lukę i wybierz odpowiedź z listy rozwijalnej. Jaką powierzchnię ma jeden klocek w kształcie prostopadłościanu?
Odpowiedź: 1. Tak, 2.

94

, 3.

4780

, 4.

9600

, 5.

9800

, 6. Nie, 7.

14300

, 8.

98

, 9.

95

, 10.

14200

, 11.

96

, 12.

4700

{cm}^{2}

Jaką powierzchnię mają wszystkie klocki prostopadłościenne?
Odpowiedź: 1. Tak, 2.

94

, 3.

4780

, 4.

9600

, 5.

9800

, 6. Nie, 7.

14300

, 8.

98

, 9.

95

, 10.

14200

, 11.

96

, 12.

4700

{cm}^{2}

Jaką powierzchnię ma jeden klocek w kształcie sześcianu?
Odpowiedź: 1. Tak, 2.

94

, 3.

4780

, 4.

9600

, 5.

9800

, 6. Nie, 7.

14300

, 8.

98

, 9.

95

, 10.

14200

, 11.

96

, 12.

4700

{cm}^{2}

Jaką powierzchnię mają wszystkie klocki sześcienne?
Odpowiedź: 1. Tak, 2.

94

, 3.

4780

, 4.

9600

, 5.

9800

, 6. Nie, 7.

14300

, 8.

98

, 9.

95

, 10.

14200

, 11.

96

, 12.

4700

{cm}^{2}

Jaka jest łączna powierzchnia do pomalowania?
Odpowiedź: 1. Tak, 2.

94

, 3.

4780

, 4.

9600

, 5.

9800

, 6. Nie, 7.

14300

, 8.

98

, 9.

95

, 10.

14200

, 11.

96

, 12.

4700

{cm}^{2}

Czy wystarczy zakupionej farby do pomalowania wszystkich klocków?
Odpowiedź: 1. Tak, 2.

94

, 3.

4780

, 4.

9600

, 5.

9800

, 6. Nie, 7.

14300

, 8.

98

, 9.

95

, 10.

14200

, 11.

96

, 12.

4700

W szkolnej pracowni matematycznej są drewniane klocki: $50$ klocków w kształcie prostopadłościanu o wymiarach $3 cm$ , $4 cm$ i $5 cm$ oraz $100$ klocków sześciennych o krawędzi $4 cm$ . Uczniowie klasy 5b postanowili pomalować wszystkie jednym kolorem farby. Zakupili puszkę farby, która wystarczy do pomalowania powierzchni $1 m^{2}$ . Czy wystarczy zakupionej farby do pomalowania wszystkich klocków?

Przeciągnij i upuść.

14 300, 4780, 9 600, 98, NIE, TAK, 14 200, 95, 96, 9 800, 94, 4 700

Jaką powierzchnię ma jeden klocek w kształcie prostopadłościanu? ............
Jaką powierzchnię mają wszystkie klocki prostopadłościenne? ............
Jaką powierzchnię ma jeden klocek w kształcie sześcianu? ............
Jaką powierzchnię mają wszystkie klocki sześcienne? ............
Jaka jest łączna powierzchnia do pomalowania? ............
Czy wystarczy zakupionej farby do pomalowania wszystkich klocków? ............

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R1CNopgChMjUE

Ćwiczenie 12

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R1TB09sUehwxi

Ćwiczenie 12

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 13

Oblicz pole każdej ściany prostopadłościanu. Dodaj otrzymane wyniki i oblicz pole powierzchni $(P)$ tego prostopadłościanu.

RrqueOmiX19RH1

Rysunek siatki prostopadłościanu o krawędziach długości 2 cm, 4 cm i 6 cm. Zaznaczone pola poszczególnych ścian: P z indeksem dolnym jeden, P z indeksem dolnym dwa, P z indeksem dolnym trzy, P z indeksem dolnym cztery, P z indeksem dolnym pięć, P z indeksem dolnym sześć. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R5mulOmZ28xGE

Przeciągnij i upuść odpowiednie liczby w puste luki.

P_{1} =

8

, 2.

16

, 3.

87

, 4.

24

, 5.

14

, 6.

88

, 7.

12

, 8.

12

, 9.

8

, 10.

24

, 11.

89

, 12.

22

{cm}^{2}

P_{2} =

8

, 2.

16

, 3.

87

, 4.

24

, 5.

14

, 6.

88

, 7.

12

, 8.

12

, 9.

8

, 10.

24

, 11.

89

, 12.

22

{cm}^{2}

P_{3} =

8

, 2.

16

, 3.

87

, 4.

24

, 5.

14

, 6.

88

, 7.

12

, 8.

12

, 9.

8

, 10.

24

, 11.

89

, 12.

22

{cm}^{2}

P_{4} =

8

, 2.

16

, 3.

87

, 4.

24

, 5.

14

, 6.

88

, 7.

12

, 8.

12

, 9.

8

, 10.

24

, 11.

89

, 12.

22

{cm}^{2}

P_{5} =

8

, 2.

16

, 3.

87

, 4.

24

, 5.

14

, 6.

88

, 7.

12

, 8.

12

, 9.

8

, 10.

24

, 11.

89

, 12.

22

{cm}^{2}

P_{6} =

8

, 2.

16

, 3.

87

, 4.

24

, 5.

14

, 6.

88

, 7.

12

, 8.

12

, 9.

8

, 10.

24

, 11.

89

, 12.

22

{cm}^{2}

P_{} =

8

, 2.

16

, 3.

87

, 4.

24

, 5.

14

, 6.

88

, 7.

12

, 8.

12

, 9.

8

, 10.

24

, 11.

89

, 12.

22

{cm}^{2}

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Rs9KH7M3dToMh

Ćwiczenie 13

Dany jest prostopadłościan o wymiarach

2 cm \times 4 cm \times 6 cm

. Uzupełnij zdania, przeciągając w luki odpowiednie liczby lub kliknij w lukę i wybierz odpowiedź z listy rozwijalnej. Pole podstawy prostopadłościanu wynosi 1.

24 {cm}^{2}

, 2.

88 {cm}^{2}

, 3.

20 {cm}^{2}

, 4.

12 {cm}^{2}

, 5.

54 {cm}^{2}

, 6.

8 {cm}^{2}

.Pole mniejszej ściany bocznej wynosi 1.

24 {cm}^{2}

, 2.

88 {cm}^{2}

, 3.

20 {cm}^{2}

, 4.

12 {cm}^{2}

, 5.

54 {cm}^{2}

, 6.

8 {cm}^{2}

.Pole większej ściany bocznej wynosi 1.

24 {cm}^{2}

, 2.

88 {cm}^{2}

, 3.

20 {cm}^{2}

, 4.

12 {cm}^{2}

, 5.

54 {cm}^{2}

, 6.

8 {cm}^{2}

.Pole powierzchni całkowitej prostopadłościanu wynosi 1.

24 {cm}^{2}

, 2.

88 {cm}^{2}

, 3.

20 {cm}^{2}

, 4.

12 {cm}^{2}

, 5.

54 {cm}^{2}

, 6.

8 {cm}^{2}

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 14

Na siatce prostopadłościanu zapisano pola niektórych ścian. Oblicz pole powierzchni tego prostopadłościanu.

RYPiUuwrTEUfR1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
RYVRmCzz02O55
Wpisz odpowiednie liczby w pustą lukę.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
RZUskTVPLO05P1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
R18hbIL2X32Cu
Wpisz odpowiednie liczby w pustą lukę.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
R1SFXCY2ttMOh1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
RJZ3ACDHdvRyy
Wpisz odpowiednie liczby w pustą lukę.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
R14KFQ0gBiVTS1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
R11LZMSOEwuKb
Wpisz odpowiednie liczby w pustą lukę.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R17rbbIPrVXth

Ćwiczenie 14

Łączenie par. Zaznacz prawidłową odpowiedź dotycząca pola powierzchni prostopadłościanu.. Pole podstawy prostopadłościanu wynosi

9 c m^{2}

a pole ściany bocznej ma

20 c m^{2}

lub

40 c m^{2}

. Pole powierzchni całkowitej prostopadłościanu wynosi:. Możliwe odpowiedzi: Prawda, Fałsz. Pole podstawy prostopadłościanu wynosi

6 c m^{2}

a pole ściany bocznej ma

8 c m^{2}

lub

12 c m^{2}

. Pole powierzchni całkowitej prostopadłościanu wynosi:. Możliwe odpowiedzi: Prawda, Fałsz. Pole podstawy prostopadłościanu wynosi

14 c m^{2}

a pole ściany bocznej ma

16 c m^{2}

lub

22 c m^{2}

. Pole powierzchni całkowitej prostopadłościanu wynosi:. Możliwe odpowiedzi: Prawda, Fałsz. Pole podstawy prostopadłościanu wynosi

20 c m^{2}

a pole ściany bocznej ma

30 c m^{2}

lub

35 c m^{2}

. Pole powierzchni całkowitej prostopadłościanu wynosi:. Możliwe odpowiedzi: Prawda, Fałsz

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 15

Rysunek przedstawia siatkę prostopadłościanu. Odczytaj potrzebne dane z rysunku i oblicz pole powierzchni prostopadłościanu.

RUfhsea48GUeW1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
RNec2c7BDCV8k
Wpisz odpowiednie liczby w pustą lukę. $P =$
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
R1Q9pc2UroTMa1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
R1LYMCX83gvmT
Wpisz odpowiednie liczby w pustą lukę. $P =$
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
RA5Cmql8RJIxo1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
R1Pjev8NaW4Gw
Wpisz odpowiednie liczby w pustą lukę. $P =$
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R1OlvOan5UkrW

Ćwiczenie 15

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 16

Oblicz pola powierzchni prostopadłościanów.

RxgduEXLu0nt81
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
RVWC8GhOsSk7d
Wpisz odpowiednie liczby w pustą lukę. $P =$
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
R1BVQkqm6UrYV1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Rbi85JGXDKG3N
Wpisz odpowiednie liczby w puste luki. $P =$
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
R1Bt3qPQxJFSX1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Rx0fhpZ03x6iY
Wpisz odpowiednie liczby w pustą lukę. $P =$
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R1S6zkOMvX3Np

Ćwiczenie 16

Połącz w pary wymiary prostopadłościanu z jego polem powierzchni całkowitej. Prostopadłościan o wymiarach

2 m \times 4 m \times 7 m

Możliwe odpowiedzi: 1.

P = 178 m^{2}

, 2.

P = 2024 m^{2}

, 3.

P = 100 m^{2}

Prostopadłościan o wymiarach

3 m \times 4 m \times 11 m

Możliwe odpowiedzi: 1.

P = 178 m^{2}

, 2.

P = 2024 m^{2}

, 3.

P = 100 m^{2}

Prostopadłościan o wymiarach

22 m \times 12 m \times 22 m

Możliwe odpowiedzi: 1.

P = 178 m^{2}

, 2.

P = 2024 m^{2}

, 3.

P = 100 m^{2}

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 17

Rysunek przedstawia siatkę sześcianu. Wykonaj odpowiednie obliczenia i uzupełnij zdania.

R1CdDFAWt5JC61

Rysunek siatki sześcianu o krawędzi długości 5 cm. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RLe4ntL1hyBoD

Przeciągnij i upuść odpowiednie liczby w puste luki. Sześcian składa się z

6

jednakowych ścian, które są kwadratami o boku 1.

150

, 2.

100

, 3.

5

, 4.

50

, 5.

10

, 6.

25

cm

.Pole jednej ściany wynosi 1.

150

, 2.

100

, 3.

5

, 4.

50

, 5.

10

, 6.

25

{cm}^{2}

.Ponieważ siatka składa się z sześciu jednakowych kwadratów, to pole powierzchni sześcianu wynosi 1.

150

, 2.

100

, 3.

5

, 4.

50

, 5.

10

, 6.

25

{cm}^{2}

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R1sKXoHJiEUys

Ćwiczenie 17

Dany jest sześcian o boku równym

5 cm

. Uzupełnij zdania, przeciągając w luki odpowiednie liczby i słowa lub kliknij w lukę i wybierz odpowiedź z listy rozwijalnej. Sześcian składa się z 1. trapezami, 2. rombami, 3. kwadratami, 4.

50

, 5.

5

, 6.

150

, 7.

6

, 8.

25

, 9.

100

, 10.

10

jednakowych ścian, które są 1. trapezami, 2. rombami, 3. kwadratami, 4.

50

, 5.

5

, 6.

150

, 7.

6

, 8.

25

, 9.

100

, 10.

10

o boku 1. trapezami, 2. rombami, 3. kwadratami, 4.

50

, 5.

5

, 6.

150

, 7.

6

, 8.

25

, 9.

100

, 10.

10

cm

.Pole jednej ściany wynosi 1. trapezami, 2. rombami, 3. kwadratami, 4.

50

, 5.

5

, 6.

150

, 7.

6

, 8.

25

, 9.

100

, 10.

10

{cm}^{2}

.Ponieważ siatka składa się z sześciu jednakowych czworokątów, to pole powierzchni sześcianu wynosi 1. trapezami, 2. rombami, 3. kwadratami, 4.

50

, 5.

5

, 6.

150

, 7.

6

, 8.

25

, 9.

100

, 10.

10

{cm}^{2}

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 18

Oblicz pole powierzchni jednej ściany sześcianu oraz pole powierzchni każdego z sześcianów przedstawionych na rysunku.

RuNx2klAqrVfj1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
R1YGhJTh5L6c0
Wpisz odpowiednie liczby w pustą lukę. $P_{ś c i a n y} =$ Tu uzupełnij ${cm}^{2}$ , $P_{s z e ś c i a n u} =$ Tu uzupełnij ${cm}^{2}$
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
RvJ5znaTkDlMr1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
R1UXx3kNFIPGo
Wpisz odpowiednie liczby w pustą lukę. $P_{ś c i a n y} =$ Tu uzupełnij ${dm}^{2}$ , $P_{s z e ś c i a n u} =$ Tu uzupełnij ${dm}^{2}$ . $P_{ś c i a n y} =$ Tu uzupełnij $m^{2}$ , $P_{s z e ś c i a n u} =$ Tu uzupełnij $m^{2}$ .
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
RGWWkIZD23DFC1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Rm88a5p4j0KN6
Wpisz odpowiednie liczby w puste luki. $P_{ś c i a n y} =$ Tu uzupełnij $m^{2}$ , $P_{s z e ś c i a n u} =$ Tu uzupełnij $m^{2}$ .
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 19

RL3O9gR2KQ2U6

$96 {cm}^{2}$
$288 {cm}^{2}$
$384 {cm}^{2}$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Zauważ, że długość jednej krawędzi wynosi $4 cm$ .

Ćwiczenie 20

RmFybNITFY3Cc

$147 {cm}^{2}$
$294 {cm}^{2}$
$504 {cm}^{2}$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Sześcian ma $12$ jednakowych krawędzi. Oblicz najpierw długość jednej krawędzi.

Ćwiczenie 21

R1N8R4eozoh6G

$120 {cm}^{2}$
$600 {cm}^{2}$
$720 {cm}^{2}$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RtWmPIUeZ8qnx

Ćwiczenie 22

$24 m^{2}$
$96 m^{2}$
$144 m^{2}$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R1EL6YNVhAVdw

Ćwiczenie 23

$81 {dm}^{2}$
$108 {dm}^{2}$
$486 {dm}^{2}$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RHyG0ISOuTVol

Ćwiczenie 24

Oblicz pola powierzchni prostopadłościanów o podanych krawędziach. Uzupełnij zdania, przeciągając w luki odpowiednie liczby lub kliknij w lukę i wybierz odpowiedź z listy rozwijalnej. Prostopadłościan o wymiarach

3 m

4 m

6 m

ma pole równe 1.

2, 04

, 2.

180

, 3.

218

, 4.

152

, 5.

2, 08

, 6.

2, 8

, 7.

109

, 8.

228

, 9.

190

, 10.

108

, 11.

153

m^{2}

.Prostopadłościan o wymiarach

2 dm

8 dm

6 dm

ma pole równe 1.

2, 04

, 2.

180

, 3.

218

, 4.

152

, 5.

2, 08

, 6.

2, 8

, 7.

109

, 8.

228

, 9.

190

, 10.

108

, 11.

153

{dm}^{2}

.Prostopadłościan o wymiarach

3 cm

5 cm

10 cm

ma pole równe 1.

2, 04

, 2.

180

, 3.

218

, 4.

152

, 5.

2, 08

, 6.

2, 8

, 7.

109

, 8.

228

, 9.

190

, 10.

108

, 11.

153

{cm}^{2}

.Prostopadłościan o wymiarach

20 cm

700 mm

1 m

ma pole równe 1.

2, 04

, 2.

180

, 3.

218

, 4.

152

, 5.

2, 08

, 6.

2, 8

, 7.

109

, 8.

228

, 9.

190

, 10.

108

, 11.

153

m^{2}

.Prostopadłościan o wymiarach

0, 06 m

0, 4 dm

90 mm

ma pole równe 1.

2, 04

, 2.

180

, 3.

218

, 4.

152

, 5.

2, 08

, 6.

2, 8

, 7.

109

, 8.

228

, 9.

190

, 10.

108

, 11.

153

{cm}^{2}

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R15PgI1T8HEDN

Ćwiczenie 25

Oblicz pola powierzchni opisanych brył. Uzupełnij zdania, przeciągając w luki odpowiednie liczby lub kliknij w lukę i wybierz odpowiedź z listy rozwijalnej. Pole powierzchni sześcianu o krawędzi długości

10 cm

wynosi Tu uzupełnij

{cm}^{2}

.Pole powierzchni sześcianu o krawędzi długości

2 dm

wynosi Tu uzupełnij

{dm}^{2}

.Pole powierzchni prostopadłościanu, którego podstawą jest kwadrat o boku długości

8 cm

, a krawędź boczna ma długość

10 cm

wynosi Tu uzupełnij

{cm}^{2}

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R9xV5CQWVuwXo

Ćwiczenie 26

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 27

R67Ssr21fggkN

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Pole powierzchni prostopadłościanu jest równe $P = 2 \cdot 3 \cdot 4 + 2 \cdot 3 \cdot 6 + 2 \cdot 4 \cdot 6 = 108 [{cm}^{2}]$ . Podziel otrzymane pole sześcianu przez sześć. Następnie dostaniesz pole jednej ściany, która jest kwadratem. Skorzystaj ze wzoru na pole kwadratu i wyznacz długość krawędzi.

Ćwiczenie 28

RPp58h0WZrecD

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Sala to prostopadłościan o wymiarach $7 \times 6 \times 3 [m]$ .

Mamy sufit o polu: $7 \cdot 6 = 42 [m^{2}]$ ,

dwie ściany $7 \times 3$ : $2 \cdot 7 \cdot 3 = 42 [m^{2}]$

i dwie ściany $6 \times 3$ : $2 \cdot 6 \cdot 3 = 36 [m^{2}]$ .

Razem ściany i sufit mają $42 + 42 + 36 = 120 [m^{2}]$ .

Od otrzymanego pola odejmij powierzchnie okien i drzwi, następnie sprawdż ile pojemników farby jest potrzebne na pomalowanie pozostałej powierzchni.

Ćwiczenie 29

Prostopadłościan o krawędziach długości $3 cm$ , $4 cm$ i $5 cm$ rozcięto na sześciany jednostkowe (o krawędzi $1 cm$ ). Ściany prostopadłościanu pomalowano przed rozcięciem.

R7MHdiqQvysn31

Rysunek prostopadłościanu o krawędziach długości 3 cm, 4 cm i 5 cm. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RtuElpWEFXSix

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 30

Jedna krawędź podstawy prostopadłościanu jest dwa razy dłuższa od drugiej. Pole powierzchni największej ściany bocznej jest równe $32 {cm}^{2}$ i jest cztery razy większe od pola podstawy. Oblicz pole powierzchni całkowitej prostopadłościanu.

$P = 112 {cm}^{2}$ .

Notatnik

Możesz skorzystać z poniższego pola tekstowego do zapisania swoich notatek, rozwiązań zadań i innych informacji, które uważasz za potrzebne.

R1b8OvSPUG8s3

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

2. Objętość bryły. Jednostki objętości

Pole powierzchni i objętość bryły