2. Objętość bryły. Jednostki objętości

Rn6pFhILv63xq

Każde naczynie ma swoją objętość, podajemy ją zwykle w litrach. Zużycie wody mierzy się w metrach sześciennych. Czy zastanawiałeś się kiedyś, skąd biorą się takie jednostki? Litr to objętość sześcianu o krawędzi $1 dm$ , metr sześcienny, decymetr sześcienny, centymetr sześcienny to objętość sześcianu o krawędzi $1 m$ , $1 dm$ , $1 cm$ odpowiednio.

Objętość figury

Janek i Basia budowali różne figury przestrzenne z jednakowych, sześciennych klocków. Każde z nich miało do dyspozycji $8$ klocków. Oto figury, które zbudowali. Która z tych figur ma największą objętość?

Rr1YagmKEZs6s1

Rysunek figury o nieregularnym kształcie, zbudowanej z ośmiu jednakowych sześcianów. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RgJnoIzVu63dL1

Rysunek figury w kształcie litery u, zbudowanej z ośmiu jednakowych sześcianów. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R1Sgeu4boCIZW1

Rysunek figury w kształcie litery L, zbudowanej z ośmiu jednakowych sześcianów. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

REk54ctITEyeF1

Rysunek figury w kształcie piramidy, zbudowanej z ośmiu jednakowych sześcianów. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Załóżmy, że jednostką objętości każdej z powyższych figur jest jeden klocek. Wtedy objętość każdej figury będzie równoważna liczbie klocków z jakich jest ona zbudowana. Ponieważ każda figura jest zbudowana z takiej samej ilości klocków, to objętości tych figur są takie same, równe $8$ .

Obejrzyj filmy i odpowiedz na pytania w nich zawarte.

R1Lfk5R0S3X611

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Pierwszy sześcian składa się z ośmiu klocków, a drugi sześcian składa się z dwudziestu siedmiu klocków.

R1E9SlVxh5OHn1

Przedstawiony prostopadłościan składa się z dwudziestu czterech klocków.

Jednostki objętości

Ważne!

Jedną z podstawowych jednostek objętości jest objętość sześcianu, którego krawędź ma długość $1 cm$ .

Jest to $1$ centymetr sześcienny, który zapisujemy $1 {cm}^{3}$ .

R7r6QUCfojb431

Rysunek sześcianu o krawędzi długości 1 cm. Objętość równa 1 centymetr sześcienny. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

$1 {cm}^{3}$ to objętość sześcianu o krawędzi długości $1 cm$ .

Zamiana jednostek

RnQTWqRNErrXO1

Gdy obliczamy objętości większych figur lub figur bardzo małych, możemy używać innych jednostek.

Ważne!

Podstawowe jednostki objętości to

$1$ milimetr sześcienny $(1 {mm}^{3})$
$1$ centymetr sześcienny $(1 {cm}^{3})$
$1$ decymetr sześcienny $(1 {dm}^{3})$
$1$ metr sześcienny $(1 m^{3})$
$1 {mm}^{3}$ to objętość sześcianu o krawędzi długości $1 mm$
$1 {cm}^{3}$ to objętość sześcianu o krawędzi długości $1 cm$
$1 {dm}^{3}$ to objętość sześcianu o krawędzi długości $1 dm$
$1 m^{3}$ to objętość sześcianu o krawędzi długości $1 m$

Jednostki pojemności

Gdybyśmy sześcian o krawędzi długości $1 dm$ wypełnili wodą, a potem wodę tę wlali do dzbanka do mierzenia płynów, okazałoby się, że w dzbanku jest dokładnie jeden litr wody.

RaKeEGIYAG1Wk1

Możemy powiedzieć, że objętość naczynia wynosi $1 {dm}^{3}$ albo że pojemność tego naczynia to $1$ litr.

O pojemności naczyń czy opakowań mówimy najczęściej wtedy, gdy służą do przechowywania płynów.

Mililitr $(ml)$ jest $1000$ razy mniejszą jednostką pojemności niż litr $(l)$ .

1 l = 1000 ml

1 l = 1 {dm}^{3}

1 ml = 1 {cm}^{3}

Ćwiczenie 1

Figury przedstawione na rysunkach zbudowane są z jednakowych sześcianów.

R13QvtAQXsblM1

Rysunki czterech figur. Pierwsza figura zbudowana z pięciu jednakowych sześcianów. Druga figura zbudowana z sześciu jednakowych sześcianów. Trzecia figura zbudowana z pięciu jednakowych sześcianów. Czwarta figura zbudowana z siedmiu jednakowych sześcianów. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R1MKxtkGSEciq

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 2

Figury przedstawione na rysunkach zbudowane są z jednakowych sześcianów.

R13QvtAQXsblM1

RdeGi2v92Kd5y

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 3

Dwie figury o takim samym kształcie zbudowano z dwóch rodzajów klocków sześciennych. Krawędź większego klocka jest dwa razy dłuższa od krawędzi mniejszego klocka.

RstO84gctfdzs1

Rysunek dwóch figur złożonych z pięciu sześcianów. Figury mają taki sam kształt, ale pierwsza figura jest mniejsza od drugiej. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RNNgTH2lnmHUm

Tak, ponieważ większy klocek można zbudować z ośmiu małych klocków.
Tak, ponieważ objętość figury $II$ jest dwa razy większa od objętości figury $I$ .
Tak, ponieważ objętości tych figur są równe, każda z nich zbudowana jest z pięciu klocków.
Nie, ponieważ większy klocek można zbudować z ośmiu małych klocków.

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 4

RtYF44XMFElgF

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R1QBXbkyT4rjL

Wszystkie figury zbudowane są z sześcianów o krawędzi długości

1 cm

. Ile centymetrów sześciennych wynosi objętość każdej figury? Uzupełnij poniższe zdania, wpisując w luki odpowiednie liczby. Figura złożona z trzech takich sześcianów ma objętość Tu uzupełnij

{cm}^{3}

.Figura złożona z pięciu takich sześcianów ma objętość Tu uzupełnij

{cm}^{3}

.Figura złożona z czterech takich sześcianów ma objętość Tu uzupełnij

{cm}^{3}

.Figura złożona z sześciu takich sześcianów ma objętość Tu uzupełnij

{cm}^{3}

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 5

Wszystkie figury zbudowane są z sześcianów o krawędzi długości $1 cm$ .

RN1IF1snJMyx11

Rysunki pięciu figur. Pierwsza figura zbudowana z dziesięciu jednakowych sześcianów. Druga figura zbudowana z trzydziestu jednakowych sześcianów. Trzecia figura zbudowana ze stu jednakowych sześcianów. Czwarta figura zbudowana z czterystu jednakowych sześcianów. Piąta figura zbudowana z tysiąca jednakowych sześcianów. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R1IBXe0C4uslW

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 6

Duży sześcian zbudowany jest z małych sześcianów o krawędzi $1 cm$ .

R1COW0PFQwDxv1

Rysunek sześcianu złożonego z tysiąca jednakowych sześcianów. Wzdłuż jednej krawędzi mieści się dziesięć sześcianów. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R1GDe2iV48Ixy

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 7

R1Z8yI0lcj6Bq

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Zastanów się:

ile sześcianów o boku długości $1 mm$ mieści się w sześcianie o boku długości $1 cm$ .
ile sześcianów o boku długości $1 cm$ mieści się w sześcianie o boku długości $1 dm$ .
ile sześcianów o boku długości $1 dm$ mieści się w sześcianie o boku długości $1 m$ .

Ćwiczenie 8

RiqMxpabTUFfC

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Zauważ, że $1 {cm}^{3} = 10 mm \cdot 10 mm \cdot 10 mm = 1000 {mm}^{3}$ , więc $2, 5 {cm}^{3} = 2, 5 \cdot 1000 {mm}^{3} = 2500 {mm}^{3}$ .

Ćwiczenie 9

RazzZKZV3ebJy

Uzupełnij poniższe nierówności, przeciągając w luki odpowiednie znaki lub kliknij w lukę i wybierz odpowiedź z listy rozwijalnej.

5 {cm}^{3}

<

, 2.

>

, 3.

>

, 4.

=

, 5.

<

, 6.

>

, 7.

>

, 8.

=

, 9.

>

, 10.

<

, 11.

=

, 12.

=

, 13.

<

, 14.

<

, 15.

=

, 16.

>

, 17.

<

, 18.

=

5000 {mm}^{3}

30 {cm}^{3}

<

, 2.

>

, 3.

>

, 4.

=

, 5.

<

, 6.

>

, 7.

>

, 8.

=

, 9.

>

, 10.

<

, 11.

=

, 12.

=

, 13.

<

, 14.

<

, 15.

=

, 16.

>

, 17.

<

, 18.

=

3000 {mm}^{3}

6 {dm}^{3}

<

, 2.

>

, 3.

>

, 4.

=

, 5.

<

, 6.

>

, 7.

>

, 8.

=

, 9.

>

, 10.

<

, 11.

=

, 12.

=

, 13.

<

, 14.

<

, 15.

=

, 16.

>

, 17.

<

, 18.

=

60 {cm}^{3}

25 {dm}^{3}

<

, 2.

>

, 3.

>

, 4.

=

, 5.

<

, 6.

>

, 7.

>

, 8.

=

, 9.

>

, 10.

<

, 11.

=

, 12.

=

, 13.

<

, 14.

<

, 15.

=

, 16.

>

, 17.

<

, 18.

=

25000 {cm}^{3}

4 m^{3}

<

, 2.

>

, 3.

>

, 4.

=

, 5.

<

, 6.

>

, 7.

>

, 8.

=

, 9.

>

, 10.

<

, 11.

=

, 12.

=

, 13.

<

, 14.

<

, 15.

=

, 16.

>

, 17.

<

, 18.

=

40000 {dm}^{3}

36 m^{3}

<

, 2.

>

, 3.

>

, 4.

=

, 5.

<

, 6.

>

, 7.

>

, 8.

=

, 9.

>

, 10.

<

, 11.

=

, 12.

=

, 13.

<

, 14.

<

, 15.

=

, 16.

>

, 17.

<

, 18.

=

3600 {dm}^{3}

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RZIFsZrz2mBOT

Ćwiczenie 10

Uzupełnij poniższe nierówności, przeciągając w luki odpowiednie znaki lub kliknij w lukę i wybierz odpowiedź z listy rozwijalnej.

72 {cm}^{3}

>

, 2.

=

, 3.

<

, 4.

=

, 5.

<

, 6.

>

, 7.

>

, 8.

=

, 9.

=

, 10.

=

, 11.

>

, 12.

>

, 13.

>

, 14.

=

, 15.

<

, 16.

<

, 17.

<

, 18.

<

0, 072 {dm}^{3}

5 {cm}^{3}

>

, 2.

=

, 3.

<

, 4.

=

, 5.

<

, 6.

>

, 7.

>

, 8.

=

, 9.

=

, 10.

=

, 11.

>

, 12.

>

, 13.

>

, 14.

=

, 15.

<

, 16.

<

, 17.

<

, 18.

<

0, 05 {dm}^{3}

13, 5 {dm}^{3}

>

, 2.

=

, 3.

<

, 4.

=

, 5.

<

, 6.

>

, 7.

>

, 8.

=

, 9.

=

, 10.

=

, 11.

>

, 12.

>

, 13.

>

, 14.

=

, 15.

<

, 16.

<

, 17.

<

, 18.

<

135000 {cm}^{3}

9, 9 {dm}^{3}

>

, 2.

=

, 3.

<

, 4.

=

, 5.

<

, 6.

>

, 7.

>

, 8.

=

, 9.

=

, 10.

=

, 11.

>

, 12.

>

, 13.

>

, 14.

=

, 15.

<

, 16.

<

, 17.

<

, 18.

<

9900 {cm}^{3}

0, 033 {dm}^{3}

>

, 2.

=

, 3.

<

, 4.

=

, 5.

<

, 6.

>

, 7.

>

, 8.

=

, 9.

=

, 10.

=

, 11.

>

, 12.

>

, 13.

>

, 14.

=

, 15.

<

, 16.

<

, 17.

<

, 18.

<

33000 {cm}^{3}

1505 {cm}^{3}

>

, 2.

=

, 3.

<

, 4.

=

, 5.

<

, 6.

>

, 7.

>

, 8.

=

, 9.

=

, 10.

=

, 11.

>

, 12.

>

, 13.

>

, 14.

=

, 15.

<

, 16.

<

, 17.

<

, 18.

<

15, 05 {dm}^{3}

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RSKOrbfQxEddz

Ćwiczenie 11

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RgPd6Tn872xzR

Ćwiczenie 12

Uzupełnij równości, przeciągając w luki odpowiednie znaki działań lub kliknij w lukę i wybierz odpowiedź z listy rozwijalnej.

26, 73

\cdot

, 2.

\cdot

, 3.

\cdot

, 4.

:

, 5.

:

, 6.

:

, 7.

\cdot

, 8.

:

, 9.

:

, 10.

:

, 11.

\cdot

, 12.

\cdot

10 = 267, 3

241, 87

\cdot

, 2.

\cdot

, 3.

\cdot

, 4.

:

, 5.

:

, 6.

:

, 7.

\cdot

, 8.

:

, 9.

:

, 10.

:

, 11.

\cdot

, 12.

\cdot

100 = 2, 4187

5679, 8

\cdot

, 2.

\cdot

, 3.

\cdot

, 4.

:

, 5.

:

, 6.

:

, 7.

\cdot

, 8.

:

, 9.

:

, 10.

:

, 11.

\cdot

, 12.

\cdot

1000 = 5, 6798

65, 64

\cdot

, 2.

\cdot

, 3.

\cdot

, 4.

:

, 5.

:

, 6.

:

, 7.

\cdot

, 8.

:

, 9.

:

, 10.

:

, 11.

\cdot

, 12.

\cdot

1000 = 0, 06564

111, 111

\cdot

, 2.

\cdot

, 3.

\cdot

, 4.

:

, 5.

:

, 6.

:

, 7.

\cdot

, 8.

:

, 9.

:

, 10.

:

, 11.

\cdot

, 12.

\cdot

100 = 1, 11111

22, 222

\cdot

, 2.

\cdot

, 3.

\cdot

, 4.

:

, 5.

:

, 6.

:

, 7.

\cdot

, 8.

:

, 9.

:

, 10.

:

, 11.

\cdot

, 12.

\cdot

10 = 222, 22

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RPMFvrUd3b2IJ

Ćwiczenie 13

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R1EpkMXGu35XA

Ćwiczenie 14

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Notatnik

Możesz skorzystać z poniższego pola tekstowego do zapisania swoich notatek, rozwiązań zadań i innych informacji, które uważasz za potrzebne.

R1b8OvSPUG8s3

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

1. Pole powierzchni prostopadłościanu i sześcianu

3. Objętość prostopadłościanu