Rn6pFhILv63xq
Ilustracja przedstawia chropowatą powierzchnię zbudowaną z srebrnych oraz złotych sześcianów.

Pole powierzchni i objętość bryły

Źródło: dostępny w internecie: pixabay.com, domena publiczna.

3. Objętość prostopadłościanu

W życiu codziennym umiejętność dobrania wymiarów brył, w tym również graniastosłupów, jest potrzebna choćby przy produkcji szklanek, misek, dzbanków, wazonów i innych naczyń, które mają ściśle określoną objętość (w języku potocznym w tym przypadku nazywana często pojemnością - dla szklanki jest to zwykle 250 ml, dla dzbanka 1 l, itd.).

R1J0z4JQeeyi2
Ilustracja przedstawia szklany słoik o podstawie ośmiokąta.
Źródło: GroMar Sp. z o.o., licencja: CC BY-SA 3.0.

Objętość obiektów trójwymiarowych jest bardzo ważnym pojęciem w matematyce, które ma szerokie zastosowanie w życiu codziennym. Informuje ona, jaka jest pojemność danego obiektu trójwymiarowego. Obiekty o różnych kształtach wymagają innego obliczenia objętości. Podczas pracy z sześcianami i prostopadłościanami, zanim obliczysz objętość, najpierw musisz zmierzyć długość krawędzi. Po zapoznaniu się z materiałem będziesz znać odpowiedź na pytanie, jak obliczyć objętość prostopadłościanu?

Jak obliczyć objętość prostopadłościanu?

Kacper postanowił sprawdzić, ile różnych prostopadłościanów można zbudować z dwunastu jednakowych klocków sześciennych. Wykorzystał małe klocki o krawędzi długości 1 cm.

R11D5YZhE7TLa1
Animacja przedstawia objętości różnych prostopadłościanów zbudowanych z takiej samej liczby klocków o takich samych wymiarach.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Film dostępny pod adresem /preview/resource/R11D5YZhE7TLa

Objetosc prostopadloscianu_animacja_2006
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Animacja przedstawia objętości różnych prostopadłościanów zbudowanych z takiej samej liczby klocków o takich samych wymiarach.

Objętość prostopadłościanu
Reguła: Objętość prostopadłościanu

Aby obliczyć objętość prostopadłościanu, mnożymy jego wymiary: długość, szerokość i wysokość.

Objętość figury najczęściej oznaczamy literą V.

RvybUztV9Aib01
Rysunek prostopadłościanu z zaznaczonymi krawędziami podstawy a i b oraz krawędzią boczną c. Zapis: V = a razy b razy c.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Objętość sześcianu

Każdy sześcian jest prostopadłościanem, więc jego objętość będziemy obliczać tak samo jak objętość prostopadłościanu.

Ważne!

Aby obliczyć objętość sześcianu, podnosimy do trzeciej potęgi długość jego krawędzi.

RJDMXkmlDuKz11
Rysunek sześcianu o krawędziach długości a. Zapis: V =a do potęgi trzeciej lub V =a razy a razy a razy a.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
1
Ćwiczenie 1
R1NUucPLA7hEW
Paulina budowała różne prostopadłościany z szesnastu jednakowych sześciennych klocków o krawędzi długości 1 cm. Oblicz brakujące wymiary tych prostopadłościanów. Uzupełnij puste pola tabeli, wpisując w luki odpowiednie liczby.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
R1LQAPkIjnF7M
Paulina budowała różne prostopadłościany z szesnastu jednakowych sześciennych klocków o krawędzi długości 1 cm. Oblicz brakujące wymiary tych prostopadłościanów. Uzupełnij zdania, wpisując w luki odpowiednie liczby. Długość pierwszego prostopadłościanu wynosi 16 cm, jego szerokość to Tu uzupełnij  cm,a jego wysokość to Tu uzupełnij  cm.Długość drugiego prostopadłościanu to 8 cm, jego szerokość to 1 cm, a jego wysokość to Tu uzupełnij cm.Długość trzeciego prostopadłościanu to Tu uzupełnij cm, jego szerokość to 1 cm, a jego wysokość to 4 cm.Długość czwartego prostopadłościanu to 2 cm, jego szerokość to 2 cm, a jego wysokość to Tu uzupełnij cm.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Ćwiczenie 2
RWaxFjFDImLHw
Każdy prostopadłościan zbudowany jest z sześcianów o krawędzi długości 1 cm. Oblicz objętości tych prostopadłościanów. Uzupełnij pola pod rysunkami, wpisując w nie odpowiednie liczby.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
R1WzJoLoD342j
Każdy z podanych prostopadłościanów zbudowany jest z sześcianów o krawędzi długości 1 cm. Oblicz objętości tych prostopadłościanów. Uzupełnij poniższe zdania, wpisując w luki odpowiednie liczby. Prostopadłościan, który ma szerokość dwóch sześcianów, wysokość trzech sześcianów i długość trzech sześcianów, ma objętość Tu uzupełnij cm3.Prostopadłościan, który ma szerokość dwóch sześcianów, wysokość czterech sześcianów i długość trzech sześcianów, ma objętość Tu uzupełnij cm3.Prostopadłościam, który ma szerokość dwóch sześcianów, wysokość dwóch sześcianów i długość pięciu sześcianów, ma objętość Tu uzupełnij cm3.Prostopadłościan, który ma szerokość trzech sześcianów, wysokość trzech sześcianów i długość dwóch sześcianów, ma objętość Tu uzupełnij cm3.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Ćwiczenie 3
Rqo4devdrRwhw
Oblicz objętość prostopadłościanu o wymiarach podanych na rysunku. Uzupełnij pola pod rysunkami, wpisując w nie odpowiednie liczby.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
R7cMv7ZlxDMGg
Oblicz objętość prostopadłościanu o podanych wymiarach. Uzupełnij poniższe zadnia, wpisując w luki odpowiednie liczby. Prostopadłościan o wymiarach 4 cm × 3 cm × 5 cm ma objętość Tu uzupełnij cm3.Prostopadłościan o wymiarach 3 cm × 3 cm × 6 cm ma objętość Tu uzupełnij cm3.Prostopadłościan o wymiarach 8 cm × 4 cm × 3 cm ma objętość Tu uzupełnij cm3.Prostopadłościan o wymiarach 7 cm × 4 cm × 4 cm ma objętość Tu uzupełnij cm3.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
RqHXelZoBwt87
Ćwiczenie 4
Oblicz objętość prostopadłościanu o podanych wymiarach. Wynik podaj w centymetrach sześciennych. Uzupełnij równości, wpisując w luki odpowiednie liczby. 12 cm, 1 dm, 6 cm V= Tu uzupełnij cm31,5 dm, 2 dm, 18 cm V= Tu uzupełnij cm325 mm, 4 cm, 1,5 cm V= Tu uzupełnij cm3160 mm, 15 cm, 0,8 dm V= Tu uzupełnij cm3
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Ćwiczenie 5

Oblicz, ile litrów wody zmieści się maksymalnie w prostopadłościennym akwarium o wymiarach podanych na rysunku.

RklEeZL7Mubar1
Rysunek prostopadłościanu o krawędziach podstawy długości 1 m, 50 cm i krawędzi bocznej długości 4 dm.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Wykonaj obliczenia trzema sposobami, za każdym razem wyrażając wymiary prostopadłościanu w innej jednostce.

R1SCbIVStZ00J
(Uzupełnij).
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Ćwiczenie 6
R1MvFuVULzaNS
Każdy z sześcianów przedstawionych na rysunkach zbudowany jest z małych sześcianów o krawędzi długości 1 cm. Oblicz objętość każdego sześcianu. Uzupełnij pola pod rysunkami, wpisując w nie odpowiednie liczby.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
RVdscm76l0mlD
Każdy z podanych sześciaów zbudowany jest z małych sześcianów o krawędzi długości 1 cm. Oblicz objętości tych sześcianów. Uzupełnij poniższe zdania, wpisując w luki odpowiednie liczby. Sześcian, który ma szerokość dwóch małych sześcianów, ma objętość Tu uzupełnij cm2.Sześcian, który ma długość czterech małych sześcianów, ma objętość Tu uzupełnij cm2.Sześcian, który ma wysokość trzech małych sześcianów, ma objętość Tu uzupełnij cm2.Sześcian, który ma długość pięciu małych sześcianów, ma objętość Tu uzupełnij cm2.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Ćwiczenie 7
RH1rN915DR7LT
Oblicz objętość sześcianu o krawędzi podanej długości. Uzupełnij równości, wpisując w luki odpowiednie liczby. 6 cm V= Tu uzupełnij cm39 cm V= Tu uzupełnij cm30,5 m V= Tu uzupełnij m30,7 dm V= Tu uzupełnij dm3
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Ćwiczenie 8
Rbz2XawzagxOT
Oblicz, ile litrów wody zmieści się w pojemniku w kształcie sześcianu, jeżeli długość jego wewnętrznej krawędzi jest podanej długości. Uzupełnij równości, wpisując w luki odpowiednie liczby. 12 cm V= Tu uzupełnij l2 dm V= Tu uzupełnij l 3,3 dm V= Tu uzupełnij l 0,8 m V= Tu uzupełnij l
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
1
Ćwiczenie 9
R1GEPGKpKuRxv
W tabeli podane są wymiary i objętości czterech prostopadłościanów. Oblicz brakujące liczby i uzupełnij puste pola tabeli, wpisując je w luki.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
RvpK9gHmCLtih
Oblicz brakujące wymiary podanych prostopadłościanów. Uzupełnij odpowiedzi, wpisując w luki odpowiednie liczby. Prostopadłościan o objętości 24 cm3, ma długość 2 cm, szerokość 4 cm i wysokość Tu uzupełnij cm.Prostopadłościan o objętości 36 cm3, ma długość Tu uzupełnij cm, szerokość 2 cm i wysokość 3 cm.Prostopadłościan o objętości 45 cm3, ma długość 5 cm, szerokość Tu uzupełnij cm i wysokość 3 cm.Prostopadłościan o objętości 64 cm3, ma długość 4 cm, szerokość 4 cm i wysokość Tu uzupełnij cm.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Ćwiczenie 10

Która z figur przedstawionych na rysunku ma większą objętość i o ile?

R7sXKDMUHUcNE1
Rysunek prostopadłościanu i sześcianu. Prostopadłościan ma krawędzie długości 3,5 cm, 4 cm i 5 cm. Sześcian ma krawędzie długości 4 cm.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
R7MjxN15jZApx
Zaznacz prawidłową odpowiedź. Możliwe odpowiedzi: 1. prostopadłościan o 6 cm3, 2. sześcian o 6 cm3, 3. sześcian o 0,5 cm3, 4. prostopadłościan o 0,5 cm3

  • prostopadłościan o 6 cm3
  • sześcian o 6 cm3
  • sześcian o 0,5 cm3
  • prostopadłościan o 0,5 cm3
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
R1RUxTsaTmkCL
Ćwiczenie 11
Blat biurka zrobiony jest z drewnianej płyty o grubości 4 cm. Prostokątna powierzchnia blatu ma wymiary 50 cm i 110 cm. Oblicz objętość drewna zużytego na ten blat. Podaj wynik w decymetrach sześciennych. Uzupełnij odpowiedź, wpisując w lukę odpowiednią liczbę. Odpowiedź: Na blat zużyto Tu uzupełnij dm3 drewna.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
R1I3FsQw1B0oV
Ćwiczenie 12
Basen ma kształt prostopadłościanu. Oblicz, ile najwięcej metrów sześciennych wody mieści się w tym basenie, jeżeli jego długość wynosi 20 m, szerokość 12 m i głębokość 1,4 m. Uzupełnij odpowiedź, wpisując w lukę odpowiednią liczbę. Odpowiedź: W basenie maksymalnie zmieści się Tu uzupełnij m3 wody.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
RLp9OHISydWCA
Ćwiczenie 13
Czy prostopadłościany o podanych wymiarach można podzielić na jednakowe sześciany o krawędzi 3 cm? Jeżeli tak, to ile sześcianów powstanie? Połącz w pary wymiary prostopadłościanów ze zdaniami, które je opisują. 12 cm, 8 cm, 15 cm Możliwe odpowiedzi: 1. Ten prostopadłościan można podzielić na 6 takich sześcianów., 2. Ten prostopadłościan można podzielić na 72 takie sześciany., 3. Tego prostopadłościanu nie można podzielić na takie sześciany., 4. Ten prostopadłościan można podzielić na 27 takich sześcianów. 9 cm, 12 cm i 18 cm Możliwe odpowiedzi: 1. Ten prostopadłościan można podzielić na 6 takich sześcianów., 2. Ten prostopadłościan można podzielić na 72 takie sześciany., 3. Tego prostopadłościanu nie można podzielić na takie sześciany., 4. Ten prostopadłościan można podzielić na 27 takich sześcianów. 9 cm, 9 cm, 9 cm Możliwe odpowiedzi: 1. Ten prostopadłościan można podzielić na 6 takich sześcianów., 2. Ten prostopadłościan można podzielić na 72 takie sześciany., 3. Tego prostopadłościanu nie można podzielić na takie sześciany., 4. Ten prostopadłościan można podzielić na 27 takich sześcianów. 3 cm, 6 cm, 9 cm Możliwe odpowiedzi: 1. Ten prostopadłościan można podzielić na 6 takich sześcianów., 2. Ten prostopadłościan można podzielić na 72 takie sześciany., 3. Tego prostopadłościanu nie można podzielić na takie sześciany., 4. Ten prostopadłościan można podzielić na 27 takich sześcianów.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Ćwiczenie 14

Zosia skleja ścianami jednakowe sześciany. Skleiła już taką bryłę, jak ta na rysunku poniżej.

R18WDXFeAO7rP1
Rysunek bryły zbudowanej z dziewięciu jednakowych sześcianów.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
R1S25TLOavPMl
Uzupełnij poniższe zdanie, wpisując w luki odpowiednie liczby. Zosia powinna dokleić Tu uzupełnij sześcianów, aby powstał sześcian i Tu uzupełnij sześcianów aby powstał prostopadłościan.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
R1WxzvqJgPkHn
Zosia ustawiła sześć jednakowych sześcianów o boku długości jeden na drugim. Jaką objętość będzie miał powstały w ten sposób prostopadłościan? Zaznacz prawidłową odpowiedź. Możliwe odpowiedzi: 1. 162 cm3, 2. 135 cm3, 3. 54 cm3, 4. 225 cm3
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Notatnik

Możesz skorzystać z poniższego pola tekstowego do zapisania swoich notatek, rozwiązań zadań i innych informacji, które uważasz za potrzebne.

R1b8OvSPUG8s3
(Uzupełnij).
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
2. Objętość bryły. Jednostki objętości
Powtórzenie - Figury w trzech wymiarach