2. Złoty podział

R1VDWfoyK6M2u

Znali go już starożytni Grecy, zachwycali się nim malarze i architekci. Euklides umieścił go w swoim wiekopomnym dziele Elementy. Znajdujemy go w proporcjach piramid, proporcjach ciała człowieka, proporcjach kart do gry. Jest obecny w muzyce i przyrodzie. To złoty podziałzłoty podziałzłoty podział, zwany też boską proporcją. Określenie „złoty podziałzłoty podziałzłoty podział” wymyślił podobno sam Leonardo da Vinci, który złoty podział wykorzystywał w praktyce w tworzonych przez siebie dziełach.

R19FE7HDQjovg

Ilustracja przedstawia bryłę obrazującą złoty podział. Bryła obrysem przypomina kulę, ale składa się ze ścian w kształcie pięciokątów foremnych i trójkątów równobocznych. — Dwunastościan z elementami złotego podziału, ilustracja wykonana przez Leonarda da Vinci
Źródło: dostępny w internecie: Wikipedia.org, domena publiczna.

Ze złotym podziałem związana jest złota liczba. Co to jest złoty podziałzłoty podziałzłoty podział i jaką wartość ma złota liczba dowiesz się, analizując zawarty poniżej materiał.

W tym materiale będziesz przekształcać wyrażenia zawierające pierwiastki, wykonasz proste konstrukcje geometryczne.

Złoty podziałzłoty podziałZłoty podział (zwany też złotą proporcją, albo boską proporcją) to podział odcinka na dwie części tak, aby stosunek dłuższej z tych części do krótszej był taki sam, jak stosunek długości całego odcinka do długości dłuższej części.

R1cLq839iwMC0

Ilustracja przedstawia dwa równoległe odcinki. Pierwszy odcinek podzielony jest na dwie części. Pierwsza część jest większa i podpisana "a" a druga, mniejsza część podpisana jest "b". Drugi odcinek pod spodem, który jest tej samej długości co pierwszy podpisany jest "a plus b". — Źródło: GroMar Sp. z o.o., licencja: CC BY 3.0.

Korzystając z rysunku, można ten stosunek zapisać następująco:

\frac{a}{b} = \frac{a + b}{a}

Stosunek długości $\frac{a}{b}$ został nazwany złotą liczbązłota liczbazłotą liczbą i oznaczony grecką literą $ϕ$ (fi). Złota liczba jest liczbą niewymierną.

ϕ = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} = 1, 61803398 \dots

Złoty podziałzłoty podziałZłoty podział wykorzystują architekci, malarze, projektanci sprzętów użytkowych. W jaki sposób znajdują punkt złotego podziału, dowiesz się analizując poniższy przykład.

Przykład 1

Dany jest odcinek długości $a$ . Chcemy skonstruować taki odcinek o długości $b$ , że $\frac{a}{b} = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ .
Opiszemy kolejne kroki konstrukcji:

Rysujemy kwadrat $A B C D$ o boku długości $a$ .
Znajdujemy środek $S$ boku $A B$ .
Zaznaczamy odcinek $S C$ .
Kreślimy okrąg o promieniu $S C$ .
Okrąg przecina prostą $A B$ w punkcie $E$ . Oznaczamy: $B E = b$ .

RSbkMlV3KgcIF

Ilustracja przedstawia okrąg. Wewnątrz okręgu znajduje się kwadrat A B C D. Wierzchołki A i B leżą na średnicy okręgu, a wierzchołki D i C na okręgu. Bok kwadratu ma długość "a". Wierzchołek B połączono z punktem E leżącym na końcu średnicy i podpisano "b". Poprowadzono odcinek S C, gdzie S to środek okręgu. Odcinek SB ma długość równą połowie "a". — Źródło: GroMar Sp. z o.o., licencja: CC BY 3.0.

Zatem punkt $B$ jest punktem złotego podziału odcinka $A E$ .

Wykażemy algebraicznie poprawność konstrukcji. Obliczamy długość odcinka $S C$ , jako długość przeciwprostokątnej trójkąta $B C S$ . Korzystamy z twierdzenia Pitagorasa.

{|S C|}^{2} = a^{2} + {(\frac{a}{2})}^{2} = \frac{5}{4} a^{2}

|S C| = \frac{a \sqrt{5}}{2}

Korzystając z rysunku zauważamy, że

|S C| = \frac{a}{2} + |E B|

Wyznaczamy $|E B| = b$ .

|E B| = |S C| - \frac{a}{2}

|E B| = \frac{a \sqrt{5}}{2} - \frac{a}{2} = \frac{a (\sqrt{5} - 1)}{2}

Rozszerzamy znaleziony ułamek przez $1 + \sqrt{5}$ , wykonujemy wskazane działania i skracamy.

|E B| = \frac{a (\sqrt{5} - 1)}{2} = \frac{a (\sqrt{5} - 1) (1 + \sqrt{5})}{2 (1 + \sqrt{5})}

|E B| = \frac{a (\sqrt{5} + 5 - 1 - \sqrt{5})}{2 (1 + \sqrt{5})} = \frac{4 a}{2 (1 + \sqrt{5})} = \frac{2 a}{1 + \sqrt{5}} = b

Sprawdzimy, czy znaleziony odcinek spełnia warunek złotej proporcji, czyli czy zachodzi warunek:

\frac{a}{b} = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}

W miejsce $b$ podstawiamy uzyskane wyrażenie.

\frac{a}{b} = \frac{a}{\frac{2 a}{1 + \sqrt{5}}} = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}

Oznacza to, że odcinki $a$ , $b$ pozostają w złotym stosunku, zatem punkt $B$ jest punktem złotego podziału odcinka $S E$ .

Złota liczbazłota liczbaZłota liczba ma wiele ciekawych własności. Poznamy dwie z nich.

Przykład 2

Wykażemy, że różnica między złotą liczbązłota liczbazłotą liczbą, a jej odwrotnością jest równa $1$ .
Złota liczba to $φ = \frac{\sqrt{5} + 1}{2}$ , odwrotność złotej liczby to $\frac{1}{φ} = \frac{1}{\frac{\sqrt{5} + 1}{2}}$ .
Zapisujemy odwrotność złotej liczbyzłota liczbazłotej liczby w prostszej postaci.
$\frac{1}{φ} = \frac{1}{\frac{\sqrt{5} + 1}{2}} = \frac{2}{\sqrt{5} + 1}$
Obliczamy różnicę tych liczb – sprowadzamy ułamki do wspólnego mianownika, wykonujemy wskazane działania i skracamy otrzymany ułamek.

φ - \frac{1}{φ} = \frac{\sqrt{5} + 1}{2} - \frac{2}{\sqrt{5} + 1} = \frac{(\sqrt{5} + 1) (\sqrt{5} + 1) - 4}{2 (\sqrt{5} + 1)}

φ - \frac{1}{φ} = \frac{5 + \sqrt{5} + \sqrt{5} + 1 - 4}{2 (\sqrt{5} + 1)}

φ - \frac{1}{φ} = \frac{2 \sqrt{5} + 2}{2 (\sqrt{5} + 1)}

φ - \frac{1}{φ} = \frac{2 \sqrt{5} + 2}{2 \sqrt{5} + 2} = 1

φ - \frac{1}{φ} = 1

Możemy też zapisać:

φ = \frac{1}{φ} + 1

Przykład 3

Obliczymy kwadrat złotej liczbyzłota liczbazłotej liczby.
Złota liczba to $φ = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ , zatem kwadrat tej liczby to

φ^{2} = {(\frac{1 + \sqrt{5}}{2})}^{2}

Kwadrat złotej liczby zapisujemy w postaci iloczynu i wykonujemy wskazane działania.

φ^{2} = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \cdot \frac{1 + \sqrt{5}}{2}

φ^{2} = \frac{1 + 5 + \sqrt{5} + \sqrt{5}}{4}

φ^{2} = \frac{6 + 2 \sqrt{5}}{4}

Skracamy otrzymany ułamek przez $2$ i przekształcamy otrzymane wyrażenie.

φ^{2} = \frac{3 + \sqrt{5}}{2} = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} + \frac{2}{2}

φ^{2} = φ + 1

Wniosek
Złota liczbazłota liczbaZłota liczba jest równa sumie odwrotności złotej liczby i liczby $1$ .

φ = \frac{1}{φ} + 1

Kwadrat złotej liczbyzłota liczbazłotej liczby jest równy sumie złotej liczby i liczby $1$ .

φ^{2} = φ + 1

Przykład 4

Z powyższego wniosku wynika sposób obliczenia przybliżonej wartości liczby $φ$ . Wartość tę można obliczyć, korzystając z poniższego algorytmu.

Zapisz dowolną liczbę $a$ .
Znajdź iloraz $\frac{1}{a}$ i oznacz go $b$ .
Oblicz $b + 1$ i oznacz sumę $c$ .
Znajdź iloraz $\frac{1}{c}$ i oznacz go $d$ .
Oblicz $d + 1$ i sumę oznacz e.
Dla liczby $e$ powtórz całą procedurę (taką jak dla $c$ ).
Przykład zastosowania algorytmu, gdy $a = 2$ .

Liczba	Iloraz	Suma
$2$	$\frac{1}{2} = 0, 5$	$0, 5 + 1 = 1, 5$
$1, 5$	$\frac{1}{1, 5} = 0, 666 \dots$	$0, 666 \dots + 1 = 1, 666 \dots$
$1, 666 \dots$	$\frac{1}{1, 666 \dots} \approx 0, 6$	$0, 6 + 1 = 1, 6$
$1, 6$	$\frac{1}{1, 6} = 0, 625$	$0, 625 + 1 = 1, 625$
$1, 625$	$\frac{1}{1, 625} = 0, 6153 \dots$	$0, 6153 + 1 = 1, 6153 \dots$

Im więcej wykonamy obliczeń, tym otrzymamy dokładniejsze przybliżenie wartości liczby $φ$ .

Złoty podziałzłoty podziałZłoty podział wykorzystywany jest w zastosowaniach praktycznych. Domy, trawniki, tarasy na planie złotego prostokąta powstawały już w starożytnej Grecji.

Przykład 5

W prostokącie jeden z boków ma długość $a$ , drugi $a + b$ , przy czym $\frac{a}{b} = φ$ .

R5R3Q6Mcq9lDe

Ilustracja przedstawia prostokąt o wymiarach "a" oraz "a plus b". Prostokąt podzielono tak aby składał się z kwadratu o boku "a" i prostokąta o wymiarach "a" na "b". — Źródło: GroMar Sp. z o.o., licencja: CC BY-SA 3.0.

Wykażemy, że boki tego prostokąta pozostają w złotym stosunku. Istotnie:

\frac{a + b}{a} = \frac{a}{a} + \frac{b}{a} = 1 + \frac{1}{φ}

Korzystając z podanego wyżej Wniosku możemy zapisać:

\frac{a + b}{a} = 1 + \frac{1}{φ} = φ

Prostokąt o własności udowodnionej w przykładzie (boki prostokąta pozostają w złotym stosunku) zwany jest złotym prostokątem.

Równie ciekawy, jak złoty podziałzłoty podziałzłoty podział, jest srebrny podział, znany również starożytnym Grekom.

Srebrny podział, to taki podział odcinka na dwie części, że stosunek dłuższej z tych części do krótszej jest taki sam, jak stosunek sumy długości całego odcinka i długości dłuższej części do długości dłuższej części.

Jeśli przez $a$ oznaczymy długość dłuższej części odcinka, a przez $b$ długość krótszej części odcinka, to srebrny podział możemy opisać następująco:

\frac{a}{b} = \frac{2 a + b}{a} = 1 + \sqrt{2} = 2, 4142 \dots

Liczba $1 + \sqrt{2}$ zwana jest srebrną liczbą.
Srebrny podział można zaobserwować na przykład w ośmiokącie foremnym.

RE6W0BUgucenc

Ilustracja przedstawia ośmiokąt foremny. Bok ośmiokąta ma długoś jeden, a odległość miedzy dwoma równoległymi bokami wynosi jeden plus pierwiastek z dwóch. — Źródło: GroMar Sp. z o.o., licencja: CC BY-SA 3.0.

Przykład 6

Pokażemy teraz, jak można skonstruować srebrny prostokąt.

Rysujemy kwadrat $A B C D$ o boku długości $1$ .
W kwadrat wpisujemy trójkąt równoramienny $A B E$ i rysujemy wysokość $E F$ .
Dzielimy odcinek $E F$ na dwie równe części i oznaczamy punkt podziału $G$ .
Rysujemy trójkąt $A B G$ .
Wpisujemy w trójkąt $A B G$ okrąg.
Rysujemy styczną do tego okręgu równoległą do boku $A B$ , przecinającą boki kwadratu w punktach $K$ , $L$ .
Prostokąt $A B K L$ to srebrny prostokąt.

R3iA0iLhgRb2n

Ilustracja przedstawia kwadrat A B C D. W połowie długości boku C D zaznaczono punkt E i poprowadzono odcinki A E i B E tak że powstał trójkąt równoramienny A B E. Następnie na boku A B zaznaczono punkt F który dzielił bok na połowę. Poprowadzono odcinek E F i zaznaczono w jego połowie punkt G. Następnie zaznaczono odcinki A G oraz B G tworząc trójkąt równoramienny A B G. W ten trójkąt wpisano okrąg. Poprowadzono styczną do okręgu równoległą do boków A B i C D. W ten sposób przecięcie stycznej z bokami B C oraz A D wyznaczyło odpowiednio punkty K i L. — Źródło: GroMar Sp. z o.o., licencja: CC BY-SA 3.0.

Polecenie 1

Zapoznaj się z filmem, ukazującym przykłady zastosowania złotego podziału w kompozycjach architektonicznych, malarskich, przedmiotach użytkowych. Wykonaj złoty podziałzłoty podziałzłoty podział odcinka, korzystając ze wskazówek podanych na filmie.

Rll7OHqTm1RHc

Źródło: GroMar Sp. z o.o., licencja: CC BY-SA 3.0.

Polecenie 2

Wykaż, że złota liczba jest rozwiązaniem równania $x^{2} - x - 1 = 0$ .

Podstaw w miejsce $x$ liczbę $φ$ .

x^{2} - x - 1 = 0

W miejsce niewiadomej podstawiamy $φ = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ .

L = {(\frac{1 + \sqrt{5}}{2})}^{2} - \frac{1 + \sqrt{5}}{2} - 1

Zapisujemy potęgowanie w postaci mnożenia i sprowadzamy ułamki do wspólnego mianownika.

L = \frac{(1 + \sqrt{5}) (1 + \sqrt{5})}{4} - \frac{2 + 2 \sqrt{5}}{4} - \frac{4}{4}

L = \frac{1 + 2 \sqrt{5} + 5 - 2 - 2 \sqrt{5} - 4}{4} = \frac{0}{4} = 0

L = P

Lewa strona równania jest równa prawej, zatem liczba $φ$ jest rozwiązaniem danego równania, co należało wykazać.

Polecenie 3

Wykaż, że dla złotej liczby prawdziwa jest równość $φ^{3} = ϕ^{2} + φ$ .

Podziel obie strony równości przez $φ$ .

Mamy udowodnić, że $φ^{3} = ϕ^{2} + φ$ .
Ponieważ $ϕ \neq 0$ , więc obie strony równości możemy podzielić przez $ϕ$ .
$φ^{3} = φ^{2} + φ : ϕ$

φ^{2} = φ + 1

Przenosimy wszystkie wyrazy na jedną stronę równości.

φ^{2} - φ - 1 = 0

Na podstawie rozwiązania zadania z Polecenia $2$ wnioskujemy, że złota liczba spełnia uzyskany warunek, co należało wykazać.

Polecenie 4

Srebrny podział $δ_{s}$ nawiązuje do złotego podziału, jest równy $δ_{s} = 1 + \sqrt{2}$ . Oblicz przybliżoną wartość srebrnego podziału. Wynik podaj z dokładnością do $0, 01$ .

Przyjmij $\sqrt{2} \approx 1, 41$ .

$δ_{s} = 1 + \sqrt{2} \approx 1 + 1, 41 = 2, 41$ .

Srebrny podział jest równy około $2, 41$ .

R1ILy0ANg3jko

Ćwiczenie 1

Źródło: GroMar Sp. z o.o., licencja: CC BY-SA 3.0.

RyHNuyingbxAZ

Ćwiczenie 2

Źródło: GroMar Sp. z o.o., licencja: CC BY 3.0.

R1Cf2QwcZ6DmB

Ćwiczenie 3

Źródło: GroMar Sp. z o.o., licencja: CC BY 3.0.

R14EqNfLmk1tX

Ćwiczenie 4

Źródło: GroMar Sp. z o.o., licencja: CC BY-SA 3.0.

R9PijmRZtHAcS

Ćwiczenie 5

Źródło: GroMar Sp. z o.o., licencja: CC BY-SA 3.0.

RaLwOnPFMTH4W

Ćwiczenie 6

Źródło: GroMar Sp. z o.o., licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 7

Wykaż, że $\frac{1}{φ} + \frac{1}{φ^{2}} = 1$ .

L = \frac{1}{φ} + \frac{1}{φ^{2}} = \frac{φ + 1}{φ^{2}}

P = \frac{\frac{1 + \sqrt{5}}{2} + \frac{2}{2}}{{(\frac{1 + \sqrt{5}}{2})}^{2}} = \frac{\frac{3 + \sqrt{5}}{2}}{\frac{6 + 2 \sqrt{5}}{4}}

L = \frac{3 + \sqrt{5}}{2} \cdot \frac{4}{6 + 2 \sqrt{5}} = \frac{6 + 2 \sqrt{5}}{6 + 2 \sqrt{5}} = 1

L = P

Ćwiczenie 8

Narysuj pięciokąt foremny, a następnie skonstruuj pentagram (gwiazdę pięcioramienną). Dowiedz się, które długości boków pentagramu pozostają w złotym stosunku i zaznacz jedną parę takich odcinków.

R1KrdOHEVBzsd

Źródło: GroMar Sp. z o.o., licencja: CC BY 3.0.

Znajdź złoty podział odcinka o końcach $A (2, 8)$ oraz $B (0, 6)$ .

Aby narysować pentagram należy połączyć odcinkami co drugi wierzchołek pięciokąta.

Wyznacz długość odcinka $A B$ , korzystając z odpowiedniego wzoru. Następnie wykorzystaj złotą liczbę do wyznaczenia złotego podziału.

RF5MegQIMkFhB

Ilustracja przedstawia pięcioramienną gwiazdę. Odległość łącząca dwa wierzchołki gwiazdy ma długość "b", długość jednego ramienia ma długość "c", długość ramienia oraz podstawa ramienia ma długość "a", podstawa ramienia ma długość "d" . Pod spodem zapisano: fi równa się be przez a, fi równa się a przez ce i fi równa się ce przed d. — Źródło: GroMar Sp. z o.o., licencja: CC BY 3.0.

Długość odcinka $A B$ wynosi $2 \sqrt{2}$ , a złoty podział: $b = 3 \sqrt{2} - \sqrt{10}$ oraz $a = \sqrt{10} - \sqrt{2}$ .

Ćwiczenie 9

Podziel odcinek według złotej proporcji, zgodnie z podanym przepisem.

Narysuj dowolny odcinek $A B$ .
Skonstruuj odcinek $B C$ prostopadły do odcinka $A B$ , o długości równej połowie długości odcinka $A B$ .
Narysuj odcinek $A C$ .
Wykreśl okrąg o środku w punkcie $C$ i promieniu $B C$ . Oznacz przez $D$ punkt przecięcia okręgu i odcinka $A C$ .
Wykreśl okrąg o środku w punkcie $A$ i promieniu $A D$ . Oznacz przez $P$ punkt przecięcia okręgu i odcinka $A B$ . Punkt $P$ jest punktem podziału odcinka $A B$ w złotym stosunku.

RGRQRxPQZrHo4

Źródło: GroMar Sp. z o.o., licencja: CC BY 3.0.

Mateusz wykonał projekt okładki na książkę. Na maszynie drukarskiej ustawił, że logo wydawnictwa będzie znajdować się pomiędzy linią wyznaczającą środek, a linią wyznaczającą złoty podział okładki. Określ, jak duże może być logo, aby zmieściło się w określonych liniach, jeżeli okładka książki ma kształt kwadratu o boku $18 cm$ .

Narysuj najpierw odcinek $A B$ , a następnie podziel go konstrukcyjnie na dwie równe części. Odcinek $B C$ , prostopadły do odcinka $A B$ , skonstruuj za pomocą cyrkla.

Podziel odcinek o długości $18 cm$ według złotego podziału. Określ też jego środek. Następnie wyznacz różnicę pomiędzy wartościami.

RwDTwIDDeWi4Q

Ilustracja przedstawia dwa wykreślone okręgi. Jeden okrąg ma środek w punkcie A a drugi w punkcie C. Dwa okręgi są do siebie styczne zewnętrznie w punkcie D. Każdy z okręgów ma dwa różne promienie. Poprowadzono poziomą styczną mniejszego okręgu tak, że przechodzi ona przez średnicę okręgu o środku w punkcie A. Punkt styczności oznaczono punktem B. Stworzył się w ten sposób trójkąt prostokątny A B C. Punkt, w którym bok AB przecina większy okrąg, oznaczono przez P. — Źródło: GroMar Sp. z o.o., licencja: CC BY 3.0.

Połowa odcinka o długości $18 cm$ , to $9 cm$ . Złoty podział dzieli odcinek na dwie części o długości $b = 27 - 9 \sqrt{5}$ oraz $a = 9 \sqrt{5} - 9$ . Przestrzeń na logo wynosi $9 \sqrt{5} - 18 \approx 2, 12$ .

Słownik

złoty podział

podział odcinka na dwie części tak, aby stosunek dłuższej z tych części do krótszej był taki sam, jak stosunek długości całego odcinka do długości dłuższej części.

złota liczba

liczba niewymierna:

φ = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} = 1, 61803398 \dots

Notatnik

Możesz skorzystać z poniższego pola tekstowego do zapisania swoich notatek, rozwiązań zadań i innych informacji, które uważasz za potrzebne.

R1b8OvSPUG8s3

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

1. Związki matematyki i przyrody

Matematyka w przyrodzie