1. Związki matematyki i przyrody

Rxd9eoMZ7693l

Od tysięcy lat ludzie obserwują przyrodę i usiłują opisać ją za pomocą formuł matematycznych. Przyroda również dostarcza matematykom inspiracji do definiowania nowych pojęć i zależności. Wiele działów matematyki rozwinęło się w wyniku opisywania zjawisk astronomicznych, chemicznych czy związanych z pogodą.

Matematyka jest ściśle połączona ze światem materialnym, pomaga rozwiązać wiele problemów praktycznych. Jest językiem, którym można opisać świat przyrody.

RwGiuS1M1UZSI

lustracja przedstawia portret mężczyzny w średnim wieku, z brązowymi krótkimi włosami i długą, siwą brodą. Mężczyzna ubrany jest w średniowieczny strój w jasnych kolorach. — Portret Galileusza autorstwa Ottavio Leoni (Florencja, Biblioteca Marucelliana)
Źródło: *dostępny w internecie Wikimedia Commons*, domena publiczna.

Szesnastowieczny włoski uczony, astrolog i matematyk Galileusz uważał, że „księga natury pisana jest w matematycznym języku”.

Jeśli chcesz poznać zastosowanie matematyki w naukach przyrodniczych, zapoznaj się z tym materiałem.

Będziesz mieć okazję do rozwiązania zadań matematyczno - przyrodniczych, wykonania działań na ułamkach, zastosowania i zamiany jednostek długości, masy i temperatury.

Współczesny aparat matematyczny pozwala na opisywanie wielu praw rządzących światem przyrody. Jednak większość wykorzystanych do tego celu wzorów matematycznych jest bardzo skomplikowana. Zatem pokazując związki matematyki i przyrody ograniczymy się do wykorzystania elementarnych pojęć i zależności matematycznych. Będziemy przy tym zamieniać i posługiwać się jednostkami miar, które odgrywają dużą rolę w naukach przyrodniczych. Ułatwiają bowiem komunikację uzyskanych informacji. Jednostki będziemy zapisywać w układzie SIUkład SIukładzie SI.

Układ SIUkład SIUkład SI to Międzynarodowy Układ Jednostek Miar, stworzony w oparciu o metryczny system miar. W Polsce obowiązuje od $1966$ r.

Na początek kilka ciekawostek o ludziach i zwierzętach.

Przykład 1

W tabeli przedstawiono długość tułowia i długość ogonów niektórych zwierząt.

Zwierzę	Długość tułowia	Długość ogona
Bażant	$50 cm$	$30 cm$
Jaszczurka długoogonowa	$8 cm$	$25 cm$
Piżmak	$25 cm$	$20 cm$
Kretnik pacyficzny	$16 cm$	$4 cm$

Ustalimy, u którego z tych zwierząt stosunek długości ogona do długości tułowia jest największy, a u którego najmniejszy.
W tym celu dzielimy w każdym przypadku długość ogona zwierzęcia przez długość jego tułowia.
Bażant: $\frac{30}{50} = \frac{3}{5} = 0, 6$
Jaszczurka długoogonowa: $\frac{25}{8} = 3, 125$
Piżmak: $\frac{20}{25} = \frac{4}{5} = 0, 8$
Kretnik pacyficzny: $\frac{4}{16} = \frac{1}{4} = 0, 25$

Odpowiedź:
Stosunek długości ogona do długości tułowia jest największy u jaszczurki długoogonowej – ogon jest ponad trzykrotnie dłuższy od tułowia. Najkrótszy ogon ma kretnik pacyficzny – stosunek długości ogona do długości tułowia u tego zwierzęcia wynosi bowiem zaledwie $0, 25$ .

W następnym przykładzie będziemy wykonywać obliczenia z zamianą i zastosowaniem jednostek długości. Przyda się nam więc wiedza dotycząca zależności między takimi jednostkami.

$1 cm = 10 mm$ ; $1 mm = 0, 1 cm$

$1 m = 100 cm = 1000 mm$ ; $1 cm = 0, 01 m$

Przykład 2

Ewa zapuszcza włosy, które przyrastają o $0, 32 mm$ dziennie.

a) O ile centymetrów dłuższe włosy będzie miała Ewa po miesiącu ( $30$ dni)?
b) Po ilu dniach włosy Ewy będą dłuższe o $12 cm$ ?
c) Czy po $10$ latach włosy Ewy będą dłuższe o co najmniej metr?

a) Po upływie jednego dnia włosy Ewy są dłuższe o $0, 32 mm$ , to po upływie $30$ dni będą dłuższe o

0, 32 mm \cdot 30 = 9, 6 mm \approx 1 cm

b) Aby obliczyć, po ilu dniach włosy Ewy będą dłuższe o $12 cm$ , zamieniamy najpierw centymetry na milimetry, a następnie wykonujemy dzielenie.
$12 cm = 120 mm$
$120 mm : 0, 32 mm = 375$
c) Przyjmijmy, że każdy rok ma $365$ dni. Wtedy dziesięć lat to
$365 \cdot 10 = 3650$ dni.
Zatem po $3650$ dniach włosy Ewy będą dłuższe o
$3650 \cdot 0, 32 = 1168$ milimetrów.
$1168 mm = 1, 168 m > 1 m$
Odpowiedź:
Po miesiącu włosy Ewy będą dłuższe prawie o $1 cm$ , po $375$ dniach będą dłuższe o $12 cm$ , a po dziesięciu latach będą dłuższe więcej niż o metr.

Okazuje się, że wiele zwierząt ma temperaturę ciała wyższą od normalnej temperatury ciała człowieka. O ile stopni Celsjusza dowiesz się, analizując kolejny przykład.

Przykład 3

W tabelce zapisano temperaturę ciała kilku zwierząt pani Aldony.

Zwierzę	Temperatura ciała w stopniach Celsjusza
Koń	$37, 8$
Świnia	$39$
Kot	$39$
Kura	$41$
Kaczka	$42$
Królik	$38$

Pies pani Aldony ma temperaturę ciała o tyle wyższą od temperatury ciała królika, o ile ma niższą od temperatury ciała kota.

Średnia temperatur ciała cielęcia i konia jest równa temperaturze ciała psa. Obliczymy, jaką temperaturę ciała ma cielę pani Aldony.

Oznaczmy przez $x$ – różnicę między temperaturą ciała (w stopniach Celsjusza) psa pani Aldony a temperaturą ciała królika.

Zapisujemy i rozwiązujemy równanie wynikające z treści zadania.
$x + 38 = 39 - x$
$x + 38 = 39 - x + x - 38$

x + x + 38 - 38 = 39 - x + x - 38

$2 x = 1 : 2$

x = 0, 5

Obliczamy temperaturę ciała psa:
$38 + 0, 5 = 38, 5 (° C)$
Oznaczmy przez $y$ temperaturę ciała (w stopniach Celsjusza) cielęcia pani Aldony. Zapisujemy i rozwiązujemy równanie wynikające z treści zadania.

\frac{y + 37, 8}{2} = 38, 5

$\frac{y + 37, 8}{2} = 38, 5 \cdot 2$
$y + 37, 8 = 77 - 37, 8$

y = 77 - 37, 8

$y = 39, 2 ° C$

Odpowiedź:
Temperatura ciała psa pani Aldony wynosi $38, 5 ° C$ , a temperatura ciała cielęcia $39, 2 ° C$ .

Przykład 4

Gęstość drewna to stosunek jego masy do objętości.
$g = \frac{m}{V}$ ,
gdzie:
$g$ – gęstość w $\frac{kg}{m^{3}}$ ,
$m$ – masa w $kg$ ,
$V$ – objętość w $m^{3}$ .
W tabeli przedstawiono dane na temat gęstości kilku gatunków drewna.

Gatunek	Gęstość w $\frac{kg}{m^{3}}$
Sosna	$550$
Brzoza	$660$
Wiśnia	$630$
Dąb	$680$
Akacja	$830$
Buk	$730$

Panowie Lichocik i Kocik chcą wyłożyć swoje tarasy drewnianymi deskami o wymiarach $2 m x 15 cm x 20 mm$ . W tym celu każdy z nich zamówił $180$ takich desek. Pan Lichocik zamówił deski bukowe, a pan Kocik – sosnowe. Do przewiezienia tych desek każdy z panów może wynająć samochód o ładowności $0, 5 t$ , $1 t$ lub $1, 5 t$ .
Który z tych samochodów powinien wynająć pan Lichocik, a który pan Kocik?

Obliczymy najpierw masę jednej deski, jako iloczyn objętości tej deski przez jej gęstość. Deska ma kształt prostopadłościanu o wymiarach $2 m x 15 cm x 20 mm$ . Aby obliczyć jej objętość, zapiszemy wymiary deski w metrach.

$15 cm = 0, 15 m$
$20 m m = 0, 02 m$
$V = 2 \cdot 0, 15 \cdot 0, 02 = 0, 006 (m^{3})$

Teraz wyznaczamy masę deski bukowej i masę wszystkich desek bukowych zakupionych przez pana Lichocika.
$m = 0, 006 \cdot 730 = 4, 38 (kg)$
$4, 38 \cdot 180 = 788, 4 (kg)$
Wyznaczamy masę deski sosnowej i masę wszystkich desek.
$m = 0, 006 \cdot 550 = 3, 3 (kg)$
$3, 3 \cdot 180 = 594 (kg)$

Odpowiedź:
Zarówno pan Lichocik, jak i pan Kocik powinien wynająć samochód o ładowności $1 t$ .

Napój izotoniczny to specjalny płyn, który ma na celu uzupełnienie wody i minerałów w organizmie sportowca, których pozbywa się organizm podczas intensywnego treningu.

Przykład 5

Składniki napoju izotonicznego dla $2$ osób.
$500 ml$ wody
Łyżka miodu – $25 g$
$5$ łyżek soku z cytryny – $30 g$
Szczypta soli – $0, 6 g$

Ustalimy, jaka będzie masa poszczególnych składników do przygotowania napoju izotonicznego dla grupy sportowców składającej się z $15$ osób.

Możemy przyjąć, że litr wody w temperaturze pokojowej ma masę $1 kg$ .

Zatem $500 ml$ wody ma masę $0, 5 kg$ .

Obliczymy najpierw masę składników potrzebnych do przygotowania napoju dla jednej osoby, a następnie dla piętnastu.

Składnik	Masa (w $kg$ ) składnika potrzebna dla $2$ osób	Masa (w $kg$ ) składnika potrzebna dla $1$ osoby	Masa (w $kg$ ) składnika potrzeba dla $15$ osób
Woda	$0, 5$	$0, 25$	$0, 25 \cdot 15 = 3, 75$
Miód	$0, 025$	$0, 0125$	$0, 0125 \cdot 15 = 0, 1875$
Sok z cytryny	$0, 030$	$0, 015$	$0, 015 \cdot 15 = 0, 225$
Sól	$0, 0006$	$0, 0003$	$0, 0003 \cdot 15 = 0, 0045$

Polecenie 1

Zapoznaj się z filmem pokazującym związki matematyki i przyrody.

A następnie podaj własny przykład zastosowania matematyki w przyrodzie nieożywionej.

RPPmU3aORyRvc

Źródło: GroMar Sp. z o.o., licencja: CC BY-SA 3.0.

Polecenie 2

Poszukaj w dostępnych ci źródłach informacji przynajmniej $3$ wiadomości dotyczących kuli ziemskiej i zapisz je za pomocą liczb.

Na przykład promień kuli ziemskiej wynosi ok. $6371 km$ , długość równika ok. $40075 km$ , odległość między Ziemią a Słońcem ok. $150000000 km$ .

Polecenie 3

Motorówka w dół rzeki płynie z prędkością $16 \frac{km}{h}$ , a w górę rzeki z prędkością $8 \frac{km}{h}$ . Oblicz prędkość prądu rzeki.

Oznaczmy:
$v \frac{km}{h}$ – prędkość prądu rzeki.

2 v = 16 - 8

2 v = 8

v = 4

Odpowiedź:
Prędkość prądu rzeki jest równa $4 \frac{km}{h}$ .

Polecenie 4

Duża dynia waży $\frac{10}{11}$ tego, co waży i jeszcze $\frac{10}{11} kg$ . Oblicz, ile waży dynia.

$\frac{10}{11} k g$ to $1 - \frac{10}{11} = \frac{1}{11}$ całej wagi dyni.

Ponieważ $1 - \frac{10}{11} = \frac{1}{11}$ , stąd $\frac{10}{11} kg$ to $\frac{1}{11}$ całej wagi dyni. Cała dynia waży więc $11$ razy więcej, czyli $\frac{10}{11} \cdot 11 = 10 (kg)$ .

Sprawdzenie:

$\frac{10}{11} \cdot 10 + \frac{10}{11} = \frac{100 + 10}{11} = \frac{110}{11} = 10$ .

Dynia waży $10 k g .$

RLUX4LyZAYfEH

Ćwiczenie 1

Źródło: GroMar Sp. z o.o., licencja: CC BY-SA 3.0.

R1EeS2ixl1ssD

Ćwiczenie 2

Źródło: GroMar Sp. z o.o., licencja: CC BY 3.0.

R1773FyTICZL4

Ćwiczenie 3

Źródło: GroMar Sp. z o.o., licencja: CC BY 3.0.

RHlhp3EPEyjtq

Ćwiczenie 4

Źródło: GroMar Sp. z o.o., licencja: CC BY 3.0.

R1NGDvZ5zpE5L

Ćwiczenie 5

Źródło: GroMar Sp. z o.o., licencja: CC BY-SA 3.0.

RvmtVUSBpA7SF

Ćwiczenie 6

Źródło: GroMar Sp. z o.o., licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 7

Dynia waży $\frac{3}{4}$ swojej wagi i jeszcze $1, 5$ kilograma. Ile waży dynia?

Zauważ, że $\frac{1}{4}$ wagi dyni to $1, 5 kg$ .

Jeśli wagę dyni oznaczymy przez $x kg$ , to $x - \frac{3}{4} x = \frac{1}{4} x$ .
Mamy więc znaleźć liczbę, której $\frac{1}{4}$ jest równa $1, 5$ .
$\frac{1}{4} x = 1, 5 : \frac{1}{4}$ .

x = 4 \cdot 1, 5 = 6

Dynia waży $6 kg$ .

Ćwiczenie 8

Pęd jednego z gatunków bambusa wydłuża się nawet o $14, 4 cm$ w ciągu doby.

O ile milimetrów będzie wyższy pęd tego bambusa po godzinie?
O ile metrów będzie wyższy pęd takiego bambusa po upływie tygodnia?
Po ilu dniach pęd tego bambusa osiągnie wysokość ponad $10 m$ ?

Podziel najpierw $14, 4$ przez $24$ .
Pomnóż najpierw $14, 4$ przez $7$ .
$10 m = 1000 cm$ .

$14, 4 : 24 = 0, 6$ ,
$0, 6 cm = 6 mm$ .
Odpowiedź:
Pęd będzie wyższy o $6 mm$ .
$14, 4 \cdot 7 = 100, 8$ ,
$100, 8 cm \approx 1 m$ .
Odpowiedź:
Po upływie tygodnia pęd będzie wyższy o około $1 m$ .
$10 m = 1000 cm$ ,
$1000 : 14, 4 = 69, 444 \dots$
Odpowiedź:
Pęd osiągnie wysokość $10 m$ po $70$ dniach.

Słownik

Układ SI

to Międzynarodowy Układ Jednostek Miar, stworzony w oparciu o metryczny system miar.

Notatnik

Możesz skorzystać z poniższego pola tekstowego do zapisania swoich notatek, rozwiązań zadań i innych informacji, które uważasz za potrzebne.

R1b8OvSPUG8s3

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

2. Złoty podział

Matematyka w przyrodzie