6. Wielokrotne podwyżki oraz obniżki cen

RbCNCE9qaDfMo

Nazwa procent pochodzi od łacińskiego „pro centrum”, czyli „na sto”. Nie jest wyjaśnione pochodzenie symbolu procentu. W języku polskim słowo procent pojawiło się w pierwszej połowie $XIX$ wieku, zapożyczone z języka niemieckiego „prozent”.

Z obliczeniami procentowymi mamy do czynienia nie tylko w banku, ale na przykład w sklepie, kupując towary w okresie wyprzedaży. Zatem umiejętność wykonywania obliczeń procentowych jest bardzo pomocna w szacowaniu wartości kwoty, którą należy zapłacić.

R14eU0OyNvzVn

Ilustracja przedstawia kolaż złożony ze zdjęć nawiązujących do wyprzedaży. Są na nich czerwone balony z symbolem procenta, kobieta z torbami na zakupy oraz stoiska z ubraniami . — Źródło: Grafiki na podstawie: Pexels.com, licencja: CC BY 3.0.

W tym materiale omówimy, jak można szybko obliczyć kwotę do zapłaty, gdy cena danego towaru została wielokrotnie podwyższona lub obniżona o dany procentprocentprocent.

W tym celu:

wykonasz obliczenia procentowe,
zastosujesz obliczenia procentowe w zadaniach z życia codziennego,
dobierzesz model matematyczny do rozwiązania problemu z kontekstem realistycznym.

procent

Definicja: procent

Jeden procent danej wielkości to $\frac{1}{100}$ tej wielkości.

Jeden procent oznaczamy $1 %$ .

Ważne!

$p %$ danej wielkości to $\frac{p}{100}$ tej wielkości.

Często w sklepach zauważmy informacje o rabatachrabatrabatach (obniżkach), bądź podwyżkach cen towarów. Wobec tego bardzo przydatna jest umiejętność obliczania ceny towaru po zmianie.

Przykład 1

Komputer kosztował $3600 zł$ . W listopadzie jego cenę obniżono o $10 %$ , a następnie w grudniu jeszcze o $15 %$ . Obliczymy cenę komputera po obniżkach.

RdYRwCL4kvjAj

Ilustracja przedstawia baner reklamowy pewnego laptopa. Znajduje się na nim informacja, że cena tego sprzętu w listopadzie będzie obniżona o 10%, a w grudniu będzie obniżona o 15%. — Źródło: Grafika na podstawie: Pexels.com, licencja: CC BY 3.0.

Rozwiązanie:
$I$ sposób:
Obniżka ceny o $10 %$ oznacza, że nowa cena stanowi $100 % - 10 % = 90 %$ początkowej ceny.
Należy więc obliczyć $90 %$ liczby $3600$ .
Obliczamy cenę komputera po pierwszej obniżce:
$0, 9 \cdot 3600 zł = 3240 zł$
Następnie obniżka ceny o $15 %$ oznacza, że nowa cena stanowi $100 % - 15 % = 85 %$ poprzedniej ceny.
Należy więc obliczyć $85 %$ liczby $3240$ .
Obliczamy cenę komputera po drugiej obniżce:
$0, 85 \cdot 3240 zł = 2754 zł$
$II$ sposób:
Cena komputera po obniżce jest równa różnicy ceny przed obniżką i kwoty obniżki początkowej ceny.
Obliczamy kwotę pierwszej obniżki:
$0, 1 \cdot 3600 zł = 360 zł$
Obliczamy cenę komputera po pierwszej obniżce:
$3600 zł - 360 zł = 3240 zł$
Następnie obliczamy kwotę drugiej obniżki:
$0, 15 \cdot 3240 zł = 486 zł$
Obliczamy cenę komputera po drugiej obniżce:
$3240 zł - 486 zł = 2754 zł$
Zatem komputer po dwóch obniżkach kosztuje $2754 zł$ .

Przykład 2

Cena ulgowego biletu do kina po podwyżce o $12 %$ jest równa $22, 40 zł$ . Obliczymy, o ile różniłaby się cena tego biletu, gdyby podniesiono ją najpierw o $2 %$ , a następnie o $10 %$ .
Rozwiązanie:
Niech $x$ będzie ceną biletu przed podwyżką.
Podwyżka ceny biletu o $12 %$ oznacza, że nowa cena stanowi $100 % + 12 % = 112 %$ ceny początkowej.
Do wyznaczenia ceny po podwyżce należy więc obliczyć $112 %$ liczby $x$ .
Obliczamy cenę biletu po podwyżce:
$1, 12 \cdot x zł = 1, 12 x zł$
Ponieważ cena biletu ulgowego po podwyżce wynosi $22, 40 zł$ , zatem do wyznaczenia wartości $x$ rozwiązujemy równanie:
$1, 12 x = 22, 40$
Wobec tego $x = 20$ .
Obliczamy kwotę pierwszej podwyżki:
$0, 02 \cdot 20 zł = 0, 40 zł$
Obliczamy cenę biletu po pierwszej podwyżce:
$20 zł + 0, 40 zł = 20, 40 zł$
Następnie obliczamy kwotę drugiej podwyżki:
$0, 10 \cdot 20, 40 zł = 2, 04 zł$
Obliczamy cenę biletu po drugiej podwyżce:
$20, 40 zł + 2, 04 zł = 22, 44 zł$
Obliczamy różnicę cen biletów:
$22, 44 zł - 22, 40 zł = 0, 04 zł$
Zatem przy dwukrotnej podwyżce bilet ulgowy do kina byłby droższy o $0, 04 zł$ .

Przykład 3

Cenę towaru wynoszącą $450 zł$ obniżono o $20 %$ , a następnie podwyższono o $20 %$ . Obliczymy, o ile procent nowa cena różni się od ceny początkowej.

Rozwiązanie:

$I$ . Obniżka ceny towaru o $20 %$ .
Obliczamy kwotę obniżki:
$0, 20 \cdot 450 zł = 90 zł$
Obliczamy cenę towaru po obniżce:
$450 zł - 90 zł = 360 zł$

$II$ Podwyżka ceny towaru o $20 %$ .
Obliczamy kwotę podwyżki:
$0, 20 \cdot 360 zł = 72 zł$
Obliczamy cenę towaru po podwyżce:
$360 zł + 72 zł = 432 zł$
Obliczamy różnicę ceny początkowej i ceny końcowej:
$450 zł - 432 zł = 18 zł$
Obliczamy, o ile procent zmieniła się cena w stosunku do ceny początkowej:
$\frac{18}{450} \cdot 100 % = 4 %$
Zatem nowa cena jest niższa od ceny początkowej o $4 %$ .

Wykonywanie złożonych obliczeń procentowych możemy też wykorzystać do wyznaczania wartości kapitału złożonego na lokatę bankową na dłuższy okres.

Przykład 4

Pan Adam wpłacił do banku kwotę $50000 zł$ na lokatę z oprocentowaniem $3 %$ w skali roku, przy rocznej kapitalizacjikapitalizacja odsetekkapitalizacji odsetek. Obliczymy, jaką kwotę otrzymał pan Adam, jeżeli czas trwania lokaty wynosił $2$ lata.

R18FCIpi7GuRi

Na ilustracji znajdują się dwa stuzłotowe banknoty. — Źródło: Grafika na podstawie: Pixabay.com, licencja: CC BY 3.0.

Rozwiązanie:
Oprocentowanie lokaty $3 %$ w skali roku oznacza, że po roku otrzymamy $100 % + 3 % = 103 %$ wpłaconego kapitału.
Należy więc obliczyć $103 %$ liczby $50000$ .
Obliczamy wysokość kapitału po pierwszym roku:
$1, 03 \cdot 50000 zł = 51500 zł$
Następnie złożenie kapitału na $3 %$ w skali roku oznacza, że po tym roku otrzymamy $100 % + 3 % = 103 %$ poprzedniego kapitału.
Należy więc obliczyć $103 %$ liczby $51500$ .
Obliczamy wysokość kapitału po drugim roku:
$1, 03 \cdot 51500 zł = 53045 zł$
Zatem po dwóch latach trwania lokaty pan Adam otrzyma $53045 zł$ .

Przykład 5

Po dwukrotnej podwyżce, najpierw o $5 %$ , a następnie o $6 %$ pani Magdalena zarabia $4674, 60 zł$ . Obliczymy, ile zarabiała przed podwyżkami.
Rozwiązanie:
Niech $x$ (w $zł$ ) będzie wysokością pensji pani Magdaleny przed podwyżkami.
Podwyżka pensji o $5 %$ oznacza, że nowa płaca stanowi $100 % + 5 % = 105 %$ początkowej płacy.
Należy więc obliczyć $105 %$ liczby $x$ .
Obliczamy wysokość pensji po pierwszej podwyżce:
$1, 05 \cdot x zł = 1, 05 x zł$
Następnie podwyżka pensji o $6 %$ oznacza, że nowa płaca stanowi $100 % + 6 % = 106 %$ poprzedniej płacy.
Należy więc obliczyć $106 %$ liczby $1, 05 x$ .
Obliczamy wysokość pensji po drugiej podwyżce:
$1, 06 \cdot 1, 05 x zł = 1, 113 x zł$
Otrzymana płaca jest równa $4674, 60 zł$ , zatem do wyznaczenia wartości $x$ rozwiązujemy równanie:
$1, 113 x = 4674, 60$
Po podzieleniu obu stron tego równania przez $1, 113$ otrzymujemy, że $x = 4200$ .
Wobec tego pani Magdalena przed podwyżkami zarabiała $4200 zł$ .

Przykład 6

Sprawdzimy, czy dwukrotna obniżka ceny pewnego towaru o $15 %$ a następnie podwyżka otrzymanej ceny o $30 %$ powoduje, że otrzymujemy cenę początkową.
Rozwiązanie:
Niech $x$ będzie ceną początkową towaru w $zł$ .

Obniżka ceny towaru o $15 %$ oznacza, że nowa cena stanowi $100 % - 15 % = 85 %$ początkowej ceny.
Należy więc obliczyć $85 %$ liczby $x$ .
Obliczamy cenę towaru po pierwszej obniżce:
$0, 85 \cdot x zł = 0, 85 x zł$
Następnie obniżka ceny o $15 %$ oznacza, że nowa cena stanowi $100 % - 15 % = 85 %$ poprzedniej ceny.
Należy więc obliczyć $85 %$ liczby $0, 85 x$ .
Obliczamy cenę towaru po drugiej obniżce:
$0, 85 \cdot 0, 85 x zł = 0, 7225 x zł$
Następnie podwyżka ceny o $30 %$ oznacza, że nowa cena stanowi $100 % + 30 % = 130 %$ poprzedniej ceny.
Należy więc obliczyć $130 %$ liczby $0, 7225 x$ .
Obliczamy cenę towaru po podwyżce:
$1, 3 \cdot 0, 7225 x zł = 0, 93925 x zł$
Zauważmy, że otrzymana cena nie jest równa cenie początkowej $x zł$ , zatem w wyniku dwukrotnej obniżki, a następnie podwyżki nie otrzymamy ceny, która była na początku.

Polecenie 1

Zapoznaj się z animacją, a następnie wykonaj poniższe polecenia.

R1achGC4N2gm3

Źródło: GroMar Sp. z o.o., licencja: CC BY 3.0.

Polecenie 2

Cenę towaru najpierw obniżono o $20 %$ , a następnie nową cenę podwyższono o
$20 %$ . Czy teraz cena towaru jest równa cenie początkowej? Dlaczego?

Zauważmy, że po obniżce ceny początkowej o $20 %$ , cena towaru stanowi $100 % - 20 % = 80 %$ ceny początkowej. Po podwyżce nowej ceny o $20 %$ , cena towaru stanowi $80 % + 20 % \cdot 80 % = 80 % + 16 % = 96 %$ ceny początkowej.
Odpowiedź: Nowa cena towaru nie jest równa cenie początkowej towaru.

Polecenie 3

Cena wycieczki do Egiptu wynosi $2500 zł$ . Sprawdź, która oferta zakupu wycieczki jest bardziej korzystna:

$I$ . Podwyżka ceny o $20 %$ , a następnie obniżka o $12 %$ .

$II$ . Obniżka ceny o $12 %$ , a następnie podwyżka o $20 %$ .

Skorzystaj z Przykładu $4$ zawartego w animacji.

$I$ . Podwyżka ceny o $20 %$ , a następnie obniżka o $12 %$ .
Podwyżka ceny o $20 %$ oznacza, że nowa cena stanowi $100 % + 20 % = 120 %$ początkowej ceny.
Należy więc obliczyć $120 %$ liczby $2500$ .
Obliczamy cenę wycieczki po podwyżce:
$1, 2 \cdot 2500 zł = 3000 zł$
Następnie obniżka ceny o $12 %$ oznacza, że nowa cena stanowi $100 % - 12 % = 88 %$ poprzedniej ceny.
Należy więc obliczyć $88 %$ liczby $3000$ .
Obliczamy cenę wycieczki po obniżce:
$0, 88 \cdot 3000 zł = 2640 zł$
$II$ . Obniżka ceny o $12 %$ , a następnie podwyżka o $20 %$ .
Obniżka ceny o $12 %$ oznacza, że nowa cena stanowi $100 % - 12 % = 88 %$ początkowej ceny.
Należy więc obliczyć $88 %$ liczby $2500$ .
Obliczamy cenę wycieczki po obniżce:
$0, 88 \cdot 2500 zł = 2200 zł$
Następnie podwyżka ceny o $20 %$ oznacza, że nowa cena stanowi $100 % + 20 % = 120 %$ poprzedniej ceny.
Należy więc obliczyć $120 %$ liczby $2200$ .
Obliczamy cenę wycieczki po podwyżce:
$1, 2 \cdot 2200 zł = 2640 zł$
Zatem obie oferty są jednakowo korzystne.

Polecenie 4

Cena laptopa wynosi $1800 zł$ . Oblicz cenę tego laptopa jeżeli:

jego cenę podwyższono o $35 %$ , a następnie obniżono o $15 %$
jego cenę obniżono o $35 %$ , a następnie podwyższono o $15 %$

Skorzystaj z Przykładu $5$ zawartego w animacji.

Podwyżka ceny o $35 %$ , a następnie obniżka o $15 %$ .
Podwyżka ceny o $35 %$ oznacza, że nowa cena stanowi $100 % + 35 % = 135 %$ początkowej ceny.
Należy więc obliczyć $135 %$ liczby $1800$ .
Obliczamy cenę laptopa po podwyżce:
$1, 35 \cdot 1800 zł = 2430 zł$
Następnie obniżka ceny o $15 %$ oznacza, że nowa cena stanowi $100 % - 15 % = 85 %$ poprzedniej ceny.
Należy więc obliczyć $85 %$ liczby $2430$ .
Obliczamy cenę laptopa po obniżce:
$0, 85 \cdot 2430 zł = 2065, 50 zł$
Obniżka ceny o $35 %$ , a następnie podwyżka o $15 %$ .
Obniżka ceny o $35 %$ oznacza, że nowa cena stanowi $100 % - 35 % = 65 %$ początkowej ceny.
Należy więc obliczyć $65 %$ liczby $1800$ .
Obliczamy cenę laptopa po obniżce:
$0, 65 \cdot 1800 zł = 1170 zł$
Następnie podwyżka ceny o $15 %$ oznacza, że nowa cena stanowi $100 % + 15 % = 115 %$ poprzedniej ceny.
Należy więc obliczyć $115 %$ liczby $1170$ .
Obliczamy cenę laptopa po podwyżce:
$1, 15 \cdot 1170 zł = 1345, 50 zł$

Rzts26bJFO1OP

Ćwiczenie 1

Źródło: GroMar Sp. z o.o., licencja: CC BY-SA 3.0.

R1R9zBhH8XVrd

Ćwiczenie 2

Połącz w pary. Niech

p

oznacza procent, o jaki obniżono cenę pewnego towaru, zaś

k

procent, o jaki należy podnieść obniżoną cenę, aby otrzymać cenę początkową.

p = 20 %

Możliwe odpowiedzi: 1.

k = 100 %

, 2.

k = 400 %

, 3.

k = 25 %

, 4.

k = 150 %

p = 50 %

Możliwe odpowiedzi: 1.

k = 100 %

, 2.

k = 400 %

, 3.

k = 25 %

, 4.

k = 150 %

p = 60 %

Możliwe odpowiedzi: 1.

k = 100 %

, 2.

k = 400 %

, 3.

k = 25 %

, 4.

k = 150 %

p = 80 %

Możliwe odpowiedzi: 1.

k = 100 %

, 2.

k = 400 %

, 3.

k = 25 %

, 4.

k = 150 %

Źródło: GroMar Sp. z o.o., licencja: CC BY-SA 3.0.

R1LSdL90cEoGd

Ćwiczenie 3

Źródło: GroMar Sp. z o.o., licencja: CC BY-SA 3.0.

R1C8kbSVk1fxs

Ćwiczenie 4

Uzupełnij tekst odpowiednimi liczbami. Jeżeli cena biletu do teatru po dwukrotnej obniżce o

10 %

wynosi

48, 60 zł

, to cena przed obniżkami była równa Tu uzupełnij

zł

. Jeżeli cenę spodni wynoszącą

300 zł

obniżono dwukrotnie o

20 %

, to cena po obniżkach wynosi Tu uzupełnij

zł

. Jeżeli cenę drukarki wynoszącą

400 zł

podniesiono dwukrotnie o

20 %

, to cena po podwyżkach wynosi Tu uzupełnij

zł

Źródło: GroMar Sp. z o.o., licencja: CC BY-SA 3.0.

Rlo6UAjo4JTVe

Ćwiczenie 5

Przeprowadzono badania dotyczące zmiany cen paliw na początku i na koniec dnia. Pogrupuj elementy zgodnie z podanym opisem. Cena końcowa paliwa jest wyższa od ceny początkowej, gdy zostanie: Możliwe odpowiedzi: 1. obniżona o

8 %

, a następnie podwyższona o

8 %

, 2. podwyższona o

20 %

, a następnie obniżona o

21 %

, 3. podwyższona o

3 %

, a następnie obniżona o

3 %

, 4. podwyższona o

25 %

, a następnie obniżona o

19 %

, 5. obniżona o

4 %

, a następnie podwyższona o

5 %

, 6. obniżona o

20 %

, a następnie podwyższona o

26 %

Cena końcowa paliwa jest niższa od ceny początkowej, gdy zostanie: Możliwe odpowiedzi: 1. obniżona o

8 %

, a następnie podwyższona o

8 %

, 2. podwyższona o

20 %

, a następnie obniżona o

21 %

, 3. podwyższona o

3 %

, a następnie obniżona o

3 %

, 4. podwyższona o

25 %

, a następnie obniżona o

19 %

, 5. obniżona o

4 %

, a następnie podwyższona o

5 %

, 6. obniżona o

20 %

, a następnie podwyższona o

26 %

Źródło: GroMar Sp. z o.o., licencja: CC BY-SA 3.0.

Ćwiczenie 6

Szkoła językowa $A B C$ podniosła cenę kursu języka angielskiego najpierw o $10 %$ , a następnie o $6 %$ , zaś szkoła językowa $S P E A K$ wprowadziła jednorazową podwyżkę w wysokości $16 %$ . Oblicz, w której szkole kurs językowy jest teraz tańszy, jeżeli przed podwyżką w każdej z nich kosztował $1400 zł$ .

Obliczamy koszt kursu języka angielskiego po dwukrotnej podwyżce dla szkoły językowej $A B C$ .
Obliczamy kwotę pierwszej podwyżki:
$0, 1 \cdot 1400 zł = 140 zł$
Obliczamy cenę kursu po pierwszej podwyżce:
$1400 zł + 140 zł = 1540 zł$
Następnie obliczamy kwotę drugiej podwyżki:
$0, 06 \cdot 1540 zł = 92, 40 zł$
Obliczamy cenę kursu po drugiej podwyżce:
$1540 zł + 92, 40 zł = 1632, 40 zł$
Obliczamy koszt kursu języka angielskiego po podwyżce dla szkoły językowej $S P E A K$ .
Obliczamy kwotę podwyżki:
$0, 16 \cdot 1400 zł = 224 zł$
Obliczamy cenę kursu po podwyżce:
$1400 zł + 224 zł = 1624 zł$
Wobec tego, w szkole językowej $S P E A K$ kurs jest tańszy po podwyżce.

RnGnAf0TzFr69

Ćwiczenie 7

Źródło: GroMar Sp. z o.o. Grafika na podstawie: Pexels.com, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 8

Oblicz, o ile procent cena pewnego towaru jest niższa od ceny początkowej, jeżeli obniżono tę cenę najpierw o $5 %$ , a następnie o $8 %$ .

Oznacz przez $x$ cenę początkową towaru w $zł$ , a następnie ustal, jaka jest cena towaru po pierwszej obniżce.

Niech $x$ będzie ceną początkową towaru w $zł$ .
Obniżka ceny towaru o $5 %$ oznacza, że nowa cena stanowi $100 % - 5 % = 95 %$ początkowej ceny.
Należy więc obliczyć $95 %$ liczby $x$ .
Obliczamy cenę towaru po pierwszej obniżce:
$0, 95 \cdot x zł = 0, 95 x zł$
Następnie obniżka ceny o $8 %$ oznacza, że nowa cena stanowi $100 % - 8 % = 92 %$ poprzedniej ceny.
Należy więc obliczyć $92 %$ liczby $0, 95 x$ .
Obliczamy cenę towaru po drugiej obniżce:
$0, 92 \cdot 0, 95 x zł = 0, 874 x zł$
Wobec tego cena po dwóch obniżkach stanowi $87, 4 %$ ceny początkowej.
Zatem nowa cena jest niższa od ceny początkowej o
$100 % - 87, 4 % = 12, 6 %$

Słownik

procent

procent danej wielkości to $\frac{1}{100}$ tej wielkości

rabat

to kwotowa lub procentowa zniżka od ceny danego towaru; udzielana jest najczęściej klientom płacącym gotówką, kupującym duże ilości towaru

kapitalizacja odsetek

dodanie odsetek, które do końca danego okresu wypracował złożony kapitał

Notatnik

Możesz skorzystać z poniższego pola tekstowego do zapisania swoich notatek, rozwiązań zadań i innych informacji, które uważasz za potrzebne.

R1b8OvSPUG8s3

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

5. Obliczanie liczby na podstawie danego jej procentu. Zastosowania

7. Obliczenia procentowe