1. Potęga o wykladniku naturalnym - Potęgi

R1KUIPpjtmXm2

1. Potęga o wykładniku naturalnym

Rrx6eV65gb3ig1

zdjęcie przedstawia szachownicę z ustawionymi w dwóch rzędach pionami szachowymi. Pomiędzy nimi stoi jeden pion ubrany w złotą koronę. — Źródło: domena publiczna. pexels.com/pl-pl.

„Legenda o podwajaniu ziaren” opowiada, że hinduski władca Scheram, zachwycony grą w szachy zapragnął wynagrodzić ich wynalazcę mędrca Sessę, obiecując spełnienie jego jednego życzenia. Mędrzec na pierwszym polu szachownicy położył ziarno pszenicy. Na drugim polu położył dwa ziarna. Na trzecim polu cztery ziarna. Na czwartym polu położył osiem ziaren. Życzeniem Sessy było, by władca na każdym kolejnym polu kładł dwa razy więcej ziaren niż na poprzednim i tak aż do 64 pola. Sessa chciał dostać tyle ziaren pszenicy, ile będzie na szachownicy. Władca zgodził się spełnić to życzenie, jednak okazało się że nie może dotrzymać obiecanego słowa. W całym królestwie nie było tyle pszenicy, ile chciał otrzymać mędrzec!

Jaki związek ma legenda z potęgami? Czy rzeczywiście życzenie mędrca było nie do spełnienia? Na te pytania bez problemu odpowiesz po zapoznaniu się z tym materiałem.

Ciekawostka

Na początku sprawdź, że zapisane poniżej równości są prawdziwe. Spróbuj odkryć schemat, według którego powstały. Zapisz podobną równość, w której po lewej stronie wystąpi suma trzech składników

3^{2} + 4^{2} = 5^{2}

21^{2} + 22^{2} + 23^{2} + 24^{2} = 25^{2} + 26^{2} + 27^{2}

Ważne!

RDMfEM47GZC5W1

Zapis: a do potęgi n, gdzie a to podstawa potęgi, n wykładnik potęgi. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Potęgą $a^{n}$ o wykładniku naturalnym $(n > 1)$ nazywamy iloczyn $n$ czynników, z których każdy jest równy $a$ .

$a^{n} = \underset{n czynników}{a \cdot a \cdot a \cdot \dots \cdot a}$

Przyjmujemy, że $a^{0} = 1$ dla $a \neq 0$ , oraz $a^{1} = a$ .

Przykład 1

Obliczmy:

$0^{3} = 0 \cdot 0 \cdot 0 = 0$

$3^{0} = 1$

$2^{4} = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 16$

${(\frac{2}{3})}^{2} = \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{3} = \frac{4}{9}$

Przykład 2

$10^{4} = 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 = 10000$
${(- \frac{1}{2})}^{3} = (- \frac{1}{2}) \cdot (- \frac{1}{2}) \cdot (- \frac{1}{2}) = - \frac{1}{8}$
$8^{1} = 8$ oraz ${(- 1)}^{1} = - 1$
$7^{0} = 1$ oraz ${(- 2)}^{0} = 1$

Zapamiętaj!

Jeżeli liczbę dodatnią podnosimy do potęgi o wykładniku naturalnym, to otrzymujemy liczbę dodatnią.
Jeżeli liczbę ujemną podnosimy do potęgi o wykładniku naturalnym parzystym, to otrzymujemy liczbę dodatnią.
Jeżeli liczbę ujemną podnosimy do potęgi o wykładniku naturalnym nieparzystym, to otrzymujemy liczbę ujemną.
Każda liczba różna od zera podniesiona do potęgi zerowej równa się jeden.
Zero podniesione do dodatniej potęgi równa się zero.
Liczba jeden podniesiona do potęgi o wykładniku naturalnym jest równa jeden.

RN7Bgz13PMHXO1

Ćwiczenie 1

Zapisz poniższe iloczyny w postaci potęg. Uzupełnij równości, przeciągając w luki odpowiednie liczby lub kliknij w lukę i wybierz odpowiedź z listy rozwijalnej.

2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 =

{(- \frac{1}{3})}^{2}

, 2.

{2,3}^{5}

, 3.

3 k^{2}

, 4.

{(- \frac{1}{3})}^{2}

, 5.

2^{2}

, 6.

2^{4}

, 7.

2, 3^{3}

, 8.

2^{3}

, 9.

2^{6}

, 10.

{(- \frac{1}{3})}^{4}

, 11.

{2,3}^{2}

, 12.

{(3 k)}^{6}

, 13.

2^{3}

, 14.

5^{2}

, 15.

2 k^{6}

, 16.

{(- \frac{1}{3})}^{- 3}

, 17.

{(- \frac{1}{3})}^{3}

, 18.

2^{5}

2, 3 \cdot 2, 3 \cdot 2, 3 =

{(- \frac{1}{3})}^{2}

, 2.

{2,3}^{5}

, 3.

3 k^{2}

, 4.

{(- \frac{1}{3})}^{2}

, 5.

2^{2}

, 6.

2^{4}

, 7.

2, 3^{3}

, 8.

2^{3}

, 9.

2^{6}

, 10.

{(- \frac{1}{3})}^{4}

, 11.

{2,3}^{2}

, 12.

{(3 k)}^{6}

, 13.

2^{3}

, 14.

5^{2}

, 15.

2 k^{6}

, 16.

{(- \frac{1}{3})}^{- 3}

, 17.

{(- \frac{1}{3})}^{3}

, 18.

2^{5}

(- \frac{1}{3}) \cdot (- \frac{1}{3}) \cdot (- \frac{1}{3}) \cdot (- \frac{1}{3}) =

{(- \frac{1}{3})}^{2}

, 2.

{2,3}^{5}

, 3.

3 k^{2}

, 4.

{(- \frac{1}{3})}^{2}

, 5.

2^{2}

, 6.

2^{4}

, 7.

2, 3^{3}

, 8.

2^{3}

, 9.

2^{6}

, 10.

{(- \frac{1}{3})}^{4}

, 11.

{2,3}^{2}

, 12.

{(3 k)}^{6}

, 13.

2^{3}

, 14.

5^{2}

, 15.

2 k^{6}

, 16.

{(- \frac{1}{3})}^{- 3}

, 17.

{(- \frac{1}{3})}^{3}

, 18.

2^{5}

3 k \cdot 3 k \cdot 3 k \cdot 3 k \cdot 3 k \cdot 3 k =

{(- \frac{1}{3})}^{2}

, 2.

{2,3}^{5}

, 3.

3 k^{2}

, 4.

{(- \frac{1}{3})}^{2}

, 5.

2^{2}

, 6.

2^{4}

, 7.

2, 3^{3}

, 8.

2^{3}

, 9.

2^{6}

, 10.

{(- \frac{1}{3})}^{4}

, 11.

{2,3}^{2}

, 12.

{(3 k)}^{6}

, 13.

2^{3}

, 14.

5^{2}

, 15.

2 k^{6}

, 16.

{(- \frac{1}{3})}^{- 3}

, 17.

{(- \frac{1}{3})}^{3}

, 18.

2^{5}

Uzupełnij.

${2,3}^{3}$ , ${(- \frac{1}{3})}^{- 3},$ $2^{6}$ , ${2,3}^{5}$ , ${(- \frac{1}{3})}^{3},$ ${2k}^{6}$ , $2^{3}$ , $2^{4}$ , ${(- \frac{1}{3})}^{2},$ $2^{5}$ , $2^{3}$ , ${3k}^{2}$ , ${(3k)}^{6}$ , ${2,3}^{2}$ , , $2^{2}$ , ${(- \frac{1}{3})}^{4},$ $5^{2}$ , ${(- \frac{1}{3})}^{2}$

$2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 =$ ..............
$2, 3 \cdot 2, 3 \cdot 2, 3 =$ ..............
$(- \frac{1}{3}) \cdot (- \frac{1}{3}) \cdot (- \frac{1}{3}) \cdot (- \frac{1}{3}) =$ ..............
$3 k \cdot 3 k \cdot 3 k \cdot 3 k \cdot 3 k \cdot 3 k =$ ..............

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ważne!

Pole kwadratu o boku długości $x$ jest równe $x \cdot x = x^{2}$ , zaś objętość sześcianu o krawędzi długości $x$ to $x \cdot x \cdot x = x^{3}$ . W związku z tym wyrażenie “ $x^{2}$ ” czytamy najczęściej jako “ $x$ kwadrat”, zaś wyrażenie “ $x^{3}$ ” jako “ $x$ sześcian”.

Ponieważ rozwiązując zadania często potrzebujemy kwadratów i sześcianów liczb, warto znać na pamięć niektóre z nich.

Przykład 3

Podamy kwadraty wybranych liczb naturalnych, których wartości wykraczają poza tradycyjną tabliczkę mnożenia w zakresie do stu.

Liczba naturalna $n$	Kwadrat liczby $n$
$11$	$11^{2} = 11 \cdot 11 = 121$
$12$	$12^{2} = 12 \cdot 12 = 144$
$13$	$13^{2} = 13 \cdot 13 = 169$
$14$	$14^{2} = 14 \cdot 14 = 196$
$15$	$15^{2} = 15 \cdot 15 = 225$
$16$	$16^{2} = 16 \cdot 16 = 256$
$17$	$17^{2} = 17 \cdot 17 = 289$
$18$	$18^{2} = 18 \cdot 18 = 324$
$19$	$19^{2} = 19 \cdot 19 = 361$
$21$	$21^{2} = 21 \cdot 21 = 441$
$22$	$22^{2} = 22 \cdot 22 = 484$
$23$	$23^{2} = 23 \cdot 23 = 529$
$24$	$24^{2} = 24 \cdot 24 = 576$
$25$	$25^{2} = 25 \cdot 25 = 625$
$26$	$26^{2} = 26 \cdot 26 = 676$
$27$	$27^{2} = 27 \cdot 27 = 729$
$28$	$28^{2} = 28 \cdot 28 = 784$
$29$	$29^{2} = 29 \cdot 29 = 841$
$31$	$31^{2} = 31 \cdot 31 = 961$

R16H8IHRMoYgq1

Ćwiczenie 2

Uzupełnij równości, przeciągając w luki odpowiednie liczby lub kliknij w lukę i wybierz odpowiedź z listy rozwijalnej.

1^{2} =

5

, 2.

1

, 3.

12

, 4.

- 22

, 5.

0,25

, 6.

0

, 7.

- 2

, 8.

0,5

, 9.

- 1

, 10.

16

, 11.

32

, 12.

121

, 13.

- 121

, 14.

49

, 15.

22

, 16.

- 14

, 17.

64

, 18.

8

, 19.

0,025

, 20.

2

, 21.

- 49

, 22.

14

0^{2} =

5

, 2.

1

, 3.

12

, 4.

- 22

, 5.

0,25

, 6.

0

, 7.

- 2

, 8.

0,5

, 9.

- 1

, 10.

16

, 11.

32

, 12.

121

, 13.

- 121

, 14.

49

, 15.

22

, 16.

- 14

, 17.

64

, 18.

8

, 19.

0,025

, 20.

2

, 21.

- 49

, 22.

14

{(- 11)}^{2} =

5

, 2.

1

, 3.

12

, 4.

- 22

, 5.

0,25

, 6.

0

, 7.

- 2

, 8.

0,5

, 9.

- 1

, 10.

16

, 11.

32

, 12.

121

, 13.

- 121

, 14.

49

, 15.

22

, 16.

- 14

, 17.

64

, 18.

8

, 19.

0,025

, 20.

2

, 21.

- 49

, 22.

14

4^{2} =

5

, 2.

1

, 3.

12

, 4.

- 22

, 5.

0,25

, 6.

0

, 7.

- 2

, 8.

0,5

, 9.

- 1

, 10.

16

, 11.

32

, 12.

121

, 13.

- 121

, 14.

49

, 15.

22

, 16.

- 14

, 17.

64

, 18.

8

, 19.

0,025

, 20.

2

, 21.

- 49

, 22.

14

{(0, 5)}^{2} =

5

, 2.

1

, 3.

12

, 4.

- 22

, 5.

0,25

, 6.

0

, 7.

- 2

, 8.

0,5

, 9.

- 1

, 10.

16

, 11.

32

, 12.

121

, 13.

- 121

, 14.

49

, 15.

22

, 16.

- 14

, 17.

64

, 18.

8

, 19.

0,025

, 20.

2

, 21.

- 49

, 22.

14

{(- 7)}^{2} =

5

, 2.

1

, 3.

12

, 4.

- 22

, 5.

0,25

, 6.

0

, 7.

- 2

, 8.

0,5

, 9.

- 1

, 10.

16

, 11.

32

, 12.

121

, 13.

- 121

, 14.

49

, 15.

22

, 16.

- 14

, 17.

64

, 18.

8

, 19.

0,025

, 20.

2

, 21.

- 49

, 22.

14

Przeciągnij i upuść.

$22$ , $- 1$ , $5$ , $0$ , $16$ , $121$ , $- 2$ , $2$ , $8$ , $- 22$ , $32$ , $- 14$ , $0,5$ , $12$ , $0,25$ , $- 49$ , $1$ , $49$ , $0,025$ , $- 121$ , $64$ , $14$

$1^{2} =$ ............
$0^{2} =$ ............
${(- 11)}^{2} =$ ............
$4^{2} =$ ............
${(0, 5)}^{2} =$ ............
${(- 7)}^{2} =$ ............

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Rakb534Q1sHiO

Ćwiczenie 3

Połącz w pary liczbę wraz z jej sześcianem.

3

Możliwe odpowiedzi: 1.

0, 09

, 2.

1 \frac{7}{9}

, 3.

4

, 4.

6, 25

, 5.

9

, 6.

2,25

, 7.

0,25

, 8.

121

, 9.

0,16

-2

Możliwe odpowiedzi: 1.

0, 09

, 2.

1 \frac{7}{9}

, 3.

4

, 4.

6, 25

, 5.

9

, 6.

2,25

, 7.

0,25

, 8.

121

, 9.

0,16

\frac{4}{3}

Możliwe odpowiedzi: 1.

0, 09

, 2.

1 \frac{7}{9}

, 3.

4

, 4.

6, 25

, 5.

9

, 6.

2,25

, 7.

0,25

, 8.

121

, 9.

0,16

- \frac{1}{2}

Możliwe odpowiedzi: 1.

0, 09

, 2.

1 \frac{7}{9}

, 3.

4

, 4.

6, 25

, 5.

9

, 6.

2,25

, 7.

0,25

, 8.

121

, 9.

0,16

-0,4

Możliwe odpowiedzi: 1.

0, 09

, 2.

1 \frac{7}{9}

, 3.

4

, 4.

6, 25

, 5.

9

, 6.

2,25

, 7.

0,25

, 8.

121

, 9.

0,16

1 \frac{1}{2}

Możliwe odpowiedzi: 1.

0, 09

, 2.

1 \frac{7}{9}

, 3.

4

, 4.

6, 25

, 5.

9

, 6.

2,25

, 7.

0,25

, 8.

121

, 9.

0,16

0,3

Możliwe odpowiedzi: 1.

0, 09

, 2.

1 \frac{7}{9}

, 3.

4

, 4.

6, 25

, 5.

9

, 6.

2,25

, 7.

0,25

, 8.

121

, 9.

0,16

-2,5

Możliwe odpowiedzi: 1.

0, 09

, 2.

1 \frac{7}{9}

, 3.

4

, 4.

6, 25

, 5.

9

, 6.

2,25

, 7.

0,25

, 8.

121

, 9.

0,16

11

Możliwe odpowiedzi: 1.

0, 09

, 2.

1 \frac{7}{9}

, 3.

4

, 4.

6, 25

, 5.

9

, 6.

2,25

, 7.

0,25

, 8.

121

, 9.

0,16

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R1CTiQ5LfgnLF

Ćwiczenie 4

Uzupełnij zapisy takimi liczbami niedodatnimi, aby ich kwadraty miały podaną wartość. Przeciągnij w luki odpowiednie liczby lub kliknij w lukę i wybierz odpowiedź z listy rozwijalnej. Liczba

16

jest kwadratem liczby 1.

- 2

, 2.

0,5

, 3.

- 0,05

, 4.

0

, 5.

8

, 6.

- 7

, 7.

- 11

, 8.

- 5

, 9.

11

, 10.

- 0,5

, 11.

- 8

, 12.

1

, 13.

7

, 14.

- 4

, 15.

5

, 16.

4

, 17.

2

, 18.

0,05

, 19.

- 1

. Liczba

0,25

jest kwadratem liczby 1.

- 2

, 2.

0,5

, 3.

- 0,05

, 4.

0

, 5.

8

, 6.

- 7

, 7.

- 11

, 8.

- 5

, 9.

11

, 10.

- 0,5

, 11.

- 8

, 12.

1

, 13.

7

, 14.

- 4

, 15.

5

, 16.

4

, 17.

2

, 18.

0,05

, 19.

- 1

. Liczba

1

jest kwadratem liczby 1.

- 2

, 2.

0,5

, 3.

- 0,05

, 4.

0

, 5.

8

, 6.

- 7

, 7.

- 11

, 8.

- 5

, 9.

11

, 10.

- 0,5

, 11.

- 8

, 12.

1

, 13.

7

, 14.

- 4

, 15.

5

, 16.

4

, 17.

2

, 18.

0,05

, 19.

- 1

. Liczba

49

jest kwadratem liczby 1.

- 2

, 2.

0,5

, 3.

- 0,05

, 4.

0

, 5.

8

, 6.

- 7

, 7.

- 11

, 8.

- 5

, 9.

11

, 10.

- 0,5

, 11.

- 8

, 12.

1

, 13.

7

, 14.

- 4

, 15.

5

, 16.

4

, 17.

2

, 18.

0,05

, 19.

- 1

. Liczba

121

jest kwadratem liczby 1.

- 2

, 2.

0,5

, 3.

- 0,05

, 4.

0

, 5.

8

, 6.

- 7

, 7.

- 11

, 8.

- 5

, 9.

11

, 10.

- 0,5

, 11.

- 8

, 12.

1

, 13.

7

, 14.

- 4

, 15.

5

, 16.

4

, 17.

2

, 18.

0,05

, 19.

- 1

. Liczba

0

jest kwadratem liczby 1.

- 2

, 2.

0,5

, 3.

- 0,05

, 4.

0

, 5.

8

, 6.

- 7

, 7.

- 11

, 8.

- 5

, 9.

11

, 10.

- 0,5

, 11.

- 8

, 12.

1

, 13.

7

, 14.

- 4

, 15.

5

, 16.

4

, 17.

2

, 18.

0,05

, 19.

- 1

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R1RVBr5RapGZw1

Ćwiczenie 5

Połącz w pary wyrażenia o tych samych wartościach.

- {(- \frac{1}{3})}^{2}

Możliwe odpowiedzi: 1.

9

, 2.

- \frac{1}{9}

, 3.

0,09

, 4.

\frac{1}{9}

, 5.

- 0,09

, 6.

-9

{-0,3}^{2}

Możliwe odpowiedzi: 1.

9

, 2.

- \frac{1}{9}

, 3.

0,09

, 4.

\frac{1}{9}

, 5.

- 0,09

, 6.

-9

{(-3)}^{2}

Możliwe odpowiedzi: 1.

9

, 2.

- \frac{1}{9}

, 3.

0,09

, 4.

\frac{1}{9}

, 5.

- 0,09

, 6.

-9

{-3}^{2}

Możliwe odpowiedzi: 1.

9

, 2.

- \frac{1}{9}

, 3.

0,09

, 4.

\frac{1}{9}

, 5.

- 0,09

, 6.

-9

{(- \frac{1}{3})}^{2}

Możliwe odpowiedzi: 1.

9

, 2.

- \frac{1}{9}

, 3.

0,09

, 4.

\frac{1}{9}

, 5.

- 0,09

, 6.

-9

{(- 0, 3)}^{2}

Możliwe odpowiedzi: 1.

9

, 2.

- \frac{1}{9}

, 3.

0,09

, 4.

\frac{1}{9}

, 5.

- 0,09

, 6.

-9

Połącz w pary.

$- {(- \frac{1}{3})}^{2}$
${-0,3}^{2}$
${(-3)}^{2}$
${-3}^{2}$
${(- \frac{1}{3})}^{2}$
${(-0,3)}^{2}$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Przykład 4

Podamy sześciany wybranych liczb naturalnych.

Liczba naturalna $n$	Sześcian liczby naturalnej $n$
$0$	$0^{3} = 0 \cdot 0 \cdot 0 = 0$
$1$	$1^{3} = 1 \cdot 1 \cdot 1 = 1$
$2$	$2^{3} = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 8$
$3$	$3^{3} = 3 \cdot 3 \cdot 3 = 27$
$4$	$4^{3} = 4 \cdot 4 \cdot 4 = 64$
$5$	$5^{3} = 5 \cdot 5 \cdot 5 = 125$
$6$	$6^{3} = 6 \cdot 6 \cdot 6 = 216$
$7$	$7^{3} = 7 \cdot 7 \cdot 7 = 343$
$8$	$8^{3} = 8 \cdot 8 \cdot 8 = 512$
$9$	$9^{3} = 9 \cdot 9 \cdot 9 = 729$

R1W9YfcmvCc5B1

Ćwiczenie 6

Uzupełnij równości, przeciągając w luki odpowiednie liczby lub kliknij w lukę i wybierz odpowiedź z listy rozwijalnej.

2^{3} =

16

, 2.

64

, 3.

100

, 4.

125

, 5.

- 6

, 6.

\frac{3}{27}

, 7.

- 125

, 8.

12

, 9.

- 15

, 10.

30

, 11.

- \frac{3}{27}

, 12.

\frac{1}{27}

, 13.

32

, 14.

8

, 15.

1000

, 16.

6

, 17.

- \frac{1}{27}

, 18.

1

, 19.

- 3

, 20.

3

, 21.

- 1

, 22.

- 8

{(- 1)}^{3} =

16

, 2.

64

, 3.

100

, 4.

125

, 5.

- 6

, 6.

\frac{3}{27}

, 7.

- 125

, 8.

12

, 9.

- 15

, 10.

30

, 11.

- \frac{3}{27}

, 12.

\frac{1}{27}

, 13.

32

, 14.

8

, 15.

1000

, 16.

6

, 17.

- \frac{1}{27}

, 18.

1

, 19.

- 3

, 20.

3

, 21.

- 1

, 22.

- 8

{(- \frac{1}{3})}^{3} =

16

, 2.

64

, 3.

100

, 4.

125

, 5.

- 6

, 6.

\frac{3}{27}

, 7.

- 125

, 8.

12

, 9.

- 15

, 10.

30

, 11.

- \frac{3}{27}

, 12.

\frac{1}{27}

, 13.

32

, 14.

8

, 15.

1000

, 16.

6

, 17.

- \frac{1}{27}

, 18.

1

, 19.

- 3

, 20.

3

, 21.

- 1

, 22.

- 8

4^{3} =

16

, 2.

64

, 3.

100

, 4.

125

, 5.

- 6

, 6.

\frac{3}{27}

, 7.

- 125

, 8.

12

, 9.

- 15

, 10.

30

, 11.

- \frac{3}{27}

, 12.

\frac{1}{27}

, 13.

32

, 14.

8

, 15.

1000

, 16.

6

, 17.

- \frac{1}{27}

, 18.

1

, 19.

- 3

, 20.

3

, 21.

- 1

, 22.

- 8

{(- 5)}^{3} =

16

, 2.

64

, 3.

100

, 4.

125

, 5.

- 6

, 6.

\frac{3}{27}

, 7.

- 125

, 8.

12

, 9.

- 15

, 10.

30

, 11.

- \frac{3}{27}

, 12.

\frac{1}{27}

, 13.

32

, 14.

8

, 15.

1000

, 16.

6

, 17.

- \frac{1}{27}

, 18.

1

, 19.

- 3

, 20.

3

, 21.

- 1

, 22.

- 8

10^{3} =

16

, 2.

64

, 3.

100

, 4.

125

, 5.

- 6

, 6.

\frac{3}{27}

, 7.

- 125

, 8.

12

, 9.

- 15

, 10.

30

, 11.

- \frac{3}{27}

, 12.

\frac{1}{27}

, 13.

32

, 14.

8

, 15.

1000

, 16.

6

, 17.

- \frac{1}{27}

, 18.

1

, 19.

- 3

, 20.

3

, 21.

- 1

, 22.

- 8

Przeciągnij i upuść.

$- 6$ , $- \frac{1}{27}$ , $30$ , $8$ , $- 3$ , $- \frac{3}{27}$ , $3$ , $125$ , $64$ , $- 1$ , $32$ , $1000$ , $16$ , $12$ , $6$ , $\frac{1}{27}$ , $- 125$ , $- 8$ , $1$ , $- 15$ , $\frac{3}{27}$ , $100$

$2^{3} =$ ............
${(- 1)}^{3} =$ ............
${(- \frac{1}{3})}^{3} =$ ............
$4^{3} =$ ............
${(- 5)}^{3} =$ ............
$10^{3} =$ ............

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RMXkEsNpjnlSH

Ćwiczenie 7

Połącz w pary liczbę wraz z jej sześcianem.

2

Możliwe odpowiedzi: 1.

- \frac{1}{125}

, 2.

8

, 3.

0,001

, 4.

- 0, 125

, 5.

\frac{1}{729}

, 6.

-64

, 7.

\frac{125}{27}

, 8.

\frac{8}{27}

-4

Możliwe odpowiedzi: 1.

- \frac{1}{125}

, 2.

8

, 3.

0,001

, 4.

- 0, 125

, 5.

\frac{1}{729}

, 6.

-64

, 7.

\frac{125}{27}

, 8.

\frac{8}{27}

\frac{2}{3}

Możliwe odpowiedzi: 1.

- \frac{1}{125}

, 2.

8

, 3.

0,001

, 4.

- 0, 125

, 5.

\frac{1}{729}

, 6.

-64

, 7.

\frac{125}{27}

, 8.

\frac{8}{27}

- 0, 2

Możliwe odpowiedzi: 1.

- \frac{1}{125}

, 2.

8

, 3.

0,001

, 4.

- 0, 125

, 5.

\frac{1}{729}

, 6.

-64

, 7.

\frac{125}{27}

, 8.

\frac{8}{27}

- \frac{1}{2}

Możliwe odpowiedzi: 1.

- \frac{1}{125}

, 2.

8

, 3.

0,001

, 4.

- 0, 125

, 5.

\frac{1}{729}

, 6.

-64

, 7.

\frac{125}{27}

, 8.

\frac{8}{27}

0, (1)

Możliwe odpowiedzi: 1.

- \frac{1}{125}

, 2.

8

, 3.

0,001

, 4.

- 0, 125

, 5.

\frac{1}{729}

, 6.

-64

, 7.

\frac{125}{27}

, 8.

\frac{8}{27}

0, 1

Możliwe odpowiedzi: 1.

- \frac{1}{125}

, 2.

8

, 3.

0,001

, 4.

- 0, 125

, 5.

\frac{1}{729}

, 6.

-64

, 7.

\frac{125}{27}

, 8.

\frac{8}{27}

1 \frac{2}{3}

Możliwe odpowiedzi: 1.

- \frac{1}{125}

, 2.

8

, 3.

0,001

, 4.

- 0, 125

, 5.

\frac{1}{729}

, 6.

-64

, 7.

\frac{125}{27}

, 8.

\frac{8}{27}

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R1TOgrynXXw9a

Ćwiczenie 8

$27 x$
$9 x^{3}$
$3 x^{3}$
$27 x^{3}$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R1YKS291rYpKb

Ćwiczenie 9

$1$
$7$
$- 1$
$17$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RNXbN6OmK22F1

Ćwiczenie 10

Liczba przeciwną do $3^{2}$ jest liczba ${(- 3)}^{2}$ .
Liczba przeciwną do $2^{3}$ jest liczba ${(- 2)}^{3}$ .
Liczbą odwrotną do $125$ jest liczba ${(- \frac{1}{5})}^{3}$ .
Liczbą odwrotną do $25$ jest liczba ${(- \frac{1}{5})}^{2}$ .
Suma liczb $2^{3}$ i ${(- 2)}^{3}$ jest dodatnia.
Suma liczb $2^{2}$ i ${(- 2)}^{2}$ jest dodatnia.

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Przykład 5

W zadaniach (szczególnie związanych z informatyką) przyda się znajomość potęg liczby $2$ .

Potęga liczby $2$	Wartość potęgi
$2^{0}$	$1$
$2^{1}$	$2$
$2^{2}$	$4$
$2^{3}$	$8$
$2^{4}$	$16$
$2^{5}$	$32$
$2^{6}$	$64$
$2^{7}$	$128$
$2^{8}$	$256$
$2^{9}$	$512$
$2^{10}$	$1024$

R1d1a0AEuPwz01

Ćwiczenie 11

Połącz w pary wyrażenia o tych samych wartościach.

128

Możliwe odpowiedzi: 1.

2^{3}

, 2.

2^{1}

, 3.

2^{10}

, 4.

2^{7}

, 5.

2^{0}

, 6.

2^{4}

, 7.

2^{9}

, 8.

2^{6}

16

Możliwe odpowiedzi: 1.

2^{3}

, 2.

2^{1}

, 3.

2^{10}

, 4.

2^{7}

, 5.

2^{0}

, 6.

2^{4}

, 7.

2^{9}

, 8.

2^{6}

64

Możliwe odpowiedzi: 1.

2^{3}

, 2.

2^{1}

, 3.

2^{10}

, 4.

2^{7}

, 5.

2^{0}

, 6.

2^{4}

, 7.

2^{9}

, 8.

2^{6}

512

Możliwe odpowiedzi: 1.

2^{3}

, 2.

2^{1}

, 3.

2^{10}

, 4.

2^{7}

, 5.

2^{0}

, 6.

2^{4}

, 7.

2^{9}

, 8.

2^{6}

8

Możliwe odpowiedzi: 1.

2^{3}

, 2.

2^{1}

, 3.

2^{10}

, 4.

2^{7}

, 5.

2^{0}

, 6.

2^{4}

, 7.

2^{9}

, 8.

2^{6}

1024

Możliwe odpowiedzi: 1.

2^{3}

, 2.

2^{1}

, 3.

2^{10}

, 4.

2^{7}

, 5.

2^{0}

, 6.

2^{4}

, 7.

2^{9}

, 8.

2^{6}

1

Możliwe odpowiedzi: 1.

2^{3}

, 2.

2^{1}

, 3.

2^{10}

, 4.

2^{7}

, 5.

2^{0}

, 6.

2^{4}

, 7.

2^{9}

, 8.

2^{6}

2

Możliwe odpowiedzi: 1.

2^{3}

, 2.

2^{1}

, 3.

2^{10}

, 4.

2^{7}

, 5.

2^{0}

, 6.

2^{4}

, 7.

2^{9}

, 8.

2^{6}

Połącz w pary.

$128$
$16$
$64$
$512$
$8$
$1 024$
$1$
$2$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 12

Oblicz w pamięci.

$3^{2}$ , $4^{3}$ , $0^{4}$ , $10^{3}$ , $123^{0}$
${(- 4)}^{3}$ , ${(- 5)}^{0}$ , $- 2^{3}$ , ${(- 1)}^{12}$ , ${(- 2)}^{2}$
${(\frac{1}{2})}^{3}$ , $\frac{2}{3^{2}}$ , ${(- \frac{1}{3})}^{1}$ , ${(- \frac{1}{2})}^{3}$ , $\frac{- 1}{- 4^{2}}$
${0,2}^{2}$ , ${(- 0,2)}^{2}$ , $- {(- 0,2)}^{2}$ , $- {(- 0,5)}^{0}$ , ${0,1}^{3}$

$9$ ; $64$ ; $0$ ; $1000$ ; $1$
$- 64$ ; $1$ ; $- 8$ ; $1$ ; $4$
$\frac{1}{8}$ ; $\frac{2}{9}$ ; $- \frac{1}{3}$ ; $- \frac{1}{8}$ ; $\frac{1}{16}$
$0,04$ ; $0,04$ ; $- 0,04$ ; $- 1$ ; $0,001$

R1d8TThZmGECL

Ćwiczenie 13

Uzupełnij nierówności, przeciągając w luki odpowiednie znaki lub kliknij w lukę i wybierz odpowiedź z listy rozwijalnej.

2^{3}

>

, 2.

=

, 3.

=

, 4.

<

, 5.

<

, 6.

=

, 7.

<

, 8.

>

, 9.

=

, 10.

>

, 11.

>

, 12.

=

, 13.

>

, 14.

<

, 15.

<

, 16.

=

, 17.

<

, 18.

>

3^{3}

1^{2}

>

, 2.

=

, 3.

=

, 4.

<

, 5.

<

, 6.

=

, 7.

<

, 8.

>

, 9.

=

, 10.

>

, 11.

>

, 12.

=

, 13.

>

, 14.

<

, 15.

<

, 16.

=

, 17.

<

, 18.

>

{(- 1)}^{2}

{-2}^{3}

>

, 2.

=

, 3.

=

, 4.

<

, 5.

<

, 6.

=

, 7.

<

, 8.

>

, 9.

=

, 10.

>

, 11.

>

, 12.

=

, 13.

>

, 14.

<

, 15.

<

, 16.

=

, 17.

<

, 18.

>

2^{3}

5^{3}

>

, 2.

=

, 3.

=

, 4.

<

, 5.

<

, 6.

=

, 7.

<

, 8.

>

, 9.

=

, 10.

>

, 11.

>

, 12.

=

, 13.

>

, 14.

<

, 15.

<

, 16.

=

, 17.

<

, 18.

>

{(- 5)}^{3}

{-2}^{5}

>

, 2.

=

, 3.

=

, 4.

<

, 5.

<

, 6.

=

, 7.

<

, 8.

>

, 9.

=

, 10.

>

, 11.

>

, 12.

=

, 13.

>

, 14.

<

, 15.

<

, 16.

=

, 17.

<

, 18.

>

{(- 2)}^{5}

{-6}^{2}

>

, 2.

=

, 3.

=

, 4.

<

, 5.

<

, 6.

=

, 7.

<

, 8.

>

, 9.

=

, 10.

>

, 11.

>

, 12.

=

, 13.

>

, 14.

<

, 15.

<

, 16.

=

, 17.

<

, 18.

>

- {(- 6)}^{2}

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R1Z0IcrZdhhm9

Ćwiczenie 14

Przeciągnij elementy z dolnej sekcji do górnej.

liczby ujemne
liczby dodatnie

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R16jqqF9SPqKn1

Ćwiczenie 15

Bez wykonywania obliczeń, przeciągnij elementy z dolnej sekcji do górnej.

dodatnie
ujemne

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 16

Zapisz podane wyrażenie w jak najprostszej postaci.

${(- 2)}^{3} \cdot {(- x)}^{2}$
$- {(\frac{3}{4})}^{2} \cdot {(- y)}^{3}$
$\frac{- {(- 3)}^{2}}{- a^{3}}$
$\frac{{(- 4)}^{3} \cdot (- {(- z)}^{3})}{16 \cdot {(- 8)}^{0}}$

$- 8 x^{2}$
$\frac{9}{16} y^{3}$
$\frac{9}{a^{3}}$
$- 4 z^{3}$

RqmS2Dcoh9adY1

Ćwiczenie 17

Przeciągnij i upuść.

$-1024$ , $\frac{16}{81}$ , $27$ , $0,000001$

$3^{3} =$ ................
$- 4^{5} =$ ................
${(0,1)}^{6} =$ ................
${(- \frac{2}{3})}^{4} =$ ................

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R1LbkRKGImXGE

Ćwiczenie 18

$9^{3}$
$3^{5}$
$3^{6}$
$243^{0}$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Rlcxxx3GRaONT

Ćwiczenie 19

Każda liczba podniesiona do potęgi $0$ równa się $1$ .
Każda liczba ujemna podniesiona do potęgi $0$ równa się $1$ .
Sześcian dowolnej liczby jest zawsze większy od kwadratu tej samej liczby.
Sześcian parzystej liczby jest zawsze większy od kwadratu tej samej liczby.
Liczby $2$ i $- 2$ podniesione do tej samej potęgi są sobie równe.
Liczby $2$ i $- 2$ podniesione do tej samej parzystej potęgi są sobie równe.

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R1A43moTV8jRB

Ćwiczenie 20

Oblicz wartość wyrażenia algebraicznego dla podanych zmiennych. Uzupełnij zdania, przeciągając w luki odpowiednie liczby lub kliknij w lukę i wybierz odpowiedź z listy rozwijalnej. Wyrażenie

2 x^{3} - x

dla zmiennej

x = - 2

przyjmuje wartość 1.

- \frac{3}{4}

, 2.

- 1

, 3.

1

, 4.

18

, 5.

2

, 6.

\frac{3}{4}

, 7.

- 14

, 8.

- 2

.Wyrażenie

3 z^{2} - z + 1

dla zmiennej

z = \frac{1}{3}

przyjmuje wartość 1.

- \frac{3}{4}

, 2.

- 1

, 3.

1

, 4.

18

, 5.

2

, 6.

\frac{3}{4}

, 7.

- 14

, 8.

- 2

.Wyrażenie

\frac{- y^{3} + y}{2 y^{2}}

dla zmiennej

y = - \frac{1}{2}

przyjmuje wartość 1.

- \frac{3}{4}

, 2.

- 1

, 3.

1

, 4.

18

, 5.

2

, 6.

\frac{3}{4}

, 7.

- 14

, 8.

- 2

.Wyrażenie

\frac{2 p^{2} + p q - q^{2}}{p^{0} + q^{0}}

dla zmiennych

p = - 1

q = 2

przyjmuje wartość 1.

- \frac{3}{4}

, 2.

- 1

, 3.

1

, 4.

18

, 5.

2

, 6.

\frac{3}{4}

, 7.

- 14

, 8.

- 2

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R10HoiSI3ngHP

Ćwiczenie 21

Oblicz wartości poniższych wyrażeń. Uzupełnij równości, przeciągając w luki odpowiednie liczby lub kliknij w lukę i wybierz odpowiedź z listy rozwijalnej.

3^{4} - {(- 3)}^{4} =

1

, 2.

12

, 3.

2

, 4.

2 \frac{1}{3}

, 5.

\frac{1}{2}

, 6.

- \frac{1}{3}

, 7.

4

, 8.

2 \frac{1}{2}

, 9.

0

, 10.

10

, 11.

1

, 12.

5

\frac{1}{5} \cdot 5^{2} - {(- 5)}^{1} =

1

, 2.

12

, 3.

2

, 4.

2 \frac{1}{3}

, 5.

\frac{1}{2}

, 6.

- \frac{1}{3}

, 7.

4

, 8.

2 \frac{1}{2}

, 9.

0

, 10.

10

, 11.

1

, 12.

5

{(\frac{1}{2})}^{3} \cdot {(- 2)}^{2} =

1

, 2.

12

, 3.

2

, 4.

2 \frac{1}{3}

, 5.

\frac{1}{2}

, 6.

- \frac{1}{3}

, 7.

4

, 8.

2 \frac{1}{2}

, 9.

0

, 10.

10

, 11.

1

, 12.

5

4 \cdot {(\frac{1}{2})}^{2} + 4 \cdot {(\frac{1}{3})}^{0} =

1

, 2.

12

, 3.

2

, 4.

2 \frac{1}{3}

, 5.

\frac{1}{2}

, 6.

- \frac{1}{3}

, 7.

4

, 8.

2 \frac{1}{2}

, 9.

0

, 10.

10

, 11.

1

, 12.

5

10^{3} \cdot {0,1}^{3} =

1

, 2.

12

, 3.

2

, 4.

2 \frac{1}{3}

, 5.

\frac{1}{2}

, 6.

- \frac{1}{3}

, 7.

4

, 8.

2 \frac{1}{2}

, 9.

0

, 10.

10

, 11.

1

, 12.

5

3 - 3^{2} \cdot \frac{1}{18} =

1

, 2.

12

, 3.

2

, 4.

2 \frac{1}{3}

, 5.

\frac{1}{2}

, 6.

- \frac{1}{3}

, 7.

4

, 8.

2 \frac{1}{2}

, 9.

0

, 10.

10

, 11.

1

, 12.

5

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R1dRkhgnjd8hB

Ćwiczenie 22

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Polecenie 1

Przeczytaj ponownie Legendę o podwajaniu ziaren i odpowiedz na pytania, które znajdują się pod nią.

Notatnik

W tym miejscu możesz zapisać swoje obliczenia, notatki i inne informacje, które uważasz za potrzebne.

R1XGMBc9p0FYR

2. Iloczyn oraz iloraz potęg o takich samych podstawach

Potęgi

1. Potęga o wykładniku naturalnym

Notatnik