9. Działania na potęgach - podsumowanie - Potęgi

Rj3XGSJcroJ71

9. Działania na potęgach - podsumowanie

Czy wiesz, że do dinozaurów zaliczamy również ptaki? Chcąc porównać wielkość kamarazaura i modraszki, wygodnie jest zapisać masę ciała każdego ze zwierząt za pomocą potęgi. Kamarazaur ważył prawdopodobnie około 20 t, a modraszka około 10 g.

Rfm0vpuy54m3B

Rysunek pzedstawia dwa idące dinozaury. Po prawej stronie wyłania się olbrzymia głowa innego dinozaura. — Kamarazaur, zauropod z grupy Macronaria.
Źródło: Dmitry Bogdanov, *Dostępny w internecie: https://pl.wikipedia.org/wiki/Kamarazaur#/media/Plik:Camarasaurs1.jpg*, licencja: CC BY 3.0.

R1DxtX9n8ZHi5

Zdjęcie niewielkiego ptaka siedzącego na gałęzi. Ptak, zwany modraszką zwyczajną, ma niebieskie pióra na głowie, skrzydałach i ogonie. — Modraszka zwyczajna,Wielka Brytania.
Źródło: Francis C. Franklin, licencja: CC BY 3.0.

2 \cdot 10^{7} g : 10 g = 2 \cdot 10^{6}

Kamarazaur był 2 000 000 razy cięższy od modraszki.

Porównując masy zwierząt, wykorzystaliśmy działania na potęgach. W tym materiale utrwalisz umiejętności dotyczące wykonywania działań na potęgach i obliczania wartości potęg.

Przypomnijmy na początek podstawowe wiadomości.

Ważne!

RDMfEM47GZC5W1

Zapis: a do potęgi n, gdzie a to podstawa potęgi, n wykładnik potęgi. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Potęgą $a^{n}$ o wykładniku naturalnym $(n > 1)$ nazywamy iloczyn $n$ czynników, z których każdy jest równy $a$ .

$a^{n} = \underset{n czynników}{a \cdot a \cdot a \cdot \dots \cdot a}$

Przyjmujemy, że $a^{0} = 1$ dla $a \neq 0$ , oraz $a^{1} = a$ .

potęga o wykładniku ujemnym

Definicja: potęga o wykładniku ujemnym

Niech $n$ będzie liczbą naturalną dodatnią. Potęgą liczby $a \neq 0$ o wykładniku $(- n)$ nazywamy liczbę:

$a^{- n} = \frac{1}{a^{n}}$

Działania na potęgach

Definicja: Działania na potęgach

Dla dowolnej liczby $a \neq 0$ i dowolnych liczb całkowitych $x$ i $y$ prawdziwe są równości:

$a^{x} \cdot a^{y} = a^{x + y}$ (wzór na iloczyn potęg o tych samych podstawach)
$\frac{a^{x}}{a^{y}} = a^{x - y}$ (wzór na iloraz potęg o tych samych podstawach)
${(a^{x})}^{y} = a^{x \cdot y}$ (wzór na potęgę potęgi)

RZDAhGBxt9BfV

Ćwiczenie 1

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RHCvnax5a2DXz

Ćwiczenie 2

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R17cA1ZyWpZyN

Ćwiczenie 3

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RKKbG71IF240K

Ćwiczenie 4

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RD682anOApCzW1

Ćwiczenie 5

Określ, czy poniższe liczby są dodatnie, czy ujemne. Przeciągnij w luki odpowiednie liczby. liczby dodatnie Możliwe odpowiedzi: 1.

- 2^{4}

, 2.

2^{4}

, 3.

2^{- 4}

, 4.

- {(\frac{1}{3})}^{3}

, 5.

- 3^{5}

, 6.

{(- \frac{1}{3})}^{- 3}

, 7.

- {(\frac{1}{2})}^{- 2}

, 8.

{(- \frac{1}{2})}^{- 2}

, 9.

{(- 3)}^{5}

, 10.

3^{5}

, 11.

{(- \frac{1}{3})}^{3}

, 12.

{(- 2)}^{4}

, 13.

{(\frac{1}{2})}^{- 2}

, 14.

3^{- 5}

liczby ujemne Możliwe odpowiedzi: 1.

- 2^{4}

, 2.

2^{4}

, 3.

2^{- 4}

, 4.

- {(\frac{1}{3})}^{3}

, 5.

- 3^{5}

, 6.

{(- \frac{1}{3})}^{- 3}

, 7.

- {(\frac{1}{2})}^{- 2}

, 8.

{(- \frac{1}{2})}^{- 2}

, 9.

{(- 3)}^{5}

, 10.

3^{5}

, 11.

{(- \frac{1}{3})}^{3}

, 12.

{(- 2)}^{4}

, 13.

{(\frac{1}{2})}^{- 2}

, 14.

3^{- 5}

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RPfyQBh8hVENf

Ćwiczenie 6

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RjBpoHvVAwYJQ

Ćwiczenie 7

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R132GYnCo4XAN

Ćwiczenie 8

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R15Pi6OLUSOIf

Ćwiczenie 9

Zapisz poniższe liczby bez użycia potęg. Kliknij w lukę, aby rozwinąć listę i wybierz brakującą liczbę dla każdej równości.

5^{6}

=

\frac{2}{15565}

, 2.

15625

, 3.

15265

, 4.

- 15562

, 5.

15625

, 6.

\frac{2}{15526}

, 7.

15265

, 8.

- \frac{2}{15625}

, 9.

- 15625

, 10.

- \frac{1}{15625}

, 11.

\frac{1}{15625}

, 12.

\frac{1}{15625}

{- 5}^{6}

=

\frac{2}{15565}

, 2.

15625

, 3.

15265

, 4.

- 15562

, 5.

15625

, 6.

\frac{2}{15526}

, 7.

15265

, 8.

- \frac{2}{15625}

, 9.

- 15625

, 10.

- \frac{1}{15625}

, 11.

\frac{1}{15625}

, 12.

\frac{1}{15625}

5^{- 6}

=

\frac{2}{15565}

, 2.

15625

, 3.

15265

, 4.

- 15562

, 5.

15625

, 6.

\frac{2}{15526}

, 7.

15265

, 8.

- \frac{2}{15625}

, 9.

- 15625

, 10.

- \frac{1}{15625}

, 11.

\frac{1}{15625}

, 12.

\frac{1}{15625}

{- 5}^{- 6}

=

\frac{2}{15565}

, 2.

15625

, 3.

15265

, 4.

- 15562

, 5.

15625

, 6.

\frac{2}{15526}

, 7.

15265

, 8.

- \frac{2}{15625}

, 9.

- 15625

, 10.

- \frac{1}{15625}

, 11.

\frac{1}{15625}

, 12.

\frac{1}{15625}

{(- 5)}^{6}

=

\frac{2}{15565}

, 2.

15625

, 3.

15265

, 4.

- 15562

, 5.

15625

, 6.

\frac{2}{15526}

, 7.

15265

, 8.

- \frac{2}{15625}

, 9.

- 15625

, 10.

- \frac{1}{15625}

, 11.

\frac{1}{15625}

, 12.

\frac{1}{15625}

{(- 5)}^{- 6}

=

\frac{2}{15565}

, 2.

15625

, 3.

15265

, 4.

- 15562

, 5.

15625

, 6.

\frac{2}{15526}

, 7.

15265

, 8.

- \frac{2}{15625}

, 9.

- 15625

, 10.

- \frac{1}{15625}

, 11.

\frac{1}{15625}

, 12.

\frac{1}{15625}

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R1Nu0ePoA7HoN

Ćwiczenie 10

Oblicz iloczyny i ilorazy liczb, a następnie uzupełnij poniższe równości. Kliknij w lukę, aby rozwinąć listę i wybierz brakującą liczbę dla każdej równości.

{(\frac{2}{3})}^{2} \cdot {(\frac{3}{2})}^{4}

=

{(\frac{14}{4})}^{5}

, 2.

{(\frac{2}{6})}^{- 2} = \frac{36}{4}

, 3.

{(\frac{4}{5})}^{- 6}

, 4.

{(\frac{12}{5})}^{5}

, 5.

{(\frac{3}{2})}^{2} = \frac{9}{4}

, 6.

- 2

, 7.

- 1

, 8.

{(\frac{2}{5})}^{- 2} = \frac{25}{4}

, 9.

{(\frac{3}{5})}^{- 3}

, 10.

{(\frac{4}{2})}^{2} = \frac{16}{4}

{(\frac{5}{2})}^{- 3} : {(\frac{2}{5})}^{5}

=

{(\frac{14}{4})}^{5}

, 2.

{(\frac{2}{6})}^{- 2} = \frac{36}{4}

, 3.

{(\frac{4}{5})}^{- 6}

, 4.

{(\frac{12}{5})}^{5}

, 5.

{(\frac{3}{2})}^{2} = \frac{9}{4}

, 6.

- 2

, 7.

- 1

, 8.

{(\frac{2}{5})}^{- 2} = \frac{25}{4}

, 9.

{(\frac{3}{5})}^{- 3}

, 10.

{(\frac{4}{2})}^{2} = \frac{16}{4}

{(- 1)}^{5} \cdot 3^{2} \cdot {(- \frac{1}{3})}^{2}

=

{(\frac{14}{4})}^{5}

, 2.

{(\frac{2}{6})}^{- 2} = \frac{36}{4}

, 3.

{(\frac{4}{5})}^{- 6}

, 4.

{(\frac{12}{5})}^{5}

, 5.

{(\frac{3}{2})}^{2} = \frac{9}{4}

, 6.

- 2

, 7.

- 1

, 8.

{(\frac{2}{5})}^{- 2} = \frac{25}{4}

, 9.

{(\frac{3}{5})}^{- 3}

, 10.

{(\frac{4}{2})}^{2} = \frac{16}{4}

{(\frac{4}{5})}^{- 3} \cdot {(\frac{5}{4})}^{3}

=

{(\frac{14}{4})}^{5}

, 2.

{(\frac{2}{6})}^{- 2} = \frac{36}{4}

, 3.

{(\frac{4}{5})}^{- 6}

, 4.

{(\frac{12}{5})}^{5}

, 5.

{(\frac{3}{2})}^{2} = \frac{9}{4}

, 6.

- 2

, 7.

- 1

, 8.

{(\frac{2}{5})}^{- 2} = \frac{25}{4}

, 9.

{(\frac{3}{5})}^{- 3}

, 10.

{(\frac{4}{2})}^{2} = \frac{16}{4}

{(2 \frac{2}{5})}^{2} : {(\frac{5}{12})}^{3}

=

{(\frac{14}{4})}^{5}

, 2.

{(\frac{2}{6})}^{- 2} = \frac{36}{4}

, 3.

{(\frac{4}{5})}^{- 6}

, 4.

{(\frac{12}{5})}^{5}

, 5.

{(\frac{3}{2})}^{2} = \frac{9}{4}

, 6.

- 2

, 7.

- 1

, 8.

{(\frac{2}{5})}^{- 2} = \frac{25}{4}

, 9.

{(\frac{3}{5})}^{- 3}

, 10.

{(\frac{4}{2})}^{2} = \frac{16}{4}

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RPzzb2NsnyM98

Ćwiczenie 11

Podane liczby zapisz w postaci potęgi o podstawie

2

. Kliknij w lukę, aby rozwinąć listę i wybierz brakującą liczbę dla każdej równości.

2^{3} \cdot 4^{- 2} \cdot \frac{1}{8}

=

2^{- 4}

, 2.

2^{2014}

, 3.

2^{16}

, 4.

2^{14}

, 5.

4^{2016}

, 6.

4^{2}

, 7.

2^{4}

, 8.

2^{- 8}

512^{46} \cdot {(1024^{20})}^{8}

=

2^{- 4}

, 2.

2^{2014}

, 3.

2^{16}

, 4.

2^{14}

, 5.

4^{2016}

, 6.

4^{2}

, 7.

2^{4}

, 8.

2^{- 8}

\frac{{(\frac{1}{16})}^{- 1} \cdot 8^{5}}{32}

=

2^{- 4}

, 2.

2^{2014}

, 3.

2^{16}

, 4.

2^{14}

, 5.

4^{2016}

, 6.

4^{2}

, 7.

2^{4}

, 8.

2^{- 8}

\frac{{(\frac{1}{16})}^{3} \cdot {(- \frac{1}{2})}^{- 5}}{{(- 2)}^{5} \cdot 256^{- 2}}

=

2^{- 4}

, 2.

2^{2014}

, 3.

2^{16}

, 4.

2^{14}

, 5.

4^{2016}

, 6.

4^{2}

, 7.

2^{4}

, 8.

2^{- 8}

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R5wpbcwMgU7PM

Ćwiczenie 12

Uzupełnij poniższe równości odpowiednimi liczbami. Kliknij w lukę, aby rozwinąć listę i wybierz brakującą liczbę dla każdej równości.

\frac{7^{12} + 7^{14}}{7^{10}}

=

- 1302

, 2.

2540

, 3.

\frac{4}{9}

, 4.

- 1320

, 5.

2045

, 6.

\frac{2}{9}

, 7.

2450

, 8.

\frac{4}{7}

, 9.

- 1230

\frac{11^{111} - 11^{113}}{11^{110}}

=

- 1302

, 2.

2540

, 3.

\frac{4}{9}

, 4.

- 1320

, 5.

2045

, 6.

\frac{2}{9}

, 7.

2450

, 8.

\frac{4}{7}

, 9.

- 1230

\frac{3^{18} + 3^{19} + 3^{20} + 3^{21}}{3^{20} + 3^{22}}

=

- 1302

, 2.

2540

, 3.

\frac{4}{9}

, 4.

- 1320

, 5.

2045

, 6.

\frac{2}{9}

, 7.

2450

, 8.

\frac{4}{7}

, 9.

- 1230

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RumDB9k2stdCz

Ćwiczenie 13

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RIxgXZjdSveAO

Ćwiczenie 14

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RwaugU2LQAaAh

Ćwiczenie 15

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Uwaga!

Porównując potęgi o tych samych podstawach dodatnich $a$ , musimy pamiętać, że:

dla $a > 1$ większa jest ta potęga, która ma większy wykładnik,

dla $a < 1$ większa jest ta potęga, która ma mniejszy wykładnik.

R19Pb9NhHYPFo

Ćwiczenie 16

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R11GwgYplvbuj

Ćwiczenie 17

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 18

Porównaj wagę:
$3$ miliardów $500$ milionów mrówek, jeśli przyjmiemy, że masa każdej z nich to $0, 3 \cdot 10^{- 3} g$ ,
oraz $4$ tygrysów, jeśli przyjmiemy, że każdy z nich ma masę $2, 7 \cdot 10^{2} kg$ .

Masa opisanych mrówek jest równa
$35 \cdot 10^{8} \cdot 0, 3 \cdot 10^{- 3} = 35 \cdot 3 \cdot \frac{10^{8}}{10^{4}} = 105 \cdot 10^{4} = 1050 (kg)$ ,
natomiast masa opisanych $4$ tygrysów jest równa
$4 \cdot 2, 7 \cdot 10^{2} = 4 \cdot 270 = 1080 (kg)$ .

Zatem te $4$ tygrysy ważą o $30 kg$ więcej niż rozpatrywane $3$ miliardy $500$ milionów mrówek.

Mrówki ważą $1050 kg$ , a tygrysy $1080 kg$ , co oznacza, że tygrysy ważą więcej.

Notatnik

Możesz skorzystać z poniższego pola tekstowego do zapisania swoich notatek, rozwiązań zadań i innych informacji, które uważasz za potrzebne.

R1b8OvSPUG8s3

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

8. Notacja wykładnicza

Potęgi

9. Działania na potęgach - podsumowanie

Notatnik