1. Pierwiastki kwadratowe i sześcienne

R19Dqp5bwhi9q

R1Z5O9FkeWskl1

Rycina autorstwa szesnastowiecznego malarza Girolamo Olgiati przedstawiająca popiersie greckiego filozofa Hippazosa - głowa starszego mężczyzny o długich kręcionych włosach i długiej brodzie. — Hippazos, rycina Girolamo Olgiati, 1580
Źródło: dostępny w internecie, https://pl.frwiki.wiki/wiki/Hippase_de_M%C3%A9taponte, domena publiczna.

Uważa się, że grecki filozof Hippazos z Metapontu odkrył, iż długości przekątnej kwadratu o boku 1 nie można zapisać za pomocą liczby wymiernej. Odkrycie było tak niezwykłe, że długi czas utrzymywano je w tajemnicy. Obliczenia Hippazosa doprowadziły do określenia pierwiastków.

Z tego materiału dowiesz się:

co to jest pierwiastek kwadratowy,
co to jest pierwiastek sześcienny,
co to jest liczba podpierwiastkowa,
jak obliczać pierwiastki z niektórych liczb.

Pierwiastek kwadratowy

Zacznijmy od przypomnienia definicji potęgowania i obliczenia kwadratów (drugich potęg) niektórych liczb.

Potęga liczby

a

Definicja: Potęga liczby

a

Potęgą liczby $a$ o wykładniku naturalnym $n$ nazywamy iloczyn $n$ czynników, z których każdy jest równy liczbie $a$ .

$a^{n} = \underset{n}{\underset{⏟}{a \cdot a \cdot \dots \cdot a}}$

R1ZRHxKx4Ud6o1

Ćwiczenie 1

Uzupełnij równości, przeciągając w luki odpowiednie liczby lub kliknij w lukę i wybierz odpowiedź z listy rozwijalnej.

$1^{2} =$ 1. $5$ , 2. $1$ , 3. $12$ , 4. $- 22$ , 5. $0,25$ , 6. $0$ , 7. $- 2$ , 8. $0,5$ , 9. $- 1$ , 10. $16$ , 11. $32$ , 12. $121$ , 13. $- 121$ , 14. $49$ , 15. $22$ , 16. $- 14$ , 17. $64$ , 18. $8$ , 19. $0,025$ , 20. $2$ , 21. $- 49$ , 22. $14$
$0^{2} =$ 1. $5$ , 2. $1$ , 3. $12$ , 4. $- 22$ , 5. $0,25$ , 6. $0$ , 7. $- 2$ , 8. $0,5$ , 9. $- 1$ , 10. $16$ , 11. $32$ , 12. $121$ , 13. $- 121$ , 14. $49$ , 15. $22$ , 16. $- 14$ , 17. $64$ , 18. $8$ , 19. $0,025$ , 20. $2$ , 21. $- 49$ , 22. $14$
${(- 11)}^{2} =$ 1. $5$ , 2. $1$ , 3. $12$ , 4. $- 22$ , 5. $0,25$ , 6. $0$ , 7. $- 2$ , 8. $0,5$ , 9. $- 1$ , 10. $16$ , 11. $32$ , 12. $121$ , 13. $- 121$ , 14. $49$ , 15. $22$ , 16. $- 14$ , 17. $64$ , 18. $8$ , 19. $0,025$ , 20. $2$ , 21. $- 49$ , 22. $14$
$4^{2} =$ 1. $5$ , 2. $1$ , 3. $12$ , 4. $- 22$ , 5. $0,25$ , 6. $0$ , 7. $- 2$ , 8. $0,5$ , 9. $- 1$ , 10. $16$ , 11. $32$ , 12. $121$ , 13. $- 121$ , 14. $49$ , 15. $22$ , 16. $- 14$ , 17. $64$ , 18. $8$ , 19. $0,025$ , 20. $2$ , 21. $- 49$ , 22. $14$
${(0, 5)}^{2} =$ 1. $5$ , 2. $1$ , 3. $12$ , 4. $- 22$ , 5. $0,25$ , 6. $0$ , 7. $- 2$ , 8. $0,5$ , 9. $- 1$ , 10. $16$ , 11. $32$ , 12. $121$ , 13. $- 121$ , 14. $49$ , 15. $22$ , 16. $- 14$ , 17. $64$ , 18. $8$ , 19. $0,025$ , 20. $2$ , 21. $- 49$ , 22. $14$
${(- 7)}^{2} =$ 1. $5$ , 2. $1$ , 3. $12$ , 4. $- 22$ , 5. $0,25$ , 6. $0$ , 7. $- 2$ , 8. $0,5$ , 9. $- 1$ , 10. $16$ , 11. $32$ , 12. $121$ , 13. $- 121$ , 14. $49$ , 15. $22$ , 16. $- 14$ , 17. $64$ , 18. $8$ , 19. $0,025$ , 20. $2$ , 21. $- 49$ , 22. $14$

Przeciągnij i upuść.

$22$ , $- 1$ , $5$ , $0$ , $16$ , $121$ , $- 2$ , $2$ , $8$ , $- 22$ , $32$ , $- 14$ , $0,5$ , $12$ , $0,25$ , $- 49$ , $1$ , $49$ , $0,025$ , $- 121$ , $64$ , $14$

$1^{2} =$ ............
$0^{2} =$ ............
${(- 11)}^{2} =$ ............
$4^{2} =$ ............
${(0, 5)}^{2} =$ ............
${(- 7)}^{2} =$ ............

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Zauważ, że kwadrat dowolnej liczby wymiernej jest liczbą nieujemną. Natomiast liczba dodatnia może być przedstawiona jako kwadrat liczby dodatniej lub kwadrat liczby ujemnej.

R10u1z1FqmeIJ

Ćwiczenie 2

Uzupełnij zapisy takimi liczbami niedodatnimi, aby ich kwadraty miały podaną wartość. Przeciągnij w luki odpowiednie liczby lub kliknij w lukę i wybierz odpowiedź z listy rozwijalnej.

Liczba $16$ jest kwadratem liczby 1. $- 2$ , 2. $0,5$ , 3. $- 0,05$ , 4. $0$ , 5. $8$ , 6. $- 7$ , 7. $- 11$ , 8. $- 5$ , 9. $11$ , 10. $- 0,5$ , 11. $- 8$ , 12. $1$ , 13. $7$ , 14. $- 4$ , 15. $5$ , 16. $4$ , 17. $2$ , 18. $0,05$ , 19. $- 1$ .
Liczba $0,25$ jest kwadratem liczby 1. $- 2$ , 2. $0,5$ , 3. $- 0,05$ , 4. $0$ , 5. $8$ , 6. $- 7$ , 7. $- 11$ , 8. $- 5$ , 9. $11$ , 10. $- 0,5$ , 11. $- 8$ , 12. $1$ , 13. $7$ , 14. $- 4$ , 15. $5$ , 16. $4$ , 17. $2$ , 18. $0,05$ , 19. $- 1$ .
Liczba $1$ jest kwadratem liczby 1. $- 2$ , 2. $0,5$ , 3. $- 0,05$ , 4. $0$ , 5. $8$ , 6. $- 7$ , 7. $- 11$ , 8. $- 5$ , 9. $11$ , 10. $- 0,5$ , 11. $- 8$ , 12. $1$ , 13. $7$ , 14. $- 4$ , 15. $5$ , 16. $4$ , 17. $2$ , 18. $0,05$ , 19. $- 1$ .
Liczba $49$ jest kwadratem liczby 1. $- 2$ , 2. $0,5$ , 3. $- 0,05$ , 4. $0$ , 5. $8$ , 6. $- 7$ , 7. $- 11$ , 8. $- 5$ , 9. $11$ , 10. $- 0,5$ , 11. $- 8$ , 12. $1$ , 13. $7$ , 14. $- 4$ , 15. $5$ , 16. $4$ , 17. $2$ , 18. $0,05$ , 19. $- 1$ .
Liczba $121$ jest kwadratem liczby 1. $- 2$ , 2. $0,5$ , 3. $- 0,05$ , 4. $0$ , 5. $8$ , 6. $- 7$ , 7. $- 11$ , 8. $- 5$ , 9. $11$ , 10. $- 0,5$ , 11. $- 8$ , 12. $1$ , 13. $7$ , 14. $- 4$ , 15. $5$ , 16. $4$ , 17. $2$ , 18. $0,05$ , 19. $- 1$ .
Liczba $0$ jest kwadratem liczby 1. $- 2$ , 2. $0,5$ , 3. $- 0,05$ , 4. $0$ , 5. $8$ , 6. $- 7$ , 7. $- 11$ , 8. $- 5$ , 9. $11$ , 10. $- 0,5$ , 11. $- 8$ , 12. $1$ , 13. $7$ , 14. $- 4$ , 15. $5$ , 16. $4$ , 17. $2$ , 18. $0,05$ , 19. $- 1$ .

Uzupełnij zapisy, przeciagając takie liczby niedodatnie, aby ich kwadraty miały podaną wartość.

$- 11$ , $- 2$ , $0,5$ , $11$ , $1$ , $- 8$ , $5$ , $- 1$ , $7$ , $- 7$ , $- 0,5$ , $4$ , $0,05$ , $- 0,05$ , $8$ , $- 4$ , $0$ , $- 5$ , $2$

$16$ ............
$0,25$ ............
$1$ ............
$49$ ............
$121$ ............
$0$ ............

Obliczając pierwiastek kwadratowy, będziemy poszukiwać tylko takiej liczby nieujemnej, której kwadrat jest równy danej liczbie nieujemnej.

Zapamiętaj!

Szukanie liczby nieujemnej, której kwadrat jest dany, nazywa się obliczaniem pierwiastka kwadratowego z danej liczby nieujemnej.

Pierwiastek kwadratowy

Definicja: Pierwiastek kwadratowy

Pierwiastkiem kwadratowym z liczby nieujemnej $a$ nazywamy taką liczbę nieujemną $b$ , której kwadrat jest równy liczbie $a$ . Pierwiastek ten oznaczamy symbolem $\sqrt{a}$ .

Pierwiastek kwadratowy nazywany jest również pierwiastkiem stopnia drugiego.

Mówimy, że liczba $a$ w wyrażeniu $\sqrt{a}$ to liczba podpierwiastkowa.

Jeśli $a \geq 0$ i $b \geq 0$ , to $\sqrt{a} = b$ , wtedy i tylko wtedy, gdy $b^{2} = a$ .

Rl3OVRVEhiKIb1

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Przykład 1

Obliczymy pierwiastki podanych liczb.

$\sqrt{16} = 4$ , bo $4^{2} = 16$

$\sqrt{0,25} = 0,5$ , bo ${0,5}^{2} = 0,25$

$\sqrt{1} = 1$ , bo $1^{2} = 1$

$\sqrt{49} = 7$ , bo $7^{2} = 49$

$\sqrt{121} = 11$ , bo $11^{2} = 121$

$\sqrt{0} = 0$ , bo $0^{2} = 0$

$\sqrt{36} = 6$ , bo $6^{2} = 36$

$\sqrt{81} = 9$ , bo $9^{2} = 81$

$\sqrt{\frac{4}{9}} = \frac{2}{3}$ , bo ${(\frac{2}{3})}^{2} = \frac{4}{9}$

$\sqrt{1,69} = 1,3$ , bo ${(1,3)}^{2} = 1,69$

$\sqrt{1 \frac{9}{16}} = \sqrt{\frac{25}{16}} = \frac{5}{4} = 1 \frac{1}{4}$ , bo ${(1 \frac{1}{4})}^{2} = 1 \frac{9}{16}$

Pierwiastków kwadratowych z liczb ujemnych nie określamy, ponieważ nie znamy takich liczb, które podniesione do kwadratu mają wartość ujemną.

RgYAyqafGqhDK

Ćwiczenie 3

Oblicz w pamięci, a następnie wpisz wyniki w pola poniżej w takiej samej kolejności.

$\sqrt{9}$ , $\sqrt{36}$ , $\sqrt{49}$ , $\sqrt{81}$ Tu uzupełnij, Tu uzupełnij, Tu uzupełnij, Tu uzupełnij
$\sqrt{100}$ , $\sqrt{144}$ , $\sqrt{225}$ , $\sqrt{900}$ Tu uzupełnij, Tu uzupełnij, Tu uzupełnij, Tu uzupełnij
$\sqrt{1600}$ , $\sqrt{16900}$ , $\sqrt{250000}$ , $\sqrt{1000000}$ Tu uzupełnij, Tu uzupełnij, Tu uzupełnij, Tu uzupełnij
$\sqrt{0,000009}$ , $\sqrt{0,04}$ , $\sqrt{0,64}$ , $\sqrt{1,21}$ , $\sqrt{6,25}$ Tu uzupełnij, Tu uzupełnij, Tu uzupełnij, Tu uzupełnij, Tu uzupełnij

RDy2N2HqdTnIF

Ćwiczenie 4

R1QOMAh59WAAi

Ćwiczenie 5

Uzupełnij zdania liczbami tak, aby były prawdziwe.

Bok kwadratu o polu $16 {mm}^{2}$ ma długość Tu uzupełnij $mm$ .
Bok kwadratu o polu $64 m^{2}$ ma długość Tu uzupełnij $m$ .
Bok kwadratu o polu $0,0025 {cm}^{2}$ ma długość Tu uzupełnij $cm$ .
Bok kwadratu o polu $2,25 {mm}^{2}$ ma długość Tu uzupełnij $mm$ .
Bok kwadratu o polu $1 {dm}^{2}$ ma długość Tu uzupełnij $dm$ .
Bok kwadratu o polu $0,16 {cm}^{2}$ ma długość Tu uzupełnij $cm$ .
Bok kwadratu o polu $100 m^{2}$ ma długość Tu uzupełnij $m$ .
Bok kwadratu o polu $40000000000 {cm}^{2}$ ma długość Tu uzupełnij $cm$ .

R1KD9HxDRKymJ

Ćwiczenie 6

Pole powierzchni kwadratowego dywanu jest równe $3,24 m^{2}$ powierzchni. Ile taśmy wykończeniowej należy kupić na obszycie brzegów tego dywanu?

$720 cm$
$72 cm$
$7200 m$
$7,2 cm$

R1LTdeawi2E0B

Ćwiczenie 7

Połącz w pary liczby równe. pierwiastek kwadratowy z dwa początek ułamka, jeden, mianownik, cztery, koniec ułamka koniec pierwiastka Możliwe odpowiedzi: 1. jeden początek ułamka, trzy, mianownik, pięć, koniec ułamka, 2. jeden początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, 3. jeden początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, 4. jeden początek ułamka, jeden, mianownik, cztery, koniec ułamka, 5. jeden początek ułamka, dwa, mianownik, pięć, koniec ułamka, 6. jeden początek ułamka, trzy, mianownik, cztery, koniec ułamka, 7. jeden początek ułamka, cztery, mianownik, pięć, koniec ułamka, 8. jeden początek ułamka, jeden, mianownik, trzy, koniec ułamka, 9. jeden początek ułamka, jeden, mianownik, pięć, koniec ułamka pierwiastek kwadratowy z jeden początek ułamka, siedem, mianownik, dziewięć, koniec ułamka koniec pierwiastka Możliwe odpowiedzi: 1. jeden początek ułamka, trzy, mianownik, pięć, koniec ułamka, 2. jeden początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, 3. jeden początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, 4. jeden początek ułamka, jeden, mianownik, cztery, koniec ułamka, 5. jeden początek ułamka, dwa, mianownik, pięć, koniec ułamka, 6. jeden początek ułamka, trzy, mianownik, cztery, koniec ułamka, 7. jeden początek ułamka, cztery, mianownik, pięć, koniec ułamka, 8. jeden początek ułamka, jeden, mianownik, trzy, koniec ułamka, 9. jeden początek ułamka, jeden, mianownik, pięć, koniec ułamka pierwiastek kwadratowy z dwa początek ułamka, siedem, mianownik, dziewięć, koniec ułamka koniec pierwiastka Możliwe odpowiedzi: 1. jeden początek ułamka, trzy, mianownik, pięć, koniec ułamka, 2. jeden początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, 3. jeden początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, 4. jeden początek ułamka, jeden, mianownik, cztery, koniec ułamka, 5. jeden początek ułamka, dwa, mianownik, pięć, koniec ułamka, 6. jeden początek ułamka, trzy, mianownik, cztery, koniec ułamka, 7. jeden początek ułamka, cztery, mianownik, pięć, koniec ułamka, 8. jeden początek ułamka, jeden, mianownik, trzy, koniec ułamka, 9. jeden początek ułamka, jeden, mianownik, pięć, koniec ułamka pierwiastek kwadratowy z jeden początek ułamka, dziewięć, mianownik, szesnaście, koniec ułamka koniec pierwiastka Możliwe odpowiedzi: 1. jeden początek ułamka, trzy, mianownik, pięć, koniec ułamka, 2. jeden początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, 3. jeden początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, 4. jeden początek ułamka, jeden, mianownik, cztery, koniec ułamka, 5. jeden początek ułamka, dwa, mianownik, pięć, koniec ułamka, 6. jeden początek ułamka, trzy, mianownik, cztery, koniec ułamka, 7. jeden początek ułamka, cztery, mianownik, pięć, koniec ułamka, 8. jeden początek ułamka, jeden, mianownik, trzy, koniec ułamka, 9. jeden początek ułamka, jeden, mianownik, pięć, koniec ułamka pierwiastek kwadratowy z trzy początek ułamka, jeden, mianownik, szesnaście, koniec ułamka koniec pierwiastka Możliwe odpowiedzi: 1. jeden początek ułamka, trzy, mianownik, pięć, koniec ułamka, 2. jeden początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, 3. jeden początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, 4. jeden początek ułamka, jeden, mianownik, cztery, koniec ułamka, 5. jeden początek ułamka, dwa, mianownik, pięć, koniec ułamka, 6. jeden początek ułamka, trzy, mianownik, cztery, koniec ułamka, 7. jeden początek ułamka, cztery, mianownik, pięć, koniec ułamka, 8. jeden początek ułamka, jeden, mianownik, trzy, koniec ułamka, 9. jeden początek ułamka, jeden, mianownik, pięć, koniec ułamka pierwiastek kwadratowy z jeden początek ułamka, jedenaście, mianownik, dwadzieścia pięć, koniec ułamka koniec pierwiastka Możliwe odpowiedzi: 1. jeden początek ułamka, trzy, mianownik, pięć, koniec ułamka, 2. jeden początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, 3. jeden początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, 4. jeden początek ułamka, jeden, mianownik, cztery, koniec ułamka, 5. jeden początek ułamka, dwa, mianownik, pięć, koniec ułamka, 6. jeden początek ułamka, trzy, mianownik, cztery, koniec ułamka, 7. jeden początek ułamka, cztery, mianownik, pięć, koniec ułamka, 8. jeden początek ułamka, jeden, mianownik, trzy, koniec ułamka, 9. jeden początek ułamka, jeden, mianownik, pięć, koniec ułamka pierwiastek kwadratowy z jeden początek ułamka, dwadzieścia cztery, mianownik, dwadzieścia pięć, koniec ułamka koniec pierwiastka Możliwe odpowiedzi: 1. jeden początek ułamka, trzy, mianownik, pięć, koniec ułamka, 2. jeden początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, 3. jeden początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, 4. jeden początek ułamka, jeden, mianownik, cztery, koniec ułamka, 5. jeden początek ułamka, dwa, mianownik, pięć, koniec ułamka, 6. jeden początek ułamka, trzy, mianownik, cztery, koniec ułamka, 7. jeden początek ułamka, cztery, mianownik, pięć, koniec ułamka, 8. jeden początek ułamka, jeden, mianownik, trzy, koniec ułamka, 9. jeden początek ułamka, jeden, mianownik, pięć, koniec ułamka pierwiastek kwadratowy z dwa początek ułamka, czternaście, mianownik, dwadzieścia pięć, koniec ułamka koniec pierwiastka Możliwe odpowiedzi: 1. jeden początek ułamka, trzy, mianownik, pięć, koniec ułamka, 2. jeden początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, 3. jeden początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, 4. jeden początek ułamka, jeden, mianownik, cztery, koniec ułamka, 5. jeden początek ułamka, dwa, mianownik, pięć, koniec ułamka, 6. jeden początek ułamka, trzy, mianownik, cztery, koniec ułamka, 7. jeden początek ułamka, cztery, mianownik, pięć, koniec ułamka, 8. jeden początek ułamka, jeden, mianownik, trzy, koniec ułamka, 9. jeden początek ułamka, jeden, mianownik, pięć, koniec ułamka pierwiastek kwadratowy z trzy początek ułamka, sześć, mianownik, dwadzieścia pięć, koniec ułamka koniec pierwiastka Możliwe odpowiedzi: 1. jeden początek ułamka, trzy, mianownik, pięć, koniec ułamka, 2. jeden początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, 3. jeden początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, 4. jeden początek ułamka, jeden, mianownik, cztery, koniec ułamka, 5. jeden początek ułamka, dwa, mianownik, pięć, koniec ułamka, 6. jeden początek ułamka, trzy, mianownik, cztery, koniec ułamka, 7. jeden początek ułamka, cztery, mianownik, pięć, koniec ułamka, 8. jeden początek ułamka, jeden, mianownik, trzy, koniec ułamka, 9. jeden początek ułamka, jeden, mianownik, pięć, koniec ułamka

RM3wNcW44MV6u

Ćwiczenie 8

$\frac{4}{5}$
$\frac{5}{4}$
$\frac{8}{5}$
$\frac{16}{25}$

Pierwiastek sześcienny

Poznamy teraz pierwiastki stopnia trzeciego. Pierwiastki te określone są również dla liczb ujemnych. Najpierw przypomnimy sobie, jak obliczamy potęgi stopnia trzeciego, bowiem pierwiastkowanie i potęgowanie to działania wzajemnie odwrotne.

RHZzUEWo6p2mT1

Ćwiczenie 9

Uzupełnij równości, przeciągając w luki odpowiednie liczby lub kliknij w lukę i wybierz odpowiedź z listy rozwijalnej.

$2^{3} =$ 1. $16$ , 2. $64$ , 3. $100$ , 4. $125$ , 5. $- 6$ , 6. $\frac{3}{27}$ , 7. $- 125$ , 8. $12$ , 9. $- 15$ , 10. $30$ , 11. $- \frac{3}{27}$ , 12. $\frac{1}{27}$ , 13. $32$ , 14. $8$ , 15. $1000$ , 16. $6$ , 17. $- \frac{1}{27}$ , 18. $1$ , 19. $- 3$ , 20. $3$ , 21. $- 1$ , 22. $- 8$
${(- 1)}^{3} =$ 1. $16$ , 2. $64$ , 3. $100$ , 4. $125$ , 5. $- 6$ , 6. $\frac{3}{27}$ , 7. $- 125$ , 8. $12$ , 9. $- 15$ , 10. $30$ , 11. $- \frac{3}{27}$ , 12. $\frac{1}{27}$ , 13. $32$ , 14. $8$ , 15. $1000$ , 16. $6$ , 17. $- \frac{1}{27}$ , 18. $1$ , 19. $- 3$ , 20. $3$ , 21. $- 1$ , 22. $- 8$
${(- \frac{1}{3})}^{3} =$ 1. $16$ , 2. $64$ , 3. $100$ , 4. $125$ , 5. $- 6$ , 6. $\frac{3}{27}$ , 7. $- 125$ , 8. $12$ , 9. $- 15$ , 10. $30$ , 11. $- \frac{3}{27}$ , 12. $\frac{1}{27}$ , 13. $32$ , 14. $8$ , 15. $1000$ , 16. $6$ , 17. $- \frac{1}{27}$ , 18. $1$ , 19. $- 3$ , 20. $3$ , 21. $- 1$ , 22. $- 8$
$4^{3} =$ 1. $16$ , 2. $64$ , 3. $100$ , 4. $125$ , 5. $- 6$ , 6. $\frac{3}{27}$ , 7. $- 125$ , 8. $12$ , 9. $- 15$ , 10. $30$ , 11. $- \frac{3}{27}$ , 12. $\frac{1}{27}$ , 13. $32$ , 14. $8$ , 15. $1000$ , 16. $6$ , 17. $- \frac{1}{27}$ , 18. $1$ , 19. $- 3$ , 20. $3$ , 21. $- 1$ , 22. $- 8$
${(- 5)}^{3} =$ 1. $16$ , 2. $64$ , 3. $100$ , 4. $125$ , 5. $- 6$ , 6. $\frac{3}{27}$ , 7. $- 125$ , 8. $12$ , 9. $- 15$ , 10. $30$ , 11. $- \frac{3}{27}$ , 12. $\frac{1}{27}$ , 13. $32$ , 14. $8$ , 15. $1000$ , 16. $6$ , 17. $- \frac{1}{27}$ , 18. $1$ , 19. $- 3$ , 20. $3$ , 21. $- 1$ , 22. $- 8$
$10^{3} =$ 1. $16$ , 2. $64$ , 3. $100$ , 4. $125$ , 5. $- 6$ , 6. $\frac{3}{27}$ , 7. $- 125$ , 8. $12$ , 9. $- 15$ , 10. $30$ , 11. $- \frac{3}{27}$ , 12. $\frac{1}{27}$ , 13. $32$ , 14. $8$ , 15. $1000$ , 16. $6$ , 17. $- \frac{1}{27}$ , 18. $1$ , 19. $- 3$ , 20. $3$ , 21. $- 1$ , 22. $- 8$

Przeciągnij i upuść.

$- 6$ , $- \frac{1}{27}$ , $30$ , $8$ , $- 3$ , $- \frac{3}{27}$ , $3$ , $125$ , $64$ , $- 1$ , $32$ , $1000$ , $16$ , $12$ , $6$ , $\frac{1}{27}$ , $- 125$ , $- 8$ , $1$ , $- 15$ , $\frac{3}{27}$ , $100$

$2^{3} =$ ............
${(- 1)}^{3} =$ ............
${(- \frac{1}{3})}^{3} =$ ............
$4^{3} =$ ............
${(- 5)}^{3} =$ ............
$10^{3} =$ ............

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Zapamiętaj!

Szukanie liczby na podstawie danego jej sześcianu nazywa się obliczaniem pierwiastka sześciennego z danej liczby.

Pierwiastek sześcienny

Definicja: Pierwiastek sześcienny

Pierwiastkiem sześciennym z liczby $a$ nazywamy taką liczbę $b$ , której sześcian jest równy liczbie $a$ . Pierwiastek ten oznaczamy symbolem $\sqrt[3]{a}$ .
Pierwiastek sześcienny nazywany jest również pierwiastkiem stopnia trzeciego.
$\sqrt[3]{a} = b$ wtedy i tylko wtedy, gdy $b^{3} = a$ .

RjZ2rzQyP5QC31

Przykład 2

$\sqrt[3]{64} = 4$ , bo $4^{3} = 64$
$\sqrt[3]{- \frac{1}{27}} = - \frac{1}{3}$ , bo ${(- \frac{1}{3})}^{3} = - \frac{1}{27}$
$\sqrt[3]{- 1} = - 1$ , bo ${(- 1)}^{3} = - 1$
$\sqrt[3]{8} = 2$ , bo $2^{3} = 8$
$\sqrt[3]{1000} = 10$ , bo $10^{3} = 1000$
$\sqrt[3]{- 125} = - 5$ , bo ${(- 5)}^{3} = - 125$
$\sqrt[3]{- \frac{1}{8}} = - \frac{1}{2}$ , bo ${(- \frac{1}{2})}^{3} = - \frac{1}{8}$
$\sqrt[3]{27} = 3$ , bo $3^{3} = 27$
$\sqrt[3]{\frac{64}{125}} = \frac{4}{5}$ , bo ${(\frac{4}{5})}^{3} = \frac{64}{125}$
$\sqrt[3]{- 0,008} = - 0,2$ , bo ${(- 0,2)}^{3} = - 0,008$
$\sqrt[3]{- \frac{1000}{343}} = - \frac{10}{7}$ , bo ${(- \frac{10}{7})}^{3} = - \frac{1000}{343}$

RS76K1txMVdUX

Ćwiczenie 10

Oblicz wartości podanych pierwiastków. Wyniki wstaw w wyznaczonych miejscach.

\sqrt[3]{0} =

6

, 2.

0, 1

, 3.

- 3

, 4.

- 1

, 5.

4

, 6.

- 0, 2

, 7.

0, 3

, 8.

- 8

, 9.

0

, 10.

- 0, 5

\sqrt[3]{- 1} =

6

, 2.

0, 1

, 3.

- 3

, 4.

- 1

, 5.

4

, 6.

- 0, 2

, 7.

0, 3

, 8.

- 8

, 9.

0

, 10.

- 0, 5

\sqrt[3]{0, 001} =

6

, 2.

0, 1

, 3.

- 3

, 4.

- 1

, 5.

4

, 6.

- 0, 2

, 7.

0, 3

, 8.

- 8

, 9.

0

, 10.

- 0, 5

\sqrt[3]{- 0, 008} =

6

, 2.

0, 1

, 3.

- 3

, 4.

- 1

, 5.

4

, 6.

- 0, 2

, 7.

0, 3

, 8.

- 8

, 9.

0

, 10.

- 0, 5

\sqrt[3]{0, 027}

6

, 2.

0, 1

, 3.

- 3

, 4.

- 1

, 5.

4

, 6.

- 0, 2

, 7.

0, 3

, 8.

- 8

, 9.

0

, 10.

- 0, 5

\sqrt[3]{- 0, 125} =

6

, 2.

0, 1

, 3.

- 3

, 4.

- 1

, 5.

4

, 6.

- 0, 2

, 7.

0, 3

, 8.

- 8

, 9.

0

, 10.

- 0, 5

\sqrt[3]{64}

6

, 2.

0, 1

, 3.

- 3

, 4.

- 1

, 5.

4

, 6.

- 0, 2

, 7.

0, 3

, 8.

- 8

, 9.

0

, 10.

- 0, 5

\sqrt[3]{- 512} =

6

, 2.

0, 1

, 3.

- 3

, 4.

- 1

, 5.

4

, 6.

- 0, 2

, 7.

0, 3

, 8.

- 8

, 9.

0

, 10.

- 0, 5

\sqrt[3]{216} =

6

, 2.

0, 1

, 3.

- 3

, 4.

- 1

, 5.

4

, 6.

- 0, 2

, 7.

0, 3

, 8.

- 8

, 9.

0

, 10.

- 0, 5

\sqrt[3]{- 27} =

6

, 2.

0, 1

, 3.

- 3

, 4.

- 1

, 5.

4

, 6.

- 0, 2

, 7.

0, 3

, 8.

- 8

, 9.

0

, 10.

- 0, 5

RtT6tTv3b7bep

Ćwiczenie 11

R14TBW3vibjgV

Ćwiczenie 12

Połącz w pary liczby równe. pierwiastek sześcienny z trzy początek ułamka, trzy, mianownik, osiem, koniec ułamka koniec pierwiastka Możliwe odpowiedzi: 1. jeden początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, 2. dwa początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, 3. trzy początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, 4. jeden początek ułamka, jeden, mianownik, sześć, koniec ułamka, 5. dwa początek ułamka, jeden, mianownik, trzy, koniec ułamka, 6. jeden początek ułamka, trzy, mianownik, pięć, koniec ułamka, 7. jeden początek ułamka, jeden, mianownik, pięć, koniec ułamka, 8. jeden początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, 9. jeden początek ułamka, dwa, mianownik, pięć, koniec ułamka pierwiastek sześcienny z piętnaście początek ułamka, pięć, mianownik, osiem, koniec ułamka koniec pierwiastka Możliwe odpowiedzi: 1. jeden początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, 2. dwa początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, 3. trzy początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, 4. jeden początek ułamka, jeden, mianownik, sześć, koniec ułamka, 5. dwa początek ułamka, jeden, mianownik, trzy, koniec ułamka, 6. jeden początek ułamka, trzy, mianownik, pięć, koniec ułamka, 7. jeden początek ułamka, jeden, mianownik, pięć, koniec ułamka, 8. jeden początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, 9. jeden początek ułamka, dwa, mianownik, pięć, koniec ułamka pierwiastek sześcienny z cztery początek ułamka, siedemnaście, mianownik, dwadzieścia siedem, koniec ułamka koniec pierwiastka Możliwe odpowiedzi: 1. jeden początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, 2. dwa początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, 3. trzy początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, 4. jeden początek ułamka, jeden, mianownik, sześć, koniec ułamka, 5. dwa początek ułamka, jeden, mianownik, trzy, koniec ułamka, 6. jeden początek ułamka, trzy, mianownik, pięć, koniec ułamka, 7. jeden początek ułamka, jeden, mianownik, pięć, koniec ułamka, 8. jeden początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, 9. jeden początek ułamka, dwa, mianownik, pięć, koniec ułamka pierwiastek sześcienny z jeden początek ułamka, dziewięćdziesiąt jeden, mianownik, sto dwadzieścia pięć, koniec ułamka koniec pierwiastka Możliwe odpowiedzi: 1. jeden początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, 2. dwa początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, 3. trzy początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, 4. jeden początek ułamka, jeden, mianownik, sześć, koniec ułamka, 5. dwa początek ułamka, jeden, mianownik, trzy, koniec ułamka, 6. jeden początek ułamka, trzy, mianownik, pięć, koniec ułamka, 7. jeden początek ułamka, jeden, mianownik, pięć, koniec ułamka, 8. jeden początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, 9. jeden początek ułamka, dwa, mianownik, pięć, koniec ułamka pierwiastek sześcienny z czterdzieści dwa początek ułamka, siedem, mianownik, osiem, koniec ułamka koniec pierwiastka Możliwe odpowiedzi: 1. jeden początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, 2. dwa początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, 3. trzy początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, 4. jeden początek ułamka, jeden, mianownik, sześć, koniec ułamka, 5. dwa początek ułamka, jeden, mianownik, trzy, koniec ułamka, 6. jeden początek ułamka, trzy, mianownik, pięć, koniec ułamka, 7. jeden początek ułamka, jeden, mianownik, pięć, koniec ułamka, 8. jeden początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, 9. jeden początek ułamka, dwa, mianownik, pięć, koniec ułamka pierwiastek sześcienny z dwa początek ułamka, dziewięćdziesiąt trzy, mianownik, sto dwadzieścia pięć, koniec ułamka koniec pierwiastka Możliwe odpowiedzi: 1. jeden początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, 2. dwa początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, 3. trzy początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, 4. jeden początek ułamka, jeden, mianownik, sześć, koniec ułamka, 5. dwa początek ułamka, jeden, mianownik, trzy, koniec ułamka, 6. jeden początek ułamka, trzy, mianownik, pięć, koniec ułamka, 7. jeden początek ułamka, jeden, mianownik, pięć, koniec ułamka, 8. jeden początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, 9. jeden początek ułamka, dwa, mianownik, pięć, koniec ułamka pierwiastek sześcienny z dwanaście początek ułamka, dziewiętnaście, mianownik, dwadzieścia siedem, koniec ułamka koniec pierwiastka Możliwe odpowiedzi: 1. jeden początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, 2. dwa początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, 3. trzy początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, 4. jeden początek ułamka, jeden, mianownik, sześć, koniec ułamka, 5. dwa początek ułamka, jeden, mianownik, trzy, koniec ułamka, 6. jeden początek ułamka, trzy, mianownik, pięć, koniec ułamka, 7. jeden początek ułamka, jeden, mianownik, pięć, koniec ułamka, 8. jeden początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, 9. jeden początek ułamka, dwa, mianownik, pięć, koniec ułamka pierwiastek sześcienny z jeden początek ułamka, sto dwadzieścia siedem, mianownik, dwieście szesnaście, koniec ułamka koniec pierwiastka Możliwe odpowiedzi: 1. jeden początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, 2. dwa początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, 3. trzy początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, 4. jeden początek ułamka, jeden, mianownik, sześć, koniec ułamka, 5. dwa początek ułamka, jeden, mianownik, trzy, koniec ułamka, 6. jeden początek ułamka, trzy, mianownik, pięć, koniec ułamka, 7. jeden początek ułamka, jeden, mianownik, pięć, koniec ułamka, 8. jeden początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, 9. jeden początek ułamka, dwa, mianownik, pięć, koniec ułamka pierwiastek sześcienny z cztery początek ułamka, dwanaście, mianownik, sto dwadzieścia pięć, koniec ułamka koniec pierwiastka Możliwe odpowiedzi: 1. jeden początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, 2. dwa początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, 3. trzy początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, 4. jeden początek ułamka, jeden, mianownik, sześć, koniec ułamka, 5. dwa początek ułamka, jeden, mianownik, trzy, koniec ułamka, 6. jeden początek ułamka, trzy, mianownik, pięć, koniec ułamka, 7. jeden początek ułamka, jeden, mianownik, pięć, koniec ułamka, 8. jeden początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, 9. jeden początek ułamka, dwa, mianownik, pięć, koniec ułamka

Ćwiczenie 13

R3Zu2pFYxlFns

R1eK4sfMWExEj

Uzupełnij zdania, przeciągając w luki odpowiednie liczby lub kliknij w lukę i wybierz odpowiedź z listy rozwijalnej.

Sześcian o objętości $27 {cm}^{3}$ ma krawędź długości 1. $\frac{2}{3}$ , 2. $1$ , 3. $1, 2$ , 4. $\frac{5}{6}$ , 5. $0, 4$ , 6. $0, 1$ , 7. $2$ , 8. $2 \frac{2}{3}$ , 9. $0, 6$ , 10. $3$ $cm$ .
Sześcian o objętości $0, 064 m^{3}$ ma krawędź długości 1. $\frac{2}{3}$ , 2. $1$ , 3. $1, 2$ , 4. $\frac{5}{6}$ , 5. $0, 4$ , 6. $0, 1$ , 7. $2$ , 8. $2 \frac{2}{3}$ , 9. $0, 6$ , 10. $3$ $m$ .
Sześcian o objętości $0, 001 {dm}^{3}$ ma krawędź długości 1. $\frac{2}{3}$ , 2. $1$ , 3. $1, 2$ , 4. $\frac{5}{6}$ , 5. $0, 4$ , 6. $0, 1$ , 7. $2$ , 8. $2 \frac{2}{3}$ , 9. $0, 6$ , 10. $3$ $dm$ .
Sześcian o objętości $1, 728 {mm}^{3}$ ma krawędź długości 1. $\frac{2}{3}$ , 2. $1$ , 3. $1, 2$ , 4. $\frac{5}{6}$ , 5. $0, 4$ , 6. $0, 1$ , 7. $2$ , 8. $2 \frac{2}{3}$ , 9. $0, 6$ , 10. $3$ $mm$ .
Sześcian o objętości $\frac{250}{432} m^{3}$ ma krawędź długości 1. $\frac{2}{3}$ , 2. $1$ , 3. $1, 2$ , 4. $\frac{5}{6}$ , 5. $0, 4$ , 6. $0, 1$ , 7. $2$ , 8. $2 \frac{2}{3}$ , 9. $0, 6$ , 10. $3$ $m$ .
Sześcian o objętości $8 {dm}^{3}$ ma krawędź długości 1. $\frac{2}{3}$ , 2. $1$ , 3. $1, 2$ , 4. $\frac{5}{6}$ , 5. $0, 4$ , 6. $0, 1$ , 7. $2$ , 8. $2 \frac{2}{3}$ , 9. $0, 6$ , 10. $3$ $dm$ .
Sześcian o objętości $18 \frac{26}{27} {km}^{3}$ ma krawędź długości 1. $\frac{2}{3}$ , 2. $1$ , 3. $1, 2$ , 4. $\frac{5}{6}$ , 5. $0, 4$ , 6. $0, 1$ , 7. $2$ , 8. $2 \frac{2}{3}$ , 9. $0, 6$ , 10. $3$ $km$ .

Obliczanie wartości pierwiastków

R1b9bFHiAOLeD1

Ćwiczenie 14

Uzupełnij równości, przeciągając w luki odpowiednie liczby lub kliknij w lukę i wybierz odpowiedź z listy rozwijalnej.

$\sqrt{25} =$ 1. $9$ , 2. $8$ , 3. $\frac{3}{8}$ , 4. $6$ , 5. $\frac{3}{8}$ , 6. $4$ , 7. $\frac{3}{4}$ , 8. $4$ , 9. $5$ , 10. $\frac{3}{6}$ , 11. $\frac{3}{5}$ $\frac{3}{4}$ , 13. $5$ , 14. $\frac{3}{9}$ , 15. $\frac{3}{10}$ , 16. $7$
$\sqrt[3]{125} =$ 1. $9$ , 2. $8$ , 3. $\frac{3}{8}$ , 4. $6$ , 5. $\frac{3}{8}$ , 6. $4$ , 7. $\frac{3}{4}$ , 8. $4$ , 9. $5$ , 10. $\frac{3}{6}$ , 11. $\frac{3}{5}$ $\frac{3}{4}$ , 13. $5$ , 14. $\frac{3}{9}$ , 15. $\frac{3}{10}$ , 16. $7$
$\sqrt[3]{\frac{27}{64}} =$ 1. $9$ , 2. $8$ , 3. $\frac{3}{8}$ , 4. $6$ , 5. $\frac{3}{8}$ , 6. $4$ , 7. $\frac{3}{4}$ , 8. $4$ , 9. $5$ , 10. $\frac{3}{6}$ , 11. $\frac{3}{5}$ $\frac{3}{4}$ , 13. $5$ , 14. $\frac{3}{9}$ , 15. $\frac{3}{10}$ , 16. $7$
$\sqrt{\frac{9}{64}} =$ 1. $9$ , 2. $8$ , 3. $\frac{3}{8}$ , 4. $6$ , 5. $\frac{3}{8}$ , 6. $4$ , 7. $\frac{3}{4}$ , 8. $4$ , 9. $5$ , 10. $\frac{3}{6}$ , 11. $\frac{3}{5}$ $\frac{3}{4}$ , 13. $5$ , 14. $\frac{3}{9}$ , 15. $\frac{3}{10}$ , 16. $7$
$\sqrt{\frac{9}{16}} =$ 1. $9$ , 2. $8$ , 3. $\frac{3}{8}$ , 4. $6$ , 5. $\frac{3}{8}$ , 6. $4$ , 7. $\frac{3}{4}$ , 8. $4$ , 9. $5$ , 10. $\frac{3}{6}$ , 11. $\frac{3}{5}$ $\frac{3}{4}$ , 13. $5$ , 14. $\frac{3}{9}$ , 15. $\frac{3}{10}$ , 16. $7$
$\sqrt[3]{64} =$ 1. $9$ , 2. $8$ , 3. $\frac{3}{8}$ , 4. $6$ , 5. $\frac{3}{8}$ , 6. $4$ , 7. $\frac{3}{4}$ , 8. $4$ , 9. $5$ , 10. $\frac{3}{6}$ , 11. $\frac{3}{5}$ $\frac{3}{4}$ , 13. $5$ , 14. $\frac{3}{9}$ , 15. $\frac{3}{10}$ , 16. $7$
$\sqrt{16} =$ 1. $9$ , 2. $8$ , 3. $\frac{3}{8}$ , 4. $6$ , 5. $\frac{3}{8}$ , 6. $4$ , 7. $\frac{3}{4}$ , 8. $4$ , 9. $5$ , 10. $\frac{3}{6}$ , 11. $\frac{3}{5}$ $\frac{3}{4}$ , 13. $5$ , 14. $\frac{3}{9}$ , 15. $\frac{3}{10}$ , 16. $7$
$\sqrt[3]{\frac{27}{512}} =$ 1. $9$ , 2. $8$ , 3. $\frac{3}{8}$ , 4. $6$ , 5. $\frac{3}{8}$ , 6. $4$ , 7. $\frac{3}{4}$ , 8. $4$ , 9. $5$ , 10. $\frac{3}{6}$ , 11. $\frac{3}{5}$ $\frac{3}{4}$ , 13. $5$ , 14. $\frac{3}{9}$ , 15. $\frac{3}{10}$ , 16. $7$

Przeciągnij i upuść.

$7$ , $\frac{3}{6}$ , $\frac{3}{4}$ , $5$ , $4$ , $\frac{3}{10}$ , $5$ , $\frac{3}{8}$ , $4$ , $\frac{3}{9}$ , $\frac{3}{8}$ , $9$ , $8$ , $\frac{3}{5}$ $\frac{3}{4}$ , $6$

$\sqrt{25} =$ ............
$\sqrt[3]{125} =$ ............
$\sqrt[3]{\frac{27}{64}} =$ ............
$\sqrt{\frac{9}{64}} =$ ............
$\sqrt{\frac{9}{16}} =$ ............
$\sqrt[3]{64} =$ ............
$\sqrt{16} =$ ............
$\sqrt[3]{\frac{27}{512}} =$ ............

RvzYtPoqY3Wvr

Ćwiczenie 15

Oblicz w pamięci pierwiastek i przyporządkuj mu prawidłowy wynik.

\sqrt{\frac{1}{25}}

Możliwe odpowiedzi: 1.

\frac{6}{20}

, 2.

- \frac{5}{10}

, 3.

\frac{1}{5}

, 4.

\frac{11}{15}

, 5.

\frac{18}{50}

, 6.

\frac{2}{5}

, 7.

- \frac{30}{50}

, 8.

- \frac{3}{4}

, 9.

\frac{8}{17}

, 10.

\frac{7}{30}

, 11.

\frac{10}{13}

, 12.

- \frac{1}{3}

\sqrt{\frac{64}{289}}

Możliwe odpowiedzi: 1.

\frac{6}{20}

, 2.

- \frac{5}{10}

, 3.

\frac{1}{5}

, 4.

\frac{11}{15}

, 5.

\frac{18}{50}

, 6.

\frac{2}{5}

, 7.

- \frac{30}{50}

, 8.

- \frac{3}{4}

, 9.

\frac{8}{17}

, 10.

\frac{7}{30}

, 11.

\frac{10}{13}

, 12.

- \frac{1}{3}

\sqrt{\frac{121}{225}}

Możliwe odpowiedzi: 1.

\frac{6}{20}

, 2.

- \frac{5}{10}

, 3.

\frac{1}{5}

, 4.

\frac{11}{15}

, 5.

\frac{18}{50}

, 6.

\frac{2}{5}

, 7.

- \frac{30}{50}

, 8.

- \frac{3}{4}

, 9.

\frac{8}{17}

, 10.

\frac{7}{30}

, 11.

\frac{10}{13}

, 12.

- \frac{1}{3}

\sqrt{\frac{49}{900}}

Możliwe odpowiedzi: 1.

\frac{6}{20}

, 2.

- \frac{5}{10}

, 3.

\frac{1}{5}

, 4.

\frac{11}{15}

, 5.

\frac{18}{50}

, 6.

\frac{2}{5}

, 7.

- \frac{30}{50}

, 8.

- \frac{3}{4}

, 9.

\frac{8}{17}

, 10.

\frac{7}{30}

, 11.

\frac{10}{13}

, 12.

- \frac{1}{3}

\sqrt{\frac{100}{169}}

Możliwe odpowiedzi: 1.

\frac{6}{20}

, 2.

- \frac{5}{10}

, 3.

\frac{1}{5}

, 4.

\frac{11}{15}

, 5.

\frac{18}{50}

, 6.

\frac{2}{5}

, 7.

- \frac{30}{50}

, 8.

- \frac{3}{4}

, 9.

\frac{8}{17}

, 10.

\frac{7}{30}

, 11.

\frac{10}{13}

, 12.

- \frac{1}{3}

\sqrt{\frac{324}{2500}}

Możliwe odpowiedzi: 1.

\frac{6}{20}

, 2.

- \frac{5}{10}

, 3.

\frac{1}{5}

, 4.

\frac{11}{15}

, 5.

\frac{18}{50}

, 6.

\frac{2}{5}

, 7.

- \frac{30}{50}

, 8.

- \frac{3}{4}

, 9.

\frac{8}{17}

, 10.

\frac{7}{30}

, 11.

\frac{10}{13}

, 12.

- \frac{1}{3}

\sqrt[3]{- \frac{1}{27}}

Możliwe odpowiedzi: 1.

\frac{6}{20}

, 2.

- \frac{5}{10}

, 3.

\frac{1}{5}

, 4.

\frac{11}{15}

, 5.

\frac{18}{50}

, 6.

\frac{2}{5}

, 7.

- \frac{30}{50}

, 8.

- \frac{3}{4}

, 9.

\frac{8}{17}

, 10.

\frac{7}{30}

, 11.

\frac{10}{13}

, 12.

- \frac{1}{3}

\sqrt[3]{\frac{8}{125}}

Możliwe odpowiedzi: 1.

\frac{6}{20}

, 2.

- \frac{5}{10}

, 3.

\frac{1}{5}

, 4.

\frac{11}{15}

, 5.

\frac{18}{50}

, 6.

\frac{2}{5}

, 7.

- \frac{30}{50}

, 8.

- \frac{3}{4}

, 9.

\frac{8}{17}

, 10.

\frac{7}{30}

, 11.

\frac{10}{13}

, 12.

- \frac{1}{3}

\sqrt[3]{- \frac{27}{64}}

Możliwe odpowiedzi: 1.

\frac{6}{20}

, 2.

- \frac{5}{10}

, 3.

\frac{1}{5}

, 4.

\frac{11}{15}

, 5.

\frac{18}{50}

, 6.

\frac{2}{5}

, 7.

- \frac{30}{50}

, 8.

- \frac{3}{4}

, 9.

\frac{8}{17}

, 10.

\frac{7}{30}

, 11.

\frac{10}{13}

, 12.

- \frac{1}{3}

\sqrt[3]{- \frac{125}{1000}}

Możliwe odpowiedzi: 1.

\frac{6}{20}

, 2.

- \frac{5}{10}

, 3.

\frac{1}{5}

, 4.

\frac{11}{15}

, 5.

\frac{18}{50}

, 6.

\frac{2}{5}

, 7.

- \frac{30}{50}

, 8.

- \frac{3}{4}

, 9.

\frac{8}{17}

, 10.

\frac{7}{30}

, 11.

\frac{10}{13}

, 12.

- \frac{1}{3}

\sqrt[3]{\frac{216}{8000}}

Możliwe odpowiedzi: 1.

\frac{6}{20}

, 2.

- \frac{5}{10}

, 3.

\frac{1}{5}

, 4.

\frac{11}{15}

, 5.

\frac{18}{50}

, 6.

\frac{2}{5}

, 7.

- \frac{30}{50}

, 8.

- \frac{3}{4}

, 9.

\frac{8}{17}

, 10.

\frac{7}{30}

, 11.

\frac{10}{13}

, 12.

- \frac{1}{3}

\sqrt[3]{- \frac{27000}{125000}}

Możliwe odpowiedzi: 1.

\frac{6}{20}

, 2.

- \frac{5}{10}

, 3.

\frac{1}{5}

, 4.

\frac{11}{15}

, 5.

\frac{18}{50}

, 6.

\frac{2}{5}

, 7.

- \frac{30}{50}

, 8.

- \frac{3}{4}

, 9.

\frac{8}{17}

, 10.

\frac{7}{30}

, 11.

\frac{10}{13}

, 12.

- \frac{1}{3}

RsWhuIOvH6hDU

Ćwiczenie 16

Oblicz pierwiastki, a następnie uzupełnij równości, przeciągając w luki odpowiednie liczby lub kliknij w lukę i wybierz odpowiedź z listy rozwijalnej.

$\sqrt{5 \frac{1}{16}} =$ 1. $2 \frac{2}{3}$ , 2. $1 \frac{1}{2}$ , 3. $1 \frac{3}{7}$ , 4. $- 1 \frac{1}{4}$ , 5. $1 \frac{3}{5}$ , 6. $1 \frac{1}{3}$ , 7. $- 1 \frac{1}{2}$ , 8. $- 1 \frac{3}{5}$ , 9. $2 \frac{1}{2}$ , 10. $1 \frac{5}{6}$ , 11. $3 \frac{1}{2}$

, 12.

1 \frac{2}{3}

, 13.

1 \frac{1}{5}

, 14.

- 1 \frac{1}{5}

, 15.

- 1 \frac{1}{3}

, 16.

2 \frac{1}{4}

, 17.

- 3 \frac{1}{3}

, 18.

3 \frac{1}{5}

\sqrt{1 \frac{11}{25}} =

2 \frac{2}{3}

, 2.

1 \frac{1}{2}

, 3.

1 \frac{3}{7}

, 4.

- 1 \frac{1}{4}

, 5.

1 \frac{3}{5}

, 6.

1 \frac{1}{3}

, 7.

- 1 \frac{1}{2}

, 8.

- 1 \frac{3}{5}

, 9.

2 \frac{1}{2}

, 10.

1 \frac{5}{6}

, 11.

3 \frac{1}{2}

, 12.

1 \frac{2}{3}

, 13.

1 \frac{1}{5}

, 14.

- 1 \frac{1}{5}

, 15.

- 1 \frac{1}{3}

, 16.

2 \frac{1}{4}

, 17.

- 3 \frac{1}{3}

, 18.

3 \frac{1}{5}

\sqrt{2 \frac{14}{25}} =

2 \frac{2}{3}

, 2.

1 \frac{1}{2}

, 3.

1 \frac{3}{7}

, 4.

- 1 \frac{1}{4}

, 5.

1 \frac{3}{5}

, 6.

1 \frac{1}{3}

, 7.

- 1 \frac{1}{2}

, 8.

- 1 \frac{3}{5}

, 9.

2 \frac{1}{2}

, 10.

1 \frac{5}{6}

, 11.

3 \frac{1}{2}

, 12.

1 \frac{2}{3}

, 13.

1 \frac{1}{5}

, 14.

- 1 \frac{1}{5}

, 15.

- 1 \frac{1}{3}

, 16.

2 \frac{1}{4}

, 17.

- 3 \frac{1}{3}

, 18.

3 \frac{1}{5}

\sqrt{3 \frac{13}{36}} =

2 \frac{2}{3}

, 2.

1 \frac{1}{2}

, 3.

1 \frac{3}{7}

, 4.

- 1 \frac{1}{4}

, 5.

1 \frac{3}{5}

, 6.

1 \frac{1}{3}

, 7.

- 1 \frac{1}{2}

, 8.

- 1 \frac{3}{5}

, 9.

2 \frac{1}{2}

, 10.

1 \frac{5}{6}

, 11.

3 \frac{1}{2}

, 12.

1 \frac{2}{3}

, 13.

1 \frac{1}{5}

, 14.

- 1 \frac{1}{5}

, 15.

- 1 \frac{1}{3}

, 16.

2 \frac{1}{4}

, 17.

- 3 \frac{1}{3}

, 18.

3 \frac{1}{5}

\sqrt{2 \frac{2}{49}} =

2 \frac{2}{3}

, 2.

1 \frac{1}{2}

, 3.

1 \frac{3}{7}

, 4.

- 1 \frac{1}{4}

, 5.

1 \frac{3}{5}

, 6.

1 \frac{1}{3}

, 7.

- 1 \frac{1}{2}

, 8.

- 1 \frac{3}{5}

, 9.

2 \frac{1}{2}

, 10.

1 \frac{5}{6}

, 11.

3 \frac{1}{2}

, 12.

1 \frac{2}{3}

, 13.

1 \frac{1}{5}

, 14.

- 1 \frac{1}{5}

, 15.

- 1 \frac{1}{3}

, 16.

2 \frac{1}{4}

, 17.

- 3 \frac{1}{3}

, 18.

3 \frac{1}{5}

\sqrt{7 \frac{1}{9}} =

2 \frac{2}{3}

, 2.

1 \frac{1}{2}

, 3.

1 \frac{3}{7}

, 4.

- 1 \frac{1}{4}

, 5.

1 \frac{3}{5}

, 6.

1 \frac{1}{3}

, 7.

- 1 \frac{1}{2}

, 8.

- 1 \frac{3}{5}

, 9.

2 \frac{1}{2}

, 10.

1 \frac{5}{6}

, 11.

3 \frac{1}{2}

, 12.

1 \frac{2}{3}

, 13.

1 \frac{1}{5}

, 14.

- 1 \frac{1}{5}

, 15.

- 1 \frac{1}{3}

, 16.

2 \frac{1}{4}

, 17.

- 3 \frac{1}{3}

, 18.

3 \frac{1}{5}

\sqrt[3]{2 \frac{10}{27}} =

2 \frac{2}{3}

, 2.

1 \frac{1}{2}

, 3.

1 \frac{3}{7}

, 4.

- 1 \frac{1}{4}

, 5.

1 \frac{3}{5}

, 6.

1 \frac{1}{3}

, 7.

- 1 \frac{1}{2}

, 8.

- 1 \frac{3}{5}

, 9.

2 \frac{1}{2}

, 10.

1 \frac{5}{6}

, 11.

3 \frac{1}{2}

, 12.

1 \frac{2}{3}

, 13.

1 \frac{1}{5}

, 14.

- 1 \frac{1}{5}

, 15.

- 1 \frac{1}{3}

, 16.

2 \frac{1}{4}

, 17.

- 3 \frac{1}{3}

, 18.

3 \frac{1}{5}

\sqrt[3]{4 \frac{17}{27}} =

2 \frac{2}{3}

, 2.

1 \frac{1}{2}

, 3.

1 \frac{3}{7}

, 4.

- 1 \frac{1}{4}

, 5.

1 \frac{3}{5}

, 6.

1 \frac{1}{3}

, 7.

- 1 \frac{1}{2}

, 8.

- 1 \frac{3}{5}

, 9.

2 \frac{1}{2}

, 10.

1 \frac{5}{6}

, 11.

3 \frac{1}{2}

, 12.

1 \frac{2}{3}

, 13.

1 \frac{1}{5}

, 14.

- 1 \frac{1}{5}

, 15.

- 1 \frac{1}{3}

, 16.

2 \frac{1}{4}

, 17.

- 3 \frac{1}{3}

, 18.

3 \frac{1}{5}

\sqrt[3]{- 1 \frac{61}{64}} =

2 \frac{2}{3}

, 2.

1 \frac{1}{2}

, 3.

1 \frac{3}{7}

, 4.

- 1 \frac{1}{4}

, 5.

1 \frac{3}{5}

, 6.

1 \frac{1}{3}

, 7.

- 1 \frac{1}{2}

, 8.

- 1 \frac{3}{5}

, 9.

2 \frac{1}{2}

, 10.

1 \frac{5}{6}

, 11.

3 \frac{1}{2}

, 12.

1 \frac{2}{3}

, 13.

1 \frac{1}{5}

, 14.

- 1 \frac{1}{5}

, 15.

- 1 \frac{1}{3}

, 16.

2 \frac{1}{4}

, 17.

- 3 \frac{1}{3}

, 18.

3 \frac{1}{5}

\sqrt[3]{- 37 \frac{1}{27}} =

2 \frac{2}{3}

, 2.

1 \frac{1}{2}

, 3.

1 \frac{3}{7}

, 4.

- 1 \frac{1}{4}

, 5.

1 \frac{3}{5}

, 6.

1 \frac{1}{3}

, 7.

- 1 \frac{1}{2}

, 8.

- 1 \frac{3}{5}

, 9.

2 \frac{1}{2}

, 10.

1 \frac{5}{6}

, 11.

3 \frac{1}{2}

, 12.

1 \frac{2}{3}

, 13.

1 \frac{1}{5}

, 14.

- 1 \frac{1}{5}

, 15.

- 1 \frac{1}{3}

, 16.

2 \frac{1}{4}

, 17.

- 3 \frac{1}{3}

, 18.

3 \frac{1}{5}

\sqrt[3]{3 \frac{3}{8}} =

2 \frac{2}{3}

, 2.

1 \frac{1}{2}

, 3.

1 \frac{3}{7}

, 4.

- 1 \frac{1}{4}

, 5.

1 \frac{3}{5}

, 6.

1 \frac{1}{3}

, 7.

- 1 \frac{1}{2}

, 8.

- 1 \frac{3}{5}

, 9.

2 \frac{1}{2}

, 10.

1 \frac{5}{6}

, 11.

3 \frac{1}{2}

, 12.

1 \frac{2}{3}

, 13.

1 \frac{1}{5}

, 14.

- 1 \frac{1}{5}

, 15.

- 1 \frac{1}{3}

, 16.

2 \frac{1}{4}

, 17.

- 3 \frac{1}{3}

, 18.

3 \frac{1}{5}

\sqrt[3]{- 1 \frac{91}{125}} =

2 \frac{2}{3}

, 2.

1 \frac{1}{2}

, 3.

1 \frac{3}{7}

, 4.

- 1 \frac{1}{4}

, 5.

1 \frac{3}{5}

, 6.

1 \frac{1}{3}

, 7.

- 1 \frac{1}{2}

, 8.

- 1 \frac{3}{5}

, 9.

2 \frac{1}{2}

, 10.

1 \frac{5}{6}

, 11.

3 \frac{1}{2}

, 12.

1 \frac{2}{3}

, 13.

1 \frac{1}{5}

, 14.

- 1 \frac{1}{5}

, 15.

- 1 \frac{1}{3}

, 16.

2 \frac{1}{4}

, 17.

- 3 \frac{1}{3}

, 18.

3 \frac{1}{5}

R1LMhd1vbXMRj

Ćwiczenie 17

RescPB33A0efL1

Ćwiczenie 18

Uzupełnij nierówności, przeciągając w luki odpowiednie znaki lub kliknij w lukę i wybierz odpowiedź z listy rozwijalnej.

$\sqrt{64}$ 1. $<$ , 2. $=$ , 3. $>$ , 4. $<$ , 5. $=$ , 6. $<$ , 7. $=$ , 8. $>$ , 9. $>$ , 10. $=$ , 11. $>$ , 12. $>$ , 13. $=$ , 14. $<$ , 15. $<$ , 16. $<$ , 17. $>$ , 18. $<$ , 19. $=$ $\sqrt[3]{64}$
$\sqrt{49}$ 1. $<$ , 2. $=$ , 3. $>$ , 4. $<$ , 5. $=$ , 6. $<$ , 7. $=$ , 8. $>$ , 9. $>$ , 10. $=$ , 11. $>$ , 12. $>$ , 13. $=$ , 14. $<$ , 15. $<$ , 16. $<$ , 17. $>$ , 18. $<$ , 19. $=$ $\sqrt{9}$
$\sqrt{4}$ 1. $<$ , 2. $=$ , 3. $>$ , 4. $<$ , 5. $=$ , 6. $<$ , 7. $=$ , 8. $>$ , 9. $>$ , 10. $=$ , 11. $>$ , 12. $>$ , 13. $=$ , 14. $<$ , 15. $<$ , 16. $<$ , 17. $>$ , 18. $<$ , 19. $=$ $\sqrt[3]{8}$
$- \sqrt{25}$ 1. $<$ , 2. $=$ , 3. $>$ , 4. $<$ , 5. $=$ , 6. $<$ , 7. $=$ , 8. $>$ , 9. $>$ , 10. $=$ , 11. $>$ , 12. $>$ , 13. $=$ , 14. $<$ , 15. $<$ , 16. $<$ , 17. $>$ , 18. $<$ , 19. $=$ $- \sqrt[3]{- 125}$
$\sqrt[3]{- 1000}$ 1. $<$ , 2. $=$ , 3. $>$ , 4. $<$ , 5. $=$ , 6. $<$ , 7. $=$ , 8. $>$ , 9. $>$ , 10. $=$ , 11. $>$ , 12. $>$ , 13. $=$ , 14. $<$ , 15. $<$ , 16. $<$ , 17. $>$ , 18. $<$ , 19. $=$ $- \sqrt[3]{729}$
$- \sqrt{0,0004}$ 1. $<$ , 2. $=$ , 3. $>$ , 4. $<$ , 5. $=$ , 6. $<$ , 7. $=$ , 8. $>$ , 9. $>$ , 10. $=$ , 11. $>$ , 12. $>$ , 13. $=$ , 14. $<$ , 15. $<$ , 16. $<$ , 17. $>$ , 18. $<$ , 19. $=$ $\sqrt[3]{- 0,008}$

Przeciągnij i upuść.

$>$ , $>$ , $>$ , $<$ , $<$ , $=$

$\sqrt{64}$ ............ $\sqrt[3]{64}$
$\sqrt{49}$ ............ $\sqrt{9}$
$\sqrt{4}$ ............ $\sqrt[3]{8}$
$- \sqrt{25}$ ............ $- \sqrt[3]{- 125}$
$\sqrt[3]{- 1000}$ ............ $- \sqrt[3]{729}$
$- \sqrt{0,0004}$ ............ $\sqrt[3]{- 0,008}$

R1elkAurvFj2r1

Ćwiczenie 19

Uporządkuj liczby w kolejności od najmniejszej do największej.

$\sqrt[3]{0}$
$- \sqrt[3]{- \frac{27}{64}}$
$\sqrt{\frac{9}{25}}$
$\sqrt{\frac{1}{625}}$
$\sqrt[3]{0,008}$
$- \sqrt[3]{125}$
$- \sqrt{1,44}$
$\sqrt{25}$
$- \sqrt[3]{1}$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Notatnik

Możesz skorzystać z poniższego pola tekstowego do zapisania swoich notatek, rozwiązań zadań i innych informacji, które uważasz za potrzebne.

R1b8OvSPUG8s3

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

2. Szacowanie wyrażeń zawierających pierwiastki

Pierwiastki