2. Szacowanie wyrażeń zawierających pierwiastki

R1HRXORYQZiLX

Swobodny spadek to ruch ciała spadającego z pewnej wysokości. Przykładem swobodnego spadku ciała może być skok spadochronowy.

R1IuR4akbXbVY

Zdjęcie komandosów wyskakujących z samolotu. — Komandosi sił powietrznych USA z 720 STG wyskakujący z samolotu C‑130J Hercules podczas szkolenia w zakresie ratownictwa wodnego na Florydzie
Źródło: Julianne Showalter, domena publiczna.

Zakładając, że nie uwględniamy oporu powietrza, czas spadania t możemy wyznaczyć ze wzoru

t = \sqrt{\frac{2 h}{g}}

gdzie h - wysokość początkowa, z której spada ciało, g- wartość przyspieszenia ziemskiego.

Do podanego wzoru najczęściej podstawia się przybliżoną wartość przyspieszenia ziemskiego. Nie zawsze jest też możliwe znalezienie takiej liczby, której druga potęga jest równa liczbie podpierwiastkowej. Zatem czas spadania ciała, zapisany bez użycia pierwiastka będzie liczbą przybliżoną. Do zapisania przybliżonej wartości pierwiastka przyda się umiejętność szacowania wartości pierwiastka. Rozwijaniem tej umiejętności zajmiemy się w tym materiale.

Szacowanie wartości pierwiastka

Przykład 1

Oszacujemy wartość pierwiastka drugiego stopnia z trzynastu oraz wartość pierwiastka trzeciego stopnia ze stu.

RgWxMrtJFKkeb1

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Przykład 2

Oszacujemy wartość pierwiastka drugiego stopnia z trzydziestu.

R18xZEDR2zgs41

Przykład 3

Oszacujemy wartość pierwiastka trzeciego stopnia z siedmiuset.

R1XRKsHMOZYmd1

Liczby niewymierne

Przykład 4

Zastanówmy się, ile jest równy $\sqrt{5}$ . Zgodnie z pojęciem pierwiastka kwadratowego, jest to taka liczba nieujemna, której kwadrat jest równy $5$ .

Szukaną liczbą nie jest $2$ , ponieważ $2^{2} = 4 < 5$ , ani $3$ , ponieważ $3^{2} = 9 > 5$ .

Zatem $\sqrt{5}$ jest większy od $2$ i mniejszy od $3$ .

Spróbujmy dokładniej przybliżyć wartość $\sqrt{5}$ . Obliczmy kwadraty liczb od $2,1$ do $2,9$ .

${(2,1)}^{2} = 4,41$

${(2,2)}^{2} = 4,84$

${(2,3)}^{2} = 5,29$

${(2,4)}^{2} = 5,76$

${(2,5)}^{2} = 6,25$

${(2,6)}^{2} = 6,76$

${(2,7)}^{2} = 7,29$

${(2,8)}^{2} = 7,84$

${(2,9)}^{2} = 8,41$

Ponieważ ${(2,2)}^{2} = 4,84 < 5 < 5,29 = {(2,3)}^{2}$ .

Postępując podobnie, czyli obliczając kwadraty liczb od $2,21$ do $2,29$ , otrzymamy:

${(2,23)}^{2} = 4,9729$

${(2,24)}^{2} = 5,0176$

Ponieważ ${(2,23)}^{2} = 4,9729 < 5 < 5,0176 = {(2,24)}^{2}$ , to $2,23 < \sqrt{5} < 2,24$ .

Obliczając kwadraty liczb od $2,231$ do $2,232$ , otrzymamy:

${(2,236)}^{2} = 4,999696$

${(2,237)}^{2} = 5,004169$

Ponieważ ${(2,236)}^{2} = 4,999696 < 5 < 5,004169 = {(2,237)}^{2}$ , to:

$2,236 < \sqrt{5} < 2,237$ .

Postępując w podobny sposób, wyznaczymy kolejne cyfry po przecinku, które występują w rozwinięciu dziesiętnym liczby $\sqrt{5}$ .

Otrzymujemy

$\sqrt{5} \approx 2, 236067978...$

W rozwinięciu dziesiętnym liczby $\sqrt{5}$ nie powtarza się żadna grupa cyfr i cyfr jest nieskończenie wiele. Nie można zapisać liczby $\sqrt{5}$ w postaci liczby wymiernej.

Zatem liczba $\sqrt{5}$ ma rozwinięcie dziesiętne nieskończone nieokresowe. Jest ona przykładem liczby niewymiernej. Jej wartość podawana jest najczęściej w przybliżeniu do dwóch miejsc po przecinku i wynosi: $\sqrt{5} \approx 2,24$ .

Przykład 5

Przykładami liczb, które mają rozwinięcia dziesiętne nieskończone nieokresowe, są:

$2,30300300030000300000 \dots$

$0,123456789101112131415 \dots$

Przykładami liczb niewymiernych są pierwiastki kwadratowe z liczb dodatnich, które nie są kwadratami liczb wymiernych i pierwiastki sześcienne z liczb, które nie są sześcianami liczb wymiernych. Na przykład:

\sqrt{2}, \sqrt{3}, \sqrt{5}, \sqrt{11}, \sqrt{20}, \sqrt[3]{7}, \sqrt[3]{9} .

Do obliczeń stosuje się ich przybliżenia, najczęściej z dokładnością do dwóch cyfr po przecinku, które otrzymujemy na przykład za pomocą kalkulatora.

$\sqrt{2} \approx 1,41$

$\sqrt{3} \approx 1,73$

Zapamiętaj!

Liczba niewymierna to liczba, której nie można przedstawić w postaci ułamka $\frac{a}{b}$ , gdzie $a$ , $b$ są liczbami całkowitymi i $b \neq 0$ .

Każda liczba niewymierna ma rozwinięcie dziesiętne nieskończone nieokresowe.

Rz9sRYBR4hbfp1

Ćwiczenie 1

Które z podanych liczb są wymierne, a które niewymierne? Przeciągnij elementy do odpowiadających im grup. liczby wymierne Możliwe odpowiedzi: 1.

\sqrt[3]{\frac{8}{64}}

, 2.

\sqrt{25}

, 3.

\sqrt{\frac{25}{8}}

, 4.

\frac{\sqrt{4}}{3}

, 5.

\sqrt{121}

, 6.

\sqrt{1,4}

, 7.

\sqrt{9}

, 8.

\frac{23}{\sqrt[3]{8}}

, 9.

\sqrt[3]{- 1}

, 10.

\sqrt[3]{- 121}

, 11.

- \sqrt[3]{- \frac{1}{1000}}

, 12.

\sqrt{5}

, 13.

\sqrt[3]{- 27}

, 14.

\sqrt{9,09}

liczby niewymierne Możliwe odpowiedzi: 1.

\sqrt[3]{\frac{8}{64}}

, 2.

\sqrt{25}

, 3.

\sqrt{\frac{25}{8}}

, 4.

\frac{\sqrt{4}}{3}

, 5.

\sqrt{121}

, 6.

\sqrt{1,4}

, 7.

\sqrt{9}

, 8.

\frac{23}{\sqrt[3]{8}}

, 9.

\sqrt[3]{- 1}

, 10.

\sqrt[3]{- 121}

, 11.

- \sqrt[3]{- \frac{1}{1000}}

, 12.

\sqrt{5}

, 13.

\sqrt[3]{- 27}

, 14.

\sqrt{9,09}

Które z podanych liczb są wymierne, a które niewymierne?

Przeciągnij elementy z dolnej sekcji do górnej.

liczby wymierne
liczby niewymierne

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R18Y8DjYI09yW1

Ćwiczenie 2

Wybierz liczby niewymierne.

$\sqrt[3]{15}$
$\sqrt[3]{\frac{1}{2}}$
$\sqrt{6}$
$\sqrt{2 \frac{4}{9}}$
$\sqrt{100,64}$
$\sqrt[3]{- \frac{1}{16}}$
$\sqrt{1000}$
$\sqrt{1,69}$
$\sqrt{400}$
$\sqrt{2 \frac{7}{9}}$
$\sqrt[3]{- 27}$
$\sqrt[3]{1000}$
$\sqrt{225}$
$\sqrt{0,64}$

Przykład 6

Porównajmy liczby $\frac{\sqrt{19} - 2}{8}$ oraz $0, 44$ .

Na początku szacujemy liczbę $\sqrt{19}$ , czyli szukamy dwóch pierwiastków, których wartości są liczbami całkowitymi, a które znajdują się na osi liczbowej najbliżej liczby $\sqrt{19}$ .

Zatem

$\sqrt{16} < \sqrt{19} <\sqrt{25},$

$4 < \sqrt{19} < 5$ .

Następnie przekształcamy nierówność tak, aby otrzymać szacowane wyrażenie.

$4 < \sqrt{19} < 5 | - 2$

$2 < \sqrt{19} - 2 < 3 | : 8$

$\frac{2}{8} < \frac{\sqrt{19} - 2}{8} < \frac{3}{8}$

$0, 25 < \frac{\sqrt{19} - 2}{8} < 0,375 < 0, 44$ .

Stąd otrzymujemy, że

$\frac{\sqrt{19} - 2}{8} < 0, 44$ .

R1bkyFU9EBx8b

Ćwiczenie 3

$\sqrt{40}$
$\sqrt{50}$
$\sqrt[3]{130}$
$\sqrt[3]{215}$

RYOTROyZ5M0bL

Ćwiczenie 4

R1Ns2D3kpFfFn

Ćwiczenie 5

Wskaż dwie kolejne liczby całkowite, między którymi znajduje się podana liczba niewymierna. Uzupełnij lukę, wpisując poprawną wartość.

Tu uzupełnij $< \sqrt{7} <$ Tu uzupełnij
Tu uzupełnij $< \sqrt{15} <$ Tu uzupełnij
Tu uzupełnij $< \sqrt{91} <$ Tu uzupełnij
Tu uzupełnij $< \sqrt{153} <$ Tu uzupełnij
Tu uzupełnij $< \sqrt{680} <$ Tu uzupełnij
Tu uzupełnij $< \sqrt[3]{11} <$ Tu uzupełnij
Tu uzupełnij $< \sqrt[3]{- 29} <$ Tu uzupełnij
Tu uzupełnij $< \sqrt[3]{- 78} <$ Tu uzupełnij
Tu uzupełnij $< \sqrt[3]{200} <$ Tu uzupełnij
Tu uzupełnij $< \sqrt[3]{342} <$ Tu uzupełnij

R14jlQ2uE0J6g

Ćwiczenie 6

Połącz w pary liczbę niewymierną i liczbę naturalną, która jest jej najbliższa.

\sqrt{13}

Możliwe odpowiedzi: 1.

9

, 2.

3

, 3.

5

, 4.

4

, 5.

8

, 6.

10

, 7.

12

, 8.

6

\sqrt{27}

Możliwe odpowiedzi: 1.

9

, 2.

3

, 3.

5

, 4.

4

, 5.

8

, 6.

10

, 7.

12

, 8.

6

\sqrt{75}

Możliwe odpowiedzi: 1.

9

, 2.

3

, 3.

5

, 4.

4

, 5.

8

, 6.

10

, 7.

12

, 8.

6

\sqrt{154}

Możliwe odpowiedzi: 1.

9

, 2.

3

, 3.

5

, 4.

4

, 5.

8

, 6.

10

, 7.

12

, 8.

6

\sqrt[3]{20}

Możliwe odpowiedzi: 1.

9

, 2.

3

, 3.

5

, 4.

4

, 5.

8

, 6.

10

, 7.

12

, 8.

6

\sqrt[3]{180}

Możliwe odpowiedzi: 1.

9

, 2.

3

, 3.

5

, 4.

4

, 5.

8

, 6.

10

, 7.

12

, 8.

6

\sqrt[3]{500}

Możliwe odpowiedzi: 1.

9

, 2.

3

, 3.

5

, 4.

4

, 5.

8

, 6.

10

, 7.

12

, 8.

6

\sqrt[3]{1101}

Możliwe odpowiedzi: 1.

9

, 2.

3

, 3.

5

, 4.

4

, 5.

8

, 6.

10

, 7.

12

, 8.

6

Połącz w pary liczbę niewymierną i liczbę naturalną, która jest jej najbliższa.

$\sqrt{13}$
$\sqrt{27}$
$\sqrt{75}$
$\sqrt{154}$
$\sqrt[3]{20}$
$\sqrt[3]{180}$
$\sqrt[3]{500}$
$\sqrt[3]{1101}$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R1WDSUjO4i7r5

Ćwiczenie 7

R1bS5oO2ZMt77

Ćwiczenie 8

$\sqrt{31}$
$\sqrt{33}$
$\sqrt{34}$
$\sqrt{35}$
$\sqrt{24}$
$\sqrt{37}$

RY8th4XJe1XnK

Ćwiczenie 9

$\sqrt{26}$
$\sqrt{27}$
$\sqrt{29}$
$\sqrt{30}$
$\sqrt{25}$
$\sqrt{36}$

R1UE137bwZik1

Ćwiczenie 10

$\sqrt{257}$
$\sqrt{260}$
$\sqrt{262}$
$\sqrt{267}$
$\sqrt{273}$
$\sqrt{280}$
$\sqrt{285}$
$\sqrt{288}$
$\sqrt{289}$
$\sqrt{256}$
$\sqrt{255}$
$\sqrt{290}$

RWGivj5cGTOw8

Ćwiczenie 11

$\sqrt{401}$
$\sqrt{409}$
$\sqrt{411}$
$\sqrt{432}$
$\sqrt{426}$
$\sqrt{430}$
$\sqrt{437}$
$\sqrt{440}$
$\sqrt{400}$
$\sqrt{441}$
$\sqrt{443}$
$\sqrt{398}$

R1apTgVzmvQqD

Ćwiczenie 12

$\sqrt[3]{28}$
$\sqrt[3]{30}$
$\sqrt[3]{41}$
$\sqrt[3]{46}$
$\sqrt[3]{50}$
$\sqrt[3]{61}$
$\sqrt[3]{27}$
$\sqrt[3]{64}$
$\sqrt[3]{66}$
$\sqrt[3]{25}$

RqWS5Efmu9eR9

Ćwiczenie 13

$\sqrt[3]{218}$
$\sqrt[3]{334}$
$\sqrt[3]{252}$
$\sqrt[3]{300}$
$\sqrt[3]{316}$
$\sqrt[3]{243}$
$\sqrt[3]{216}$
$\sqrt[3]{343}$
$\sqrt[3]{215}$
$\sqrt[3]{346}$

Riin9R6Du0e7q

Ćwiczenie 14

$\sqrt[3]{1121}$
$\sqrt[3]{1011}$
$\sqrt[3]{1330}$
$\sqrt[3]{1265}$
$\sqrt[3]{1191}$
$\sqrt[3]{1223}$
$\sqrt[3]{1000}$
$\sqrt[3]{1331}$
$\sqrt[3]{1421}$
$\sqrt[3]{999}$

R4u3BaHgD9sWz

Ćwiczenie 15

Dostępne opcje do wyboru:

>

>

<

<

>

<

>

>

. Polecenie: Która z liczb jest większa, a która mniejsza? Przeciągnij i upuść odpowiedni znak.

$\sqrt{18} + \sqrt{7}$ luka do uzupełnienia $5$

$3 \sqrt{6}$ luka do uzupełnienia $7$

$\sqrt{40}$ luka do uzupełnienia $3 \sqrt{5}$

$\sqrt{20} + \sqrt{20}$ luka do uzupełnienia $\sqrt{40}$

$4 \sqrt[3]{65}$ luka do uzupełnienia $16$

$\sqrt[3]{80} - \sqrt[3]{10}$ luka do uzupełnienia $\sqrt[3]{70}$

$\sqrt{10} + \sqrt[3]{30}$ luka do uzupełnienia $\sqrt{40}$

$\sqrt[3]{600} + \sqrt[3]{250}$ luka do uzupełnienia $\sqrt{210}$

RYcTaECZsAQUg

Ćwiczenie 16

Uporządkuj liczby kolejności rosnącej.

$3 + \sqrt{15}$
$\sqrt{17} + 1$
$2 + \sqrt{19}$
$\sqrt{10} + \sqrt{5}$
$\sqrt{14} + \sqrt{3}$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RRHG6vlUZVQs4

Ćwiczenie 17

Przybliżenia jakich pierwiastków podano poniżej? Przeciągnij i upuść.

1. $\sqrt{44}$ , 2. $\sqrt[3]{8}$ , 3. $\sqrt{17}$ , 4. $\sqrt{13}$ , 5. $\sqrt{42}$ , 6. $\sqrt[3]{13}$ , 7. $\sqrt[3]{39}$ , 8. $\sqrt[3]{12}$ , 9. $\sqrt{19}$ , 10. $\sqrt{12}$ , 11. $\sqrt{11}$ , 12. $\sqrt[3]{7}$ , 13. $\sqrt{18}$ , 14. $\sqrt[3]{14}$ , 15. $\sqrt[3]{9}$ , 16. $\sqrt[3]{38}$ , 17. $\sqrt{40}$ , 18. $\sqrt[3]{40}$

\approx 3,32

\sqrt{44}

, 2.

\sqrt[3]{8}

, 3.

\sqrt{17}

, 4.

\sqrt{13}

, 5.

\sqrt{42}

, 6.

\sqrt[3]{13}

, 7.

\sqrt[3]{39}

, 8.

\sqrt[3]{12}

, 9.

\sqrt{19}

, 10.

\sqrt{12}

, 11.

\sqrt{11}

, 12.

\sqrt[3]{7}

, 13.

\sqrt{18}

, 14.

\sqrt[3]{14}

, 15.

\sqrt[3]{9}

, 16.

\sqrt[3]{38}

, 17.

\sqrt{40}

, 18.

\sqrt[3]{40}

\approx 4,12

\sqrt{44}

, 2.

\sqrt[3]{8}

, 3.

\sqrt{17}

, 4.

\sqrt{13}

, 5.

\sqrt{42}

, 6.

\sqrt[3]{13}

, 7.

\sqrt[3]{39}

, 8.

\sqrt[3]{12}

, 9.

\sqrt{19}

, 10.

\sqrt{12}

, 11.

\sqrt{11}

, 12.

\sqrt[3]{7}

, 13.

\sqrt{18}

, 14.

\sqrt[3]{14}

, 15.

\sqrt[3]{9}

, 16.

\sqrt[3]{38}

, 17.

\sqrt{40}

, 18.

\sqrt[3]{40}

\approx 6,32

\sqrt{44}

, 2.

\sqrt[3]{8}

, 3.

\sqrt{17}

, 4.

\sqrt{13}

, 5.

\sqrt{42}

, 6.

\sqrt[3]{13}

, 7.

\sqrt[3]{39}

, 8.

\sqrt[3]{12}

, 9.

\sqrt{19}

, 10.

\sqrt{12}

, 11.

\sqrt{11}

, 12.

\sqrt[3]{7}

, 13.

\sqrt{18}

, 14.

\sqrt[3]{14}

, 15.

\sqrt[3]{9}

, 16.

\sqrt[3]{38}

, 17.

\sqrt{40}

, 18.

\sqrt[3]{40}

\approx 1,91

\sqrt{44}

, 2.

\sqrt[3]{8}

, 3.

\sqrt{17}

, 4.

\sqrt{13}

, 5.

\sqrt{42}

, 6.

\sqrt[3]{13}

, 7.

\sqrt[3]{39}

, 8.

\sqrt[3]{12}

, 9.

\sqrt{19}

, 10.

\sqrt{12}

, 11.

\sqrt{11}

, 12.

\sqrt[3]{7}

, 13.

\sqrt{18}

, 14.

\sqrt[3]{14}

, 15.

\sqrt[3]{9}

, 16.

\sqrt[3]{38}

, 17.

\sqrt{40}

, 18.

\sqrt[3]{40}

\approx 2,29

\sqrt{44}

, 2.

\sqrt[3]{8}

, 3.

\sqrt{17}

, 4.

\sqrt{13}

, 5.

\sqrt{42}

, 6.

\sqrt[3]{13}

, 7.

\sqrt[3]{39}

, 8.

\sqrt[3]{12}

, 9.

\sqrt{19}

, 10.

\sqrt{12}

, 11.

\sqrt{11}

, 12.

\sqrt[3]{7}

, 13.

\sqrt{18}

, 14.

\sqrt[3]{14}

, 15.

\sqrt[3]{9}

, 16.

\sqrt[3]{38}

, 17.

\sqrt{40}

, 18.

\sqrt[3]{40}

\approx 3,36

Przeciągnij i upuść.

$\sqrt{42}$ , $\sqrt{19}$ , $\sqrt{44}$ , $\sqrt{11}$ , $\sqrt[3]{13}$ , $\sqrt[3]{40}$ , $\sqrt[3]{7}$ , $\sqrt[3]{12}$ , $\sqrt{13}$ , $\sqrt[3]{9}$ , $\sqrt{18}$ , $\sqrt{40}$ , $\sqrt[3]{38}$ , $\sqrt{12}$ , $\sqrt[3]{14}$ , $\sqrt[3]{39}$ , $\sqrt[3]{8}$ , $\sqrt{17}$

............ $\approx 3,32$
............ $\approx 4,12$
............ $\approx 6,32$
............ $\approx 1,91$
............ $\approx 2,29$
............ $\approx 3,36$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Notatnik

Możesz skorzystać z poniższego pola tekstowego do zapisania swoich notatek, rozwiązań zadań i innych informacji, które uważasz za potrzebne.

R1b8OvSPUG8s3

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

1. Pierwiastki kwadratowe i sześcienne

3. Własności pierwiastków