6. Działania na pierwiastkach

R1GPKtBh969Jg

R1MVwMKRS6DAK

Zdjęcie przedstawia wahadło matematyczne, wiszące we wnętrzu katedry. Wahadlo ma kształt walca z dobudowanymi do podstaw stożkami. — Wahadło rzeczywiste, którego ruch można opisać za pomocą modelu wahadła matematycznego (Katedra Metropolitalna, miasto Meksyk)
Źródło: Diego Delso, licencja: CC BY 3.0.

Czy wiesz, że pierwiastki mogą przydać się przy wyznaczaniu przyspieszenia grawitacyjnego? Dokładny pomiar przyspieszenia grawitacyjnego potrzebny jest np. w geodezji, sejsmologii, a także przy badaniach gruntu i poszukiwaniu złóż mineralnych. Jak zmierzyć przyspieszenie ziemskie? Metod jest wiele, ale od XVI wieku do lat czterdziestych XX wieku podstawowym przyrządem używanym do tego celu było wahadło.

Wahadło matematyczne jest to ciężarek o małych rozmiarach zawieszony na nieważkiej i nierozciągliwej nici, który może się wahać.

Okres wahań można obliczyć ze wzoru

T = 6, 28 \cdot \sqrt{\frac{l}{g}},

gdzie T -okres wahań, l - długość wahadła, g - przyśpieszenie ziemskie.

Ten materiał poświęcony jest zadaniom związanym z działaniami na pierwiastkach. Aby przypomnieć sobie podstawowe wiadomości na ich temat, zapoznaj się z poniższym tekstem.

Pierwiastkiem kwadratowym z liczby nieujemnej $a$ nazywamy liczbę nieujemną $b$ taką, która podniesiona do drugiej potęgi jest równa $a$ .
Zatem, dla dowolnej liczby nieujemnej $a$ : $\sqrt{a} = b$ wtedy i tylko wtedy, gdy $b^{2} = a$ i $b \geq 0$ .

Pierwiastkiem sześciennym z liczby $a$ nazywamy taką liczbę $b$ , która podniesiona do trzeciej potęgi jest równa $a$ .
Zatem, dla dowolnej liczby $a$ : $\sqrt[3]{a} = b$ wtedy i tylko wtedy, gdy $b^{3} = a$ .

Zauważmy, że powyższe definicje różnią się założeniami dla liczb $a$ i $b$ . Ponieważ $b^{2}$ jest zawsze liczbą nieujemną, to pierwiastki kwadratowe obliczamy wyłącznie z liczb nieujemnych. Natomiast $b^{3}$ może być zarówno ujemne, jak i nieujemne, dlatego pierwiastek sześcienny obliczamy z dowolnej liczby $a$ .

Przykład 1

Podamy teraz przykłady mnożenia wyrażeń zawierających pierwiastki.

R1aslo1tXwruz1

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Przykład 2

Przekształcając wyrażenia zawierające pierwiastki, wykorzystujemy prawa działań na pierwiastkach.

R1Y8zesNtNc5o1

Rf4nQGgNTHgJn

Ćwiczenie 1

$- 25 \sqrt{2}$
$25 \sqrt{2}$
$- 41 \sqrt{2}$
$41 \sqrt{2}$

RK2xXjaYGvEiS

Ćwiczenie 2

$3 \sqrt[3]{3} - 3 \sqrt[3]{4}$
$4 \sqrt[3]{3} - 3 \sqrt[3]{4} - 6 \sqrt[3]{7}$
$4 \sqrt[3]{3} - 3 \sqrt[3]{4} + 6 \sqrt[3]{7}$
$3 \sqrt[3]{4} - 4 \sqrt[3]{3}$

RE4k5B9i8Pbi6

Ćwiczenie 3

$\frac{32 \sqrt[3]{2}}{9}$
$\frac{16 \sqrt[3]{2}}{9}$
$\frac{32 \sqrt[3]{2}}{27}$
$\frac{8 \sqrt[3]{2}}{9}$

RbxmYBDGUYP3j

Ćwiczenie 4

$\frac{125 \sqrt{3}}{72}$
$\frac{125 \sqrt{3}}{216}$
$\frac{45 \sqrt{3}}{216}$
$\frac{375 \sqrt{3}}{72}$

R1XfzJjD4v70Q

Ćwiczenie 5

Połącz w pary wyrażenia z ich wartościami.

{(3 \sqrt{5})}^{2}

Możliwe odpowiedzi: 1.

32

, 2.

45

, 3.

15

, 4.

54

, 5.

75

, 6.

6

, 7.

8

{(5 \sqrt{3})}^{2}

Możliwe odpowiedzi: 1.

32

, 2.

45

, 3.

15

, 4.

54

, 5.

75

, 6.

6

, 7.

8

5 {(\sqrt{3})}^{2}

Możliwe odpowiedzi: 1.

32

, 2.

45

, 3.

15

, 4.

54

, 5.

75

, 6.

6

, 7.

8

{(2 \sqrt[3]{4})}^{3}

Możliwe odpowiedzi: 1.

32

, 2.

45

, 3.

15

, 4.

54

, 5.

75

, 6.

6

, 7.

8

{2 (\sqrt[3]{4})}^{3}

Możliwe odpowiedzi: 1.

32

, 2.

45

, 3.

15

, 4.

54

, 5.

75

, 6.

6

, 7.

8

{(3 \sqrt[3]{2})}^{3}

Możliwe odpowiedzi: 1.

32

, 2.

45

, 3.

15

, 4.

54

, 5.

75

, 6.

6

, 7.

8

{3 (\sqrt[3]{2})}^{3}

Możliwe odpowiedzi: 1.

32

, 2.

45

, 3.

15

, 4.

54

, 5.

75

, 6.

6

, 7.

8

Połącz w pary.

${(3" \sqrt{5})}^{2}$
$3 {(\sqrt{5})}^{2}$
${(5" \sqrt{3})}^{2}$
$5 {(\sqrt{3})}^{2}$
${(2" \sqrt[3]{4})}^{3}$
${2 (\sqrt[3]{4})}^{3}$
${(3" \sqrt[3]{2})}^{3}$
${3 (\sqrt[3]{2})}^{3}$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R1RfcXEmG2Re9

Ćwiczenie 6

Połącz w pary wyrażenia z ich wartościami.

{(\frac{4 \sqrt{6}}{9})}^{2}

Możliwe odpowiedzi: 1.

\frac{75}{16}

, 2.

\frac{64}{3}

, 3.

\frac{32}{27}

, 4.

\frac{4}{5}

, 5.

\frac{9}{40}

, 6.

\frac{15}{8}

, 7.

\frac{16}{25}

, 8.

\frac{81}{16}

{(\frac{3 \sqrt{10}}{20})}^{2}

Możliwe odpowiedzi: 1.

\frac{75}{16}

, 2.

\frac{64}{3}

, 3.

\frac{32}{27}

, 4.

\frac{4}{5}

, 5.

\frac{9}{40}

, 6.

\frac{15}{8}

, 7.

\frac{16}{25}

, 8.

\frac{81}{16}

{(\frac{3 \sqrt[3]{12}}{4})}^{3}

Możliwe odpowiedzi: 1.

\frac{75}{16}

, 2.

\frac{64}{3}

, 3.

\frac{32}{27}

, 4.

\frac{4}{5}

, 5.

\frac{9}{40}

, 6.

\frac{15}{8}

, 7.

\frac{16}{25}

, 8.

\frac{81}{16}

{(\frac{4 \sqrt[3]{9}}{3})}^{3}

Możliwe odpowiedzi: 1.

\frac{75}{16}

, 2.

\frac{64}{3}

, 3.

\frac{32}{27}

, 4.

\frac{4}{5}

, 5.

\frac{9}{40}

, 6.

\frac{15}{8}

, 7.

\frac{16}{25}

, 8.

\frac{81}{16}

{(\frac{6 \sqrt{5}}{15})}^{2}

Możliwe odpowiedzi: 1.

\frac{75}{16}

, 2.

\frac{64}{3}

, 3.

\frac{32}{27}

, 4.

\frac{4}{5}

, 5.

\frac{9}{40}

, 6.

\frac{15}{8}

, 7.

\frac{16}{25}

, 8.

\frac{81}{16}

{(\frac{10 \sqrt{12}}{16})}^{2}

Możliwe odpowiedzi: 1.

\frac{75}{16}

, 2.

\frac{64}{3}

, 3.

\frac{32}{27}

, 4.

\frac{4}{5}

, 5.

\frac{9}{40}

, 6.

\frac{15}{8}

, 7.

\frac{16}{25}

, 8.

\frac{81}{16}

{(\frac{2 \sqrt[3]{10}}{5})}^{3}

Możliwe odpowiedzi: 1.

\frac{75}{16}

, 2.

\frac{64}{3}

, 3.

\frac{32}{27}

, 4.

\frac{4}{5}

, 5.

\frac{9}{40}

, 6.

\frac{15}{8}

, 7.

\frac{16}{25}

, 8.

\frac{81}{16}

{(\frac{\sqrt[3]{15}}{2})}^{3}

Możliwe odpowiedzi: 1.

\frac{75}{16}

, 2.

\frac{64}{3}

, 3.

\frac{32}{27}

, 4.

\frac{4}{5}

, 5.

\frac{9}{40}

, 6.

\frac{15}{8}

, 7.

\frac{16}{25}

, 8.

\frac{81}{16}

Połącz w pary.

${(\frac{4 \sqrt{6}}{9})}^{2}$
${(\frac{3 \sqrt{10}}{20})}^{2}$
${(\frac{3 \sqrt[3]{12}}{4})}^{3}$
${(\frac{4 \sqrt[3]{9}}{3})}^{3}$
${(\frac{6 \sqrt{5}}{15})}^{2}$
${(\frac{10 \sqrt{12}}{16})}^{2}$
${(\frac{2 \sqrt[3]{10}}{5})}^{3}$
${(\frac{\sqrt[3]{15}}{2})}^{3}$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R3SUOKqLfpe3H

Ćwiczenie 7

Różnica liczb niewymiernych może być liczbą wymierną.
Różnica liczb niewymiernych może być liczbą niewymierną.
Kwadrat liczby niewymiernej może być liczbą wymierną.
Kwadrat liczby niewymiernej może być liczbą niewymierną.
Różnica liczb niewymiernych jest zawsze liczbą wymierną.
Różnica liczb niewymiernych jest zawsze liczbą niewymierną.
Kwadrat liczby niewymiernej jest zawsze liczbą wymierną.
Kwadrat liczby niewymiernej jest zawsze liczbą niewymierną.

RBtmGuqLfMGyT

Ćwiczenie 8

Iloczyn liczb niewymiernych może być liczbą wymierną.
Iloczyn liczb niewymiernych może być liczbą niewymierną
Suma liczb niewymiernych może być liczbą wymierną.
Suma liczb niewymiernych może być liczbą niewymierną.
Iloczyn liczb niewymiernych jest zawsze liczbą wymierną.
Iloczyn liczb niewymiernych jest zawsze liczbą niewymierną.
Suma liczb niewymiernych jest zawsze liczbą wymierną.
Suma liczb niewymiernych jest zawsze liczbą niewymierną.

RJdva3pI8qKd3

Ćwiczenie 9

Niech

A = 2 \sqrt{5}

B = \sqrt{3} - 4 \sqrt{2}

C = - \frac{1}{2} \sqrt{12} + 3 \sqrt{8}

. Znajdź najprostszą postać podanych wyrażeń. Uzupełnij zdania, przeciągając w luki odpowiednie wyrażenia lub kliknij w lukę i wybierz odpowiedź z listy rozwijalnej.

Najprostsza postać wyrażenia $A \cdot B$ to 1. $2 \sqrt{12} + 6 \sqrt{10}$ , 2. $2 \sqrt{16} - 8 \sqrt{12}$ , 3. $- 4 \sqrt{10} - 9 \sqrt{10}$ , 4. $4 \sqrt{2}$ , 5. $2 \sqrt{15} - 8 \sqrt{10}$ , 6. $- 3 \sqrt{2} - 8 \sqrt{2}$ , 7. $2 \sqrt{2}$ , 8. $- 2 \sqrt{3} + 10 \sqrt{2}$ , 9. $2 \sqrt{14} + 8 \sqrt{12}$ , 10. $- 2 \sqrt{15} + 12 \sqrt{10}$ , 11. $6 \sqrt{4}$ , 12. $2 \sqrt{6} + 10 \sqrt{4}$ .
Najprostsza postać wyrażenia $A \cdot C$ to 1. $2 \sqrt{12} + 6 \sqrt{10}$ , 2. $2 \sqrt{16} - 8 \sqrt{12}$ , 3. $- 4 \sqrt{10} - 9 \sqrt{10}$ , 4. $4 \sqrt{2}$ , 5. $2 \sqrt{15} - 8 \sqrt{10}$ , 6. $- 3 \sqrt{2} - 8 \sqrt{2}$ , 7. $2 \sqrt{2}$ , 8. $- 2 \sqrt{3} + 10 \sqrt{2}$ , 9. $2 \sqrt{14} + 8 \sqrt{12}$ , 10. $- 2 \sqrt{15} + 12 \sqrt{10}$ , 11. $6 \sqrt{4}$ , 12. $2 \sqrt{6} + 10 \sqrt{4}$ .
Najprostsza postać wyrażenia $B + C$ to 1. $2 \sqrt{12} + 6 \sqrt{10}$ , 2. $2 \sqrt{16} - 8 \sqrt{12}$ , 3. $- 4 \sqrt{10} - 9 \sqrt{10}$ , 4. $4 \sqrt{2}$ , 5. $2 \sqrt{15} - 8 \sqrt{10}$ , 6. $- 3 \sqrt{2} - 8 \sqrt{2}$ , 7. $2 \sqrt{2}$ , 8. $- 2 \sqrt{3} + 10 \sqrt{2}$ , 9. $2 \sqrt{14} + 8 \sqrt{12}$ , 10. $- 2 \sqrt{15} + 12 \sqrt{10}$ , 11. $6 \sqrt{4}$ , 12. $2 \sqrt{6} + 10 \sqrt{4}$ .
Najprostsza postać wyrażenia $C - B$ to 1. $2 \sqrt{12} + 6 \sqrt{10}$ , 2. $2 \sqrt{16} - 8 \sqrt{12}$ , 3. $- 4 \sqrt{10} - 9 \sqrt{10}$ , 4. $4 \sqrt{2}$ , 5. $2 \sqrt{15} - 8 \sqrt{10}$ , 6. $- 3 \sqrt{2} - 8 \sqrt{2}$ , 7. $2 \sqrt{2}$ , 8. $- 2 \sqrt{3} + 10 \sqrt{2}$ , 9. $2 \sqrt{14} + 8 \sqrt{12}$ , 10. $- 2 \sqrt{15} + 12 \sqrt{10}$ , 11. $6 \sqrt{4}$ , 12. $2 \sqrt{6} + 10 \sqrt{4}$ .

RDOcW1gQ8whTJ1

Ćwiczenie 10

Połącz w pary.

\frac{3}{4} \sqrt[3]{4} \cdot 16 \sqrt[3]{10}

Możliwe odpowiedzi: 1.

10 \sqrt[3]{3}

, 2.

12 \sqrt[3]{14}

, 3.

24 \sqrt[3]{5}

, 4.

20 \sqrt[3]{5}

, 5.

3 \sqrt[3]{10}

, 6.

3 \sqrt[3]{4}

, 7.

40 \sqrt[3]{10}

, 8.

4 \sqrt[3]{3}

\sqrt[3]{50} \cdot \sqrt[3]{- 3} \cdot \sqrt[3]{- 20}

Możliwe odpowiedzi: 1.

10 \sqrt[3]{3}

, 2.

12 \sqrt[3]{14}

, 3.

24 \sqrt[3]{5}

, 4.

20 \sqrt[3]{5}

, 5.

3 \sqrt[3]{10}

, 6.

3 \sqrt[3]{4}

, 7.

40 \sqrt[3]{10}

, 8.

4 \sqrt[3]{3}

3 \sqrt[3]{- 20} \cdot \frac{1}{4} \cdot \sqrt[3]{- 32}

Możliwe odpowiedzi: 1.

10 \sqrt[3]{3}

, 2.

12 \sqrt[3]{14}

, 3.

24 \sqrt[3]{5}

, 4.

20 \sqrt[3]{5}

, 5.

3 \sqrt[3]{10}

, 6.

3 \sqrt[3]{4}

, 7.

40 \sqrt[3]{10}

, 8.

4 \sqrt[3]{3}

4 \sqrt[3]{18} \cdot \sqrt[3]{21}

Możliwe odpowiedzi: 1.

10 \sqrt[3]{3}

, 2.

12 \sqrt[3]{14}

, 3.

24 \sqrt[3]{5}

, 4.

20 \sqrt[3]{5}

, 5.

3 \sqrt[3]{10}

, 6.

3 \sqrt[3]{4}

, 7.

40 \sqrt[3]{10}

, 8.

4 \sqrt[3]{3}

- 2 \sqrt[3]{5} \cdot 2 \sqrt[3]{- 2000}

Możliwe odpowiedzi: 1.

10 \sqrt[3]{3}

, 2.

12 \sqrt[3]{14}

, 3.

24 \sqrt[3]{5}

, 4.

20 \sqrt[3]{5}

, 5.

3 \sqrt[3]{10}

, 6.

3 \sqrt[3]{4}

, 7.

40 \sqrt[3]{10}

, 8.

4 \sqrt[3]{3}

0,5 \sqrt[3]{54} \cdot \frac{1}{3} \cdot \sqrt[3]{432}

Możliwe odpowiedzi: 1.

10 \sqrt[3]{3}

, 2.

12 \sqrt[3]{14}

, 3.

24 \sqrt[3]{5}

, 4.

20 \sqrt[3]{5}

, 5.

3 \sqrt[3]{10}

, 6.

3 \sqrt[3]{4}

, 7.

40 \sqrt[3]{10}

, 8.

4 \sqrt[3]{3}

\frac{1}{9} \sqrt[3]{27} \cdot 4 \sqrt[3]{81}

Możliwe odpowiedzi: 1.

10 \sqrt[3]{3}

, 2.

12 \sqrt[3]{14}

, 3.

24 \sqrt[3]{5}

, 4.

20 \sqrt[3]{5}

, 5.

3 \sqrt[3]{10}

, 6.

3 \sqrt[3]{4}

, 7.

40 \sqrt[3]{10}

, 8.

4 \sqrt[3]{3}

0,5 \sqrt[3]{20} \cdot 5 \sqrt[3]{128}

Możliwe odpowiedzi: 1.

10 \sqrt[3]{3}

, 2.

12 \sqrt[3]{14}

, 3.

24 \sqrt[3]{5}

, 4.

20 \sqrt[3]{5}

, 5.

3 \sqrt[3]{10}

, 6.

3 \sqrt[3]{4}

, 7.

40 \sqrt[3]{10}

, 8.

4 \sqrt[3]{3}

Połącz w pary.

$\frac{3}{4} \sqrt[3]{4} \cdot 16 \sqrt[3]{10}$
$\sqrt[3]{50} \cdot \sqrt[3]{- 3} \cdot \sqrt[3]{- 20}$
$3 \sqrt[3]{- 20} \cdot \frac{1}{4} \cdot \sqrt[3]{- 32}$
$4 \sqrt[3]{18} \cdot \sqrt[3]{21}$
$- 2 \sqrt[3]{5} \cdot 2 \sqrt[3]{- 2000}$
$0,5 \sqrt[3]{54} \cdot \frac{1}{3} \cdot \sqrt[3]{432}$
$\frac{1}{9} \sqrt[3]{27} \cdot 4 \sqrt[3]{81}$
$0,5 \sqrt[3]{20} \cdot 5 \sqrt[3]{128}$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R1RL2ozRoheb3

Ćwiczenie 11

Oblicz, następnie uzupełnij równości, przeciągając w luki odpowiednie liczby lub kliknij w lukę i wybierz odpowiedź z listy rozwijalnej.

$3 \sqrt{2} (6 \sqrt{5} - 4 \sqrt{10}) =$ 1. $9 \sqrt{10} + 24 \sqrt{6}$ , 2. $24 - 24 \sqrt{6}$ , 3. $- 21 \sqrt{2} - 16 \sqrt{3}$ , 4. $72 \sqrt{7} - 18 \sqrt{2} + 27 \sqrt{10}$ , 5. $25 \sqrt{5} - 25 \sqrt{6}$ , 6. $64 \sqrt{7} - 18 \sqrt{2} - 21 \sqrt{5}$ , 7. $81 \sqrt{7} + 18 \sqrt{2} + 25 \sqrt{10}$ , 8. $21 \sqrt{3} + 21 \sqrt{2}$ , 9. $30 \sqrt{3} + 10 \sqrt{7}$ , 10. $18 \sqrt{10} - 24 \sqrt{5}$ , 11. $22 - 22 \sqrt{4}$ , 12. $18 \sqrt{12} - 12 \sqrt{5}$ , 13. $14 - 4 \sqrt{14} + 7 \sqrt{2}$ , 14. $14 + 6 \sqrt{12} + 9 \sqrt{2}$ , 15. $15 \sqrt{3} - 10 \sqrt{5}$ , 16. $- 24 \sqrt{2} + 14 \sqrt{3}$ , 17. $26 + 26 \sqrt{2}$ , 18. $25 \sqrt{3} - 25 \sqrt{2}$ , 19. $25 \sqrt{5} + 15 \sqrt{7}$ , 20. $7 + 2 \sqrt{16} - 7 \sqrt{2}$ , 21. $24 \sqrt{3} + 12 \sqrt{3}$
$2 \sqrt{5} (3 \sqrt{15} + \sqrt{35}) =$ 1. $9 \sqrt{10} + 24 \sqrt{6}$ , 2. $24 - 24 \sqrt{6}$ , 3. $- 21 \sqrt{2} - 16 \sqrt{3}$ , 4. $72 \sqrt{7} - 18 \sqrt{2} + 27 \sqrt{10}$ , 5. $25 \sqrt{5} - 25 \sqrt{6}$ , 6. $64 \sqrt{7} - 18 \sqrt{2} - 21 \sqrt{5}$ , 7. $81 \sqrt{7} + 18 \sqrt{2} + 25 \sqrt{10}$ , 8. $21 \sqrt{3} + 21 \sqrt{2}$ , 9. $30 \sqrt{3} + 10 \sqrt{7}$ , 10. $18 \sqrt{10} - 24 \sqrt{5}$ , 11. $22 - 22 \sqrt{4}$ , 12. $18 \sqrt{12} - 12 \sqrt{5}$ , 13. $14 - 4 \sqrt{14} + 7 \sqrt{2}$ , 14. $14 + 6 \sqrt{12} + 9 \sqrt{2}$ , 15. $15 \sqrt{3} - 10 \sqrt{5}$ , 16. $- 24 \sqrt{2} + 14 \sqrt{3}$ , 17. $26 + 26 \sqrt{2}$ , 18. $25 \sqrt{3} - 25 \sqrt{2}$ , 19. $25 \sqrt{5} + 15 \sqrt{7}$ , 20. $7 + 2 \sqrt{16} - 7 \sqrt{2}$ , 21. $24 \sqrt{3} + 12 \sqrt{3}$
$- \sqrt{6} (8 \sqrt{3} - 7 \sqrt{2}) =$ 1. $9 \sqrt{10} + 24 \sqrt{6}$ , 2. $24 - 24 \sqrt{6}$ , 3. $- 21 \sqrt{2} - 16 \sqrt{3}$ , 4. $72 \sqrt{7} - 18 \sqrt{2} + 27 \sqrt{10}$ , 5. $25 \sqrt{5} - 25 \sqrt{6}$ , 6. $64 \sqrt{7} - 18 \sqrt{2} - 21 \sqrt{5}$ , 7. $81 \sqrt{7} + 18 \sqrt{2} + 25 \sqrt{10}$ , 8. $21 \sqrt{3} + 21 \sqrt{2}$ , 9. $30 \sqrt{3} + 10 \sqrt{7}$ , 10. $18 \sqrt{10} - 24 \sqrt{5}$ , 11. $22 - 22 \sqrt{4}$ , 12. $18 \sqrt{12} - 12 \sqrt{5}$ , 13. $14 - 4 \sqrt{14} + 7 \sqrt{2}$ , 14. $14 + 6 \sqrt{12} + 9 \sqrt{2}$ , 15. $15 \sqrt{3} - 10 \sqrt{5}$ , 16. $- 24 \sqrt{2} + 14 \sqrt{3}$ , 17. $26 + 26 \sqrt{2}$ , 18. $25 \sqrt{3} - 25 \sqrt{2}$ , 19. $25 \sqrt{5} + 15 \sqrt{7}$ , 20. $7 + 2 \sqrt{16} - 7 \sqrt{2}$ , 21. $24 \sqrt{3} + 12 \sqrt{3}$
$4 \sqrt{3} (\sqrt{12} - 2 \sqrt{18}) =$ 1. $9 \sqrt{10} + 24 \sqrt{6}$ , 2. $24 - 24 \sqrt{6}$ , 3. $- 21 \sqrt{2} - 16 \sqrt{3}$ , 4. $72 \sqrt{7} - 18 \sqrt{2} + 27 \sqrt{10}$ , 5. $25 \sqrt{5} - 25 \sqrt{6}$ , 6. $64 \sqrt{7} - 18 \sqrt{2} - 21 \sqrt{5}$ , 7. $81 \sqrt{7} + 18 \sqrt{2} + 25 \sqrt{10}$ , 8. $21 \sqrt{3} + 21 \sqrt{2}$ , 9. $30 \sqrt{3} + 10 \sqrt{7}$ , 10. $18 \sqrt{10} - 24 \sqrt{5}$ , 11. $22 - 22 \sqrt{4}$ , 12. $18 \sqrt{12} - 12 \sqrt{5}$ , 13. $14 - 4 \sqrt{14} + 7 \sqrt{2}$ , 14. $14 + 6 \sqrt{12} + 9 \sqrt{2}$ , 15. $15 \sqrt{3} - 10 \sqrt{5}$ , 16. $- 24 \sqrt{2} + 14 \sqrt{3}$ , 17. $26 + 26 \sqrt{2}$ , 18. $25 \sqrt{3} - 25 \sqrt{2}$ , 19. $25 \sqrt{5} + 15 \sqrt{7}$ , 20. $7 + 2 \sqrt{16} - 7 \sqrt{2}$ , 21. $24 \sqrt{3} + 12 \sqrt{3}$
$5 \sqrt{5} (\sqrt{15} - \sqrt{10}) =$ 1. $9 \sqrt{10} + 24 \sqrt{6}$ , 2. $24 - 24 \sqrt{6}$ , 3. $- 21 \sqrt{2} - 16 \sqrt{3}$ , 4. $72 \sqrt{7} - 18 \sqrt{2} + 27 \sqrt{10}$ , 5. $25 \sqrt{5} - 25 \sqrt{6}$ , 6. $64 \sqrt{7} - 18 \sqrt{2} - 21 \sqrt{5}$ , 7. $81 \sqrt{7} + 18 \sqrt{2} + 25 \sqrt{10}$ , 8. $21 \sqrt{3} + 21 \sqrt{2}$ , 9. $30 \sqrt{3} + 10 \sqrt{7}$ , 10. $18 \sqrt{10} - 24 \sqrt{5}$ , 11. $22 - 22 \sqrt{4}$ , 12. $18 \sqrt{12} - 12 \sqrt{5}$ , 13. $14 - 4 \sqrt{14} + 7 \sqrt{2}$ , 14. $14 + 6 \sqrt{12} + 9 \sqrt{2}$ , 15. $15 \sqrt{3} - 10 \sqrt{5}$ , 16. $- 24 \sqrt{2} + 14 \sqrt{3}$ , 17. $26 + 26 \sqrt{2}$ , 18. $25 \sqrt{3} - 25 \sqrt{2}$ , 19. $25 \sqrt{5} + 15 \sqrt{7}$ , 20. $7 + 2 \sqrt{16} - 7 \sqrt{2}$ , 21. $24 \sqrt{3} + 12 \sqrt{3}$
$\sqrt{7} (2 \sqrt{7} - 2 \sqrt{8} + \sqrt{14}) =$ 1. $9 \sqrt{10} + 24 \sqrt{6}$ , 2. $24 - 24 \sqrt{6}$ , 3. $- 21 \sqrt{2} - 16 \sqrt{3}$ , 4. $72 \sqrt{7} - 18 \sqrt{2} + 27 \sqrt{10}$ , 5. $25 \sqrt{5} - 25 \sqrt{6}$ , 6. $64 \sqrt{7} - 18 \sqrt{2} - 21 \sqrt{5}$ , 7. $81 \sqrt{7} + 18 \sqrt{2} + 25 \sqrt{10}$ , 8. $21 \sqrt{3} + 21 \sqrt{2}$ , 9. $30 \sqrt{3} + 10 \sqrt{7}$ , 10. $18 \sqrt{10} - 24 \sqrt{5}$ , 11. $22 - 22 \sqrt{4}$ , 12. $18 \sqrt{12} - 12 \sqrt{5}$ , 13. $14 - 4 \sqrt{14} + 7 \sqrt{2}$ , 14. $14 + 6 \sqrt{12} + 9 \sqrt{2}$ , 15. $15 \sqrt{3} - 10 \sqrt{5}$ , 16. $- 24 \sqrt{2} + 14 \sqrt{3}$ , 17. $26 + 26 \sqrt{2}$ , 18. $25 \sqrt{3} - 25 \sqrt{2}$ , 19. $25 \sqrt{5} + 15 \sqrt{7}$ , 20. $7 + 2 \sqrt{16} - 7 \sqrt{2}$ , 21. $24 \sqrt{3} + 12 \sqrt{3}$
$3 \sqrt{3} (8 \sqrt{21} - \sqrt{24} + 3 \sqrt{30}) =$ 1. $9 \sqrt{10} + 24 \sqrt{6}$ , 2. $24 - 24 \sqrt{6}$ , 3. $- 21 \sqrt{2} - 16 \sqrt{3}$ , 4. $72 \sqrt{7} - 18 \sqrt{2} + 27 \sqrt{10}$ , 5. $25 \sqrt{5} - 25 \sqrt{6}$ , 6. $64 \sqrt{7} - 18 \sqrt{2} - 21 \sqrt{5}$ , 7. $81 \sqrt{7} + 18 \sqrt{2} + 25 \sqrt{10}$ , 8. $21 \sqrt{3} + 21 \sqrt{2}$ , 9. $30 \sqrt{3} + 10 \sqrt{7}$ , 10. $18 \sqrt{10} - 24 \sqrt{5}$ , 11. $22 - 22 \sqrt{4}$ , 12. $18 \sqrt{12} - 12 \sqrt{5}$ , 13. $14 - 4 \sqrt{14} + 7 \sqrt{2}$ , 14. $14 + 6 \sqrt{12} + 9 \sqrt{2}$ , 15. $15 \sqrt{3} - 10 \sqrt{5}$ , 16. $- 24 \sqrt{2} + 14 \sqrt{3}$ , 17. $26 + 26 \sqrt{2}$ , 18. $25 \sqrt{3} - 25 \sqrt{2}$ , 19. $25 \sqrt{5} + 15 \sqrt{7}$ , 20. $7 + 2 \sqrt{16} - 7 \sqrt{2}$ , 21. $24 \sqrt{3} + 12 \sqrt{3}$

RNaEi71ly7IPD

Ćwiczenie 12

Oblicz. Uzupełnij równości, przeciągając w luki odpowiednie liczby lub kliknij w lukę i wybierz odpowiedź z listy rozwijalnej.

$2 \sqrt[3]{2} (\sqrt[3]{20} - 4 \sqrt[3]{24}) =$ 1. $36 \sqrt[3]{2} + 24 \sqrt[3]{9}$ , 2. $2 \sqrt[3]{5} - 16 \sqrt[3]{6}$ , 3. $10 \sqrt[3]{35} - 15 \sqrt[3]{6}$ , 4. $4 \sqrt[3]{5} + 8 \sqrt[3]{10}$ , 5. $24 \sqrt[3]{2} + 36 \sqrt[3]{9}$ , 6. $10 \sqrt[3]{7} - 15 \sqrt[3]{3}$ , 7. $4 \sqrt[3]{5} - 16 \sqrt[3]{6}$ , 8. $10 \sqrt[3]{35} - 5 \sqrt[3]{6}$ , 9. $9 \sqrt[3]{2} + 6 \sqrt[3]{9}$ , 10. $4 \sqrt[3]{5} - 4 \sqrt[3]{6}$ , 11. $16 \sqrt[3]{5} + 8 \sqrt[3]{10}$ , 12. $8 \sqrt[3]{5} + 16 \sqrt[3]{10}$
$8 \sqrt[3]{4} (\frac{1}{4} \sqrt[3]{80} + \frac{1}{2} \sqrt[3]{160}) =$ 1. $36 \sqrt[3]{2} + 24 \sqrt[3]{9}$ , 2. $2 \sqrt[3]{5} - 16 \sqrt[3]{6}$ , 3. $10 \sqrt[3]{35} - 15 \sqrt[3]{6}$ , 4. $4 \sqrt[3]{5} + 8 \sqrt[3]{10}$ , 5. $24 \sqrt[3]{2} + 36 \sqrt[3]{9}$ , 6. $10 \sqrt[3]{7} - 15 \sqrt[3]{3}$ , 7. $4 \sqrt[3]{5} - 16 \sqrt[3]{6}$ , 8. $10 \sqrt[3]{35} - 5 \sqrt[3]{6}$ , 9. $9 \sqrt[3]{2} + 6 \sqrt[3]{9}$ , 10. $4 \sqrt[3]{5} - 4 \sqrt[3]{6}$ , 11. $16 \sqrt[3]{5} + 8 \sqrt[3]{10}$ , 12. $8 \sqrt[3]{5} + 16 \sqrt[3]{10}$
$4 \sqrt[3]{3} (3 \sqrt[3]{18} + 2 \sqrt[3]{81}) =$ 1. $36 \sqrt[3]{2} + 24 \sqrt[3]{9}$ , 2. $2 \sqrt[3]{5} - 16 \sqrt[3]{6}$ , 3. $10 \sqrt[3]{35} - 15 \sqrt[3]{6}$ , 4. $4 \sqrt[3]{5} + 8 \sqrt[3]{10}$ , 5. $24 \sqrt[3]{2} + 36 \sqrt[3]{9}$ , 6. $10 \sqrt[3]{7} - 15 \sqrt[3]{3}$ , 7. $4 \sqrt[3]{5} - 16 \sqrt[3]{6}$ , 8. $10 \sqrt[3]{35} - 5 \sqrt[3]{6}$ , 9. $9 \sqrt[3]{2} + 6 \sqrt[3]{9}$ , 10. $4 \sqrt[3]{5} - 4 \sqrt[3]{6}$ , 11. $16 \sqrt[3]{5} + 8 \sqrt[3]{10}$ , 12. $8 \sqrt[3]{5} + 16 \sqrt[3]{10}$
$\sqrt[3]{10} (5 \sqrt[3]{28} - 3 \sqrt[3]{75}) =$ 1. $36 \sqrt[3]{2} + 24 \sqrt[3]{9}$ , 2. $2 \sqrt[3]{5} - 16 \sqrt[3]{6}$ , 3. $10 \sqrt[3]{35} - 15 \sqrt[3]{6}$ , 4. $4 \sqrt[3]{5} + 8 \sqrt[3]{10}$ , 5. $24 \sqrt[3]{2} + 36 \sqrt[3]{9}$ , 6. $10 \sqrt[3]{7} - 15 \sqrt[3]{3}$ , 7. $4 \sqrt[3]{5} - 16 \sqrt[3]{6}$ , 8. $10 \sqrt[3]{35} - 5 \sqrt[3]{6}$ , 9. $9 \sqrt[3]{2} + 6 \sqrt[3]{9}$ , 10. $4 \sqrt[3]{5} - 4 \sqrt[3]{6}$ , 11. $16 \sqrt[3]{5} + 8 \sqrt[3]{10}$ , 12. $8 \sqrt[3]{5} + 16 \sqrt[3]{10}$

Przeciągnij i upuść.

$24 \sqrt[3]{2} + 36 \sqrt[3]{9}$ , $9 \sqrt[3]{2} + 6 \sqrt[3]{9}$ , $8 \sqrt[3]{5} + 16 \sqrt[3]{10}$ , $10 \sqrt[3]{35} - 15 \sqrt[3]{6}$ , $16 \sqrt[3]{5} + 8 \sqrt[3]{10}$ , $10 \sqrt[3]{7} - 15 \sqrt[3]{3}$ , $4 \sqrt[3]{5} + 8 \sqrt[3]{10}$ , $2 \sqrt[3]{5} - 16 \sqrt[3]{6}$ , $4 \sqrt[3]{5} - 16 \sqrt[3]{6}$ , $10 \sqrt[3]{35} - 5 \sqrt[3]{6}$ , $36 \sqrt[3]{2} + 24 \sqrt[3]{9}$ , $4 \sqrt[3]{5} - 4 \sqrt[3]{6}$

$2 \sqrt[3]{2} (\sqrt[3]{20} - 4 \sqrt[3]{24}) =$ ....................
$8 \sqrt[3]{4} (\frac{1}{4} \sqrt[3]{80} + \frac{1}{2} \sqrt[3]{160}) =$ ....................
$4 \sqrt[3]{3} (3 \sqrt[3]{18} + 2 \sqrt[3]{81}) =$ ....................
$\sqrt[3]{10} (5 \sqrt[3]{28} - 3 \sqrt[3]{75}) =$ ....................

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R1SFNM8iP1BJU

Ćwiczenie 13

Rozwiąż równania. Uzupełnij równości, przeciągając w luki odpowiednie liczby lub kliknij w lukę i wybierz odpowiedź z listy rozwijalnej.

$x \sqrt{5} = 20$
$x =$ 1. $\frac{3 \sqrt[3]{5}}{3}$ , 2. $3 \sqrt[3]{6}$ , 3. $2 \sqrt{2}$ , 4. $3 \sqrt[3]{7}$ , 5. $\frac{3 \sqrt{2}}{2}$ , 6. $4 \sqrt{5}$ , 7. $2 \sqrt[3]{49}$ , 8. $2 \sqrt[3]{5}$ , 9. $6 \sqrt{3}$ , 10. $\frac{\sqrt{5}}{2}$ , 11. $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ , 12. $10 \sqrt[3]{6}$ , 13. $4 \sqrt{7}$ , 14. $\frac{\sqrt{3}}{3}$ , 15. $12 \sqrt{3}$ , 16. $\frac{4 \cdot \sqrt[3]{36}}{3}$

$7 x \sqrt{2} = 21$
$x =$ 1. $\frac{3 \sqrt[3]{5}}{3}$ , 2. $3 \sqrt[3]{6}$ , 3. $2 \sqrt{2}$ , 4. $3 \sqrt[3]{7}$ , 5. $\frac{3 \sqrt{2}}{2}$ , 6. $4 \sqrt{5}$ , 7. $2 \sqrt[3]{49}$ , 8. $2 \sqrt[3]{5}$ , 9. $6 \sqrt{3}$ , 10. $\frac{\sqrt{5}}{2}$ , 11. $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ , 12. $10 \sqrt[3]{6}$ , 13. $4 \sqrt{7}$ , 14. $\frac{\sqrt{3}}{3}$ , 15. $12 \sqrt{3}$ , 16. $\frac{4 \cdot \sqrt[3]{36}}{3}$

$\frac{3}{4} x \sqrt{3} = 27$
$x =$ 1. $\frac{3 \sqrt[3]{5}}{3}$ , 2. $3 \sqrt[3]{6}$ , 3. $2 \sqrt{2}$ , 4. $3 \sqrt[3]{7}$ , 5. $\frac{3 \sqrt{2}}{2}$ , 6. $4 \sqrt{5}$ , 7. $2 \sqrt[3]{49}$ , 8. $2 \sqrt[3]{5}$ , 9. $6 \sqrt{3}$ , 10. $\frac{\sqrt{5}}{2}$ , 11. $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ , 12. $10 \sqrt[3]{6}$ , 13. $4 \sqrt{7}$ , 14. $\frac{\sqrt{3}}{3}$ , 15. $12 \sqrt{3}$ , 16. $\frac{4 \cdot \sqrt[3]{36}}{3}$

$12 x \sqrt{10} = 30 \sqrt{2}$
$x =$ 1. $\frac{3 \sqrt[3]{5}}{3}$ , 2. $3 \sqrt[3]{6}$ , 3. $2 \sqrt{2}$ , 4. $3 \sqrt[3]{7}$ , 5. $\frac{3 \sqrt{2}}{2}$ , 6. $4 \sqrt{5}$ , 7. $2 \sqrt[3]{49}$ , 8. $2 \sqrt[3]{5}$ , 9. $6 \sqrt{3}$ , 10. $\frac{\sqrt{5}}{2}$ , 11. $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ , 12. $10 \sqrt[3]{6}$ , 13. $4 \sqrt{7}$ , 14. $\frac{\sqrt{3}}{3}$ , 15. $12 \sqrt{3}$ , 16. $\frac{4 \cdot \sqrt[3]{36}}{3}$

$x \sqrt[3]{7} = 14$
$x =$ 1. $\frac{3 \sqrt[3]{5}}{3}$ , 2. $3 \sqrt[3]{6}$ , 3. $2 \sqrt{2}$ , 4. $3 \sqrt[3]{7}$ , 5. $\frac{3 \sqrt{2}}{2}$ , 6. $4 \sqrt{5}$ , 7. $2 \sqrt[3]{49}$ , 8. $2 \sqrt[3]{5}$ , 9. $6 \sqrt{3}$ , 10. $\frac{\sqrt{5}}{2}$ , 11. $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ , 12. $10 \sqrt[3]{6}$ , 13. $4 \sqrt{7}$ , 14. $\frac{\sqrt{3}}{3}$ , 15. $12 \sqrt{3}$ , 16. $\frac{4 \cdot \sqrt[3]{36}}{3}$

$5 x \sqrt[3]{6} = 40$
$x =$ 1. $\frac{3 \sqrt[3]{5}}{3}$ , 2. $3 \sqrt[3]{6}$ , 3. $2 \sqrt{2}$ , 4. $3 \sqrt[3]{7}$ , 5. $\frac{3 \sqrt{2}}{2}$ , 6. $4 \sqrt{5}$ , 7. $2 \sqrt[3]{49}$ , 8. $2 \sqrt[3]{5}$ , 9. $6 \sqrt{3}$ , 10. $\frac{\sqrt{5}}{2}$ , 11. $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ , 12. $10 \sqrt[3]{6}$ , 13. $4 \sqrt{7}$ , 14. $\frac{\sqrt{3}}{3}$ , 15. $12 \sqrt{3}$ , 16. $\frac{4 \cdot \sqrt[3]{36}}{3}$

$6 x \sqrt[3]{4} = 120 \sqrt[3]{3}$
$x =$ 1. $\frac{3 \sqrt[3]{5}}{3}$ , 2. $3 \sqrt[3]{6}$ , 3. $2 \sqrt{2}$ , 4. $3 \sqrt[3]{7}$ , 5. $\frac{3 \sqrt{2}}{2}$ , 6. $4 \sqrt{5}$ , 7. $2 \sqrt[3]{49}$ , 8. $2 \sqrt[3]{5}$ , 9. $6 \sqrt{3}$ , 10. $\frac{\sqrt{5}}{2}$ , 11. $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ , 12. $10 \sqrt[3]{6}$ , 13. $4 \sqrt{7}$ , 14. $\frac{\sqrt{3}}{3}$ , 15. $12 \sqrt{3}$ , 16. $\frac{4 \cdot \sqrt[3]{36}}{3}$

R1RzbgPDbcl8m

Ćwiczenie 14

RYYOXEgDkTkaK

Ćwiczenie 15

Wynikiem dodawania $\sqrt{50} + \sqrt{18} + \sqrt{32}$ jest liczba $10 \sqrt{2}$ .
Wynikiem dodawania $2^{999} + 2^{999}$ jest $2^{1000}$ .
Prawdziwa jest równość $\sqrt{3^{555} + 3^{555} + 3^{555}} = 3^{555}$ .

RPCOuUbSzSIpU

Ćwiczenie 16

$- 2^{4}$
$2^{4}$
$- 2^{- 4}$
$2^{- 4}$

R71fJGaMZMj3f

Ćwiczenie 17

$z = \frac{x}{y}$
$z = x ∙ y$
$z = - \frac{y}{x}$

RAdYSFevaGvcV

Ćwiczenie 18

Poniżej podano pewne działania. Oblicz je i uzupełnij poniższe luki. Kliknij w nie, aby rozwinąć listę, a następnie wybierz poprawną liczbę w każdym przypadku.

$\sqrt{125} + \sqrt{405} + \sqrt{20} =$ 1. $13 \sqrt{2}$ , 2. $10 \sqrt{2}$ , 3. $10 \sqrt{5}$ , 4. $- 8 \sqrt{14}$ , 5. $\sqrt[3]{433}$ , 6. $9 \sqrt{3}$ , 7. $17 \sqrt{6}$ , 8. $- 2 \sqrt[3]{4}$ , 9. $- 6 \sqrt[3]{11}$ , 10. $\frac{4}{3} \sqrt[3]{53}$ , 11. $21 \sqrt{3}$ , 12. $16 \sqrt{5}$
$\sqrt{50} - 2 \sqrt{72} + \sqrt{800} =$ 1. $13 \sqrt{2}$ , 2. $10 \sqrt{2}$ , 3. $10 \sqrt{5}$ , 4. $- 8 \sqrt{14}$ , 5. $\sqrt[3]{433}$ , 6. $9 \sqrt{3}$ , 7. $17 \sqrt{6}$ , 8. $- 2 \sqrt[3]{4}$ , 9. $- 6 \sqrt[3]{11}$ , 10. $\frac{4}{3} \sqrt[3]{53}$ , 11. $21 \sqrt{3}$ , 12. $16 \sqrt{5}$
$\sqrt{98} - \sqrt{162} + \sqrt{288} =$ 1. $13 \sqrt{2}$ , 2. $10 \sqrt{2}$ , 3. $10 \sqrt{5}$ , 4. $- 8 \sqrt{14}$ , 5. $\sqrt[3]{433}$ , 6. $9 \sqrt{3}$ , 7. $17 \sqrt{6}$ , 8. $- 2 \sqrt[3]{4}$ , 9. $- 6 \sqrt[3]{11}$ , 10. $\frac{4}{3} \sqrt[3]{53}$ , 11. $21 \sqrt{3}$ , 12. $16 \sqrt{5}$
$\sqrt[3]{108} + \sqrt[3]{500} - 5 \sqrt[3]{32} =$ 1. $13 \sqrt{2}$ , 2. $10 \sqrt{2}$ , 3. $10 \sqrt{5}$ , 4. $- 8 \sqrt{14}$ , 5. $\sqrt[3]{433}$ , 6. $9 \sqrt{3}$ , 7. $17 \sqrt{6}$ , 8. $- 2 \sqrt[3]{4}$ , 9. $- 6 \sqrt[3]{11}$ , 10. $\frac{4}{3} \sqrt[3]{53}$ , 11. $21 \sqrt{3}$ , 12. $16 \sqrt{5}$

Notatnik

Możesz skorzystać z poniższego pola tekstowego do zapisania swoich notatek, rozwiązań zadań i innych informacji, które uważasz za potrzebne.

R1b8OvSPUG8s3

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

5. Włączanie czynnika pod znak pierwiastka

7. O potęgach i pierwiastkach - podsumowanie

6. Działania na pierwiastkach

Notatnik