7. O potęgach i pierwiastkach - podsumowanie - Pierwiastki

RdmeyZteVjGZY

7. O potęgach i pierwiastkach - podsumowanie

Jaki związek ma pierwiastkowanie z potęgowaniem? Zauważ, że jeśli chcesz obliczyć pierwiastek, np. $\sqrt[3]{27}$ , to w pierwszej kolejności zastanawiasz się jaka liczba podniesiona do potęgi $3$ da liczbę $27$ . Łatwo możemy zobaczyć, że $3^{3} = 27$ . Ogółem działania na bardziej skomplikowanych pierwiastkach wykonujemy najczęściej zamieniając pierwiastki na potęgi. Ale o tym będziesz uczyć się dopiero w szkole ponadpodstawowej.

R1LnhwJetalxw

Właśności potęg cz.1 Możliwe odpowiedzi: 1. Dla

a \geq 0

oraz

b \geq 0

mamy:

$\sqrt[m]{a} \cdot \sqrt[m]{b} = \sqrt[m]{a b}$
$\sqrt[m]{a} : \sqrt[m]{b} = \sqrt[m]{a : b}$

, 2. Dla

m > 0

n > 0

mamy:

dla $a \neq 0$ : $a^{- n} = \frac{1}{a^{n}}$
dla $a \geq 0$ : $a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^{m}}$
dla $a > 0$ : $a^{- \frac{m}{n}} = \frac{1}{\sqrt[n]{a^{m}}}$ .

, 3. Dla

a > 0

b > 0

oraz

m, n \in R

$a^{m} \cdot a^{n} = a^{m + n}$
$a^{m} : a^{n} = a^{m - n}$
$a^{m} \cdot b^{m} = {(a b)}^{m}$
$a^{m} : b^{m} = {(a : b)}^{m}$
${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$

, 4.

$3 \sqrt{2} = \sqrt{3^{2} \cdot 2} = \sqrt{9 \cdot 2} = \sqrt{18}$
$\sqrt[3]{54} = \sqrt[3]{27 \cdot 2} = 3 \sqrt[3]{2}$

Własności potęg cz.2 Możliwe odpowiedzi: 1. Dla

a \geq 0

oraz

b \geq 0

mamy:

$\sqrt[m]{a} \cdot \sqrt[m]{b} = \sqrt[m]{a b}$
$\sqrt[m]{a} : \sqrt[m]{b} = \sqrt[m]{a : b}$

, 2. Dla

m > 0

n > 0

mamy:

dla $a \neq 0$ : $a^{- n} = \frac{1}{a^{n}}$
dla $a \geq 0$ : $a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^{m}}$
dla $a > 0$ : $a^{- \frac{m}{n}} = \frac{1}{\sqrt[n]{a^{m}}}$ .

, 3. Dla

a > 0

b > 0

oraz

m, n \in R

$a^{m} \cdot a^{n} = a^{m + n}$
$a^{m} : a^{n} = a^{m - n}$
$a^{m} \cdot b^{m} = {(a b)}^{m}$
$a^{m} : b^{m} = {(a : b)}^{m}$
${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$

, 4.

$3 \sqrt{2} = \sqrt{3^{2} \cdot 2} = \sqrt{9 \cdot 2} = \sqrt{18}$
$\sqrt[3]{54} = \sqrt[3]{27 \cdot 2} = 3 \sqrt[3]{2}$

Własności potęg Możliwe odpowiedzi: 1. Dla

a \geq 0

oraz

b \geq 0

mamy:

$\sqrt[m]{a} \cdot \sqrt[m]{b} = \sqrt[m]{a b}$
$\sqrt[m]{a} : \sqrt[m]{b} = \sqrt[m]{a : b}$

, 2. Dla

m > 0

n > 0

mamy:

dla $a \neq 0$ : $a^{- n} = \frac{1}{a^{n}}$
dla $a \geq 0$ : $a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^{m}}$
dla $a > 0$ : $a^{- \frac{m}{n}} = \frac{1}{\sqrt[n]{a^{m}}}$ .

, 3. Dla

a > 0

b > 0

oraz

m, n \in R

$a^{m} \cdot a^{n} = a^{m + n}$
$a^{m} : a^{n} = a^{m - n}$
$a^{m} \cdot b^{m} = {(a b)}^{m}$
$a^{m} : b^{m} = {(a : b)}^{m}$
${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$

, 4.

$3 \sqrt{2} = \sqrt{3^{2} \cdot 2} = \sqrt{9 \cdot 2} = \sqrt{18}$
$\sqrt[3]{54} = \sqrt[3]{27 \cdot 2} = 3 \sqrt[3]{2}$

Wyciąganie i wciągania czynnika pod znak pierwiastka - przykład Możliwe odpowiedzi: 1. Dla

a \geq 0

oraz

b \geq 0

mamy:

$\sqrt[m]{a} \cdot \sqrt[m]{b} = \sqrt[m]{a b}$
$\sqrt[m]{a} : \sqrt[m]{b} = \sqrt[m]{a : b}$

, 2. Dla

m > 0

n > 0

mamy:

dla $a \neq 0$ : $a^{- n} = \frac{1}{a^{n}}$
dla $a \geq 0$ : $a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^{m}}$
dla $a > 0$ : $a^{- \frac{m}{n}} = \frac{1}{\sqrt[n]{a^{m}}}$ .

, 3. Dla

a > 0

b > 0

oraz

m, n \in R

$a^{m} \cdot a^{n} = a^{m + n}$
$a^{m} : a^{n} = a^{m - n}$
$a^{m} \cdot b^{m} = {(a b)}^{m}$
$a^{m} : b^{m} = {(a : b)}^{m}$
${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$

, 4.

$3 \sqrt{2} = \sqrt{3^{2} \cdot 2} = \sqrt{9 \cdot 2} = \sqrt{18}$
$\sqrt[3]{54} = \sqrt[3]{27 \cdot 2} = 3 \sqrt[3]{2}$

Zapoznaj się z poniższymi własnościami potęg, pierwiastków i notacji wykładniczej. Wykorzystasz je, rozwiązując ćwiczenia zawarte w tym materiale.

Własności potęg cz. $1$ :

Dla $a \neq 0$ i $b \neq 0$ oraz $m, n \in Z$ :

$a^{m} \cdot a^{n} = a^{m + n}$
$a^{m} : a^{n} = a^{m - n}$
$a^{m} \cdot b^{m} = {(a b)}^{m}$
$a^{m} : b^{m} = {(a : b)}^{m}$
${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$

Własności potęg cz. $2$ :

Dla $n > 0$ mamy:

dla $a \neq 0$ : $a^{- n} = \frac{1}{a^{n}}$

Własności pierwiastków:

Dla $a \geq 0$ oraz $b > 0$ mamy:

$\sqrt[m]{a} \cdot \sqrt[m]{b} = \sqrt[m]{a b}$
$\sqrt[m]{a} : \sqrt[m]{b} = \sqrt[m]{a : b}$

Wyciąganie i wciąganie czynnika pod znak pierwiastka - przykłady:

$3 \sqrt{2} = \sqrt{3^{2} \cdot 2} = \sqrt{9 \cdot 2} = \sqrt{18}$
$\sqrt[3]{54} = \sqrt[3]{27 \cdot 2} = 3 \sqrt[3]{2}$

Notacja wykładnicza:

Liczba zapisana w notacji wykładniczej jest postaci $a \cdot 10^{n}$ , gdzie $a \in (0, 10)$ oraz $n \in Z$ .

RJJThanKn9ikG

Ćwiczenie 1

Określ, czy poniższe liczby są dodatnie, czy ujemne. Przeciągnij w luki odpowiednie liczby. liczby dodatnie Możliwe odpowiedzi: 1.

- 2^{4}

, 2.

2^{4}

, 3.

2^{- 4}

, 4.

- {(\frac{1}{3})}^{3}

, 5.

- 3^{5}

, 6.

{(- \frac{1}{3})}^{- 3}

, 7.

- {(\frac{1}{2})}^{- 2}

, 8.

{(- \frac{1}{2})}^{- 2}

, 9.

{(- 3)}^{5}

, 10.

3^{5}

, 11.

{(- \frac{1}{3})}^{3}

, 12.

{(- 2)}^{4}

, 13.

{(\frac{1}{2})}^{- 2}

, 14.

3^{- 5}

liczby ujemne Możliwe odpowiedzi: 1.

- 2^{4}

, 2.

2^{4}

, 3.

2^{- 4}

, 4.

- {(\frac{1}{3})}^{3}

, 5.

- 3^{5}

, 6.

{(- \frac{1}{3})}^{- 3}

, 7.

- {(\frac{1}{2})}^{- 2}

, 8.

{(- \frac{1}{2})}^{- 2}

, 9.

{(- 3)}^{5}

, 10.

3^{5}

, 11.

{(- \frac{1}{3})}^{3}

, 12.

{(- 2)}^{4}

, 13.

{(\frac{1}{2})}^{- 2}

, 14.

3^{- 5}

R1WAprikZwMS41

Ćwiczenie 2

Uzupełnij równości, przeciągając w luki odpowiednie liczby lub kliknij w lukę i wybierz odpowiedź z listy rozwijalnej.

1. $\sqrt{\frac{16}{83}}$ , 2. $- \sqrt[3]{- 48}$ , 3. $\sqrt{\frac{16}{81}}$ , 4. $- \sqrt[4]{0,021}$ , 5. $\sqrt[3]{- 0,008}$ , 6. $\sqrt{0,14}$ , 7. $- \sqrt[3]{0,027}$ , 8. $- \sqrt[3]{- 64}$ , 9. $\sqrt{0,16}$ , 10. $\sqrt{35}$ , 11. $\sqrt[3]{- 0,002}$ , 12. $\sqrt{0,0144}$ , 13. $\sqrt[3]{- 0,004}$ , 14. $- \sqrt[3]{- 32}$ , 15. $\sqrt{39}$ , 16. $- \sqrt[5]{0,025}$ , 17. $\sqrt{\frac{15}{82}}$ , 18. $\sqrt{36}$ $= 6$
1. $\sqrt{\frac{16}{83}}$ , 2. $- \sqrt[3]{- 48}$ , 3. $\sqrt{\frac{16}{81}}$ , 4. $- \sqrt[4]{0,021}$ , 5. $\sqrt[3]{- 0,008}$ , 6. $\sqrt{0,14}$ , 7. $- \sqrt[3]{0,027}$ , 8. $- \sqrt[3]{- 64}$ , 9. $\sqrt{0,16}$ , 10. $\sqrt{35}$ , 11. $\sqrt[3]{- 0,002}$ , 12. $\sqrt{0,0144}$ , 13. $\sqrt[3]{- 0,004}$ , 14. $- \sqrt[3]{- 32}$ , 15. $\sqrt{39}$ , 16. $- \sqrt[5]{0,025}$ , 17. $\sqrt{\frac{15}{82}}$ , 18. $\sqrt{36}$ $= \frac{4}{9}$
1. $\sqrt{\frac{16}{83}}$ , 2. $- \sqrt[3]{- 48}$ , 3. $\sqrt{\frac{16}{81}}$ , 4. $- \sqrt[4]{0,021}$ , 5. $\sqrt[3]{- 0,008}$ , 6. $\sqrt{0,14}$ , 7. $- \sqrt[3]{0,027}$ , 8. $- \sqrt[3]{- 64}$ , 9. $\sqrt{0,16}$ , 10. $\sqrt{35}$ , 11. $\sqrt[3]{- 0,002}$ , 12. $\sqrt{0,0144}$ , 13. $\sqrt[3]{- 0,004}$ , 14. $- \sqrt[3]{- 32}$ , 15. $\sqrt{39}$ , 16. $- \sqrt[5]{0,025}$ , 17. $\sqrt{\frac{15}{82}}$ , 18. $\sqrt{36}$ $= 0,12$
1. $\sqrt{\frac{16}{83}}$ , 2. $- \sqrt[3]{- 48}$ , 3. $\sqrt{\frac{16}{81}}$ , 4. $- \sqrt[4]{0,021}$ , 5. $\sqrt[3]{- 0,008}$ , 6. $\sqrt{0,14}$ , 7. $- \sqrt[3]{0,027}$ , 8. $- \sqrt[3]{- 64}$ , 9. $\sqrt{0,16}$ , 10. $\sqrt{35}$ , 11. $\sqrt[3]{- 0,002}$ , 12. $\sqrt{0,0144}$ , 13. $\sqrt[3]{- 0,004}$ , 14. $- \sqrt[3]{- 32}$ , 15. $\sqrt{39}$ , 16. $- \sqrt[5]{0,025}$ , 17. $\sqrt{\frac{15}{82}}$ , 18. $\sqrt{36}$ $= - 0,2$
1. $\sqrt{\frac{16}{83}}$ , 2. $- \sqrt[3]{- 48}$ , 3. $\sqrt{\frac{16}{81}}$ , 4. $- \sqrt[4]{0,021}$ , 5. $\sqrt[3]{- 0,008}$ , 6. $\sqrt{0,14}$ , 7. $- \sqrt[3]{0,027}$ , 8. $- \sqrt[3]{- 64}$ , 9. $\sqrt{0,16}$ , 10. $\sqrt{35}$ , 11. $\sqrt[3]{- 0,002}$ , 12. $\sqrt{0,0144}$ , 13. $\sqrt[3]{- 0,004}$ , 14. $- \sqrt[3]{- 32}$ , 15. $\sqrt{39}$ , 16. $- \sqrt[5]{0,025}$ , 17. $\sqrt{\frac{15}{82}}$ , 18. $\sqrt{36}$ $= 4$
1. $\sqrt{\frac{16}{83}}$ , 2. $- \sqrt[3]{- 48}$ , 3. $\sqrt{\frac{16}{81}}$ , 4. $- \sqrt[4]{0,021}$ , 5. $\sqrt[3]{- 0,008}$ , 6. $\sqrt{0,14}$ , 7. $- \sqrt[3]{0,027}$ , 8. $- \sqrt[3]{- 64}$ , 9. $\sqrt{0,16}$ , 10. $\sqrt{35}$ , 11. $\sqrt[3]{- 0,002}$ , 12. $\sqrt{0,0144}$ , 13. $\sqrt[3]{- 0,004}$ , 14. $- \sqrt[3]{- 32}$ , 15. $\sqrt{39}$ , 16. $- \sqrt[5]{0,025}$ , 17. $\sqrt{\frac{15}{82}}$ , 18. $\sqrt{36}$ $= - 0,3$

Przeciągnij i upuść.

$\sqrt{36}$ , $\sqrt{\frac{16}{83}}$ , $- \sqrt[5]{0,025}$ , $- \sqrt[3]{- 64}$ , $\sqrt[3]{- 0,004}$ , $\sqrt[3]{- 0,002}$ , $\sqrt{39}$ , $\sqrt[3]{- 0,008}$ , $- \sqrt[3]{0,027}$ , $\sqrt{0,16}$ , $- \sqrt[3]{- 48}$ , $\sqrt{\frac{15}{82}}$ , $- \sqrt[3]{- 32}$ , $\sqrt{\frac{16}{81}}$ , $\sqrt{0,14}$ , $\sqrt{35}$ , $\sqrt{0,0144}$ , $- \sqrt[4]{0,021}$

.............. $= 6$
.............. $= \frac{4}{9}$
.............. $= 0,12$
.............. $=- 0,2$
.............. $= 4$
.............. $=- 0,3$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RI8OQNeO4Us8k

Ćwiczenie 3

Oblicz wartość podanego wyrażenia arytmetycznego, a następnie uzupełnij zdania, przeciągając w luki odpowiednie liczby lub kliknij w lukę i wybierz odpowiedź z listy rozwijalnej.

$\sqrt{36 + 64}$ $=$ 1. $6$ , 2. $\frac{1}{5}$ , 3. $5$ , 4. $9$ , 5. $12$ , 6. $\frac{2}{3}$ , 7. $\frac{3}{8}$ , 8. $\frac{2}{5}$ , 9. $11$ , 10. $10$ , 11. $8$ , 12. $1$ , 13. $7$ , 14. $2$ , 15. $\frac{3}{4}$

, 16.

3

, 17.

\frac{3}{2}

, 18.

\frac{2}{7}

, 19.

\frac{1}{6}

\sqrt{144} - \sqrt{100}

=

6

, 2.

\frac{1}{5}

, 3.

5

, 4.

9

, 5.

12

, 6.

\frac{2}{3}

, 7.

\frac{3}{8}

, 8.

\frac{2}{5}

, 9.

11

, 10.

10

, 11.

8

, 12.

1

, 13.

7

, 14.

2

, 15.

\frac{3}{4}

, 16.

3

, 17.

\frac{3}{2}

, 18.

\frac{2}{7}

, 19.

\frac{1}{6}

- \sqrt[3]{8} + \sqrt{64}

=

6

, 2.

\frac{1}{5}

, 3.

5

, 4.

9

, 5.

12

, 6.

\frac{2}{3}

, 7.

\frac{3}{8}

, 8.

\frac{2}{5}

, 9.

11

, 10.

10

, 11.

8

, 12.

1

, 13.

7

, 14.

2

, 15.

\frac{3}{4}

, 16.

3

, 17.

\frac{3}{2}

, 18.

\frac{2}{7}

, 19.

\frac{1}{6}

\sqrt[3]{- 27} - \sqrt[3]{- 1000}

=

6

, 2.

\frac{1}{5}

, 3.

5

, 4.

9

, 5.

12

, 6.

\frac{2}{3}

, 7.

\frac{3}{8}

, 8.

\frac{2}{5}

, 9.

11

, 10.

10

, 11.

8

, 12.

1

, 13.

7

, 14.

2

, 15.

\frac{3}{4}

, 16.

3

, 17.

\frac{3}{2}

, 18.

\frac{2}{7}

, 19.

\frac{1}{6}

\sqrt[3]{\frac{1}{125}} + \sqrt{\frac{1}{25}} - \sqrt[3]{125} + \sqrt{25}

=

6

, 2.

\frac{1}{5}

, 3.

5

, 4.

9

, 5.

12

, 6.

\frac{2}{3}

, 7.

\frac{3}{8}

, 8.

\frac{2}{5}

, 9.

11

, 10.

10

, 11.

8

, 12.

1

, 13.

7

, 14.

2

, 15.

\frac{3}{4}

, 16.

3

, 17.

\frac{3}{2}

, 18.

\frac{2}{7}

, 19.

\frac{1}{6}

\sqrt{5 \frac{1}{16}} \cdot \frac{\sqrt{4}}{27}

=

6

, 2.

\frac{1}{5}

, 3.

5

, 4.

9

, 5.

12

, 6.

\frac{2}{3}

, 7.

\frac{3}{8}

, 8.

\frac{2}{5}

, 9.

11

, 10.

10

, 11.

8

, 12.

1

, 13.

7

, 14.

2

, 15.

\frac{3}{4}

, 16.

3

, 17.

\frac{3}{2}

, 18.

\frac{2}{7}

, 19.

\frac{1}{6}

\sqrt{2 \frac{1}{4}} - \sqrt[3]{8} + \sqrt[3]{- 8} - \sqrt[3]{- 64}

=

6

, 2.

\frac{1}{5}

, 3.

5

, 4.

9

, 5.

12

, 6.

\frac{2}{3}

, 7.

\frac{3}{8}

, 8.

\frac{2}{5}

, 9.

11

, 10.

10

, 11.

8

, 12.

1

, 13.

7

, 14.

2

, 15.

\frac{3}{4}

, 16.

3

, 17.

\frac{3}{2}

, 18.

\frac{2}{7}

, 19.

\frac{1}{6}

R13DdcBse1l2j

Ćwiczenie 4

R1H0Xxwxm4hZ21

Ćwiczenie 5

Uzupełnij równości, przeciągając w luki odpowiednie liczby lub kliknij w lukę i wybierz odpowiedź z listy rozwijalnej.

1. $\sqrt{2 + 60}$ , 2. $\sqrt{- \frac{2}{9} + 2}$ , 3. $\sqrt{3 - \frac{45}{81}}$ , 4. $- \sqrt[3]{- \frac{37}{64} + 1}$ , 5. $\sqrt[3]{- 5 - 2}$ , 6. $\sqrt[3]{- 6 - 3}$ , 7. $\sqrt{1 - \frac{45}{49}}$ , 8. $\sqrt[3]{7 + 118}$ , 9. $\sqrt[3]{7 + 119}$ , 10. $\sqrt[3]{4 + 118}$ , 11. $\sqrt{- \frac{2}{8} + 2}$ , 12. $- \sqrt[3]{- \frac{37}{34} + 1}$ , 13. $\sqrt{2 + 61}$ , 14. $\sqrt{1 + 63}$ , 15. $\sqrt[3]{- 6 - 2}$ , 16. $\sqrt{- \frac{2}{10} + 2}$ , 17. $- \sqrt[3]{- \frac{37}{64} + 2}$ , 18. $\sqrt{2 - \frac{43}{49}}$ $= 8$
1. $\sqrt{2 + 60}$ , 2. $\sqrt{- \frac{2}{9} + 2}$ , 3. $\sqrt{3 - \frac{45}{81}}$ , 4. $- \sqrt[3]{- \frac{37}{64} + 1}$ , 5. $\sqrt[3]{- 5 - 2}$ , 6. $\sqrt[3]{- 6 - 3}$ , 7. $\sqrt{1 - \frac{45}{49}}$ , 8. $\sqrt[3]{7 + 118}$ , 9. $\sqrt[3]{7 + 119}$ , 10. $\sqrt[3]{4 + 118}$ , 11. $\sqrt{- \frac{2}{8} + 2}$ , 12. $- \sqrt[3]{- \frac{37}{34} + 1}$ , 13. $\sqrt{2 + 61}$ , 14. $\sqrt{1 + 63}$ , 15. $\sqrt[3]{- 6 - 2}$ , 16. $\sqrt{- \frac{2}{10} + 2}$ , 17. $- \sqrt[3]{- \frac{37}{64} + 2}$ , 18. $\sqrt{2 - \frac{43}{49}}$ $= \frac{2}{7}$
1. $\sqrt{2 + 60}$ , 2. $\sqrt{- \frac{2}{9} + 2}$ , 3. $\sqrt{3 - \frac{45}{81}}$ , 4. $- \sqrt[3]{- \frac{37}{64} + 1}$ , 5. $\sqrt[3]{- 5 - 2}$ , 6. $\sqrt[3]{- 6 - 3}$ , 7. $\sqrt{1 - \frac{45}{49}}$ , 8. $\sqrt[3]{7 + 118}$ , 9. $\sqrt[3]{7 + 119}$ , 10. $\sqrt[3]{4 + 118}$ , 11. $\sqrt{- \frac{2}{8} + 2}$ , 12. $- \sqrt[3]{- \frac{37}{34} + 1}$ , 13. $\sqrt{2 + 61}$ , 14. $\sqrt{1 + 63}$ , 15. $\sqrt[3]{- 6 - 2}$ , 16. $\sqrt{- \frac{2}{10} + 2}$ , 17. $- \sqrt[3]{- \frac{37}{64} + 2}$ , 18. $\sqrt{2 - \frac{43}{49}}$ $= 1 \frac{1}{3}$
1. $\sqrt{2 + 60}$ , 2. $\sqrt{- \frac{2}{9} + 2}$ , 3. $\sqrt{3 - \frac{45}{81}}$ , 4. $- \sqrt[3]{- \frac{37}{64} + 1}$ , 5. $\sqrt[3]{- 5 - 2}$ , 6. $\sqrt[3]{- 6 - 3}$ , 7. $\sqrt{1 - \frac{45}{49}}$ , 8. $\sqrt[3]{7 + 118}$ , 9. $\sqrt[3]{7 + 119}$ , 10. $\sqrt[3]{4 + 118}$ , 11. $\sqrt{- \frac{2}{8} + 2}$ , 12. $- \sqrt[3]{- \frac{37}{34} + 1}$ , 13. $\sqrt{2 + 61}$ , 14. $\sqrt{1 + 63}$ , 15. $\sqrt[3]{- 6 - 2}$ , 16. $\sqrt{- \frac{2}{10} + 2}$ , 17. $- \sqrt[3]{- \frac{37}{64} + 2}$ , 18. $\sqrt{2 - \frac{43}{49}}$ $= - 2$
1. $\sqrt{2 + 60}$ , 2. $\sqrt{- \frac{2}{9} + 2}$ , 3. $\sqrt{3 - \frac{45}{81}}$ , 4. $- \sqrt[3]{- \frac{37}{64} + 1}$ , 5. $\sqrt[3]{- 5 - 2}$ , 6. $\sqrt[3]{- 6 - 3}$ , 7. $\sqrt{1 - \frac{45}{49}}$ , 8. $\sqrt[3]{7 + 118}$ , 9. $\sqrt[3]{7 + 119}$ , 10. $\sqrt[3]{4 + 118}$ , 11. $\sqrt{- \frac{2}{8} + 2}$ , 12. $- \sqrt[3]{- \frac{37}{34} + 1}$ , 13. $\sqrt{2 + 61}$ , 14. $\sqrt{1 + 63}$ , 15. $\sqrt[3]{- 6 - 2}$ , 16. $\sqrt{- \frac{2}{10} + 2}$ , 17. $- \sqrt[3]{- \frac{37}{64} + 2}$ , 18. $\sqrt{2 - \frac{43}{49}}$ $= 5$
1. $\sqrt{2 + 60}$ , 2. $\sqrt{- \frac{2}{9} + 2}$ , 3. $\sqrt{3 - \frac{45}{81}}$ , 4. $- \sqrt[3]{- \frac{37}{64} + 1}$ , 5. $\sqrt[3]{- 5 - 2}$ , 6. $\sqrt[3]{- 6 - 3}$ , 7. $\sqrt{1 - \frac{45}{49}}$ , 8. $\sqrt[3]{7 + 118}$ , 9. $\sqrt[3]{7 + 119}$ , 10. $\sqrt[3]{4 + 118}$ , 11. $\sqrt{- \frac{2}{8} + 2}$ , 12. $- \sqrt[3]{- \frac{37}{34} + 1}$ , 13. $\sqrt{2 + 61}$ , 14. $\sqrt{1 + 63}$ , 15. $\sqrt[3]{- 6 - 2}$ , 16. $\sqrt{- \frac{2}{10} + 2}$ , 17. $- \sqrt[3]{- \frac{37}{64} + 2}$ , 18. $\sqrt{2 - \frac{43}{49}}$ $= - \frac{3}{4}$

Przeciągnij i upuść.

$\sqrt{2 - \frac{43}{49}}$ , $\sqrt{- \frac{2}{9} + 2}$ , $\sqrt[3]{- 6 - 3}$ , $\sqrt{- \frac{2}{8} + 2}$ , $\sqrt{1 + 63}$ , $- \sqrt[3]{- \frac{37}{34} + 1}$ , $\sqrt[3]{- 6 - 2}$ , $\sqrt{1 - \frac{45}{49}}$ , $\sqrt{- \frac{2}{10} + 2}$ , $- \sqrt[3]{- \frac{37}{64} + 2}$ , $\sqrt{3 - \frac{45}{81}}$ , $\sqrt[3]{7 + 119}$ , $\sqrt{2 + 60}$ , $\sqrt[3]{4 + 118}$ , $\sqrt[3]{- 5 - 2}$ , $- \sqrt[3]{- \frac{37}{64} + 1}$ , $\sqrt{2 + 61}$ , $\sqrt[3]{7 + 118}$

.................. $= 8$
.................. $= \frac{2}{7}$
.................. $= 1 \frac{1}{3}$
.................. $=- 2$
.................. $= 5$
.................. $=- \frac{3}{4}$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R1YUdwMt8bwKY

Ćwiczenie 6

Połącz w pary równe liczby.

5 \sqrt{6}

Możliwe odpowiedzi: 1.

\sqrt{50}

, 2.

\sqrt{28}

, 3.

\sqrt{75}

, 4.

\sqrt{20}

, 5.

\sqrt{98}

, 6.

\sqrt{125}

, 7.

\sqrt{150}

5 \sqrt{3}

Możliwe odpowiedzi: 1.

\sqrt{50}

, 2.

\sqrt{28}

, 3.

\sqrt{75}

, 4.

\sqrt{20}

, 5.

\sqrt{98}

, 6.

\sqrt{125}

, 7.

\sqrt{150}

2 \sqrt{7}

Możliwe odpowiedzi: 1.

\sqrt{50}

, 2.

\sqrt{28}

, 3.

\sqrt{75}

, 4.

\sqrt{20}

, 5.

\sqrt{98}

, 6.

\sqrt{125}

, 7.

\sqrt{150}

5 \sqrt{5}

Możliwe odpowiedzi: 1.

\sqrt{50}

, 2.

\sqrt{28}

, 3.

\sqrt{75}

, 4.

\sqrt{20}

, 5.

\sqrt{98}

, 6.

\sqrt{125}

, 7.

\sqrt{150}

5 \sqrt{2}

Możliwe odpowiedzi: 1.

\sqrt{50}

, 2.

\sqrt{28}

, 3.

\sqrt{75}

, 4.

\sqrt{20}

, 5.

\sqrt{98}

, 6.

\sqrt{125}

, 7.

\sqrt{150}

7 \sqrt{2}

Możliwe odpowiedzi: 1.

\sqrt{50}

, 2.

\sqrt{28}

, 3.

\sqrt{75}

, 4.

\sqrt{20}

, 5.

\sqrt{98}

, 6.

\sqrt{125}

, 7.

\sqrt{150}

2 \sqrt{5}

Możliwe odpowiedzi: 1.

\sqrt{50}

, 2.

\sqrt{28}

, 3.

\sqrt{75}

, 4.

\sqrt{20}

, 5.

\sqrt{98}

, 6.

\sqrt{125}

, 7.

\sqrt{150}

Połącz w pary.

$5 \sqrt{6}$
$5 \sqrt{3}$
$2 \sqrt{7}$
$5 \sqrt{5}$
$5 \sqrt{2}$
$7 \sqrt{2}$
$2 \sqrt{5}$

RhJEuKzSFJePi

Ćwiczenie 7

Połącz w pary.

$2 \sqrt[3]{4}$
$4 \sqrt[3]{2}$
$2 \sqrt[4]{2}$
$3 \sqrt[4]{2}$

RVinsxslHHMLr

Ćwiczenie 8

Wyłącz czynnik przed znak pierwiastka. Uzupełnij równości, przeciągając w luki odpowiednie liczby lub kliknij w lukę i wybierz odpowiedź z listy rozwijalnej.

$\sqrt[3]{155^{4}}$ $=$ 1. $1042 \sqrt{2}$ , 2. $150 \sqrt[4]{155}$ , 3. $6 \sqrt[3]{6}$ , 4. $155 \sqrt[3]{150}$ , 5. $130 \sqrt{132}$ , 6. $6 \sqrt[4]{36}$ , 7. $652000 \sqrt{2}$ , 8. $155 \sqrt[3]{155}$ , 9. $625000 \sqrt{2}$ , 10. $1024 \sqrt{4}$ , 11. $625000 \sqrt{4}$ , 12. $281 \sqrt{17}$ , 13. $6 \sqrt[3]{36}$ , 14. $132 \sqrt{130}$ , 15. $1024 \sqrt{2}$ , 16. $132 \sqrt{132}$ , 17. $289 \sqrt{15}$ , 18. $289 \sqrt{17}$
$\sqrt[3]{6^{5}}$ $=$ 1. $1042 \sqrt{2}$ , 2. $150 \sqrt[4]{155}$ , 3. $6 \sqrt[3]{6}$ , 4. $155 \sqrt[3]{150}$ , 5. $130 \sqrt{132}$ , 6. $6 \sqrt[4]{36}$ , 7. $652000 \sqrt{2}$ , 8. $155 \sqrt[3]{155}$ , 9. $625000 \sqrt{2}$ , 10. $1024 \sqrt{4}$ , 11. $625000 \sqrt{4}$ , 12. $281 \sqrt{17}$ , 13. $6 \sqrt[3]{36}$ , 14. $132 \sqrt{130}$ , 15. $1024 \sqrt{2}$ , 16. $132 \sqrt{132}$ , 17. $289 \sqrt{15}$ , 18. $289 \sqrt{17}$
$\sqrt{17^{5}}$ $=$ 1. $1042 \sqrt{2}$ , 2. $150 \sqrt[4]{155}$ , 3. $6 \sqrt[3]{6}$ , 4. $155 \sqrt[3]{150}$ , 5. $130 \sqrt{132}$ , 6. $6 \sqrt[4]{36}$ , 7. $652000 \sqrt{2}$ , 8. $155 \sqrt[3]{155}$ , 9. $625000 \sqrt{2}$ , 10. $1024 \sqrt{4}$ , 11. $625000 \sqrt{4}$ , 12. $281 \sqrt{17}$ , 13. $6 \sqrt[3]{36}$ , 14. $132 \sqrt{130}$ , 15. $1024 \sqrt{2}$ , 16. $132 \sqrt{132}$ , 17. $289 \sqrt{15}$ , 18. $289 \sqrt{17}$
$\sqrt{132^{3}}$ $=$ 1. $1042 \sqrt{2}$ , 2. $150 \sqrt[4]{155}$ , 3. $6 \sqrt[3]{6}$ , 4. $155 \sqrt[3]{150}$ , 5. $130 \sqrt{132}$ , 6. $6 \sqrt[4]{36}$ , 7. $652000 \sqrt{2}$ , 8. $155 \sqrt[3]{155}$ , 9. $625000 \sqrt{2}$ , 10. $1024 \sqrt{4}$ , 11. $625000 \sqrt{4}$ , 12. $281 \sqrt{17}$ , 13. $6 \sqrt[3]{36}$ , 14. $132 \sqrt{130}$ , 15. $1024 \sqrt{2}$ , 16. $132 \sqrt{132}$ , 17. $289 \sqrt{15}$ , 18. $289 \sqrt{17}$
$\sqrt{50^{7}}$ $=$ 1. $1042 \sqrt{2}$ , 2. $150 \sqrt[4]{155}$ , 3. $6 \sqrt[3]{6}$ , 4. $155 \sqrt[3]{150}$ , 5. $130 \sqrt{132}$ , 6. $6 \sqrt[4]{36}$ , 7. $652000 \sqrt{2}$ , 8. $155 \sqrt[3]{155}$ , 9. $625000 \sqrt{2}$ , 10. $1024 \sqrt{4}$ , 11. $625000 \sqrt{4}$ , 12. $281 \sqrt{17}$ , 13. $6 \sqrt[3]{36}$ , 14. $132 \sqrt{130}$ , 15. $1024 \sqrt{2}$ , 16. $132 \sqrt{132}$ , 17. $289 \sqrt{15}$ , 18. $289 \sqrt{17}$
$\sqrt{8^{7}}$ $=$ 1. $1042 \sqrt{2}$ , 2. $150 \sqrt[4]{155}$ , 3. $6 \sqrt[3]{6}$ , 4. $155 \sqrt[3]{150}$ , 5. $130 \sqrt{132}$ , 6. $6 \sqrt[4]{36}$ , 7. $652000 \sqrt{2}$ , 8. $155 \sqrt[3]{155}$ , 9. $625000 \sqrt{2}$ , 10. $1024 \sqrt{4}$ , 11. $625000 \sqrt{4}$ , 12. $281 \sqrt{17}$ , 13. $6 \sqrt[3]{36}$ , 14. $132 \sqrt{130}$ , 15. $1024 \sqrt{2}$ , 16. $132 \sqrt{132}$ , 17. $289 \sqrt{15}$ , 18. $289 \sqrt{17}$

RTAPl3iQyV35n

Ćwiczenie 9

1350000000000000

Możliwe odpowiedzi: 1.

1, 36 \cdot 10^{- 12}

, 2.

1, 35 \cdot 10^{15}

, 3.

1, 35 \cdot 10^{13}

, 4.

1, 36 \cdot 10^{14}

, 5.

1, 35 \cdot 10^{- 14}

, 6.

1, 35 \cdot 10^{- 12}

13500000000000

Możliwe odpowiedzi: 1.

1, 36 \cdot 10^{- 12}

, 2.

1, 35 \cdot 10^{15}

, 3.

1, 35 \cdot 10^{13}

, 4.

1, 36 \cdot 10^{14}

, 5.

1, 35 \cdot 10^{- 14}

, 6.

1, 35 \cdot 10^{- 12}

136000000000000

Możliwe odpowiedzi: 1.

1, 36 \cdot 10^{- 12}

, 2.

1, 35 \cdot 10^{15}

, 3.

1, 35 \cdot 10^{13}

, 4.

1, 36 \cdot 10^{14}

, 5.

1, 35 \cdot 10^{- 14}

, 6.

1, 35 \cdot 10^{- 12}

0, 0000000000000135

Możliwe odpowiedzi: 1.

1, 36 \cdot 10^{- 12}

, 2.

1, 35 \cdot 10^{15}

, 3.

1, 35 \cdot 10^{13}

, 4.

1, 36 \cdot 10^{14}

, 5.

1, 35 \cdot 10^{- 14}

, 6.

1, 35 \cdot 10^{- 12}

0, 00000000000136

Możliwe odpowiedzi: 1.

1, 36 \cdot 10^{- 12}

, 2.

1, 35 \cdot 10^{15}

, 3.

1, 35 \cdot 10^{13}

, 4.

1, 36 \cdot 10^{14}

, 5.

1, 35 \cdot 10^{- 14}

, 6.

1, 35 \cdot 10^{- 12}

0, 000000000001357

Możliwe odpowiedzi: 1.

1, 36 \cdot 10^{- 12}

, 2.

1, 35 \cdot 10^{15}

, 3.

1, 35 \cdot 10^{13}

, 4.

1, 36 \cdot 10^{14}

, 5.

1, 35 \cdot 10^{- 14}

, 6.

1, 35 \cdot 10^{- 12}

RCszLB7dxkh0N

Ćwiczenie 10

Rozwiąż podane równości. Wynik zapisz w notacji wykładniczej, a następnie uzupełnij poniższe luki. Kliknij w nie, aby rozwinąć listę, a następnie wybierz poprawną odpowiedź.

$(5, 3 \cdot 10^{9}) \cdot (1, 4 \cdot 10^{12})$ $=$ 1. $6 \cdot 10^{4}$ , 2. $1,82 \cdot 12^{42}$ , 3. $34,4 \cdot 10^{- 29}$ , 4. $9 \cdot 10^{6}$ , 5. $7,24 \cdot 10^{23}$ , 6. $4 \cdot 10^{- 5}$ , 7. $1,28 \cdot 10^{42}$ , 8. $2 \cdot 10^{- 7}$ , 9. $7,42 \cdot 10^{21}$ , 10. $34,8 \cdot 10^{- 26}$
$(6, 4 \cdot 10^{23}) \cdot (2 \cdot 10^{18})$ $=$ 1. $6 \cdot 10^{4}$ , 2. $1,82 \cdot 12^{42}$ , 3. $34,4 \cdot 10^{- 29}$ , 4. $9 \cdot 10^{6}$ , 5. $7,24 \cdot 10^{23}$ , 6. $4 \cdot 10^{- 5}$ , 7. $1,28 \cdot 10^{42}$ , 8. $2 \cdot 10^{- 7}$ , 9. $7,42 \cdot 10^{21}$ , 10. $34,8 \cdot 10^{- 26}$
$(8, 6 \cdot 10^{- 12}) \cdot (4 \cdot 10^{- 18})$ $=$ 1. $6 \cdot 10^{4}$ , 2. $1,82 \cdot 12^{42}$ , 3. $34,4 \cdot 10^{- 29}$ , 4. $9 \cdot 10^{6}$ , 5. $7,24 \cdot 10^{23}$ , 6. $4 \cdot 10^{- 5}$ , 7. $1,28 \cdot 10^{42}$ , 8. $2 \cdot 10^{- 7}$ , 9. $7,42 \cdot 10^{21}$ , 10. $34,8 \cdot 10^{- 26}$
$\frac{2,98 \cdot 10^{11}}{1,49 \cdot 10^{18}}$ $=$ 1. $6 \cdot 10^{4}$ , 2. $1,82 \cdot 12^{42}$ , 3. $34,4 \cdot 10^{- 29}$ , 4. $9 \cdot 10^{6}$ , 5. $7,24 \cdot 10^{23}$ , 6. $4 \cdot 10^{- 5}$ , 7. $1,28 \cdot 10^{42}$ , 8. $2 \cdot 10^{- 7}$ , 9. $7,42 \cdot 10^{21}$ , 10. $34,8 \cdot 10^{- 26}$
$\frac{3, 15 \cdot 10^{31}}{(2, 1 \cdot 10^{18}) \cdot (2, 5 \cdot 10^{8})}$ $=$ 1. $6 \cdot 10^{4}$ , 2. $1,82 \cdot 12^{42}$ , 3. $34,4 \cdot 10^{- 29}$ , 4. $9 \cdot 10^{6}$ , 5. $7,24 \cdot 10^{23}$ , 6. $4 \cdot 10^{- 5}$ , 7. $1,28 \cdot 10^{42}$ , 8. $2 \cdot 10^{- 7}$ , 9. $7,42 \cdot 10^{21}$ , 10. $34,8 \cdot 10^{- 26}$

RGZVKKkysPp1Y

Ćwiczenie 11

Dostępne opcje do wyboru:

2^{- 3}

{(\sqrt{2})}^{4}

{(- 2)}^{- 3}

{(0,5)}^{- 1}

64^{0}

{(0,5)}^{- 3}

{(- \sqrt{2})}^{8}

{(\frac{1}{2})}^{2}

{(- 2)}^{- 1}

{(\sqrt{2})}^{- 2}

. Polecenie: Uporządkuj w kolejności rosnącej. Przeciągnij odpowiednie wyrażenia w poprawne miejsca. luka do uzupełnienia

<

luka do uzupełnienia

<

luka do uzupełnienia

<

luka do uzupełnienia

<

luka do uzupełnienia

<

luka do uzupełnienia

<

luka do uzupełnienia

<

luka do uzupełnienia

<

luka do uzupełnienia

<

luka do uzupełnienia

R1Eo3sCC00aPw

Ćwiczenie 12

Zapisz w prostszej postaci. Uzupełnij równości, przeciągając w luki odpowiednie liczby lub kliknij w lukę i wybierz odpowiedź z listy rozwijalnej.

$\sqrt[3]{4^{4}} + \sqrt[3]{4}$ $=$ 1. $80 \sqrt{2}$ , 2. $5 \sqrt[3]{4}$ , 3. $15 \sqrt[2]{3}$ , 4. $80 \sqrt{5}$ , 5. $- 11 \sqrt[3]{9}$ , 6. $- 12 \sqrt[3]{6}$ , 7. $6 \sqrt[3]{2}$ , 8. $15 \sqrt[3]{3}$ , 9. $85 \sqrt{5}$ , 10. $60 \sqrt{2}$ , 11. $80 \sqrt{4}$ , 12. $3 \sqrt[3]{4}$ , 13. $85 \sqrt{6}$ , 14. $11 \sqrt[2]{9}$ , 15. $10 \sqrt[3]{6}$
$12 \sqrt{5^{3}} + \sqrt{5^{5}}$ $=$ 1. $80 \sqrt{2}$ , 2. $5 \sqrt[3]{4}$ , 3. $15 \sqrt[2]{3}$ , 4. $80 \sqrt{5}$ , 5. $- 11 \sqrt[3]{9}$ , 6. $- 12 \sqrt[3]{6}$ , 7. $6 \sqrt[3]{2}$ , 8. $15 \sqrt[3]{3}$ , 9. $85 \sqrt{5}$ , 10. $60 \sqrt{2}$ , 11. $80 \sqrt{4}$ , 12. $3 \sqrt[3]{4}$ , 13. $85 \sqrt{6}$ , 14. $11 \sqrt[2]{9}$ , 15. $10 \sqrt[3]{6}$
$\sqrt[3]{{- 9}^{4}} + 2 \sqrt[3]{- 9}$ $=$ 1. $80 \sqrt{2}$ , 2. $5 \sqrt[3]{4}$ , 3. $15 \sqrt[2]{3}$ , 4. $80 \sqrt{5}$ , 5. $- 11 \sqrt[3]{9}$ , 6. $- 12 \sqrt[3]{6}$ , 7. $6 \sqrt[3]{2}$ , 8. $15 \sqrt[3]{3}$ , 9. $85 \sqrt{5}$ , 10. $60 \sqrt{2}$ , 11. $80 \sqrt{4}$ , 12. $3 \sqrt[3]{4}$ , 13. $85 \sqrt{6}$ , 14. $11 \sqrt[2]{9}$ , 15. $10 \sqrt[3]{6}$
$\sqrt[3]{3^{7}} - 2 \sqrt[3]{{- 3}^{4}}$ $=$ 1. $80 \sqrt{2}$ , 2. $5 \sqrt[3]{4}$ , 3. $15 \sqrt[2]{3}$ , 4. $80 \sqrt{5}$ , 5. $- 11 \sqrt[3]{9}$ , 6. $- 12 \sqrt[3]{6}$ , 7. $6 \sqrt[3]{2}$ , 8. $15 \sqrt[3]{3}$ , 9. $85 \sqrt{5}$ , 10. $60 \sqrt{2}$ , 11. $80 \sqrt{4}$ , 12. $3 \sqrt[3]{4}$ , 13. $85 \sqrt{6}$ , 14. $11 \sqrt[2]{9}$ , 15. $10 \sqrt[3]{6}$
$\sqrt{2^{9}} + 2 \sqrt{2^{11}}$ $=$ 1. $80 \sqrt{2}$ , 2. $5 \sqrt[3]{4}$ , 3. $15 \sqrt[2]{3}$ , 4. $80 \sqrt{5}$ , 5. $- 11 \sqrt[3]{9}$ , 6. $- 12 \sqrt[3]{6}$ , 7. $6 \sqrt[3]{2}$ , 8. $15 \sqrt[3]{3}$ , 9. $85 \sqrt{5}$ , 10. $60 \sqrt{2}$ , 11. $80 \sqrt{4}$ , 12. $3 \sqrt[3]{4}$ , 13. $85 \sqrt{6}$ , 14. $11 \sqrt[2]{9}$ , 15. $10 \sqrt[3]{6}$

R14bwdDytfBLg

Ćwiczenie 13

Które z podanych liczb są liczbami naturalnymi?

Przeciągnij i upuść. liczby naturalne Możliwe odpowiedzi: 1.

\sqrt{576^{5}}

, 2.

12 \sqrt[3]{144^{12}}

, 3.

\sqrt[3]{69^{4}}

, 4.

\sqrt{1023^{101}}

, 5.

4 \sqrt[3]{49^{4}}

, 6.

\sqrt[3]{64^{4}}

, 7.

103 \sqrt{262^{36}}

, 8.

129 \sqrt{129^{10}}

, 9.

67 \sqrt{75^{67}}

, 10.

\sqrt[3]{28^{9}}

, 11.

\sqrt[3]{732^{20}}

, 12.

\sqrt[3]{{(- 654)}^{999}}

pozostałe liczby Możliwe odpowiedzi: 1.

\sqrt{576^{5}}

, 2.

12 \sqrt[3]{144^{12}}

, 3.

\sqrt[3]{69^{4}}

, 4.

\sqrt{1023^{101}}

, 5.

4 \sqrt[3]{49^{4}}

, 6.

\sqrt[3]{64^{4}}

, 7.

103 \sqrt{262^{36}}

, 8.

129 \sqrt{129^{10}}

, 9.

67 \sqrt{75^{67}}

, 10.

\sqrt[3]{28^{9}}

, 11.

\sqrt[3]{732^{20}}

, 12.

\sqrt[3]{{(- 654)}^{999}}

Które z podanych liczb są liczbami naturalnymi?

Przeciągnij i upuść.

liczby naturalne
pozostałe liczby

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Notatnik

Możesz skorzystać z poniższego pola tekstowego do zapisania swoich notatek, rozwiązań zadań i innych informacji, które uważasz za potrzebne.

R1b8OvSPUG8s3

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

6. Działania na pierwiastkach

Pierwiastki

7. O potęgach i pierwiastkach - podsumowanie

Notatnik