Przybliżeniem liczby dodatniej $a$ z ustaloną dokładnością $d>0$ jest każda liczba, która różni się od liczby $a$ o nie więcej niż $d$.

Przybliżenia wykorzystujemy często w obliczeniach procentowych.

RaGjH8IVqHEtn1

Animacja pokazująca w jakich sytuacjach możemy korzystać z przybliżeń.

Animacja pokazująca w jakich sytuacjach możemy korzystać z przybliżeń.

Film dostępny pod adresem /preview/resource/RaGjH8IVqHEtn

Animacja pokazująca w jakich sytuacjach możemy korzystać z przybliżeń.

Podamy przybliżenia dwóch  liczb.

1. $\sqrt{5}$

   Korzystając z kalkulatora, odczytujemy wartość liczby $\sqrt{5}$.

   $\sqrt{5}=2,236067977\dots$

   Przy tak sformułowanym poleceniu możemy podać różne poprawne odpowiedzi, np.:

   $\sqrt{5}\approx 2,23$

   $\sqrt{5}\approx 2,24$

   $\sqrt{5}\approx 2$

   $\sqrt{5}\approx 3$

   $\sqrt{5}\approx 2,236$

   $\sqrt{5}=2,23606$

2. $357,54$

   Tu również możemy podać wiele poprawnych odpowiedzi.

   $357,54\approx 357$

   $357,54\approx 357,55$

   $357,54\approx 357,5$

   $357,54\approx 357,6$

   $357,54\approx 360$

   $357,54\approx 350$

Podamy przybliżenie z niedomiarem liczby $\sqrt{5}$ z dokładnością do piątej cyfry po przecinku. Podajemy wartość liczby $\sqrt{5}$.

$\sqrt{5}=2,236067977\dots$

Jeśli chcemy podać przybliżenie tej liczby z niedomiarem, to zostawiamy pierwsze pięć cyfr po przecinku, a pozostałe odrzucamy.

$\sqrt{5}\approx 2,23606$

Podamy przybliżenie z nadmiarem liczby $\sqrt{5}$ z dokładnością do piątej cyfry po przecinku.

Podajemy wartość liczby $\sqrt{5}$.

$\sqrt{5}=2,236067977\dots$

Podając przybliżenie tej liczby z nadmiarem, odrzucamy wszystkie cyfry od szóstego miejsca po przecinku i jednocześnie zwiększając o jeden ostatnią nieodrzuconą cyfrę.

$\sqrt{5}\approx 2,23607$

Warto zauważyć, że wykonując działania na mniej dokładnych przybliżeniach możemy otrzymać inny wynik, np: $\sqrt{2}+\sqrt{3}\approx 1,41+1,73=3,14$, podczas gdy: $\sqrt{2}+\sqrt{3}\approx 1,414+1,732=3,146\approx 3,15$

Często używamy przybliżonych wartości np. w pomiarach różnych wielkości fizycznych i chemicznych,  czy też w księgowości.

Należy pomalować lakierem podłogę w prostokątnym pokoju o wymiarach $\mathrm{5,9}\mathrm{ m}$ i  $\mathrm{4,35}\mathrm{ m}$. Powierzchnia podłogi jest równa $\mathrm{5,9} \mathrm{m}·\mathrm{4,35} \mathrm{m}=\mathrm{25,665} {\mathrm{m}}^2$. W celu oszacowania, ile lakieru należy kupić, możemy przyjąć, że powierzchnia podłogi jest równa $26 {\mathrm{m}}^2$. Pomylimy się wtedy o $\mathrm{0,335} {\mathrm{m}}^2$.

Jest  to błąd przybliżenia.

Prostokątną podłogę balkonu zmierzono taśmą mierniczą z dokładnością do $1\mathrm{ cm}$. Określono, że podłoga ma wymiary $250\mathrm{ cm}$ na $145\mathrm{ cm}$. Na tej podstawie obliczono, że pole powierzchni podłogi jest równe $250 \mathrm{cm}·145 \mathrm{cm}=36250{\mathrm{cm}}^2$. Jaki największy błąd  mógł być popełniony?

Ponieważ pomiaru dokonano taśmą z podziałką centymetrową, zatem możliwy błąd popełniony przy pomiarze długości każdego z boków wynosi $1\mathrm{ cm}$ (z nadmiarem lub z niedomiarem).

Zatem największy możliwy błąd  jest równy $396 {\mathrm{cm}}^2$.

Prostokątna podłoga w sali gimnastycznej długości $\mathrm{24,1}\mathrm{ m}$ i szerokości $\mathrm{10,65}\mathrm{ m}$ wymaga wymiany parkietu. Dokładne pole powierzchni podłogi tej sali jest równe

$\mathrm{24,1} \mathrm{m}·\mathrm{10,65} \mathrm{m}=256,665 {\mathrm{m}}^2$

Jeśli przyjmiemy, że pole powierzchni jest równe $257 {\mathrm{m}}^2$, to popełniony przez nas błąd  będzie równy $257 {\mathrm{m}}^2-\mathrm{256,665} {\mathrm{m}}^2=0,335 {\mathrm{m}}^2$, czyli dokładnie tyle samo, ile błąd obliczony w siódmym przykładzie.

Podamy przybliżenia i zaokrąglenia liczb $154,258$ oraz $2582$.

Rozwiązanie

Możemy więc podać kilka liczb, które są przybliżeniami danej liczby, ale tylko jedna z nich jest zaokrągleniem liczby.

Cena netto zestawu akcesoriów rowerowych jest równa $\mathrm{155,60}\mathrm{ zł}$. Aby otrzymać cenę brutto, musimy doliczyć jeszcze $23\%$ podatku VAT. Zatem cena brutto jest równa

$\mathrm{155,6} \mathrm{z}\mathrm{ł} ·\mathrm{1,23}=\mathrm{191,388} \mathrm{z}\mathrm{ł}$

Jest to wartość dokładna. Ponieważ najmniejszą jednostką monetarną w Polsce jest $1$grosz, to obliczoną cenę musimy zaokrąglić do drugiego miejsca po przecinku.

$\mathrm{191,388} \mathrm{z}\mathrm{ł}\approx \mathrm{191,39} \mathrm{z}\mathrm{ł}$

W rozliczeniach podatku PIT stosuje się zasadę, że ostateczna kwota należnego podatku zaokrąglana jest do pełnych złotych.

Jeśli zatem obliczony podatek jest równy $\mathrm{8562,15}\mathrm{ zł}$, to po prawidłowym zaokrągleniu będzie równy $8562\mathrm{ zł}$, natomiast jeśli obliczony podatek jest równy $\mathrm{8562,78}\mathrm{ zł}$, to po zaokrągleniu będzie równy $8563 \mathrm{z}\mathrm{ł}$.

Główny Urząd Statystyczny podaje, że w $2012$ roku w Polsce mieszkało $\mathrm{38,54}\mathrm{ mln}$ ludzi. Jest to oczywiście wielkość przybliżona, ponieważ niemożliwe jest podanie liczby ludności kraju z dokładnością do $1$ osoby.

Jeśli zachodzi taka konieczność, możemy zaokrąglać duże liczby do zadanego rzędu.

Np. liczba $65 846 236$ może być zapisana z dokładnością do:

Ze względów praktycznych tak zaokrąglone liczby możemy zapisać w skrócie: $66\mathrm{ mln}$ lub $\mathrm{65,8}\mathrm{ mln}$ lub $\mathrm{65,85}\mathrm{ mln}$.

• Zaokrąglimy liczbę $\sqrt{37}$ do części tysięcznych, czyli do trzeciego miejsca po przecinku. Rozwinięcie dziesiętne liczby$\sqrt{37}$ to $\mathrm{6,0827625}\dots$ .  Zatem zaokrągleniem liczby $\sqrt{37}$ do części tysięcznych jest liczba $\mathrm{6,083}$.

$\sqrt{37}\approx \mathrm{6,083}$

Bardzo często używanym w praktyce przybliżeniem liczby $\pi$ z dokładnością do dwóch miejsc po przecinku jest liczba $\mathrm{3,14}$. Jest to liczba mniejsza od $\pi$.  Jest to przybliżenie z niedomiarem. Archimedes ($\mathrm{III}$ w. p.n.e) w obliczeniach przyjmował, że stosunek długości okręgu do jego średnicy (a więc liczba $\pi$) jest równy $\frac{22}{7}$, czyli $\mathrm{3,142857142857}\dots$ . Jest to liczba większa od $\pi$, a więc jest przybliżeniem liczby $\pi$ z nadmiarem. Dokładność tego przybliżenia jest mniejsza od $\mathrm{0,01}$ ale większa od $\mathrm{0,001}$.

Zwróć uwagę, że nie każde przybliżenie jest zaokrągleniem. Liczba $\frac{22}{7}$ jest przybliżeniem liczby $\pi$, ale nie jest jej zaokrągleniem.