3. O liczbach wymiernych i niewymiernych - podsumowanie - Działania na liczbach wymiernych i niewymiernych

RVEdGDq74P7AW

3. O liczbach wymiernych i niewymiernych - podsumowanie

Starożytni pitagorejczycy uważali, że świat jest uporządkowany i racjonalny, gdyż rządzą nim liczby. Liczby wymierne. Bez nich wszystko byłoby bezkresne, niepojęte i chaotyczne. Według legendy jeden ze zwolenników Pitagorasa, Hippazos z Metapontu, odkrył, że istnieją liczby, które nie są wymierne. Dowiódł on, że przekątna kwadratu o boku równym 1 jest liczbą, której nie da się wyrazić za pomocą ułamka zwykłego.

To zdumiewające odkrycie ogłosił w czasie przeprawy łodzią przez Morze Śródziemne. Legenda głosi, iż jego towarzysze tak się zdenerwowali, że wyrzucili go za burtę i nieszczęśnik utonął. Bardziej prawdopodobne natomiast jest, że został po prostu wykluczony z grona zwolenników zgromadzonych wokół Pitagorasa.

RVzGTsLGweSlP1

Ilustracja przedstawia informację na temat pochodzenia terminów : „Liczba wymierna” i „Liczba niewymierna”. Na tle ”. kolorowej przestrzennej kompozycji wykonanej z perforowanych bloczków rozmieszczone są cztery prostokąty wewnątrz, których umieszczono napisy. W górnej lewej części znajduje się czerwony prostokąt, w którym znajduje się tekst :LICZBA WYMIERNA”. Obok niego z prawej strony, na tym samym poziomie umieszczony został jasnoszary prostokąt, w który wpisano wytłumaczenie pochodzenia tego terminu: „(ANG.) RATIONAL NUMBER OD ŁACIŃSKIEGO”RATIONALIS”, CZYLI ROZUMOWY, RACJONALNY, ROZSĄDNY”. Poniżej czerwonego prostokąta znajduje się niebieski prostokąt w którym znajduje się tekst : „LICZBA NIEWYMIERNA”. Obok niego z prawej strony, na tym samym poziomie umieszczony został jasnoszary prostokąt, w który wpisano wytłumaczenie pochodzenia nazwy liczby niewymiernej: „(ANG.) IRRATIONAL NUMBER OD ŁACIŃSKIEGO”IRRATIONALIS”, CZYLI BEZROZUMNY, BEZSENSOWNY”. — Źródło: Eduexpert Sp. z o.o. / Evaco Sp. z o.o., licencja: CC BY 3.0.

W tym materiale zajmiemy się rozwijaniem umiejętności rachunkowych. Będziemy wykonywać obliczenia na liczbach wymiernych i niewymiernych.

Ważne!

Liczby całkowite to liczby naturalne, liczby do nich przeciwne i liczba zero.

Zimą możemy zaobserwować, że temperatura powietrza spada poniżej $0 ° C$ . Mówimy wówczas, że jest równa na przykład $- 5 ° C$ , $- 12, 5 ° C$ , $- 12 ° C$ . Liczby, za pomocą których zapisana jest ta temperatura, nazywamy ujemnymi.

RhJNFKxRAWvov1

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Liczba wymierna

Definicja: Liczba wymierna

Liczba wymierna to liczba, którą można przedstawić w postaci ułamka $\frac{a}{b}$ , gdzie $a$ i $b$ są liczbami całkowitymi i $b \neq 0$ .

Liczby wymierne mogą być zatem ujemne lub dodatnie. Do liczb wymiernych zaliczamy też zero. Zero nie jest liczbą ani dodatnią, ani ujemną.

Liczby wymierne

Własność: Liczby wymierne

Liczbami wymiernymi są liczby naturalne, całkowite i ułamki.

Rh6SR8f4S05Vd1

Ilustracja przedstawia przykłady liczb wymiernych umieszczone w zbiorze będącym elipsą. Liczby te to: minus pięć, zero, siedem ósmych, trzy i siedem dziesiątych, dwa i trzy czwarte, 24, minus jedna druga. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Do liczb niewymiernych zaliczamy na przykład niektóre pierwiastki i znaną ci z lekcji geometrii liczbę $π$ .

Jeśli w wyrażeniu arytmetycznym występują liczby wymierne i niewymierne, kolejność wykonywania działań jest analogiczna, jak na liczbach wymiernych.

Najpierw wykonujemy działania w nawiasach. Następnie potęgowanie i pierwiastkowanie. Dalej mnożenie i dzielenie w kolejności występowania od lewej do prawej. Na końcu dodawanie i odejmowanie również w kolejności występowania od lewej do prawej.

Poniższe ćwiczenia pozwolą ci na utrwalenie umiejętności obliczania wartości wyrażeń zbudowanych tylko z liczb wymiernych oraz z liczb wymiernych i pierwiastków.

Pierwsze ćwiczenie to zastosowanie kolejności wykonywania działań na liczbach naturalnych.

R1L9mtz1MSwp8

Ćwiczenie 1

Połącz w pary wyrażenie z jego wartością liczbową. Pamiętaj o kolejności wykonywania działań.

63 : 7 - 2 \cdot 3 + 4

Możliwe odpowiedzi: 1.

71

, 2.

104

, 3.

175

, 4.

100

, 5.

7

, 6.

81

, 7.

100

75 + 25 \cdot 4

Możliwe odpowiedzi: 1.

71

, 2.

104

, 3.

175

, 4.

100

, 5.

7

, 6.

81

, 7.

100

96 - 48 : 6 + 3 \cdot 4

Możliwe odpowiedzi: 1.

71

, 2.

104

, 3.

175

, 4.

100

, 5.

7

, 6.

81

, 7.

100

2^{3} + 7 \cdot 3^{2}

Możliwe odpowiedzi: 1.

71

, 2.

104

, 3.

175

, 4.

100

, 5.

7

, 6.

81

, 7.

100

12 \cdot 3^{2} - 200 : 50

Możliwe odpowiedzi: 1.

71

, 2.

104

, 3.

175

, 4.

100

, 5.

7

, 6.

81

, 7.

100

{(7 \cdot 2 - 10)}^{3} + 36

Możliwe odpowiedzi: 1.

71

, 2.

104

, 3.

175

, 4.

100

, 5.

7

, 6.

81

, 7.

100

72 : 8 \cdot 9

Możliwe odpowiedzi: 1.

71

, 2.

104

, 3.

175

, 4.

100

, 5.

7

, 6.

81

, 7.

100

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Teraz wykonaj działania na ułamkach.

R14b67cMrd4ZX

Ćwiczenie 2

Oblicz, a następnie uzupełnij równości, przeciągając w luki odpowiednie liczby lub kliknij w lukę i wybierz odpowiedź z listy rozwijalnej.

1 \frac{7}{15} + 8 \frac{1}{5} =

3 \frac{1}{3}

, 2.

24 \frac{5}{6}

, 3.

9 \frac{2}{3}

, 4.

1 \frac{11}{12}

, 5.

10

, 6.

4 \frac{5}{18}

, 7.

14

, 8.

8 \frac{14}{15}

, 9.

14 \frac{53}{60}

, 10.

4 \frac{3}{5}

, 11.

6 \frac{5}{3}

, 12.

7

, 13.

5

1 \frac{3}{8} + 4 \frac{5}{6} =

3 \frac{1}{3}

, 2.

24 \frac{5}{6}

, 3.

9 \frac{2}{3}

, 4.

1 \frac{11}{12}

, 5.

10

, 6.

4 \frac{5}{18}

, 7.

14

, 8.

8 \frac{14}{15}

, 9.

14 \frac{53}{60}

, 10.

4 \frac{3}{5}

, 11.

6 \frac{5}{3}

, 12.

7

, 13.

5

5 \frac{4}{9} - 1 \frac{1}{6} =

3 \frac{1}{3}

, 2.

24 \frac{5}{6}

, 3.

9 \frac{2}{3}

, 4.

1 \frac{11}{12}

, 5.

10

, 6.

4 \frac{5}{18}

, 7.

14

, 8.

8 \frac{14}{15}

, 9.

14 \frac{53}{60}

, 10.

4 \frac{3}{5}

, 11.

6 \frac{5}{3}

, 12.

7

, 13.

5

9 \frac{2}{3} - 7 \frac{3}{4} =

3 \frac{1}{3}

, 2.

24 \frac{5}{6}

, 3.

9 \frac{2}{3}

, 4.

1 \frac{11}{12}

, 5.

10

, 6.

4 \frac{5}{18}

, 7.

14

, 8.

8 \frac{14}{15}

, 9.

14 \frac{53}{60}

, 10.

4 \frac{3}{5}

, 11.

6 \frac{5}{3}

, 12.

7

, 13.

5

23 \frac{5}{12} - 8 \frac{8}{15} =

3 \frac{1}{3}

, 2.

24 \frac{5}{6}

, 3.

9 \frac{2}{3}

, 4.

1 \frac{11}{12}

, 5.

10

, 6.

4 \frac{5}{18}

, 7.

14

, 8.

8 \frac{14}{15}

, 9.

14 \frac{53}{60}

, 10.

4 \frac{3}{5}

, 11.

6 \frac{5}{3}

, 12.

7

, 13.

5

8 \frac{1}{2} + (1 \frac{3}{4} - \frac{1}{6} - \frac{1}{12}) =

3 \frac{1}{3}

, 2.

24 \frac{5}{6}

, 3.

9 \frac{2}{3}

, 4.

1 \frac{11}{12}

, 5.

10

, 6.

4 \frac{5}{18}

, 7.

14

, 8.

8 \frac{14}{15}

, 9.

14 \frac{53}{60}

, 10.

4 \frac{3}{5}

, 11.

6 \frac{5}{3}

, 12.

7

, 13.

5

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R1UEEaPyN3ZlG

Ćwiczenie 3

Oblicz, a następnie uzupełnij równości, przeciągając w luki odpowiednie liczby lub kliknij w lukę i wybierz odpowiedź z listy rozwijalnej.

\frac{3}{5} \cdot \frac{5}{9} =

10

, 2.

2 \frac{3}{4}

, 3.

7

, 4.

\frac{1}{3}

, 5.

2 \frac{1}{6}

, 6.

1 \frac{1}{4}

, 7.

12

, 8.

5 \frac{1}{3}

, 9.

14

, 10.

3 \frac{11}{15}

, 11.

11

5 \frac{1}{2} \cdot \frac{5}{22} =

10

, 2.

2 \frac{3}{4}

, 3.

7

, 4.

\frac{1}{3}

, 5.

2 \frac{1}{6}

, 6.

1 \frac{1}{4}

, 7.

12

, 8.

5 \frac{1}{3}

, 9.

14

, 10.

3 \frac{11}{15}

, 11.

11

4 \frac{2}{3} \cdot 2 \frac{5}{14} =

10

, 2.

2 \frac{3}{4}

, 3.

7

, 4.

\frac{1}{3}

, 5.

2 \frac{1}{6}

, 6.

1 \frac{1}{4}

, 7.

12

, 8.

5 \frac{1}{3}

, 9.

14

, 10.

3 \frac{11}{15}

, 11.

11

2 \frac{1}{4} \cdot 1 \frac{1}{3} \cdot 1 \frac{7}{9} =

10

, 2.

2 \frac{3}{4}

, 3.

7

, 4.

\frac{1}{3}

, 5.

2 \frac{1}{6}

, 6.

1 \frac{1}{4}

, 7.

12

, 8.

5 \frac{1}{3}

, 9.

14

, 10.

3 \frac{11}{15}

, 11.

11

1 \frac{1}{5} \cdot 3 \frac{1}{8} \cdot 3 \frac{1}{5} =

10

, 2.

2 \frac{3}{4}

, 3.

7

, 4.

\frac{1}{3}

, 5.

2 \frac{1}{6}

, 6.

1 \frac{1}{4}

, 7.

12

, 8.

5 \frac{1}{3}

, 9.

14

, 10.

3 \frac{11}{15}

, 11.

11

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Rs4fFusrBJjuC

Ćwiczenie 4

Oblicz, a następnie uzupełnij równości, przeciągając w luki odpowiednie liczby lub kliknij w lukę i wybierz odpowiedź z listy rozwijalnej.

\frac{3}{4} : \frac{5}{8} =

7

, 2.

1 \frac{4}{5}

, 3.

3 \frac{1}{2}

, 4.

1 \frac{1}{5}

, 5.

4 \frac{4}{7}

, 6.

2 \frac{1}{2}

, 7.

2 \frac{2}{3}

, 8.

2

, 9.

\frac{7}{8}

, 10.

\frac{1}{3}

, 11.

\frac{2}{3}

, 12.

2 \frac{3}{5}

, 13.

2 \frac{1}{4}

1 \frac{1}{5} : \frac{8}{15} =

7

, 2.

1 \frac{4}{5}

, 3.

3 \frac{1}{2}

, 4.

1 \frac{1}{5}

, 5.

4 \frac{4}{7}

, 6.

2 \frac{1}{2}

, 7.

2 \frac{2}{3}

, 8.

2

, 9.

\frac{7}{8}

, 10.

\frac{1}{3}

, 11.

\frac{2}{3}

, 12.

2 \frac{3}{5}

, 13.

2 \frac{1}{4}

1 \frac{2}{9} : 1 \frac{5}{6} =

7

, 2.

1 \frac{4}{5}

, 3.

3 \frac{1}{2}

, 4.

1 \frac{1}{5}

, 5.

4 \frac{4}{7}

, 6.

2 \frac{1}{2}

, 7.

2 \frac{2}{3}

, 8.

2

, 9.

\frac{7}{8}

, 10.

\frac{1}{3}

, 11.

\frac{2}{3}

, 12.

2 \frac{3}{5}

, 13.

2 \frac{1}{4}

4 \frac{2}{3} : 1 \frac{3}{4} =

7

, 2.

1 \frac{4}{5}

, 3.

3 \frac{1}{2}

, 4.

1 \frac{1}{5}

, 5.

4 \frac{4}{7}

, 6.

2 \frac{1}{2}

, 7.

2 \frac{2}{3}

, 8.

2

, 9.

\frac{7}{8}

, 10.

\frac{1}{3}

, 11.

\frac{2}{3}

, 12.

2 \frac{3}{5}

, 13.

2 \frac{1}{4}

5 \frac{5}{8} : 2 \frac{1}{4} =

7

, 2.

1 \frac{4}{5}

, 3.

3 \frac{1}{2}

, 4.

1 \frac{1}{5}

, 5.

4 \frac{4}{7}

, 6.

2 \frac{1}{2}

, 7.

2 \frac{2}{3}

, 8.

2

, 9.

\frac{7}{8}

, 10.

\frac{1}{3}

, 11.

\frac{2}{3}

, 12.

2 \frac{3}{5}

, 13.

2 \frac{1}{4}

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R136od1PfbIF9

Ćwiczenie 5

Oblicz, a następnie uzupełnij równości, przeciągając w luki odpowiednie liczby lub kliknij w lukę i wybierz odpowiedź z listy rozwijalnej.

3 \cdot 1 \frac{1}{6} + 4 : 1 \frac{1}{3} =

\frac{3}{5}

, 2.

1 \frac{1}{2}

, 3.

4 \frac{3}{7}

, 4.

\frac{2}{3}

, 5.

6 \frac{1}{2}

, 6.

\frac{1}{2}

, 7.

6 \frac{1}{2}

, 8.

5 \frac{1}{3}

, 9.

\frac{4}{9}

(\frac{3}{8} + 1 \frac{1}{2}) : 1 \frac{1}{4} =

\frac{3}{5}

, 2.

1 \frac{1}{2}

, 3.

4 \frac{3}{7}

, 4.

\frac{2}{3}

, 5.

6 \frac{1}{2}

, 6.

\frac{1}{2}

, 7.

6 \frac{1}{2}

, 8.

5 \frac{1}{3}

, 9.

\frac{4}{9}

{(2 \frac{1}{3} - 1 \frac{1}{2})}^{2} \cdot \frac{18}{25} =

\frac{3}{5}

, 2.

1 \frac{1}{2}

, 3.

4 \frac{3}{7}

, 4.

\frac{2}{3}

, 5.

6 \frac{1}{2}

, 6.

\frac{1}{2}

, 7.

6 \frac{1}{2}

, 8.

5 \frac{1}{3}

, 9.

\frac{4}{9}

1 \frac{4}{5} : (4 \frac{2}{5} - 1 \frac{7}{10}) =

\frac{3}{5}

, 2.

1 \frac{1}{2}

, 3.

4 \frac{3}{7}

, 4.

\frac{2}{3}

, 5.

6 \frac{1}{2}

, 6.

\frac{1}{2}

, 7.

6 \frac{1}{2}

, 8.

5 \frac{1}{3}

, 9.

\frac{4}{9}

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R4TYlhyMGj5e9

Ćwiczenie 6

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R1MFzT9ODiDKJ

Ćwiczenie 7

Oblicz wartość wyrażenia. Jeśli to możliwe, obliczenia wykonuj na liczbach dziesiętnych. Uzupełnij równości, przeciągając w luki odpowiednie liczby lub kliknij w lukę i wybierz odpowiedź z listy rozwijalnej.

43, 7 + 2 \frac{3}{5} =

12, 5

, 2.

3, 55

, 3.

0, 97

, 4.

17, 26

, 5.

2, 2

, 6.

58, 1

, 7.

0, 4

, 8.

6, 65

, 9.

10, 3

, 10.

46, 3

, 11.

34, 2

, 12.

1, 4

, 13.

25, 95

16, 4 - 9 \frac{3}{4} =

12, 5

, 2.

3, 55

, 3.

0, 97

, 4.

17, 26

, 5.

2, 2

, 6.

58, 1

, 7.

0, 4

, 8.

6, 65

, 9.

10, 3

, 10.

46, 3

, 11.

34, 2

, 12.

1, 4

, 13.

25, 95

3, 3 : 1 \frac{1}{2} =

12, 5

, 2.

3, 55

, 3.

0, 97

, 4.

17, 26

, 5.

2, 2

, 6.

58, 1

, 7.

0, 4

, 8.

6, 65

, 9.

10, 3

, 10.

46, 3

, 11.

34, 2

, 12.

1, 4

, 13.

25, 95

1 \frac{5}{9} \cdot 0, 9 =

12, 5

, 2.

3, 55

, 3.

0, 97

, 4.

17, 26

, 5.

2, 2

, 6.

58, 1

, 7.

0, 4

, 8.

6, 65

, 9.

10, 3

, 10.

46, 3

, 11.

34, 2

, 12.

1, 4

, 13.

25, 95

1 \frac{3}{8} : 0, 11 =

12, 5

, 2.

3, 55

, 3.

0, 97

, 4.

17, 26

, 5.

2, 2

, 6.

58, 1

, 7.

0, 4

, 8.

6, 65

, 9.

10, 3

, 10.

46, 3

, 11.

34, 2

, 12.

1, 4

, 13.

25, 95

\frac{2}{3} \cdot 2, 4 - 2, 2 : 1 \frac{5}{6} =

12, 5

, 2.

3, 55

, 3.

0, 97

, 4.

17, 26

, 5.

2, 2

, 6.

58, 1

, 7.

0, 4

, 8.

6, 65

, 9.

10, 3

, 10.

46, 3

, 11.

34, 2

, 12.

1, 4

, 13.

25, 95

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R1HGiVdQzBf7s

Ćwiczenie 8

Dopasuj wyrażenia z nawiasami tak, aby równości były prawdziwe. Uzupełnij je, przeciągając w luki odpowiednie wyrażenia lub kliknij w lukę i wybierz odpowiedź z listy rozwijalnej. 1.

(24 \frac{4}{5} - 12 \frac{3}{5}) \cdot (0, 5 + 0, 3) : 0, 5

, 2.

4 \cdot 45, 5 + (193, 2 - 3, 3)

, 3.

4 \cdot (45, 5 + 193, 2) - 3, 3

, 4.

0, 75 \cdot (5, 8 + 2, 4) \cdot 4 - 30 \cdot \frac{1}{2}

, 5.

(24 \frac{4}{5} - 12 \frac{3}{5}) \cdot 0, 5 + (0, 3 : 0, 5)

, 6.

(5, 3 + 3, 7) : 0, 3 + \frac{1}{5} \cdot 2 \frac{1}{2}

, 7.

0, 75 \cdot 5, 8 + 2, 4 \cdot (4 - 30) \cdot \frac{1}{2}

, 8.

5, 3 + 3, 7 : (0, 3 + \frac{1}{5}) \cdot 2 \frac{1}{2}

= 951, 5

(24 \frac{4}{5} - 12 \frac{3}{5}) \cdot (0, 5 + 0, 3) : 0, 5

, 2.

4 \cdot 45, 5 + (193, 2 - 3, 3)

, 3.

4 \cdot (45, 5 + 193, 2) - 3, 3

, 4.

0, 75 \cdot (5, 8 + 2, 4) \cdot 4 - 30 \cdot \frac{1}{2}

, 5.

(24 \frac{4}{5} - 12 \frac{3}{5}) \cdot 0, 5 + (0, 3 : 0, 5)

, 6.

(5, 3 + 3, 7) : 0, 3 + \frac{1}{5} \cdot 2 \frac{1}{2}

, 7.

0, 75 \cdot 5, 8 + 2, 4 \cdot (4 - 30) \cdot \frac{1}{2}

, 8.

5, 3 + 3, 7 : (0, 3 + \frac{1}{5}) \cdot 2 \frac{1}{2}

= 19, 52

(24 \frac{4}{5} - 12 \frac{3}{5}) \cdot (0, 5 + 0, 3) : 0, 5

, 2.

4 \cdot 45, 5 + (193, 2 - 3, 3)

, 3.

4 \cdot (45, 5 + 193, 2) - 3, 3

, 4.

0, 75 \cdot (5, 8 + 2, 4) \cdot 4 - 30 \cdot \frac{1}{2}

, 5.

(24 \frac{4}{5} - 12 \frac{3}{5}) \cdot 0, 5 + (0, 3 : 0, 5)

, 6.

(5, 3 + 3, 7) : 0, 3 + \frac{1}{5} \cdot 2 \frac{1}{2}

, 7.

0, 75 \cdot 5, 8 + 2, 4 \cdot (4 - 30) \cdot \frac{1}{2}

, 8.

5, 3 + 3, 7 : (0, 3 + \frac{1}{5}) \cdot 2 \frac{1}{2}

= 30, 5

(24 \frac{4}{5} - 12 \frac{3}{5}) \cdot (0, 5 + 0, 3) : 0, 5

, 2.

4 \cdot 45, 5 + (193, 2 - 3, 3)

, 3.

4 \cdot (45, 5 + 193, 2) - 3, 3

, 4.

0, 75 \cdot (5, 8 + 2, 4) \cdot 4 - 30 \cdot \frac{1}{2}

, 5.

(24 \frac{4}{5} - 12 \frac{3}{5}) \cdot 0, 5 + (0, 3 : 0, 5)

, 6.

(5, 3 + 3, 7) : 0, 3 + \frac{1}{5} \cdot 2 \frac{1}{2}

, 7.

0, 75 \cdot 5, 8 + 2, 4 \cdot (4 - 30) \cdot \frac{1}{2}

, 8.

5, 3 + 3, 7 : (0, 3 + \frac{1}{5}) \cdot 2 \frac{1}{2}

= 9, 6

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Do liczb wymiernych zaliczamy też liczby całkowite. Wykonaj działania na takich liczbach.

R17lauAreg1gW

Ćwiczenie 9

Oblicz, a następnie uzupełnij poniższe równości, wpisując w luki odpowiednie liczby.

- 43 + 74

=

Tu uzupełnij

- 15 + (- 7)

=

Tu uzupełnij

18 + (- 11)

=

Tu uzupełnij

- 12 + (- 20) + (- 35)

=

Tu uzupełnij

0 - 52

=

Tu uzupełnij

- 17 - 13

=

Tu uzupełnij

14 - 38

=

Tu uzupełnij

- 5 - 6 - 17

=

Tu uzupełnij

20 - 31 - 49

=

Tu uzupełnij

- 16 - (- 6)

=

Tu uzupełnij

38 - (- 32)

=

Tu uzupełnij

- 35 - (- 35) - 41 - (- 41)

=

Tu uzupełnij

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RDNUeBOG3l0Ol

Ćwiczenie 10

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R1N7d5H0oVwHJ

Ćwiczenie 11

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Przypomnij sobie, jak wykonujemy działania na pierwiastkach, analizując poniższy przykład.

Przykład 1

Podamy przykłady par liczb niewymiernych, dla których iloczyn, iloraz, suma i różnica są liczbami wymiernymi, oraz par liczb niewymiernych, dla których iloczyn, iloraz, suma i różnica są liczbami niewymiernymi.

Przykłady par liczb niewymiernych, dla których suma, różnica, iloczyn i iloraz są liczbami niewymiernymi	Przykłady par liczb niewymiernych, dla których suma, różnica, iloczyn i iloraz są liczbami wymiernymi
$\sqrt{2} + \sqrt{2} = 2 \sqrt{2}$	$(1 + \sqrt{2}) + (1 - \sqrt{2}) = 2$
$2 \sqrt{2} - \sqrt{2} = \sqrt{2}$	$(1 + \sqrt{2}) - \sqrt{2} = 1$
$\sqrt{2} \cdot \sqrt{3} = \sqrt{2 \cdot 3} = \sqrt{6}$	$\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = \sqrt{3 \cdot 3} = \sqrt{9} = 3$
$\sqrt{10} : \sqrt{2} = \sqrt{10 : 2} = \sqrt{5}$	$\sqrt{8} : \sqrt{2} = \sqrt{8 : 2} = \sqrt{4} = 2$

R1PYE7cqo1Wsy

Ćwiczenie 12

R1BVUYOUA4wdK

Ćwiczenie 13

Przyporządkuj poszczególnym przekształceniom nazwy własności, na podstawie których je wykonano. Przekształcenie dotyczy nastepującego iloczynu:

(\sqrt[3]{2} - 2) (\sqrt[3]{3} + 3) =

. Etap pierwszy:

\sqrt[3]{3} \cdot (\sqrt[3]{2} - 2) + 3 \cdot (\sqrt[3]{2} - 2) =

. Zastosowano tu własność. Możliwe do wyboru własności: a) rozdzielność mnożenia względem odejmowania; b) rozdzielność mnożenia względem dodawania; c) rozdzielność pierwiastkowania względem mnożenia. Etap drugi:

\sqrt[3]{3} \cdot \sqrt[3]{2} - 2 \sqrt[3]{3} + 3 \sqrt[3]{2} - 3 \cdot 2 =

\sqrt[3]{6} - 2 \sqrt[3]{3} + 3 \sqrt[3]{2} - 6

Rj5Z04pS3LCiw

Ćwiczenie 14

Rozwiąż test. Wskaż wszystkie poprawne odpowiedzi. 1. Wyrażenie

\sqrt[3]{5} \cdot (\sqrt[3]{5} + \sqrt[3]{25})

jest równe: Możliwe odpowiedzi: a)

\sqrt[3]{25} + \sqrt[3]{125}

; b)

(5 + \sqrt[3]{625}) : \sqrt[3]{5}

; c)

\sqrt[3]{25} + 5

. 2. Wyrażenie

\sqrt[5]{4} \cdot (\sqrt[5]{8} + \sqrt[5]{16})

jest równe: Możliwe odpowiedzi: a)

\sqrt[10]{32} + \sqrt[10]{64}

; b)

2 + 2 \sqrt[5]{2}

; c)

\sqrt[25]{32} + \sqrt[25]{64}

. 3. Wyrażenie

(\sqrt[4]{3} - \sqrt[4]{27}) \cdot \sqrt[4]{3}

jest równe: Możliwe odpowiedzi: a)

\sqrt[4]{9} - 3

; b)

\sqrt{3} - 3

; c)

\sqrt[4]{9} - \sqrt[4]{81}

. 4. Wyrażenie

(\sqrt[4]{9} - \sqrt[4]{27}) \cdot \sqrt[4]{9}

jest równe: Możliwe odpowiedzi: a)

\sqrt[8]{9} - \sqrt[8]{243}

; b)

\sqrt[16]{9} - \sqrt[16]{243}

; c)

3 - 3 \sqrt[4]{3}

Rozwiąż zadania tekstowe, wymagające wykonania obliczeń rachunkowych.

R1acu8h5rJEoQ

Ćwiczenie 15

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 16

R1RjsOZWcYSF9

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Zacznij od obliczenia długości drogi jaką pokonał pociąg jadąc z prędkością $125 \frac{km}{h}$ oraz $115 \frac{km}{h}$ . Dodaj do siebie otrzymane wyniki.

Ćwiczenie 17

Rszv2i60se5b9

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Aby poznać odpowiedź, oblicz wartość wyrażenia $270 \cdot \frac{7}{9} \cdot \frac{1}{2}$ .

R1LV2NwRVeIPP

Ćwiczenie 18

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 19

R5D8nmEjY4LxH

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 20

RydCOTUYAfGgV

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Zacznij od obliczenia kwoty jaką Jola wydała na zakupy, a następnie wyznacz jaki to procent liczby $120$ .

R1TEA6bHYuBuk

Ćwiczenie 21

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 22

Samochód, który spala $5, 5$ litra benzyny na każde $100 km$ , jechał $2 h$ i $40 \min$ z prędkością $60 \frac{km}{h}$ . Ile kosztowała benzyna, którą spalił samochód podczas podróży, jeżeli litr benzyny kosztuje $5, 80 zł$ ?

RQiYlDGkoBgMK1

Zdjęcie jadącego samochodu. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RN7aN6vYQiFgW

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Zacznij od wyznaczenia długości trasy jaką pokonał ten samochód. W tym celu zapisz czas podróży tylko przy pomocy godzin, a następnie pomnóż ten czas przez prędkość pojazdu.

Następnie oblicz, ile paliwa spali na tej trasie ten samochód. W tym celu podziel otrzymaną długość trasy przez $100 km$ , a następnie otrzymany wynik pomnóż przez ilość litrów paliwa, które spala samochód na $100 km$ .

Ostatecznie pomnóż ilość spalonego paliwa przez cenę paliwa za litr, aby otrzymać szukaną odpowiedź.

R1H3Vm6xMY942

Ćwiczenie 23

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R1YkhIQTjVNOS

Ćwiczenie 24

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 25

Państwo Kowalscy wraz z dziesięcioletnią córką wybierają się na wycieczkę. Oferta biura turystycznego, z którego usług zamierzają skorzystać, jest następująca:

R170VuXtLmDRA1

Oferta biura podróży przedstawiona na plakacie. Przejazd kosztuje 5,40 zł za 1 km i kwota podzielona jest równo między wszystkich uczestników wycieczki. Nocleg kosztuje 35,50 zł za osobę, śniadanie kosztuje 8,70 zł za osobę, obiadokolacja kosztuje 25,30 zł za osobę. Wstępy do zwiedzanych obiektów kosztują 125 zł za osobę. Na dole plakatu znajduje się dodatkowa informacja, że dzieciom do lat 12 przysługuje rabat w wysokości 35 kosztów wycieczki. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RvJD02rhRW3zX

Uzupełnij odpowiedzi na poniższe pytania, przeciągając w luki odpowiednie kwoty lub kliknij w lukę i wybierz odpowiedź z listy rozwijalnej. Ile złotych zapłacą za wycieczkę państwo Kowalscy, jeżeli trasa wycieczki będzie miała długość

1260 km

, na wycieczkę jedzie

45

osób, program wycieczki przewiduje

4

noclegi,

3

śniadania i

3

obiadokolacje?
Odpowiedź: Państwo Kowalscy zapłacą za wycieczkę 1.

125, 01 zł

, 2.

25, 92 zł

, 3.

31, 62 zł

, 4.

19, 50 zł

, 5.

145, 49 zł

, 6.

1145, 32 zł

, 7.

1324, 75 zł

, 8.

138, 72 zł

, 9.

1248, 48 zł

.
O ile złotych wzrośnie opłata za wycieczkę państwa Kowalskich, jeżeli z wycieczki zrezygnowały

3

osoby?
Odpowiedź: Opłata wzrośnie o 1.

125, 01 zł

, 2.

25, 92 zł

, 3.

31, 62 zł

, 4.

19, 50 zł

, 5.

145, 49 zł

, 6.

1145, 32 zł

, 7.

1324, 75 zł

, 8.

138, 72 zł

, 9.

1248, 48 zł

.
Ile więcej zapłaciliby państwo Kowalscy, gdyby na wycieczkę jechało

45

osób, ale rabat dla dzieci zmalałby do

\frac{1}{3}

kosztów podróży?
Odpowiedź: Państwo Kowalscy zapłacą więcej o 1.

125, 01 zł

, 2.

25, 92 zł

, 3.

31, 62 zł

, 4.

19, 50 zł

, 5.

145, 49 zł

, 6.

1145, 32 zł

, 7.

1324, 75 zł

, 8.

138, 72 zł

, 9.

1248, 48 zł

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RWZlYFvv9PJNi

Ćwiczenie 26

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R1cbZ1LqeoJvj

Ćwiczenie 27

W sklepie było

125, 6 kg

jabłek. Pierwszego dnia sprzedano

\frac{1}{4}

wszystkich jabłek, a następnego dnia

0, 6

reszty. Uzupełnij odpowiedzi na poniższe pytania, przeciągając w luki odpowiednie masy lub kliknij w lukę i wybierz odpowiedź z listy rozwijalnej. Ile kilogramów jabłek sprzedano w ciągu dwóch dni?
Odpowiedź: W ciągu dwóch dni sprzedano 1.

36, 62 kg

, 2.

67, 57 kg

, 3.

87, 92 kg

, 4.

37, 68 kg

, 5.

42, 68 kg

, 6.

91, 76 kg

jabłek.
Ile kilogramów jabłek pozostało w sklepie?
Odpowiedź: W sklepie pozostało 1.

36, 62 kg

, 2.

67, 57 kg

, 3.

87, 92 kg

, 4.

37, 68 kg

, 5.

42, 68 kg

, 6.

91, 76 kg

jabłek.

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 28

Samochód przejechał w ciągu pierwszej godziny $\frac{1}{3}$ trasy długości $29, 4 km$ , a w ciągu drugiej godziny o $4 \frac{2}{5} km$ więcej niż w ciągu pierwszej godziny. Ile $km$ zostało mu do przejechania?

RlZm1VwoPT6FQ1

R1TJffX976vDh

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Zacznij od obliczenia, ile kilometrów przejechał samochód w ciągu pierwszej godziny. W tym celu pomnóż całą długość trasy przez ułamek opisujący część trasy, którą pokonał samochód.

Następnie dodaj do otrzymanego wyniku $4 \frac{2}{5} km$ , aby otrzymać długość trasy, którą przejechał w ciągu drugiej godziny.

Aby uzyskać odpowiedź na pytanie, odejmij od długości całej trasy odcinki które samochód pokonał w ciągu pierwszej i drugiej godziny.

Ćwiczenie 29

RlB9VCJexfKL8

Zmieszano

3 kg

cukierków owocowych po

15, 60 zł

za kilogram i

7 kg

cukierków orzechowych po

12, 40 zł

za kilogram. Uzupełnij odpowiedzi na poniższe pytania, przeciągając w luki odpowiednie kwoty lub kliknij w lukę i wybierz odpowiedź z listy rozwijalnej. Ile złotych kosztował kilogram mieszanki?
Odpowiedź: Kilogram mieszanki kosztował 1.

14, 51 zł

, 2.

13, 36 zł

, 3.

11, 76 zł

, 4.

12, 46 zł

, 5.

10, 02 zł

, 6.

9, 82 zł

.
Ania kupiła

\frac{3}{4} kg

tej mieszanki. Ile zapłaciła?
Odpowiedź: Ania za

\frac{3}{4} kg

mieszanki zapłaciła 1.

14, 51 zł

, 2.

13, 36 zł

, 3.

11, 76 zł

, 4.

12, 46 zł

, 5.

10, 02 zł

, 6.

9, 82 zł

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 30

R1AvXsXpkBrAY

Podczas wycieczki rowerowej Kuba przejechał pierwszy odcinek drogi o długości

15 km

ze średnią prędkością

30 \frac{km}{h}

, drugi odcinek o długości

18 km

pokonał w czasie

1

godziny, a ostatni etap przejechał ze średnią prędkością

16 \frac{km}{h}

w czasie

45

minut.
Uzupełnij odpowiedzi na poniższe pytania, przeciągając w luki odpowiednie liczby lub kliknij w lukę i wybierz odpowiedź z listy rozwijalnej. Pamiętaj, że średnia prędkość jest ilorazem długości przebytej drogi przez całkowity czas trwania wycieczki. Jaka była średnia prędkość, z jaką jechał Kuba, na całej trasie?
Odpowiedź: Średnia prędkość, z jaką jechał Kuba, wynosi 1.

19 \frac{km}{h}

, 2. wzrosła, 3. zmalała, 4.

3 \frac{km}{h}

, 5.

2 \frac{km}{h}

, 6.

5 \frac{km}{h}

, 7.

25 \frac{km}{h}

, 8.

20 \frac{km}{h}

.
Jak zmieniłaby się średnia prędkość, gdyby Kuba odpoczywał przez

15

minut?
Odpowiedź: Średnia prędkość Kuby by 1.

19 \frac{km}{h}

, 2. wzrosła, 3. zmalała, 4.

3 \frac{km}{h}

, 5.

2 \frac{km}{h}

, 6.

5 \frac{km}{h}

, 7.

25 \frac{km}{h}

, 8.

20 \frac{km}{h}

o 1.

19 \frac{km}{h}

, 2. wzrosła, 3. zmalała, 4.

3 \frac{km}{h}

, 5.

2 \frac{km}{h}

, 6.

5 \frac{km}{h}

, 7.

25 \frac{km}{h}

, 8.

20 \frac{km}{h}

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Notatnik

Możesz skorzystać z poniższego pola tekstowego do zapisania swoich notatek, rozwiązań zadań i innych informacji, które uważasz za potrzebne.

R1b8OvSPUG8s3

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

2. Przybliżenia i zaokrąglenia

Działania na liczbach wymiernych i niewymiernych

3. O liczbach wymiernych i niewymiernych - podsumowanie

Notatnik