1. Rozwiązanie równania. Liczba rozwiązań równania

RbTywitNSLN3o

R6iy6tJysqwIN1

Na grafice przedstawiona jest waga z odważnikami na prawej szalce oraz trzema jabłkami na lewej szalce. — Źródło: GroMar Sp. z o.o.

Patrząc na wagę, która pozostaje w równowadze, możesz spróbować zgadnąć, ile waży jabłko. Co należy zrobić, aby przekonać się, czy mamy rację?

W przypadku równań, podobnie jak w wyrażeniach algebraicznych, można podstawiać liczby w miejsce niewiadomych. Otrzymane wówczas równości mogą być prawdziwe lub fałszywe. Jest to czasochłonne i czasami wymaga wielu prób, ale daje możliwość odgadnięcia rozwiązania.

Materiał zawiera podstawowe pojęcia związane z równaniami pierwszego stopnia z jedną niewiadomą. Są tu też zamieszczone przykłady rozwiązywania równań i określania ich rodzaju, ze względu na liczbę rozwiązań. Zdobytą wiedzę zastosujesz, określając rozwiązania równań zamieszczonych w ćwiczeniach.

Rozwiązanie równania

Obliczenie wartości liczbowej wyrażenia algebraicznego polega na podstawieniu danych liczb w miejsce liter i wykonaniu wskazanych działań.

W przypadku równań także można podstawiać liczby w miejsce niewiadomych.

Otrzymywane wówczas równości liczbowe mogą być prawdziwe lub fałszywe.

Przykład 1

R13zxxg5iQsY9

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Przykład 2

RcqT4IDsgcMcU1

Wszystkie rozważane w tym materiale równania to równania pierwszego stopnia z jedną niewiadomą.

Liczba spełniająca dane równanie

Definicja: Liczba spełniająca dane równanie

Liczba spełnia dane równanie, jeżeli po podstawieniu jej w miejsce niewiadomej i wykonaniu działań po obu stronach równania, otrzymamy prawdziwą równość liczbową.

Rozwiązanie równania

Definicja: Rozwiązanie równania

Liczbę, która spełnia dane równanie, nazywamy rozwiązaniem lub pierwiastkiem równania.

Równania równoważne

Definicja: Równania równoważne

Mówimy, że równania z tymi samymi niewiadomymi są równoważne wtedy i tylko wtedy, gdy posiadają taki sam zbiór rozwiązań.

Przykład 3

R1U07r7eyjAm4

Zapamiętaj!

Rozwiązać równanie to znaczy znaleźć wszystkie liczby, które spełniają to równanie lub wykazać, że równanie to nie ma rozwiązania. W tym celu przekształcamy równanie równoważnie, pamiętając o tym, że:

do obu stron równania możemy dodać lub od obu stron równania odjąć tę samą liczbę lub wyrażenie,
obie strony równania możemy pomnożyć lub podzielić przez tę samą liczbę różną od zera.

Przykład 4

R14PQGRw7Pb5i

Przykład 5

R1ABvdhmyZ8pg

Zapamiętaj!

Dodawanie lub odejmowanie od obu stron równania tego samego wyrażenia inaczej można nazwać przenoszeniem tego wyrażenia z przeciwnym znakiem na drugą stronę równania.

Np. aby rozwiązać równanie: $2 x - 5 = x + 1$ , przenosimy z przeciwnym znakiem:

$x$ na lewą stronę równania

2 x - x - 5 = 1

$(- 5)$ na prawą stronę równania

2 x - x = 1 + 5

x = 6

Odpowiedź: Rozwiązaniem równania jest liczba $6$ .

Równanie z jedną niewiadomą

Równania z jedną niewiadomą mogą mieć skończoną liczbę rozwiązań, np. jedno, dwa, trzy, cztery. Są również takie równania, które nie mają rozwiązania lub mają nieskończenie wiele rozwiązań.

Zbiór rozwiązań równania

Definicja: Zbiór rozwiązań równania

Zbiór wszystkich liczb spełniających dane równanie nazywamy zbiorem rozwiązań równania.

Przykład 6

Rozwiąż równania

$x + 4 = 0$
Rozwiązanie: $x = - 4$ .
$x + 4 = 4$
Rozwiązanie: $x = 0$ .
$x + 4 = x - 4$
Rozwiązanie: brak rozwiązania.

Przykład 7

Znajdź pierwiastek równania.

$2 a + 3 = 7$
Pierwiastek równania to $a = 2$ .
$x - 9 = 0$
Pierwiastek równania to $x = 9$ .

Przykład 8

Równania, które nie mają rozwiązania:

$x + 2 = x$ , $2 x - 5 = 2 x + 1$ .

Równania, które mają nieskończenie wiele rozwiązań:

$2 x - 2 x + 2 x = 2 x$ , $0 \cdot x = 0$ .

Równanie sprzeczne

Definicja: Równanie sprzeczne

Równanie, które nie ma rozwiązania, nazywamy równaniem sprzecznym.

Równanie tożsamościowe

Definicja: Równanie tożsamościowe

Równanie, które jest spełnione przez każdą liczbę rzeczywistą, nazywamy równaniem tożsamościowym.

Ważne!

Liczba rozwiązań równania.

Równanie pierwszego stopnia z jedną niewiadomą może:

nie mieć rozwiązania,
mieć dokładnie jedno rozwiązanie,
mieć nieskończenie wiele rozwiązań.

RbCjq5zHf7Omu

Ćwiczenie 1

Połącz równanie z jego rozwiązaniem.

1

Możliwe odpowiedzi: 1.

z + 1 = 1 \frac{1}{2}

, 2.

\frac{2 x}{3} = - 1

, 3.

2 y = y - 1

, 4.

2 x = x + 1 \frac{1}{2}

, 5.

2 x = - 4

, 6.

x + \frac{1}{2} = 0

, 7.

z = 3 z - 4

, 8.

3 x + 2 = 5

- 1

Możliwe odpowiedzi: 1.

z + 1 = 1 \frac{1}{2}

, 2.

\frac{2 x}{3} = - 1

, 3.

2 y = y - 1

, 4.

2 x = x + 1 \frac{1}{2}

, 5.

2 x = - 4

, 6.

x + \frac{1}{2} = 0

, 7.

z = 3 z - 4

, 8.

3 x + 2 = 5

2

Możliwe odpowiedzi: 1.

z + 1 = 1 \frac{1}{2}

, 2.

\frac{2 x}{3} = - 1

, 3.

2 y = y - 1

, 4.

2 x = x + 1 \frac{1}{2}

, 5.

2 x = - 4

, 6.

x + \frac{1}{2} = 0

, 7.

z = 3 z - 4

, 8.

3 x + 2 = 5

- 2

Możliwe odpowiedzi: 1.

z + 1 = 1 \frac{1}{2}

, 2.

\frac{2 x}{3} = - 1

, 3.

2 y = y - 1

, 4.

2 x = x + 1 \frac{1}{2}

, 5.

2 x = - 4

, 6.

x + \frac{1}{2} = 0

, 7.

z = 3 z - 4

, 8.

3 x + 2 = 5

\frac{1}{2}

Możliwe odpowiedzi: 1.

z + 1 = 1 \frac{1}{2}

, 2.

\frac{2 x}{3} = - 1

, 3.

2 y = y - 1

, 4.

2 x = x + 1 \frac{1}{2}

, 5.

2 x = - 4

, 6.

x + \frac{1}{2} = 0

, 7.

z = 3 z - 4

, 8.

3 x + 2 = 5

- \frac{1}{2}

Możliwe odpowiedzi: 1.

z + 1 = 1 \frac{1}{2}

, 2.

\frac{2 x}{3} = - 1

, 3.

2 y = y - 1

, 4.

2 x = x + 1 \frac{1}{2}

, 5.

2 x = - 4

, 6.

x + \frac{1}{2} = 0

, 7.

z = 3 z - 4

, 8.

3 x + 2 = 5

1 \frac{1}{2}

Możliwe odpowiedzi: 1.

z + 1 = 1 \frac{1}{2}

, 2.

\frac{2 x}{3} = - 1

, 3.

2 y = y - 1

, 4.

2 x = x + 1 \frac{1}{2}

, 5.

2 x = - 4

, 6.

x + \frac{1}{2} = 0

, 7.

z = 3 z - 4

, 8.

3 x + 2 = 5

- 1 \frac{1}{2}

Możliwe odpowiedzi: 1.

z + 1 = 1 \frac{1}{2}

, 2.

\frac{2 x}{3} = - 1

, 3.

2 y = y - 1

, 4.

2 x = x + 1 \frac{1}{2}

, 5.

2 x = - 4

, 6.

x + \frac{1}{2} = 0

, 7.

z = 3 z - 4

, 8.

3 x + 2 = 5

Połącz równanie z jego rozwiązaniem.

$1$
$- 1$
$2$
$- 2$
$\frac{1}{2}$
$- \frac{1}{2}$
$1 \frac{1}{2}$
$- 1 \frac{1}{2}$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R1Q1AyiAbKGTA

Ćwiczenie 2

$- 7$
$7$
$6 \frac{1}{2}$
$\frac{1}{7}$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R5rwAelILqnDu

Ćwiczenie 3

$- 1$
$1$
$2$
$- \frac{1}{3}$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RcI5ZAoauyfFD

Ćwiczenie 4

$- 3 (x + 2) + 4 = 6 - x,$ $x = - 4$
$- (- 8 x + 7) = 4 (x + 3) - 3,$ $x = 4$
$2 (x - 2) - 3 (x + 2) = 4 (x - 4),$ $x = - 1$
$\frac{1}{2} x - \frac{2 - x}{3} = x - \frac{1}{6},$ $x = 3$
$(2 x - \frac{1}{2}) (3 x - \frac{1}{2}) = \frac{1}{4} + x (4 x - \frac{1}{2}),$ $x = 1$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RpHRrRXq3nR4b

Ćwiczenie 5

$2 (3 x + 1) = - 1 + 4 x$
$1 + x = \frac{x + 2}{4}$
$6 x (x + 1) = - 4 (\frac{1}{2} x + \frac{2}{3})$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R4MRj1UirpOs8

Ćwiczenie 6

Przeciągnij odpowiednie elementy z dolnej sekcji do górnej. Brak rozwiązań Możliwe odpowiedzi: 1.

- 2 (4 - x) = 2 x - 8

, 2.

x = x

, 3.

2 x + 3 = 3 + 2 x

, 4.

0 \cdot z = 0

, 5.

- x + 4 = - x

, 6.

5 \cdot x = - 5

, 7.

2 x - 1 = 2 x + 1

, 8.

0 \cdot x = 13

, 9.

x + 3 = 3

Jedno rozwiązanie Możliwe odpowiedzi: 1.

- 2 (4 - x) = 2 x - 8

, 2.

x = x

, 3.

2 x + 3 = 3 + 2 x

, 4.

0 \cdot z = 0

, 5.

- x + 4 = - x

, 6.

5 \cdot x = - 5

, 7.

2 x - 1 = 2 x + 1

, 8.

0 \cdot x = 13

, 9.

x + 3 = 3

Nieskończenie wiele rozwiązań Możliwe odpowiedzi: 1.

- 2 (4 - x) = 2 x - 8

, 2.

x = x

, 3.

2 x + 3 = 3 + 2 x

, 4.

0 \cdot z = 0

, 5.

- x + 4 = - x

, 6.

5 \cdot x = - 5

, 7.

2 x - 1 = 2 x + 1

, 8.

0 \cdot x = 13

, 9.

x + 3 = 3

Przeciągnij elementy z dolnej sekcji do górnej.

2x−1=2x+1, 0∙x=13, −2(4−x)=2x−8,, −x+4=−x, <math><mn>0</mn><mo>·</mo><mi>z</mi><mo>=</mo><mn>0</mn></math>, x+3=3, <math><mn>5</mn><mo>·</mo><mi>x</mi><mo>=</mo><mo>-</mo><mn>5</mn></math>, <math><msup><mi>x</mi><mn>3</mn></msup><mo>=</mo><mo>-</mo><mn>64</mn></math>, <math><msup><mi>x</mi><mn>2</mn></msup><mo>=</mo><mo>-</mo><mn>16</mn></math>, x=x, 2x+3=3+2x, <math><msup><mi>x</mi><mn>2</mn></msup><mo>=</mo><mn>0</mn></math>

Brak rozwiązań
Jedno rozwiązanie
Nieskończenie wiele rozwiązań

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R3cJF8IhjDFSD

Ćwiczenie 7

Równanie $x^{2} = 0$ ma dwa rozwiązania.
Równanie $2 x^{2} + 3 = 0$ jest równaniem sprzecznym.
Równanie $x^{2} - 3 = 1$ jest równaniem sprzecznym.
Równanie $\frac{13}{x} = 0$ jest równaniem sprzecznym.
Równanie $x^{2} = 81$ ma jedno rozwiązanie.
Równanie $2 x^{2} + 3 = 3 + 2 x^{2}$ jest równaniem tożsamościowym.
Równanie $x^{2} = 0$ jest równaniem sprzecznym.
Równanie $a + 17 = 2 a + 17 - a$ jest równaniem tożsamościowym.
Równanie $x - 2 = 2 - x$ jest równaniem sprzecznym.
Równanie $x = x + 11$ jest równaniem tożsamościowym.

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RlXaFedBuY9Ar

Ćwiczenie 8

$3 x - 1 = 3 x + 1$
$x - 10 = 10 - x$
$x^{2} + 2 = 0$
$2 x = - 2 x + 1$
$x + 4 = x$
$x + 9 = x + 9$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R1NjnH5NfNGf2

Ćwiczenie 9

$- 6 x + 6 = - 6 x$
$x + x - 1 = 2 x - 1$
$x - 10 = x + 10$
$0 ∙ y = - 1$
$2 (x - 1) = 2 x - 1$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RlFnkBksC1wRU

Ćwiczenie 10

$2 x = 2 x$
$- (x - 7) = - x - 7$
$0 ∙ x = 0$
$4 (x + 2) = 4 x + 2$
$x^{2} + 1 = 1 + x^{2}$
$x + 6 = 6$
$- (x - 7) = 7 - x$
$x - 4 = 4 - x$
$4 (x + 2) = 4 x + 8$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R1NrwW76azv2i

Ćwiczenie 11

Jaką liczbę należy wpisać w miejsce, aby rozwiązaniem równania była podana obok wartość?
Przeciągnij w luki takie liczby tak, aby dana liczba

x

była rozwiązaniem równania.

3 x -

- 4

, 2.

3

, 3.

2

, 4.

2

, 5.

4

= 3

x = 2

2 x + 3 = x -

- 4

, 2.

3

, 3.

2

, 4.

2

, 5.

4

x = - 7

- 2 (x +

- 4

, 2.

3

, 3.

2

, 4.

2

, 5.

4

) = - x + 1

x = - 5

- 4

, 2.

3

, 3.

2

, 4.

2

, 5.

4

\cdot x + 8 = 20

x = - 3

- (x - 5) +

- 4

, 2.

3

, 3.

2

, 4.

2

, 5.

4

= - 2 (x + 1)

x = - 9

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Rkv6VLelRhAvq

Ćwiczenie 12

Jaki jednomian należy wpisać, aby otrzymane równanie było sprzeczne? Przeciągnij w luki odpowiednie jednomiany.

6 x =

9 x

, 2.

- 3 x

, 3.

- x

, 4.

x

, 5.

- 2 x

, 6.

6 x

+ 1

4 x +

9 x

, 2.

- 3 x

, 3.

- x

, 4.

x

, 5.

- 2 x

, 6.

6 x

= x + \frac{1}{2}

- 4 x +

9 x

, 2.

- 3 x

, 3.

- x

, 4.

x

, 5.

- 2 x

, 6.

6 x

= - 5 x - 5

2 (x - 3) = x +

9 x

, 2.

- 3 x

, 3.

- x

, 4.

x

, 5.

- 2 x

, 6.

6 x

3 (

9 x

, 2.

- 3 x

, 3.

- x

, 4.

x

, 5.

- 2 x

, 6.

6 x

- 4) = - 6 x

2 x - (6 - 7 x) = 2 +

9 x

, 2.

- 3 x

, 3.

- x

, 4.

x

, 5.

- 2 x

, 6.

6 x

Jaki jednomian należy wpisać, aby otrzymane równanie było sprzeczne? Przeciągnij i upuść.

x, -x, 9x, -2x, -3x, 6x

6x= ............ +1
4x+ ............ = x+ $\frac{1}{2}$
−4x+ ............ =−5x−5
2(x−3)=x+ ............
3( ............ −4)=−6x
2x−(6-7x)=2+ ............

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RGTeMu6YCBACy

Ćwiczenie 13

Jaki jednomian należy wpisać, aby otrzymane równanie było tożsamościowe? Przeciągnij i upuść.

7x, 5x, −4x, 2x, $\frac{1}{4}$ x

3x=7x+ ............
12x−5x= ............
4(x− ............ )=3x
−x+6x−8= ............ −1−7
−5( ............ $- 1 \frac{3}{5}$ x)=−3x+x

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RXLI9kw7XyGWg

Ćwiczenie 14

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 15

Uzasadnij, że równanie $|x| = x$ nie jest równaniem tożsamościowym. Ile rozwiązań ma to równanie?

R1b3x5zir29ld

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Znajdź liczbę $x$ , dla której to równanie nie będzie prawdziwe.

Jeżeli w równaniu tożsamościowym podstawimy w miejsce $x$ dowolną liczbę, to otrzymamy zawsze równanie prawdziwe.

Zauważmy, że dla $x = - 1$ nie jest spełnione to założenie, ponieważ

$|- 1| = 1 \neq - 1$ .

Równanie ma nieskończenie wiele rozwiązań dla $x \geq 0$ .

Notatnik

Możesz skorzystać z poniższego pola tekstowego do zapisania swoich notatek, rozwiązań zadań i innych informacji, które uważasz za potrzebne.

R1b8OvSPUG8s3

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

2. Równania z dodawaniem i odejmowaniem

Równania - bo świat jest w równowadze