5. Zastosowanie równań do rozwiązywania zadań tekstowych

RbTywitNSLN3o

Już trzy tysiące lat temu starożytni Babilończycy na glinianych tabliczkach zamieszczali łamigłówki matematyczne. Współcześnie, też powstają łamigłówki. Jedną z nich spróbuj rozwiązać układając odpowiednie równanie. Twórcą tej zagadki jest Hubert Phillips, brytyjski ekonomista i dziennikarz.
Butelka i korek do niej kosztują razem $21$ pensów, a sama butelka kosztuje $20$ pensów więcej niż korek. Ile kosztuje każda rzecz z osobna?

RGCD45wF66Bag

Ilustracja przedstawia szklaną butelkę z przezroczystego szkła, zatkaną drewnianym korkiem. — Źródło: dostępny w internecie: Pexels.com, licencja: CC BY 3.0.

Jeśli będziesz mieć problem z rozwiązaniem zadania – przeanalizuj poniższy materiał.

Chcąc rozwiązać zadanie tekstowe za pomocą równania, należy je najpierw dokładnie przeczytać i ustalić czego szukamy. Następnie dokonać analizy zadania – czyli opisać wiadome i niewiadome oraz zależności między nimi. Po ułożeniu równania, trzeba je rozwiązać. W tym materiale równania będziemy rozwiązywać, przekształcając je równoważnie.
Dzięki takim przekształceniom nie będziemy musieli zawsze sprawdzać czy znaleziona liczba jest rozwiązaniem równania. Warto jednak ustalić, czy rozwiązanie równania jest również rozwiązaniem zadania. Bowiem może okazać się, że otrzymamy ujemną cenę towaru lub na przykład prędkość poruszania się rowerzysty wynoszącą $1000 \frac{km}{h}$ .
W takim przypadku sprawdzamy, czy ułożyliśmy poprawne równanie i czy dobrze je rozwiązaliśmy. Jeśli tak – możemy stwierdzić, że zadanie nie ma rozwiązania.

Przypomnijmy jeszcze na czym polega metoda równań równoważnychmetoda równań równoważnychmetoda równań równoważnych.

Aby otrzymać równanie równoważne danemu możemy:

obie strony równania przekształcić, stosując prawa działań lub przeprowadzając redukcję wyrazów podobnych,
pomnożyć lub podzielić obie strony równania przez tę samą liczbę różną od zera,
do obu stron równania (lub od obu stron równania) dodać (odjąć) to samo wyrażenie.

Zadania tekstowe z wykorzystaniem równań będziemy rozwiązywać w następujących etapach:

analiza zadania,
ułożenie równania i jego rozwiązanie,
sprawdzenie rozwiązania równania z warunkami zadania,
zapisanie odpowiedzi.

Przykład 1

R9WBiSRZmtwWE1

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Przykład 2

RshwGlnx8rp0e

Przykład 3

Za $5 kg$ cebuli i $2 kg$ ziemniaków zapłacono $19 zł$ . Cena $1 kg$ ziemniaków była o $1 zł$ mniejsza od ceny $1 kg$ cebuli. Ile zapłacono za ziemniaki, a ile za cebulę?

R1XIWmrNY3Ohb

Po lewej stronie grafiki umieszczone jest zdjęcie białej cebuli ułożonej luzem. Powyżej znajduje się zapis: "5 kg", a poniżej: "x zł". Po prawej stronie grafiki znajduje się zdjęcie ziemniaków ułożonych w kilku kobiałkach. Nad fotografią umieszczony jest napis: "2 kg", a poniżej jest zapis: "x-1 zł". W centralnej części ekranu umiejscowione jest białe kółko z zieloną obwódką. W kółku jest napis: "19 zł". — Źródło: dostępny w internecie: Pexels.com, licencja: CC BY 3.0.

Analiza zadania:
$x$ – cena cebuli (w $zł$ ),
$(x - 1)$ – cena ziemniaków (w $zł$ ),
$5 x$ – wartość kupionej cebuli (w $zł$ ),
$2 (x - 1)$ – wartość zakupionych ziemniaków.
Układamy i rozwiązujemy równanie.

5 x + 2 (x - 1) = 19

Wykonujemy mnożenie i redukujemy wyrazy podobne.

5 x + 2 x - 2 = 19

7 x - 2 = 19

Do obu stron równania dodajemy $2$ i obie strony dzielimy przez $7$ .

7 x = 19 + 2

7 x = 21 : 7

x = 3

Obliczamy cenę ziemniaków.

x - 1 = 2

Obliczamy ile zapłacono za ziemniaki, a ile za cebulę.
$2 \cdot 2 = 4 (zł)$
$5 \cdot 3 = 15 (zł)$

Odpowiedź:
Za ziemniaki zapłacono $4 zł$ , a za cebulę $15 zł$ .

Rozwiązując zadania z kontekstem realistycznym, warto zwrócić uwagę, jakie warunki musi spełnić liczba, będąca rozwiązaniem równania.

Przykład 4

Połowa znajomych Oli gra w koszykówkę, trzecia część znajomych gra w siatkówkę, a pozostałych $8$ osób trenuje pływanie. Ilu znajomych ma Ola?

R1aXTnXkuWEH4

Po lewej stronie grafiki umieszczone jest zdjęcie grupy młodych dziewcząt, które grają w koszykówkę. Pod fotografią znajduje się zapis: "12x". W centralnej części jest zdjęcie przedstawiające młodych chłopaków grających w piłkę siatkową. Poniżej jest zapis: "13x". Po prawej stronie grafiki umieszczone jest zdjęcie pływaka w basenie sportowym, a pod nim znajduje się liczba 8. Wszystkie trzy zdjęcia objęte są jedną, wspólną klamrą, przy której znajduje się napis: "x". — Źródło: dostępny w internecie: Pexels.com, licencja: CC BY 3.0.

Analiza zadania:
$x$ – liczba znajomych Oli,
$\frac{1}{2} x$ – tylu znajomych gra w koszykówkę,
$\frac{1}{3} x$ – tylu znajomych gra w siatkówkę,
$8$ – tylu znajomych trenuje pływanie.
Zwróć uwagę, że liczba $x$ musi być liczbą naturalną (jako liczba znajomych Oli).
Układamy i rozwiązujemy równanie.

\frac{1}{2} x + \frac{1}{3} x + 8 = x

Mnożymy obie strony równania przez $6$ (najmniejsza wspólna wielokrotność liczb $2$ i $3$ ).

\frac{1}{2} x + \frac{1}{3} x + 8 = x \cdot 6

3 x + 2 x + 48 = 6 x

Redukujemy wyrazy podobne i odejmujemy od obu stron równania $5 x$ .

5 x + 48 = 6 x - 5 x

48 = 6 x - 5 x

48 = x

Znaleziona liczb jest liczbą naturalną, zatem spełnia warunki zadania.

Odpowiedź:
Ola ma $48$ znajomych.

Przykład 5

W prawej szufladzie było $5$ razy więcej zielonych kulek niż w lewej. Z prawej szuflady przełożono do lewej $18$ kulek i teraz w lewej szufladzie jest dwa razy więcej kulek niż w prawej.
Ile kulek było początkowo w każdej szufladzie?

R1T7BGLaCLQym

Po lewej stronie grafiki znajduje się pomarańczowa ramka w kształcie prostokąta. Nad nią umieszczony jest nagłówek: "początkowo". W lewej części ramki umieszczone są zielone kulki w nieregularnym położeniu, a pod nimi znajduje się napis: "x". W prawej części ramki znajduje się więcej zielonych kulek. Pod kulkami znajduje się zapis: "5x". Po prawej stronie grafiki znajduje się niebieska ramka w kształcie prostokąta. Nad nią umieszczony jest nagłówek: "po przełożeniu kulek". W lewej części ramki umieszczone są zielone kulki w nieregularnym położeniu, a pod nimi znajduje się napis: "x+18". W prawej części ramki też znajdują się zielone kulki. Pod kulkami znajduje się zapis: "5x-18". — Źródło: GroMar Sp. z o.o., licencja: CC BY 3.0.

Analiza zadania:
$x$ – początkowa liczba kulek w lewej szufladzie, $x$ – liczba naturalna,
$5 x$ – początkowa liczba kulek w prawej szufladzie,
$x + 18$ – liczba kulek w lewej szufladzie po przełożeniu kulek,
$5 x - 18$ – liczba kulek w prawej szufladzie po przełożeniu kulek.
Układamy i rozwiązujemy równanie.

x + 18 = 2 (5 x - 18)

Wykonujemy mnożenie.

x + 18 = 10 x - 36

Do obu stron równania dodajemy $36 - x$ .

x + 18 + 36 - x = 10 x - 36 + 36 - x

Redukujemy wyrazy podobne.

54 = 9 x

Dzielimy obie strony równania przez $9$ .

54 = 9 x : 9

6 = x

Obliczamy, ile kulek było w prawej szufladzie.

5 \cdot 6 = 30

Odpowiedź:
W prawej szufladzie było $30$ kulek, a w lewej $6$ .

Przykład 6

Zosia jechała rowerem dwie godziny, a następnie godzinę szła piechotą. W sumie przebyła $29 km$ . Z jaką średnią prędkością jechała rowerem, jeżeli piechotą szła z prędkością o $7 \frac{km}{h}$ mniejszą niż jechała rowerem?

R7bthz6BUpJ3E

Po lewej stronie grafiki umieszczone jest zdjęcie dziewczynki jadącej na rowerze po ulicy. Po prawej stronie ekranu znajduje się zdjęcie dziewczynki przechodzącej przez przejście dla pieszych. Pod fotografiami znajduje się pozioma przerywana linia w kolorze niebieskim. Jest ona podzielona pionową kreską na dwa odcinki stanowiące 23 oraz 13 długości. Dłuższy odcinek znajduje się pod dziewczynką jadącą na rowerze, natomiast krótszy pod spacerującą dziewczynką. Nad dłuższym odcinkiem znajduje się napis: "2 h", natomiast nad krótszym: "1 h".
Pod fotografią dziewczynki na rowerze znajduje się zapis: "x kmh", a pod fotografią dziewczynki na przejściu: "x-7 kmh". Obie ilustracje objęte są jedną wspólną klamrą, przy której znajduje się napis: "29 km". — Źródło: dostępny w internecie: Pexels.com, licencja: CC BY 3.0.

Analiza zadania:
$x$ – średnia prędkość, z jaką jechała Zosia rowerem (w $\frac{km}{h}$ ),
$x - 7$ – średnia prędkość, z jaką szła Zosia (w $\frac{km}{h}$ ),
$2 x$ – odległość, jaką przebyła Zosia rowerem (w $km$ ),
$1 \cdot (x - 7)$ – odległość, jaką Zosia przebyła piechotą (w $km$ ).
Zapisujemy i rozwiązujemy równanie.

2 x + 1 \cdot (x - 7) = 29

Wykonujemy mnożenie i redukujemy wyrazy podobne.

2 x + x - 7 = 29

3 x - 7 = 29

Do obu stron równania dodajemy $7$ i redukujemy wyrazy podobne.

3 x - 7 + 7 = 29 + 7

3 x = 36

Dzielimy obie strony równania przez $3$ .

3 x = 36 : 3

x = 12

Odpowiedź:
Zosia jechała rowerem ze średnią prędkością $12 \frac{km}{h}$ .

W przypadku wielu zadań tekstowych, analizę zadania można zapisać za pomocą tabelki.

Przykład 7

Wczoraj Ewa miała $\frac{1}{4}$ kwoty, którą miała Ela. Dzisiaj każda z dziewcząt dostała od rodziców po $10 zł$ i teraz Ewa ma $\frac{2}{3}$ kwoty, którą ma Ela. Ile teraz pieniędzy ma każda z dziewcząt?

Imię	Wczoraj	Dzisiaj
Ela	$x$	$x + 10$
Ewa	$\frac{1}{4} x$	$\frac{1}{4} x + 10$

Układamy i rozwiązujemy równanie.

\frac{1}{4} x + 10 = \frac{2}{3} (x + 10)

Mnożymy obie strony równania przez $12$ , czyli najmniejszy wspólny mianownik ułamków $\frac{1}{4}$ i $\frac{2}{3}$ .

\frac{1}{4} x + 10 = \frac{2}{3} (x + 10) \cdot 12

3 x + 120 = 8 (x + 10)

Wykonujemy mnożenie i do obu stron równania dodajemy $(- 3 x - 80)$

3 x + 120 = 8 x + 80

3 x + 120 - 3 x - 80 = 8 x + 80 - 3 x - 80

Redukujemy wyrazy podobne i dzielimy obie strony równania przez $5$ .

40 = 5 x : 5

8 = x

Obliczamy, ile pieniędzy ma dzisiaj Ela.
$8 + 10 = 18 (zł)$
Obliczamy, ile pieniędzy ma dzisiaj Ewa.
$\frac{1}{4} \cdot 8 + 10 = 2 + 10 = 12 (zł)$

Odpowiedź:
Ela ma $18 zł$ , a Ewa ma $12 zł$ .

W zadaniach geometrycznych dane i szukane można przedstawić na rysunku.

Przykład 8

W prostokącie jeden bok jest o $6$ dłuższy od drugiego. Obwód prostokąta jest równy $32$ .
Oblicz długości boków tego prostokąta.

R1KHyp67tVd6n

Ilustracja przedstawia prostokąt wypełniony kolorem niebieskim. Boki poziome są dłuższe od boków pionowych. Długość boków poziomych wynosi "x+6", natomiast boków pionowych "x". — Źródło: GroMar Sp. z o.o., licencja: CC BY 3.0.

Analiza zadania:
$x$ – długość krótszego boku prostokąta,
$x + 6$ – długość dłuższego boku prostokąta.
Układamy i rozwiązujemy odpowiednie równanie.

2 x + 2 (x + 6) = 32

Dzielimy obie strony równania przez $2$ .

2 x + 2 (x + 6) = 32 : 2

x + x + 6 = 16

Redukujemy wyrazy podobne i od obu stron równania odejmujemy $6$ .

2 x + 6 = 16 - 6

2 x + 6 - 6 = 16 - 6

Redukujemy wyrazy podobne i dzielimy obie strony równania przez $2$ .

2 x = 10 : 2

x = 5

Obliczamy długość dłuższego boku prostokąta.

x + 6 = 5 + 6 = 11

Odpowiedź:
Długości boków prostokąta są równe $5$ i $11$ .

Animacja

Zapoznaj się z poniższą animacją, a następnie rozwiąż polecenia.

RoHSSeL6xKUTW1

Źródło: GroMar Sp. z o.o., licencja: CC BY 3.0.

Polecenie 1

Przeanalizuj przykłady podane na filmie i w podobny sposób rozwiąż poniższe zadanie.
Uczniowie w kinie zajęli miejsca na krzesłach ustawionych w rzędach. W każdym rzędzie usiadło $5$ uczniów. Gdyby w każdym rzędzie usiadło $7$ uczniów, to zajęliby o dwa rzędy mniej. Ilu uczniów poszło do kina?

RgMFdZbiyz5Tt

Źródło: GroMar Sp. z o.o., licencja: CC BY 3.0.

Oznacz:
$x$ – liczba rzędów, w których usiadło po $5$ uczniów.

$x$ – liczba rzędów, w których usiadło po $5$ uczniów.

5 x = 7 (x - 2)

5 x = 7 x - 14

2 x = 14 : 2

x = 7

7 \cdot 5 = 35

Odpowiedź:
Do kina poszło $35$ uczniów.

Polecenie 2

Córka ma $12$ lat, a matka jest o $28$ lat starsza. Ile lat temu wiek córki stanowił ósmą część wieku matki?

R2qGFN53VQbpZ

Źródło: GroMar Sp. z o.o., licencja: CC BY 3.0.

Analiza zadania:
$x$ – tyle lat temu wiek córki stanowił ósmą część wieku matki,
$12 - x$ – wiek córki $x$ lat temu,
$(12 + 28 - x)$ – wiek matki $x$ lat temu.

12 - x = \frac{1}{8} (12 + 28 - x)

12 - x = \frac{1}{8} (40 - x) \cdot 8

96 - 8 x = 40 - x

56 = 7 x : 7

x = 8

Odpowiedź:
Osiem lat temu wiek córki stanowił ósmą część wieku matki.

Polecenie 3

W liczbie dwucyfrowej cyfra jedności jest o $5$ większa od cyfry dziesiątek.
Suma tej liczby i liczby o przestawionych cyfrach jest równa $143$ . Znajdź tę liczbę dwucyfrową.

R1IYmyVQoyCvF

Źródło: GroMar Sp. z o.o., licencja: CC BY 3.0.

$10 x + (x + 5)$ – szukana liczba, gdzie $x \in {1, 2, 3, 4}$ .

$x$ – cyfra dziesiątek szukanej liczby,
$x + 5$ – cyfra jedności szukanej liczby,
$10 x + (x + 5)$ – szukana liczba,
$10 (x + 5) + x$ – liczba o przestawionych cyfrach.

10 x + (x + 5) + 10 (x + 5) + x = 143

22 x + 55 = 143

22 x = 88 : 22

x = 4

10 \cdot 4 + (4 + 5) = 49

Odpowiedź:
Szukana liczba to $49$ .

R10DMy4tufEbB

Ćwiczenie 1

Źródło: GroMar Sp. z o.o., licencja: CC BY 3.0.

RLGEZyyZXlURH

Ćwiczenie 2

Źródło: GroMar Sp. z o.o., licencja: CC BY 3.0.

R1OExVbIx7hUV

Ćwiczenie 3

Źródło: GroMar Sp. z o.o., licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 4

R1aklParF2bX0

Źródło: GroMar Sp. z o.o., licencja: CC BY 3.0.

Wzór na obwód prostokąta można zapisać jako $2 a + 2 (a + 2) = 48$ .

Ćwiczenie 5

RVzqw5fPfkLpc

Źródło: GroMar Sp. z o.o., licencja: CC BY 3.0.

Rozwiąż równanie: $2 d + (8 - d) \cdot (- 1) = 7$ , gdzie $d$ oznacza liczbę dobrych odpowiedzi.
Rozwiąż równanie $2 x + \frac{x}{6} + 5 = 18$ , gdzie $x$ jest najdłuższą częścią pręta.
Rozwiąż równanie: $5 x + 2 \cdot (x - 5) = 95$ , gdzie $x$ oznacza ilość pięciozłotówek.
Wyznacz wartość względną poruszanych rowerów i następnie skorzystaj z przekształconego wzoru na prędkość $t = \frac{s}{V}$ .

RHhwHb3GS2v6u

Ćwiczenie 6

Źródło: GroMar Sp. z o.o., licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 7

Dwieście kilogramów mąki przewieziono w $31$ workach pięciokilogramowych i ośmiokilogramowych. Ile było worków poszczególnych rodzajów? Rozwiąż zadanie i zapisz odpowiedź.

R58orVN3KwS1s

Źródło: GroMar Sp. z o.o., licencja: CC BY 3.0.

Oznacz przez $x$ liczbę worków ośmiokilogramowych, wtedy $(31 - x)$ liczba worków pięciokilogramowych.

$x$ – liczba worków ośmiokilogramowych,
$31 - x$ – liczba worków pięciokilogramowych.

8 x + 5 (31 - x) = 200

8 x + 155 - 5 x = 200

3 x = 200 - 155

3 x = 45 : 3

x = 15

31 - 15 = 16

Odpowiedź:
Worków pięciokilogramowych było $16$ , a ośmiokilogramowych było $15$ .

Ćwiczenie 8

Ala i Ola mają łącznie $28$ lat. Sześć lat temu Ala była trzy razy starsza od Oli. Ile lat ma obecnie każda z nich? Rozwiąż zadanie i zapisz odpowiedź.

RxvQbzeLwx6u8

Źródło: GroMar Sp. z o.o., licencja: CC BY 3.0.

Oznacz przez $x$ obecny wiek Ali. Wtedy $28 - x$ – obecny wiek Oli.

Imię	Obecnie	Sześć lat temu
Ala	$x$	$x - 6$
Ola	$28 - x$	$28 - x - 6$

x - 6 = 3 (28 - x - 6)

x - 6 = 3 (22 - x)

x - 6 = 66 - 3 x + 3 x + 6

x - 6 + 3 x + 6 = 66 - 3 x + 3 x + 6

4 x = 72 : 4

x = 18

28 - x = 28 - 18 = 10

Odpowiedź:
Ala ma obecnie $18$ lat, a Ola ma $10$ lat.

R9aJDOoZqRkTX

Ćwiczenie 9

$x - 7 = 2 x + 5$
$2 (x - 7) = x + 5$
$2 x - 7 = x + 5$
$x - 7 = 2 (x + 5)$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RQtPZMcwBirUo

Ćwiczenie 10

$3 x + 6 = 5 x + 6$
$3 (x + 6) = 5 x + 6$
$x + 6 = 3 (5 x + 6)$
$\frac{1}{5} x + 6 = \frac{1}{3} x + 6$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RNzWl3EGRO6pL

Ćwiczenie 11

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R3XZz4zVTgY9X

Ćwiczenie 12

$x + x - 230 = 730$
$x + x + 230 = 730$
$x + x - 230 = 500$
$x + x + 230 = 500$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RgWrxcXj2R02F

Ćwiczenie 13

$2 (x + 800) + 3 x = 11400$
$3 (x + 800) + 2 x = 11400$
$3 x + 800 + 2 x = 11 400$
$2 x + 800 + 3 x = 11 400$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 14

R1XUzRYNuheq2

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

$x$ – wiek mamy, $x + 10 = 2 (x - 25 + 10)$ .

Ćwiczenie 15

R1S7GrmqMnQHo

Sześcioletni wnuczek Karol będzie za

2

lata młodszy od swojej babci

8

razy. Na podstawie tej informacji uzupełnij luki. Kliknij w nie, aby rozwinąć listę, a następnie wybierz poprawną odpowiedź. Gdy urodził się Karol, babcia miała 1.

16

, 2.

58

, 3.

65

, 4.

6

, 5.

68

, 6.

56

, 7.

15

, 8.

12

, 9.

5

, 10.

8

lat.Babcia będzie

5

razy starsza od wnuczka za 1.

16

, 2.

58

, 3.

65

, 4.

6

, 5.

68

, 6.

56

, 7.

15

, 8.

12

, 9.

5

, 10.

8

lat.Babcia i wnuczek będą mieli razem

100

lat za 1.

16

, 2.

58

, 3.

65

, 4.

6

, 5.

68

, 6.

56

, 7.

15

, 8.

12

, 9.

5

, 10.

8

lat.

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

$x$ – wiek babci, $x + 2 = 64$

$x$ – liczba lat, $62 + x = 5 (6 + x)$

$x$ – liczba lat, $62 + x + 6 + x = 100$

Ćwiczenie 16

Rc1H7ZNdNtp2X

Mama ma

38

lat. Jej młodsza córka ma

7

lat, a starsza

9

lat. Na podstawie tej informacji odpowiedz na poniższe pytania. Uzupełnij luki, wpisując w nie odpowiednie liczby. Ile lat temu mama miała

3

razy więcej lat niż jej córki razem?
Odpowiedź: Mama miała

3

razy więcej lat niż jej córki Tu uzupełnij lata temu.Za ile lat mama będzie miała

2

razy więcej lat niż jej córki razem?
Odpowiedź: Mama będzie miała

2

razy więcej lat niż jej córki za Tu uzupełnij lata.

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

$x$ – liczba lat, $38 - x = 3 (7 - x + 9 - x)$

$x$ – liczba lat, $38 + x = 2 (7 + x + 9 + x)$

Ćwiczenie 17

RmEmQMVHBTpE1

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

$x$ – liczba biletów normalnych, $40 x + 25 (250 - x) = 8650$ .

Ćwiczenie 18

RjtWtZbmeBXyn

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

$x$ – kwota, którą dostała Asia, $x + 5 = 24 - x - 5$ .

Ćwiczenie 19

R1JK00doAUsDE

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

$x$ – liczba złotówek, $1 \cdot x + 5 \cdot (76 - x) = 200$ .

Ćwiczenie 20

RtpKhZ8gLMBWM

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

$x$ – szukana liczba, $\frac{1}{7} x + 14 = \frac{1}{4} x + 11$ .

Ćwiczenie 21

R9GYhzs5fbsa0

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

$\frac{1}{3} x + 2 + \frac{1}{5} x - 6 = 36$ .

Ćwiczenie 22

RMQxnePZC9F1t

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

$x$ – pierwsza liczba naturalna, $x + x + 1 + x + 2 = 372$ .

Ćwiczenie 23

RCvwmNjwRuBdo

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

$2 x$ – pierwsza liczba parzysta, $2 x + 2 x + 2 = 652 + 2 x + 4$ .

Ćwiczenie 24

R158IcrDidBD0

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

$x$ – długość krótszego boku, $2 x + 2 (x + 7) = 78$ .

Ćwiczenie 25

R1Ie7TTriZ3bB

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

$x$ – długość podstawy trójkąta, $x + x + 8 + x + 8 = 43$ .

Ćwiczenie 26

R15VgRiArheEE

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

$x$ – długość boku kwadratu, $2 (x + 4) + 2 (x - 2) = 68$ .

Ćwiczenie 27

Rcu791CiBRDPN

W regulaminie konkursu fizycznego zapisano informację, która dotyczy przyznawania punktów dodatnich i ujemnych za rozwiązanie zadania. Za każde poprawnie rozwiązane zadanie uczeń otrzymuje

5

punktów, a za każde błędnie rozwiązane zadanie traci

2

punkty. Podczas konkursu uczeń miał do rozwiązania

15

zadań. Ile zadań rozwiązał poprawnie, jeżeli zdobył

47

punktów?
Uzupełnij lukę, wpisując poprawną wartość. Odpowiedź: Rozwiązał poprawnie Tu uzupełnij zadań.

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

$x$ – liczba zadań poprawnie rozwiązanych, $5 x + (- 2) (15 - x) = 47$ .

Ćwiczenie 28

R1RBrWbykKMed

Agata przeczytała powieść historyczną w ciągu

18

godzin. Czytała ją przez

3

dni, każdego dnia o pół godziny dłużej niż poprzedniego. Ile godzin zajęło Agacie czytanie powieści drugiego dnia? Uzupełnij poniższą lukę. Kliknij w nią, aby rozwinąć listę, a następnie wybierz poprawną odpowiedź. Odpowiedź: Agacie czytanie powieści drugiego dnia zajęło 1.

8

, 2.

6

, 3.

4

, 4.

2

godzin.

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

$x$ – liczba godzin pierwszego dnia, $x + x + 0, 5 + x + 1 = 18$ .

Ćwiczenie 29

R1IB4s8nwWruY

W czasie wakacji na obóz wyjechała

\frac{1}{5}

uczniów pewnej klasy. Na wyjazd z rodziną zdecydowała się

\frac{1}{3}

uczniów, a na pozostanie w domu aż

14

osób. Ilu uczniów tej klasy wyjechało na wakacje z rodziną, a ilu na obóz, jeżeli każdy z uczniów wybrał jedną formę wypoczynku? Uzupełnij luki, wpisując odpowiednie liczby. Odpowiedź: Na wakacje z rodziną wyjechało Tu uzupełnij osób, natomiast na obóz Tu uzupełnij uczniów.

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

$x$ – liczba wszystkich osób w klasie, $\frac{1}{5} x + \frac{1}{3} x + 14 = x$ .

Ćwiczenie 30

Rr6ovuKpPwTiF

Z okazji urodzin Basia upiekła rogaliki, aby poczęstować zaproszonych gości. Połowa upieczonych rogalików była z marmoladą, połowa z pozostałych z jagodami, trzecia część pozostałych była z rodzynkami, a

6

rogalików było z bitą śmietaną. Ile rogalików z jagodami upiekła Basia?
Uzupełnij lukę, wpisując poprawną wartość. Odpowiedź: Basia upiekła Tu uzupełnij rogalików z jagodami.

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

$x$ –liczba wszystkich rogalików, $\frac{1}{2} x + \frac{1}{4} x + \frac{1}{12} x + 6 = x$ .

Ćwiczenie 31

RSlLsQ1bl4uZt

Agata jest o

6

lat starsza od swojej koleżanki Basi. Gdyby Agata była o

3

lata starsza, a Basia o

3

lata młodsza, to Agata byłaby

4

razy starsza od Basi. Na podstawie tych informacji odpowiedz na poniższe pytania, zaznaczając w każdym przypadku jedną prawidłową odpowiedź. Ile lat ma Basia?
Odpowiedź:

7

lat

8

lat

9

lat Ile lat ma Agata?
Odpowiedź:

13

lat

14

lat

15

lat Ile lat temu Agata była

2

razy starsza od Basi?
Odpowiedź:

1

rok temu

2

lata temu

3

lata temu Za ile lat Agata będzie o

5

lat starsza od Basi?
Odpowiedź: Za rok. Za dwa lata. Nigdy.

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

$x$ – wiek Basi, $x + 9 = 4 (x - 3)$ ,

$x + 6$ – wiek Agaty,

$x$ – liczba lat, $13 - x = 2 (7 - x)$ ,

$x$ – liczba lat, $13 + x = 7 + x + 5$ równanie sprzeczne.

Ćwiczenie 32

Rc5Mowtz4DSYk

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

$α$ – miara mniejszego kąta, $α + α + α + 36 ° = 180 °$

lub

$α + α + 36 ° + α + 36 ° = 180 °$ .

Ćwiczenie 33

R101PcPTB5mgf

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

$x$ – cyfra jedności, ${(4 x + x)}^{2} = 100$ .

Ćwiczenie 34

RSup7HOvkV3tg

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

$x$ – cyfra dziesiątek, ${(2 x + x + x - 1)}^{2} = 225$ .

Słownik

metoda równań równoważnych

metoda takiego przekształcania równania, aby po każdym przekształceniu otrzymać równanie równoważne danemu.

Notatnik

Możesz skorzystać z poniższego pola tekstowego do zapisania swoich notatek, rozwiązań zadań i innych informacji, które uważasz za potrzebne.

R1b8OvSPUG8s3

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

4. Zapisywanie rozwiązania zadania w postaci wyrażenia algebraicznego

6. Przekształcanie wzorów