6. Dziesiątkowy układ pozycyjny - podsumowanie - Liczby naturalne

RfzMX6ajELKCS

6. Dziesiątkowy układ pozycyjny - podsumowanie

Do zapisu wyrazów używa się liter, do zapisu liczb – cyfr. Reguły określające sposób zapisu i nazewnictwa liczb to system liczbowy. Znamy różne systemy liczbowe. Najprostszy, to system jedynkowy, którym posługują się Pigmeje. Jest w nim tylko jeden znak – $1$ .

Jeden z najstarszych systemów liczbowych, system sześćdziesiątkowy, wywodzi się ze starożytnej Mezopotamii. Obecnie spotykamy go na przykład w obliczeniach zegarowych (w podziale godziny na $60$ minut, a minuty na $60$ sekund).

W informatyce wykorzystuje się dwójkowy system liczbowy. Każda liczba w tym systemie zapisywana jest za pomocą znaków $0$ i $1$ .

Najczęściej posługujemy się dziesiątkowym systemem pozycyjnym, który teraz omówimy.

W tym materiale: rozróżnisz liczbę od cyfry, odczytasz i zapiszesz liczbę w dziesiątkowym układzie pozycyjnym, określisz pozycję cyfry w danej liczbie.

Liczby $0$ , $1$ , $2$ , $3$ , $\dots$ , $10$ , $12$ , $\dots$ nazywamy liczbami naturalnymi. Każdą liczbę naturalną zapisujemy za pomocą symboli: $0$ , $1$ , $2$ , $3$ , $4$ , $5$ , $6$ , $7$ , $8$ , $9$ zwanych cyframi lub cyframi arabskimi.

Cyfry te pochodzą z Indii, ale w Europie rozpowszechnili je Arabowie, stąd nazwa – cyfry arabskie.

Przykład 1

$3$ – liczba jednocyfrowa,
$13$ – liczba dwucyfrowa,
$8456$ – liczba czterocyfrowa.

Przykład 2

Ustalimy, ile jest liczb naturalnych:

jednocyfrowych,
dwucyfrowych,
trzycyfrowych.

Liczb jednocyfrowych jest niewiele, więc możemy je wypisać i policzyć. Wszystkie liczby naturalne jednocyfrowe to: $0$ , $1$ , $2$ , $3$ , $4$ , $5$ , $6$ , $7$ , $8$ , $9$ . Zatem jest $10$ liczb naturalnych jednocyfrowych.
Największa liczba naturalna dwucyfrowa to $99$ , największa liczba jednocyfrowa to $9$ .
$99 - 9 = 90$
Liczb dwucyfrowych jest $90$ .
Największa liczba trzycyfrowa to $999$ .
$999 - 99 = 900$
Liczb trzycyfrowych jest $900$ .

Za pomocą cyfr możemy zapisywać różne numery lub kody.
Na przykład:
$606789809$ – numer telefonu,
$69123007600$ – numer PESEL,
$035100$ – kod do sejfu.

Zauważ, że pierwszą cyfrą z lewej strony kodu lub numeru może być $0$ . Natomiast w liczbie pierwszą cyfrą z lewej strony nie może być cyfra $0$ .

Jeśli mamy trzy cyfry $1$ , $2$ , $3$ to możemy z nich ułożyć na przykład liczby $123$ , $321$ , $312$ , $231$ . Zauważ, że nie są to liczby równe, gdyż znaczenie każdej cyfry, zależy od pozycji, jaką zajmuje w zapisie danej liczby.
Dlatego system liczbowy, którym się posługujemy, nosi nazwę pozycyjnego.

Przykład 3

Określimy pozycję każdej cyfry w liczbie $576$ .
W liczbie $576$ cyfra $5$ to cyfra setek, cyfra $7$ to cyfra dziesiątek, a cyfra $6$ to cyfra jedności.

W naszym systemie liczbowym dziesięć jednostek niższego rzędu tworzy jedną jednostkę rzędu wyższego. Jest to zatem system dziesiątkowy.

Przykład 4

Liczba $812$ to $8$ setek, $1$ dziesiątka i $2$ jedności.
Możemy zapisać:

812 = 8 \cdot 100 + 1 \cdot 10 + 2

Ważne!

System liczbowy, którym się posługujemy, to dziesiątkowy system.

$10$ jedności to jedna dziesiątka
$10$ dziesiątek to jedna setka
$10$ setek to jeden tysiąc
$10$ tysięcy to jedna dziesiątka tysięcy
$10$ dziesiątek tysięcy to jedna setka tysięcy
$10$ setek tysięcy to jeden milion

Liczby możemy zapisywać nie tylko za pomocą cyfr, ale też słowami.

Przykład 5

Liczba zapisana cyframi	Liczba zapisana słowami
$304$	trzysta cztery
$555$	pięćset pięćdziesiąt pięć
$1897$	tysiąc osiemset dziewięćdziesiąt siedem
$45 000$	czterdzieści pięć tysięcy
$123 908$	sto dwadzieścia trzy tysiące dziewięćset osiem

Często zachodzi konieczność posługiwania się liczbami ośmiocyfrowymi, dziesięciocyfrowymi, albo nawet większymi. Zapisywanie dużych liczb ułatwia grupowanie cyfr trójkami od prawej strony.

Niektóre duże liczby
Liczba zapisana cyframi	Liczba zapisana słowami
$1 000 000$	milion
$1 000 000 000$	miliard
$1 000 000 000 000$	bilion
$1 000 000 000 000 000$	trylion

Przykład 6

$7$ milionów dwieście sześć to $7 000 206$
$459$ milionów to $459 000 000$
$21$ miliardów $3$ tysiące $26$ to $21 000 003 026$
$2$ tryliony $19$ bilionów to $2 019 000 000 000 000$

Liczby wielocyfrowe możemy zapisywać, używając skrótów: $tys .$ , $mln$ , $mld$ .

Przykład 7

Zapiszemy liczby za pomocą skrótów.

$32 000$ to $32 tys .$
$4 000 000$ to $4 mln$
$73 000 000 000$ to $73 mld$

$7800 t y s .$ to $7 800 000$
$11 mln$ to $11 000 000$
$5 mld$ to $5 000 000 000$

RGyh2sVdwJEuY

Źródło: GroMar Sp. z o.o, licencja: CC BY 3.0.

Polecenie 1

Zapoznaj się z mapą myśli zawierającą najważniejsze pojęcia związane z dziesiątkowym układem pozycyjnym.

R1Y4t5epaVIgt1

Źródło: GroMar Sp. z o.o, licencja: CC BY 3.0.

Mapa myśli.

Elementy należące do kategorii DZIESIĄTKOWY UKŁAD POZYCYJNY

Nazwa kategorii: cyfry
Nazwa kategorii: układ pozycyjny
Nazwa kategorii: układ dziesiątkowy
Nazwa kategorii: liczby naturalne
Nazwa kategorii: skróty
Nazwa kategorii: zapisywanie liczb

Koniec elementów należących do kategorii dziesiątkowy układ pozycyjny

Elementy należące do kategorii zapisywanie liczb

Nazwa kategorii: cyframi
Nazwa kategorii: słowami Koniec elementów należących do kategorii zapisywanie liczb

Koniec elementów należących do kategorii zapisywanie liczb

Elementy należące do kategorii cyframi

Nazwa kategorii: przykłady: $39$ , $807$ , $1254$

Koniec elementów należących do kategorii cyframi

Elementy należące do kategorii słowami

Nazwa kategorii: przykłady: sto, osiemset dwadzieścia trzy, pięćdziesiąt siedem

Koniec elementów należących do kategorii słowami

Elementy należące do kategorii liczby naturalne

Nazwa kategorii: wielocyfrowe, przykład $100000$ , $1000000$ , $1000000000$
Nazwa kategorii: jednocyfrowe, przykład $0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9$

Koniec elementów należących do kategorii liczby naturalne

Elementy należące do kategorii układ dziesiątkowy

Nazwa kategorii: Dziesięć jednostek niższego rzędu tworzy jedną jednostkę kolejnego rzędu wyższego

Koniec elementów należących do kategorii układ dziesiątkowy

Elementy należące do kategorii Znaczenie cyfry zależy od jej pozycji w liczbie

Nazwa kategorii: układ pozycyjny

Koniec elementów należących do kategorii Znaczenie cyfry zależy od jej pozycji w liczbie

Elementy należące do kategorii cyfry

Nazwa kategorii: $0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9$

Koniec elementów należących do kategorii cyfry

Elementy należące do kategorii skróty to tys. - tysiąc, mln - milion, mld - miliard.

Polecenie 2

Ile to jest: $3$ setki, $5$ dziesiątek i $4$ jedności? Zapisz cyframi odpowiednią liczbę.

R48YJa7ERKaCA

Źródło: GroMar Sp. z o.o., licencja: CC BY 3.0.

$3$ setki to $300$ .
$5$ dziesiątek to $50$ .
$4$ jedności to $4$ .

$300 + 50 + 4 = 354$

Odpowiedź:
Szukana liczba to $354$ .

Polecenie 3

Suma cyfr pewnej liczby trzycyfrowej wynosi $26$ . Znajdź tę liczbą.

R1aDeoId04AcX

Źródło: GroMar Sp. z o.o., licencja: CC BY 3.0.

Suma cyfr liczby trzycyfrowej jest równa $26$ tylko w przypadku, gdy dwie cyfry to $9$ i jedna to $8$ .

Liczby spełniające warunki zadania to: $899$ , $989$ , $998$ .

Polecenie 4

W liczbie $541$ przestawiono cyfry jedności i setek. Zapisz słowami tak uzyskaną liczbę.

RnUy4FAiRlQHd

Źródło: GroMar Sp. z o.o., licencja: CC BY 3.0.

Otrzymana liczba to $145$ .

$145$ to sto czterdzieści pięć.

Polecenie 5

Zagraj w poniższą grę i sprawdź swoje wiadomości na temat dziesiątkowego układu pozycyjnego.

RUVwdsosZYUKZ

Źródło: GroMar Sp. z o.o, licencja: CC BY 3.0.

Dziesiątkowy układ pozycyjny.62770Brawo! Test zaliczony. Umiesz się posługiwać dziesiątkowym systemem pozycyjnym.Niestety, test niezaliczony. Wróć do przykładów zawartych w tej lekcji i spróbuj jeszcze raz.1

Test

Dziesiątkowy układ pozycyjny.

Gra składa się z trzech poziomów. Na każdym poziomie jest sześć pytań. W każdym pytaniu tylko jedna poprawna odpowiedź.

Liczba pytań:

Limit czasu:

27 min

Pozostało prób:

1/1

Twój ostatni wynik:

Polecenie 6

Wypisz $3$ liczby czterocyfrowe oraz $3$ liczby sześciocyfrowe, a następnie zapisz je słownie.

RnUy4FAiRlQHd

Źródło: GroMar Sp. z o.o., licencja: CC BY 3.0.

Zauważ, że pierwszą cyfrą liczby nie może być $0$ .

Liczby czterocyfrowe:

$1002$ – tysiąc dwa,
$5432$ – pięć tysięcy czterysta trzydzieści dwa,
$9250$ – dziewięć tysięcy dwieście pięćdziesiąt.

Liczby sześciocyfrowe:

$100375$ – sto tysięcy trzysta siedemdziesiąt pięć,
$538902$ – pięćset trzydzieści osiem tysięcy dziewięćset dwa,
$999999$ – dziewięćset dziewięćdziesiąt dziewięć tysięcy dziewięćset dziewięćdziesiąt dziewięć.

Polecenie 7

Zapisz podane poniżej liczby słownie:

$53081$ ,
$530081$ ,
$5300810$ ,
$53008100$ .

RnUy4FAiRlQHd

Źródło: GroMar Sp. z o.o., licencja: CC BY 3.0.

Polecenie 8

Liczbę $9542$ można zapisać w postaci

9542 = 9 \cdot 1000 + 5 \cdot 100 + 4 \cdot 10 + 2 \cdot 1

Zapisz analogicznie liczby

$70212$ ,
$402982$ ,
$557931$ ,
$9008411$ .

R1AerQ6ld4ieJ

Źródło: GroMar Sp. z o.o, licencja: CC BY 3.0.

$70212 = 7 \cdot 10000 + 2 \cdot 100 + 1 \cdot 10 + 2 \cdot 1$ ,
$402982 = 4 \cdot 100000 + 2 \cdot 1000 + 9 \cdot 100 + 8 \cdot 10 + 2 \cdot 1$ ,
$557931 = 5 \cdot 100000 + 5 \cdot 10000 + 7 \cdot 1000 + 9 \cdot 100 + 3 \cdot 10 + 1 \cdot 1$ ,
$9008411 = 9 \cdot 1000000 + 8 \cdot 1000 + 4 \cdot 100 + 1 \cdot 10 + 1 \cdot 1$ .

RMs7eyq7fqbEK

Ćwiczenie 1

Źródło: GroMar Sp. z o.o, licencja: CC BY 3.0.

R1ILiAxgO7fPT

Ćwiczenie 2

Źródło: GroMar Sp. z o.o, licencja: CC BY 3.0.

R38X90Z57JT8O

Ćwiczenie 3

Źródło: GroMar Sp. z o.o, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 4

R7LYar9jpFCHk

Uzupełnij zdanie, przeciągając odpowiednie wyrazy. Cyfra

2

w liczbie

302

zapisana jest w rzędzie 1. dziesiątek tysięcy, 2. jedności, 3. setek, 4. dziesiątek.Cyfra

5

w liczbie

18539

zapisana jest w rzędzie 1. dziesiątek tysięcy, 2. jedności, 3. setek, 4. dziesiątek.Cyfra

0

w liczbie

607831

zapisana jest w rzędzie 1. dziesiątek tysięcy, 2. jedności, 3. setek, 4. dziesiątekCyfra

4

w liczbie

1989643

zapisana jest w rzędzie 1. dziesiątek tysięcy, 2. jedności, 3. setek, 4. dziesiątek

Źródło: GroMar Sp. z o.o, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 5

R1AucimtQaHzv

Połącz w pary liczbę zapisaną słowami z liczbą zapisaną cyframi. sto dwadzieścia osiem Możliwe odpowiedzi: 1.

1503

, 2.

581605012

, 3.

8281013

, 4.

501355

, 5.

53005

, 6.

3500

, 7.

128

, 8.

15003

tysiąc pięćset trzy Możliwe odpowiedzi: 1.

1503

, 2.

581605012

, 3.

8281013

, 4.

501355

, 5.

53005

, 6.

3500

, 7.

128

, 8.

15003

piętnaście tysięcy trzy Możliwe odpowiedzi: 1.

1503

, 2.

581605012

, 3.

8281013

, 4.

501355

, 5.

53005

, 6.

3500

, 7.

128

, 8.

15003

trzy tysiące pięćset Możliwe odpowiedzi: 1.

1503

, 2.

581605012

, 3.

8281013

, 4.

501355

, 5.

53005

, 6.

3500

, 7.

128

, 8.

15003

pięćdziesiąt trzy tysiące pięć Możliwe odpowiedzi: 1.

1503

, 2.

581605012

, 3.

8281013

, 4.

501355

, 5.

53005

, 6.

3500

, 7.

128

, 8.

15003

pięćset jeden tysięcy trzysta pięćdziesiąt pięć Możliwe odpowiedzi: 1.

1503

, 2.

581605012

, 3.

8281013

, 4.

501355

, 5.

53005

, 6.

3500

, 7.

128

, 8.

15003

osiem milionów dwieście osiemdziesiąt jeden tysięcy trzynaście Możliwe odpowiedzi: 1.

1503

, 2.

581605012

, 3.

8281013

, 4.

501355

, 5.

53005

, 6.

3500

, 7.

128

, 8.

15003

pięćset osiemdziesiąt jeden milionów sześćset pięć tysięcy dwanaście Możliwe odpowiedzi: 1.

1503

, 2.

581605012

, 3.

8281013

, 4.

501355

, 5.

53005

, 6.

3500

, 7.

128

, 8.

15003

Źródło: GroMar Sp. z o.o, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 6

Rwg5DY1Tsq4uu

Źródło: GroMar Sp. z o.o, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 7

Zapisz słowami liczby podane w zdaniach.

Godzina ma $3600$ sekund.
Najwyższa góra w Polsce to Rysy o wysokości $2503 m$ .
Lublin liczy ponad $342 000$ mieszkańców.
Standardowe samoloty pasażerskie latają z prędkością około $235$ metrów na sekundę.
Helikopter lata zwykle na wysokości $3458 m$ .

R13Z4wKKLiVl3

Źródło: GroMar Sp. z o.o, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 8

Zapisz cyframi liczbę:

M = 3 \cdot 1 000 000 000 + 4 \cdot 10 000 000 + 7 \cdot 100 000 + 5 \cdot 100 + 8 \cdot 10 + 2

Określ pozycję każdej z cyfr w zapisanej liczbie.

R4AOQUyG7fkjA

Źródło: GroMar Sp. z o.o, licencja: CC BY 3.0.

Niektóre cyfry w liczbie $M$ będą zerami.

M = 3 040 700 582

$2$ – cyfra jedności,
$8$ – cyfra dziesiątek,
$5$ – cyfra setek,
$0$ – cyfra tysięcy,
$0$ – cyfra dziesiątek tysięcy,
$7$ – cyfra setek tysięcy,
$0$ – cyfra milionów,
$4$ – cyfra dziesiątek milionów,
$0$ – cyfra setek milionów,
$3$ – cyfra miliardów.

Notatnik

Możesz skorzystać z poniższego pola tekstowego do zapisania swoich notatek, rozwiązań zadań i innych informacji, które uważasz za potrzebne.

R1b8OvSPUG8s3

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

5. Zaokrąglanie liczb naturalnych

Liczby naturalne