Zdjęcie przedstawia tzw. korale matematyczne tzn. stojak z prętami na których znajdują się korale, które można przesuwać i liczyć. W poprzek na czarnym pasku napis - Własności liczb naturalnych.
Zdjęcie przedstawia tzw. korale matematyczne tzn. stojak z prętami na których znajdują się korale, które można przesuwać i liczyć. W poprzek na czarnym pasku napis - Własności liczb naturalnych.
Czy wiesz, że istnieją liczby doskonałe? Liczba doskonała, to liczba naturalna, która jest równa sumie wszystkich swoich dzielników naturalnych (czyli od niej mniejszych). Najmniejszą liczbą doskonałą jest 6.
Następna liczba doskonała to 28.
Największe znane obecnie liczby doskonałe są większe od dziesięciu milionów.
W tym materiale poznasz cechy podzielności, czyli metody pozwalające określić, czy dana liczba jest podzielna bez reszty przez inną. Znajomość tych cech, być może powoli ci odkryć kolejną liczbę doskonałą.
Cecha podzielności przez dwa
RSJcocjR7gbna1
Animacja przedstawia cechę podzielności przez 2.
Animacja przedstawia cechę podzielności przez 2.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Animacja przedstawia cechę podzielności przez 2.
RjRexjwVM0r9h
Ćwiczenie 1
Określ, czy podane liczby są podzielne przez . Dopasuj liczby do odpowiednich grup, przeciągając je. Liczby podzielne przez Możliwe odpowiedzi: 1. , 2. , 3. , 4. , 5. , 6. , 7. , 8. , 9. , 10. Liczby niepodzielne przez Możliwe odpowiedzi: 1. , 2. , 3. , 4. , 5. , 6. , 7. , 8. , 9. , 10.
Określ, czy podane liczby są podzielne przez . Dopasuj liczby do odpowiednich grup, przeciągając je. Liczby podzielne przez Możliwe odpowiedzi: 1. , 2. , 3. , 4. , 5. , 6. , 7. , 8. , 9. , 10. Liczby niepodzielne przez Możliwe odpowiedzi: 1. , 2. , 3. , 4. , 5. , 6. , 7. , 8. , 9. , 10.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Ważne!
Liczba jest podzielna przez wtedy i tylko wtedy, jeśli w rzędzie jedności ma jedną z cyfr: , , , lub .
R9hWOOLLzTVw0
Ćwiczenie 2
Określ, czy podane liczby są podzielne przez . Dopasuj liczby do odpowiednich grup, przeciągając je lub wybierz prawidłowe odpowiedzi z listy rozwijalnej. liczby podzielne przez Możliwe odpowiedzi: 1. , 2. , 3. , 4. , 5. , 6. , 7. , 8. , 9. , 10. , 11. , 12. , 13. , 14. , 15. , 16. , 17. , 18. , 19. , 20. liczby niepodzielne przez Możliwe odpowiedzi: 1. , 2. , 3. , 4. , 5. , 6. , 7. , 8. , 9. , 10. , 11. , 12. , 13. , 14. , 15. , 16. , 17. , 18. , 19. , 20.
Określ, czy podane liczby są podzielne przez . Dopasuj liczby do odpowiednich grup, przeciągając je lub wybierz prawidłowe odpowiedzi z listy rozwijalnej. liczby podzielne przez Możliwe odpowiedzi: 1. , 2. , 3. , 4. , 5. , 6. , 7. , 8. , 9. , 10. , 11. , 12. , 13. , 14. , 15. , 16. , 17. , 18. , 19. , 20. liczby niepodzielne przez Możliwe odpowiedzi: 1. , 2. , 3. , 4. , 5. , 6. , 7. , 8. , 9. , 10. , 11. , 12. , 13. , 14. , 15. , 16. , 17. , 18. , 19. , 20.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
R101F6kTUnQ7Z
Ćwiczenie 3
Wypisz w kolejności rosnącej pięć liczb naturalnych podzielnych przez , większych od , a mniejszych od , aby ich suma była największa. Szukane liczby to: Tu uzupełnij, Tu uzupełnij, Tu uzupełnij, Tu uzupełnij oraz Tu uzupełnij.
Wypisz w kolejności rosnącej pięć liczb naturalnych podzielnych przez , większych od , a mniejszych od , aby ich suma była największa. Szukane liczby to: Tu uzupełnij, Tu uzupełnij, Tu uzupełnij, Tu uzupełnij oraz Tu uzupełnij.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Rz2OdA9IGnky4
Ćwiczenie 4
Z cyfr , , , ułożono trzycyfrowe liczby podzielne przez i trzycyfrowe liczby niepodzielne przez . Przeciągnij i upuść liczby do odpowiedniej grupy lub wybierz poprawne odpowiedzi z listy rozwijalnej. Podzielne przez : Możliwe odpowiedzi: 1. , 2. , 3. , 4. , 5. , 6. , 7. , 8. , 9. , 10. , 11. , 12. , 13. , 14. , 15. , 16. , 17. , 18. , 19. , 20. , 21. , 22. , 23. , 24. Niepodzielne przez : Możliwe odpowiedzi: 1. , 2. , 3. , 4. , 5. , 6. , 7. , 8. , 9. , 10. , 11. , 12. , 13. , 14. , 15. , 16. , 17. , 18. , 19. , 20. , 21. , 22. , 23. , 24.
Z cyfr , , , ułożono trzycyfrowe liczby podzielne przez i trzycyfrowe liczby niepodzielne przez . Przeciągnij i upuść liczby do odpowiedniej grupy lub wybierz poprawne odpowiedzi z listy rozwijalnej. Podzielne przez : Możliwe odpowiedzi: 1. , 2. , 3. , 4. , 5. , 6. , 7. , 8. , 9. , 10. , 11. , 12. , 13. , 14. , 15. , 16. , 17. , 18. , 19. , 20. , 21. , 22. , 23. , 24. Niepodzielne przez : Możliwe odpowiedzi: 1. , 2. , 3. , 4. , 5. , 6. , 7. , 8. , 9. , 10. , 11. , 12. , 13. , 14. , 15. , 16. , 17. , 18. , 19. , 20. , 21. , 22. , 23. , 24.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Cecha podzielności przez pięć
Rze3Y7mW9B9HV
Ćwiczenie 5
Mając do dyspozycji wyłącznie monety o nominale , spróbuj uzyskać potrzebną kwotę. Czy zawsze możesz uzyskać podaną kwotę? Uzupełnij komórki tabeli, wstawiając w puste miejsca odpowiednie z podanych wartości lub wyrażeń, lub wybierz poprawne odpowiedzi z listy rozwijalnej.
Mając do dyspozycji wyłącznie monety o nominale , spróbuj uzyskać potrzebną kwotę. Czy zawsze możesz uzyskać podaną kwotę? Uzupełnij komórki tabeli, wstawiając w puste miejsca odpowiednie z podanych wartości lub wyrażeń, lub wybierz poprawne odpowiedzi z listy rozwijalnej.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
RDVSJBCXnftat
Ćwiczenie 6
Uzupełnij brakującą cyfrę, tak aby utworzona liczba była podzielna przez . Wpisz w luki odpowiednie wartości. Tu uzupełnij Tu uzupełnij Tu uzupełnij Tu uzupełnij
Uzupełnij brakującą cyfrę, tak aby utworzona liczba była podzielna przez . Wpisz w luki odpowiednie wartości. Tu uzupełnij Tu uzupełnij Tu uzupełnij Tu uzupełnij
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Ważne!
Liczba naturalna jest podzielna przez wtedy i tylko wtedy, gdy w rzędzie jedności ma jedną z cyfr: lub .
REA4o8JO84nUH
Ćwiczenie 7
Znajdź liczby spełniające poniższe warunki, a następnie wypełnij luki, wpisując szukane liczby. Najmniejsza liczba dwucyfrowa podzielna przez . Odpowiedź: Szukana liczba to Tu uzupełnij. Największa liczba dwucyfrowa podzielna przez . Odpowiedź: Szukana liczba to Tu uzupełnij. Wszystkie liczby dwucyfrowe podzielne przez większe od , a mniejsze od , zapisane w kolejności rosnącej. Odpowiedź: Szukane liczby to Tu uzupełnij, Tu uzupełnij, Tu uzupełnij, Tu uzupełnij, Tu uzupełnij, Tu uzupełnij, Tu uzupełnij, Tu uzupełnij, Tu uzupełnij, Tu uzupełnij oraz Tu uzupełnij. Wszystkie liczby dwucyfrowe podzielne jednocześnie przez i przez , zapisane w kolejności rosnącej. Odpowiedź: Szukane liczby to Tu uzupełnij, Tu uzupełnij, Tu uzupełnij, Tu uzupełnij, Tu uzupełnij, Tu uzupełnij, Tu uzupełnij, Tu uzupełnij oraz Tu uzupełnij.
Znajdź liczby spełniające poniższe warunki, a następnie wypełnij luki, wpisując szukane liczby. Najmniejsza liczba dwucyfrowa podzielna przez . Odpowiedź: Szukana liczba to Tu uzupełnij. Największa liczba dwucyfrowa podzielna przez . Odpowiedź: Szukana liczba to Tu uzupełnij. Wszystkie liczby dwucyfrowe podzielne przez większe od , a mniejsze od , zapisane w kolejności rosnącej. Odpowiedź: Szukane liczby to Tu uzupełnij, Tu uzupełnij, Tu uzupełnij, Tu uzupełnij, Tu uzupełnij, Tu uzupełnij, Tu uzupełnij, Tu uzupełnij, Tu uzupełnij, Tu uzupełnij oraz Tu uzupełnij. Wszystkie liczby dwucyfrowe podzielne jednocześnie przez i przez , zapisane w kolejności rosnącej. Odpowiedź: Szukane liczby to Tu uzupełnij, Tu uzupełnij, Tu uzupełnij, Tu uzupełnij, Tu uzupełnij, Tu uzupełnij, Tu uzupełnij, Tu uzupełnij oraz Tu uzupełnij.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Cecha podzielności przez dziesięć
Rmm11LbsLlRVF
Ćwiczenie 8
Mając do dyspozycji wyłącznie banknoty o nominale , spróbuj uzyskać potrzebną kwotę. Czy zawsze możesz uzyskać daną kwotę? Uzupełnij komórki tabeli, wstawiając w puste miejsca odpowiednie z podanych wartości lub wyrażeń, lub wybierz poprawne odpowiedzi z listy rozwijalnej.
Mając do dyspozycji wyłącznie banknoty o nominale , spróbuj uzyskać potrzebną kwotę. Czy zawsze możesz uzyskać daną kwotę? Uzupełnij komórki tabeli, wstawiając w puste miejsca odpowiednie z podanych wartości lub wyrażeń, lub wybierz poprawne odpowiedzi z listy rozwijalnej.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Ważne!
Liczba naturalna jest podzielna przez wtedy i tylko wtedy, gdy cyfrą jej jedności jest .
RlFxDxbOuWCf1
Ćwiczenie 9
Znajdź liczby spełniające poniższe warunki, a następnie wypełnij luki, wpisując szukane liczby. Spośród danych liczb: , , , , , , , , , , , , wypisz w kolejności rosnącej liczby podzielne przez . Odpowiedź: Szukane liczby to Tu uzupełnij, Tu uzupełnij, Tu uzupełnij, Tu uzupełnij, Tu uzupełnij, Tu uzupełnij, Tu uzupełnij, Tu uzupełnij oraz Tu uzupełnij. Czy wśród tych liczb są liczby podzielne przez ? Wypisz je w kolejności rosnącej. Odpowiedź: Szukane liczby to Tu uzupełnij, Tu uzupełnij, Tu uzupełnij, Tu uzupełnij oraz Tu uzupełnij. Liczba jest podzielna przez , gdy ostatnie dwie jej cyfry to Tu uzupełnijTu uzupełnij.
Znajdź liczby spełniające poniższe warunki, a następnie wypełnij luki, wpisując szukane liczby. Spośród danych liczb: , , , , , , , , , , , , wypisz w kolejności rosnącej liczby podzielne przez . Odpowiedź: Szukane liczby to Tu uzupełnij, Tu uzupełnij, Tu uzupełnij, Tu uzupełnij, Tu uzupełnij, Tu uzupełnij, Tu uzupełnij, Tu uzupełnij oraz Tu uzupełnij. Czy wśród tych liczb są liczby podzielne przez ? Wypisz je w kolejności rosnącej. Odpowiedź: Szukane liczby to Tu uzupełnij, Tu uzupełnij, Tu uzupełnij, Tu uzupełnij oraz Tu uzupełnij. Liczba jest podzielna przez , gdy ostatnie dwie jej cyfry to Tu uzupełnijTu uzupełnij.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
R1MSAjZmJ2pA0
Ćwiczenie 10
Jaką cyfrę można wpisać w miejsce kropek, żeby liczba była podzielna przez daną liczbę? Przyporządkuj liczby, które można wstawić w lukę do danej podzielności. podzielność przez Możliwe odpowiedzi: 1. , 2. , 3. , 4. , 5. , 6. , 7. , 8. , 9. , 10. , 11. , 12. , 13. , 14. , 15. , 16. , 17. , 18. , 19. , 20. , 21. podzielność przez Możliwe odpowiedzi: 1. , 2. , 3. , 4. , 5. , 6. , 7. , 8. , 9. , 10. , 11. , 12. , 13. , 14. , 15. , 16. , 17. , 18. , 19. , 20. , 21. podzielność przez Możliwe odpowiedzi: 1. , 2. , 3. , 4. , 5. , 6. , 7. , 8. , 9. , 10. , 11. , 12. , 13. , 14. , 15. , 16. , 17. , 18. , 19. , 20. , 21.
Jaką cyfrę można wpisać w miejsce kropek, żeby liczba była podzielna przez daną liczbę? Przyporządkuj liczby, które można wstawić w lukę do danej podzielności. podzielność przez Możliwe odpowiedzi: 1. , 2. , 3. , 4. , 5. , 6. , 7. , 8. , 9. , 10. , 11. , 12. , 13. , 14. , 15. , 16. , 17. , 18. , 19. , 20. , 21. podzielność przez Możliwe odpowiedzi: 1. , 2. , 3. , 4. , 5. , 6. , 7. , 8. , 9. , 10. , 11. , 12. , 13. , 14. , 15. , 16. , 17. , 18. , 19. , 20. , 21. podzielność przez Możliwe odpowiedzi: 1. , 2. , 3. , 4. , 5. , 6. , 7. , 8. , 9. , 10. , 11. , 12. , 13. , 14. , 15. , 16. , 17. , 18. , 19. , 20. , 21.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Cecha podzielności przez trzy oraz cecha podzielności przez dziewięć
Poznamy teraz cechy podzielności przez i . Tym razem nie wystarczy popatrzeć na cyfrę jedności liczby. Na przykład: Liczba ma cyfrę jedności , ale
reszty
Podobnie
reszty
W obu przypadkach reszty są różne od zera, zatem liczba nie jest podzielna przez , a liczba nie jest podzielna przez . Spróbujmy znaleźć cechy podzielności przez i .
Rp4GO3ICQeMCq
Ćwiczenie 11
Wśród liczb zapisanych poniżej wskaż te, które są podzielne przez . Zaznacz prawidłowe odpowiedzi. Możliwe odpowiedzi: 1. , 2. , 3. , 4. , 5. , 6.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
RPURPc2VyMDPf
Ćwiczenie 12
Oblicz sumę cyfr podanej liczby. Wynik wpisz w puste miejsce. Suma cyfr w liczbie wynosi Tu uzupełnij. Suma cyfr w liczbie wynosi Tu uzupełnij. Suma cyfr w liczbie wynosi Tu uzupełnij. Suma cyfr w liczbie wynosi Tu uzupełnij. Suma cyfr w liczbie wynosi Tu uzupełnij. Suma cyfr w liczbie wynosi Tu uzupełnij.
Oblicz sumę cyfr podanej liczby. Wynik wpisz w puste miejsce. Suma cyfr w liczbie wynosi Tu uzupełnij. Suma cyfr w liczbie wynosi Tu uzupełnij. Suma cyfr w liczbie wynosi Tu uzupełnij. Suma cyfr w liczbie wynosi Tu uzupełnij. Suma cyfr w liczbie wynosi Tu uzupełnij. Suma cyfr w liczbie wynosi Tu uzupełnij.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
R11napz4b8yHZ
Ćwiczenie 13
Wśród liczb zapisanych poniżej wskaż te, które są podzielne przez . Możliwe odpowiedzi: 1. , 2. , 3. , 4. , 5. , 6.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Ważne!
Liczba naturalna jest podzielna przez wtedy i tylko wtedy, gdy suma jej cyfr jest podzielna przez .
ROBeQQjmhoYHF
Ćwiczenie 14
Korzystając z kalkulatora, sprawdź, czy podana liczba jest podzielna przez . Zaznacz prawidłowe odpowiedzi. Możliwe odpowiedzi: 1. , 2. , 3. , 4. , 5. , 6.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
R8we5RQZJQUkF
Ćwiczenie 15
Oblicz sumę cyfr podanej liczby. Wynik wpisz w puste miejsce. Suma cyfr w liczbie wynosi Tu uzupełnij. Suma cyfr w liczbie wynosi Tu uzupełnij. Suma cyfr w liczbie wynosi Tu uzupełnij. Suma cyfr w liczbie wynosi Tu uzupełnij. Suma cyfr w liczbie wynosi Tu uzupełnij. Suma cyfr w liczbie wynosi Tu uzupełnij.
Oblicz sumę cyfr podanej liczby. Wynik wpisz w puste miejsce. Suma cyfr w liczbie wynosi Tu uzupełnij. Suma cyfr w liczbie wynosi Tu uzupełnij. Suma cyfr w liczbie wynosi Tu uzupełnij. Suma cyfr w liczbie wynosi Tu uzupełnij. Suma cyfr w liczbie wynosi Tu uzupełnij. Suma cyfr w liczbie wynosi Tu uzupełnij.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Rnq3Zk3WEYXR7
RUuLv7D9CkV4B
Ćwiczenie 16
Czy sumy cyfr poniższych liczb są podzielne przez ? Zaznacz wszystkie prawidłowe odpowiedzi. Możliwe odpowiedzi: 1. , 2. , 3. , 4. , 5. , 6.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Ważne!
Liczba naturalna jest podzielna przez wtedy i tylko wtedy, gdy suma jej cyfr jest podzielna przez .
RkjHWlqm7YLIe
Ćwiczenie 18
Zaznacz zdanie prawdziwe. Możliwe odpowiedzi: 1. Każda liczba podzielna przez jest również podzielna przez , 2. Każda liczba podzielna przez jest również podzielna przez , 3. Każda liczba nieparzysta jest podzielna przez , 4. Liczba jest podzielna przez , gdy suma jej cyfry jedności i cyfry dziesiątek jest równa
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Ciekawostka
Liczba jest podzielna przez , jeżeli jest podzielna przez i .
Liczba jest podzielna przez , jeżeli od liczby powstałej przez skreślenie trzech ostatnich cyfr odejmiemy liczbę skreśloną i otrzymana liczba jest podzielna przez .
Liczba jest podzielna przez , jeżeli jej trzy ostatnie cyfry tworzą liczbę podzielną przez lub są zerami.
Liczba jest podzielna przez , jeżeli jej dwie ostatnie cyfry tworzą liczbę podzielną przez .
RzD40AEMdVgJc
Ćwiczenie 19
Skorzystaj ze znanych ci już cech podzielności i dopasuj podane liczby do odpowiedniej grupy, przeciągając je. Liczby podzielne przez : Możliwe odpowiedzi: 1. , 2. , 3. , 4. , 5. , 6. , 7. , 8. , 9. , 10. , 11. Liczby podzielne przez : Możliwe odpowiedzi: 1. , 2. , 3. , 4. , 5. , 6. , 7. , 8. , 9. , 10. , 11. Liczby podzielne przez : Możliwe odpowiedzi: 1. , 2. , 3. , 4. , 5. , 6. , 7. , 8. , 9. , 10. , 11.
Skorzystaj ze znanych ci już cech podzielności i dopasuj podane liczby do odpowiedniej grupy, przeciągając je. Liczby podzielne przez : Możliwe odpowiedzi: 1. , 2. , 3. , 4. , 5. , 6. , 7. , 8. , 9. , 10. , 11. Liczby podzielne przez : Możliwe odpowiedzi: 1. , 2. , 3. , 4. , 5. , 6. , 7. , 8. , 9. , 10. , 11. Liczby podzielne przez : Możliwe odpowiedzi: 1. , 2. , 3. , 4. , 5. , 6. , 7. , 8. , 9. , 10. , 11.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
RgldAH2LLYw8v
Ćwiczenie 20
Jaka to liczba? Uzupełnij lukę w zdaniu, wpisując poprawną wartość. Najmniejsza liczba czterocyfrowa podzielna przez . Odpowiedź: Jest to liczba Tu uzupełnij.Największa liczba trzycyfrowa podzielna przez . Odpowiedź: Jest to liczba Tu uzupełnij.
Jaka to liczba? Uzupełnij lukę w zdaniu, wpisując poprawną wartość. Najmniejsza liczba czterocyfrowa podzielna przez . Odpowiedź: Jest to liczba Tu uzupełnij.Największa liczba trzycyfrowa podzielna przez . Odpowiedź: Jest to liczba Tu uzupełnij.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
RPbDzH2raWu9r
Ćwiczenie 21
Jaką cyfrę należy wpisać w miejsce kropek, aby liczba była podzielna przez i ? Zaznacz poprawną odpowiedź. Możliwe odpowiedzi: 1. , 2. , 3. , 4.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Notatnik
Możesz skorzystać z poniższego pola tekstowego do zapisania swoich notatek, rozwiązań zadań i innych informacji, które uważasz za potrzebne.
R1b8OvSPUG8s3
(Uzupełnij).
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
