3. Liczby pierwsze i liczby złożone

R12ScWMqniNOC

R1aFmVB5a7jZg

Rysunek przedstawia głowę starogreckiego uczonego Eratostenesa. Mężczyzna ma brodę i kręcone włosy u dołu głowy, u góry jest łysy. — Eratostenes z Cyreny (nowożytna rycina)
Źródło: dostępny w internecie Wikimedia Commons, domena publiczna.

Eratostenes to grecki matematyk, astronom, filozof, geograf i poeta. Żył w latach $276 - 194$ p.n.e. Eratostenes był wszechstronnym naukowcem - wyznaczył obwód Ziemi, oszacował odległość od Słońca i Księżyca do Ziemi, jako pierwszy zaproponował wprowadzenie roku przestępnego.

Matematykom znany jest głównie z tego, że podał sposób znajdowania liczb pierwszych, zwany obecnie sitem Eratostenesa.

Jakie liczby nazywamy liczbami pierwszymi dowiesz się, analizując definicje zawarte w tym materiale. Poznasz też liczby złożone i liczby, które nie są ani liczbami pierwszymi, ani złożonymi.

Liczba złożona

Definicja: Liczba złożona

Liczbę naturalną, która ma więcej niż dwa dzielniki i jest liczbą różną od zera, nazywamy liczbą złożoną.

Liczba pierwsza

Definicja: Liczba pierwsza

Liczbę naturalną, która ma tylko dwa dzielniki: jeden i samą siebie, nazywamy liczbą pierwszą.

Ważne!

Liczba $1$ nie jest ani liczbą pierwszą, ani złożoną.
Liczba $0$ nie jest ani liczbą pierwszą, ani złożoną.

Ćwiczenie 1

Tabela przedstawia dywanik $100$ liczb, na którym wykreślono liczbę $1$ . Znajdziemy wśród tych liczb wszystkie liczby pierwsze mniejsze od 100. Zastosujemy sposób, zwany sitem Eratostenesa.

Zaznaczaj na dywaniku liczby w następujący sposób:

- nie zaznaczaj liczb $2$ , $3$ , $5$ , $7$ , $11$ , a jedynie wszystkie kolejne ich wielokrotności,

- jeżeli któraś wielokrotność była już zaznaczona wcześniej, nie zaznaczaj jej ponownie.

Rhfwdx6L7gMqy

Łączenie par. .

11

. Możliwe odpowiedzi:

2

3

4

5

6

7

8

9

10

21

. Możliwe odpowiedzi:

2

3

4

5

6

7

8

9

10

31

. Możliwe odpowiedzi:

2

3

4

5

6

7

8

9

10

41

. Możliwe odpowiedzi:

2

3

4

5

6

7

8

9

10

51

. Możliwe odpowiedzi:

2

3

4

5

6

7

8

9

10

61

. Możliwe odpowiedzi:

2

3

4

5

6

7

8

9

10

71

. Możliwe odpowiedzi:

2

3

4

5

6

7

8

9

10

81

. Możliwe odpowiedzi:

2

3

4

5

6

7

8

9

10

91

. Możliwe odpowiedzi:

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RFdQOETo09GOy

Wykonaj poniższe polecenia i wpisz w luki odpowiednie liczby. Wypisz kolejno wszystkie liczby, które nie zostały zaznaczone. Są to liczby pierwsze. Te liczby to: Tu uzupełnij, Tu uzupełnij, Tu uzupełnij, Tu uzupełnij, Tu uzupełnij, Tu uzupełnij, Tu uzupełnij, Tu uzupełnij, Tu uzupełnij, Tu uzupełnij, Tu uzupełnij, Tu uzupełnij, Tu uzupełnij, Tu uzupełnij, Tu uzupełnij, Tu uzupełnij, Tu uzupełnij, Tu uzupełnij, Tu uzupełnij, Tu uzupełnij, Tu uzupełnij, Tu uzupełnij, Tu uzupełnij, Tu uzupełnij, Tu uzupełnij. Policz, ile jest liczb pierwszych wśród liczb naturalnych od

1

100

. Tych liczb jest Tu uzupełnij.

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R1FTnkVxjTqL9

Ćwiczenie 2

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R5EUFfgGt38xQ

Zapamiętaj!

Aby znaleźć liczby pierwsze większe od $101$ i mniejsze od $200$ , można również zastosować sito Eratostenesa. Wystarczy w tym przypadku wykreślić wszystkie wielokrotności liczb: $2$ , $3$ , $5$ , $7$ , $11$ i $13$ (oprócz nich samych). Pozostaną wówczas na planszy liczby pierwsze.

Na przykład:

$121$ nie jest liczbą pierwszą, bo jest wielokrotnością liczby $11$ .
$119$ nie jest liczbą pierwszą, bo jest wielokrotnością liczby $7$ .
$199$ to liczba pierwsza, bo nie jest podzielna przez żadną z liczb: $2$ , $3$ , $5$ , $7$ , $11$ i $13$ .

R1E542z4x8RLh

Ćwiczenie 3

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RI1teyzzvS0EG

Ćwiczenie 4

Adaś, Tomek i Wojtek zbierają samochodziki. Liczba samochodzików Adasia to najmniejsza dwucyfrowa liczba pierwsza, a liczby samochodzików Tomka i Wojtka to kolejne dwucyfrowe liczby pierwsze większe od

30

, a mniejsze od

40

. Ile samochodzików ma każdy z chłopców? Uzupełnij odpowiedź, przeciągając w luki odpowiednie liczby lub kliknij w lukę i wybierz odpowiedź z listy rozwijalnej. Odpowiedź: Adaś ma 1.

37

, 2.

39

, 3.

33

, 4.

35

, 5.

15

, 6.

11

, 7.

31

, 8.

13

, 9.

35

, Tomek 1.

37

, 2.

39

, 3.

33

, 4.

35

, 5.

15

, 6.

11

, 7.

31

, 8.

13

, 9.

35

, a Wojtek 1.

37

, 2.

39

, 3.

33

, 4.

35

, 5.

15

, 6.

11

, 7.

31

, 8.

13

, 9.

35

samochodzików.

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RsgzYF1r5loE6

Ćwiczenie 5

Liczby pierwsze wokół nas.

Uzupełnij zdania, przeciągając w luki odpowiednie słowa lub kliknij w lukę i wybierz odpowiedź z listy rozwijalnej. Ocena bardzo dobry w szkole: 1. dwa, 2. jedenastu, 3. piątka, 4. luty, 5. trzynaście, 6. siedemnaście, 7. trzy, 8. siedemMiesiąc, który czasami ma

29

dni: 1. dwa, 2. jedenastu, 3. piątka, 4. luty, 5. trzynaście, 6. siedemnaście, 7. trzy, 8. siedemIlu jest piłkarzy jednej drużyny na boisku do piłki nożnej? 1. dwa, 2. jedenastu, 3. piątka, 4. luty, 5. trzynaście, 6. siedemnaście, 7. trzy, 8. siedemSuma czterech pierwszych liczb pierwszych: 1. dwa, 2. jedenastu, 3. piątka, 4. luty, 5. trzynaście, 6. siedemnaście, 7. trzy, 8. siedemLiczba kątów w trójkącie: 1. dwa, 2. jedenastu, 3. piątka, 4. luty, 5. trzynaście, 6. siedemnaście, 7. trzy, 8. siedem„Pechowa liczba”: 1. dwa, 2. jedenastu, 3. piątka, 4. luty, 5. trzynaście, 6. siedemnaście, 7. trzy, 8. siedemLiczba cudów świata: 1. dwa, 2. jedenastu, 3. piątka, 4. luty, 5. trzynaście, 6. siedemnaście, 7. trzy, 8. siedemOdcinek ma 1. dwa, 2. jedenastu, 3. piątka, 4. luty, 5. trzynaście, 6. siedemnaście, 7. trzy, 8. siedem końce.

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ciekawostka

Liczby pierwsze.

Największa liczba pierwsza odkryta do $25$ stycznia $2023$ roku ma ponad $24 000 000$ cyfr w zapisie dziesiętnym.

Jedna z firm ustanowiła nagrody:

$100$ tysięcy dolarów dla odkrywcy liczby pierwszej (dotąd nieznanej), która ma więcej niż $10$ milionów cyfr,
$150$ tysięcy dolarów dla odkrywcy liczby pierwszej, która ma więcej niż $100$ milionów cyfr.

Liczb pierwszych jest nieskończenie wiele. Do wyszukiwania dużych liczb pierwszych wykorzystuje się komputery.

W wielu projektach poszukiwania nowych liczb pierwszych uczestniczą ochotnicy. W takim projekcie często bierze więc udział ponad $70$ tysięcy komputerów.

(Wikipedia)

RSPO3tFM4Z4ck

Ćwiczenie 6

Spośród liczb pierwszych mniejszych od

100

wypisz wszystkie pary liczb lustrzanych i liczby zapisane za pomocą kolejnych cyfr. Uzupełnij zdania, przeciągając w luki odpowiednie liczby lub kliknij w lukę i wybierz odpowiedź z listy rozwijalnej. Liczby należy uzupełniać w kolejności rosnącej. Liczby lustrzane to liczby zapisane za pomocą tych samych cyfr, ale w odwrotnej kolejności. Są to pary Tu uzupełnij i Tu uzupełnij, Tu uzupełnij i Tu uzupełnij oraz Tu uzupełnij i Tu uzupełnij. Liczby pierwsze zapisane za pomocą kolejnych cyfr to Tu uzupełnij, Tu uzupełnij, Tu uzupełnij.

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 7

Rozwiąż krzyżówkę.

R17ORRBYDrr1B

Notatnik

Możesz skorzystać z poniższego pola tekstowego do zapisania swoich notatek, rozwiązań zadań i innych informacji, które uważasz za potrzebne.

R1b8OvSPUG8s3

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

2. Cechy podzielności

4. Rozkład liczby na czynniki pierwsze

3. Liczby pierwsze i liczby złożone

Notatnik