Przeczytaj
W tej części lekcji poznamy wiadomości o różnych przekątnych graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego.
Przekątne podstawy graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego, czyli przekątne sześciokąta foremnego
Widzimy dwa rodzaje przekątnych:
– dłuższą przekątną, równą ,
– krótszą przekątną, równą .
Zauważmy, że można wyróżnić trzy przekątne dłuższe:
oraz sześć przekątnych krótszych:
.
Przekątne ścian bocznych graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego
W ścianach bocznych tego wielokąta foremnegowielokąta foremnego znajduje się sześć przystających prostokątów. Obie przekątne prostokąta mają równe długości oznaczone na rysunku literą .
Bardzo prosto, stosując jedynie twierdzenie Pitagorasa do wyróżnionego trójkąta, możemy wyznaczyć wzór na przekątną ściany bocznej, w zależności od krawędzi podstawy i jego wysokości:
oraz po jego przekształceniu:
wzór na krawędź podstawy: , gdzie ,
wzór na wysokość: , gdzie .
Oczywiście zakładamy, że , oraz .
Przekątne graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego
W graniastosłupie prawidłowym sześciokątnym mamy dwa rodzaje przekątnych różnej długości.
Na początek zajmiemy się dłuższą przekątną, oznaczoną na rysunku .
Stosując twierdzenie Pitagorasa do wyróżnionego trójkąta, możemy wyznaczyć wzór na przekątną w zależności od krawędzi podstawy i jego wysokości:
Ostatecznie otrzymujemy:
Oczywiście , oraz .
Oraz po jego przekształceniu:
wzór na krawędź podstawy: , gdzie ,
wzór na wysokość: , gdzie .
Spójrzmy teraz na krótszą przekątną, oznaczoną na rysunku .
Stosując twierdzenie Pitagorasa do wyróżnionego trójkąta, możemy wyznaczyć wzór na przekątna w zależności od krawędzi podstawy i jego wysokości:
Ostatecznie otrzymujemy:
Oczywiście , oraz
oraz po jego przekształceniu:
wzór na krawędź podstawy: , gdzie ,
wzór na wysokość: , gdzie .
Masz do dyspozycji aplet GeoGebry, za pomocą którego możesz obejrzeć omawiane odcinki w modelu graniastosłupa, możesz też obracać modelem i zmieniać kąt widzenia.
Zapoznaj się z poniższym opisem apletu GeoGebry, w którym przedstawiono omawiane odcinki w modelu graniastosłupa.
Mając dane długości przekątnych oraz w graniastosłupie prawidłowym sześciokątnym, wyznacz jego wymiary.
Przyjmiemy, że .
Znamy długości obu przekątnych graniastosłupa, więc możemy wstawić dane do wzorów:
i .
Przekształcając, otrzymujemy:
.
Odejmując stronami równania, mamy:
.
Czyli długość krawędzi wynosi:
.
Wyznaczymy teraz długość wysokości podstawiając na przykład do równania:
.
Uwzględniając dziedzinę pierwiastka, pojawia się dodatkowe założenie .
Odpowiedź: Wymiary tego graniastosłupa wynoszą: krawędź podstawy , natomiast wysokość , przy założeniu .
W graniastosłupie prawidłowym sześciokątnym dwie przekątne różnej długości bryły wychodzące z jednego wierzchołka oraz krawędź podstawy o długości a utworzyły trójkąt. Wyznacz kąty w tym trójkącie, jeżeli wysokość graniastosłupa jest równa , dla .
Wyznaczymy długość przekątnej :
,
Przekątna jest jednocześnie przekątną prostokąta , więc wyróżniony na rysunku trójkąt jest prostokątny. Chcąc znać jego kąty posługujemy się funkcjami trygonometrycznymi, sinus kąta sinus kąta jest równy:
kąt | |||||
---|---|---|---|---|---|
Różnica długości przekątnych graniastosłupaprzekątnych graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego zbudowanego wyłącznie z figur foremnych wynosi , gdzie . Jaka jest długość krawędzi tego graniastosłupa?
Badany graniastosłup jest zbudowany wyłącznie z figur foremnych, więc jego ściany są kwadratami, czyli wysokość jest równa krawędzi podstawy. Utworzony trójkąt jest prostokątny, stąd otrzymujemy:
i
Różnica przekątnych wynosi , stąd otrzymujemy:
.
Odpowiedź: Krawędzie tego graniastosłupa mają długość .
Suma długości krawędzi graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego wynosi . Wyznacz długości przekątnych tego graniastosłupa, jeżeli jego wysokość ma długość .
Znamy krawędź boczną graniastosłupa oraz sumę krawędzi, więc
podstawiając wyznaczamy długość krawędzi podstawy:
.
Szukamy przekątnych:
,
.
Odpowiedź: Szukane przekątne mają długości , .
Słownik
każdy odcinek, którego końcami są wierzchołki obu podstaw graniastosłupa i który nie zawiera się w żadnej ze ścian graniastosłupa
wielokąt, który ma wszystkie boki równe i wszystkie kąty równe
w trójkącie prostokątnym jest równy stosunkowi długości przyprostokątnej naprzeciw tego kąta do długości przeciwprostokątnej