Think if in triangles of similar heights, the medians and bisectors of one triangle are proportional to the height, medians and bisectors of the second triangle in the same ratio k.
The particular sections of one triangle (heights, medians, bisector sections, etc.) are proportional to the corresponding segments of the second triangle in the same ratio k.
Task 1
The triangle ABC with sides a, b, c is given and the triangle A'B'C' is similar to it on the ratio k. Designate:
The ratio of the perimeterperimeterperimeter of triangle A'B'C' to the perimeterperimeterperimeter of the triangle ABC.
The ratio of the areaareaarea of triangle A'B'C 'to the area of triangle ABC.
Prove:
The relation between the perimeters of two similar triangles.
The relation between the areas of similar triangles.
Think - Can the proved relations for perimeters and areas of similar triangles be applicable to any similar figure? How?
Analyze the relations between the areas of similar figuressimilar figuressimilar figures.
Open the Geogebra applet: „The scale of similarity and the areas of figures”. Analyze the relations between squares, similar triangles, similar polygons, and circles. Formulate the conclusion in the form of a theorem.
R4kVsnilhmYL41
Geogebra aplet - Skala podobieństwa a pola figur. Galeria z opisami alternatywnymi poniżej.
Geogebra aplet - Skala podobieństwa a pola figur. Galeria z opisami alternatywnymi poniżej.
Rysunek przedstawia dwa kwadraty o polach 1 centymetr kwadratowy i 16 centymetrów kwadratowych odpowiednio, wyrysowane dla wybranej skali podobieństwa k = 4. Stosunek pól tych kwadratów wynosi 16, czyli k do kwadratu.
Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.
R1TbinjvmYkjS1
Rysunek przedstawia dwa trójkąty o polach 1 centymetr kwadratowy i 9 centymetrów kwadratowych odpowiednio, wyrysowane dla wybranej skali podobieństwa k = 3. Stosunek pól tych trójkątów wynosi 9, czyli k do kwadratu.
Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.
RdEYD9CF6b5Tt1
Rysunek przedstawia dwa wielokąty o polach 1,6 centymetrów kwadratowych i 33,25 centymetrów kwadratowych odpowiednio, wyrysowane dla wybranej skali podobieństwa k = 5. Stosunek pól tych wielokątów wynosi 25, czyli k do kwadratu.
Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.
R11WfotK7LUv61
Rysunek przedstawia dwa koła o polach 1π centymetrów kwadratowych i 4π centymetrów kwadratowych, wyrysowane dla wybranej skali podobieństwa k = 2. Stosunek pól tych kół wynosi 4, czyli k do kwadratu.
Theorem – Perimeters and areaareaarea of similar figuressimilar figuressimilar figures.
Perimeters and area of similar figures
Rule: Perimeters and area of similar figures
If figure F' is similar to figure F on the ratio k, then the ratio of their perimeters is equal to k, and the ratio of areas is equal to kIndeks górny 22.
In the triangle ABC, a straight line parallel to the base has been led so that the areaareaarea of the cut triangle is 8 times larger than the rest of the triangle ABC. The perimeters of ABC triangle is 27. Calculate the perimeterperimeterperimeter of the cut triangle.
In the ABCD trapezium, the AC and BD diagonals intersect at the point S. The areaareaarea of ASB triangle is 9, and the area of CSD triangle is equal to 4. Calculate the areaareaarea of the trapezium.
In rhombusrhombusrhombus ABCD diagonals have lengths of 12 cm and 6 cm, respectively. The areaareaarea of ABCD rhombusrhombusrhombus similar to A'B'C'D' is equal to 72 cmIndeks górny 22. Find diagonal lengths in A'B'C'D' rhombus.
The diagonals of the trapezium divide it into four triangles. Prove that the areaareaarea of the trapezium is equal where and are the triangles containing the trapezium bases.
If figure F' is similar to figure F on the scale k, then the ratio of the perimeterperimeterperimeter of figure F' to the perimeter of figure F is k, and the ratio of their areas is equal to kIndeks górny 22.
Exercises
R1AC7PWv8rrYi
Exercise 1
Wersja alternatywna ćwiczenia: The triangle A'B'C' is similar to the triangle ABC on the ratio k = 1,5. Determine which sentences are true. Możliwe odpowiedzi: 1. The perimeter of triangle A'B'C' is 1,5 times smaller than the perimeter of the triangle ABC., 2. The area of triangle A'B'C' is the area of the triangle ABC., 3. The height of the triangle ABC is of the height in triangle A'B'C'.
Wersja alternatywna ćwiczenia: The triangle A'B'C' is similar to the triangle ABC on the ratio k = 1,5. Determine which sentences are true. Możliwe odpowiedzi: 1. The perimeter of triangle A'B'C' is 1,5 times smaller than the perimeter of the triangle ABC., 2. The area of triangle A'B'C' is the area of the triangle ABC., 3. The height of the triangle ABC is of the height in triangle A'B'C'.
The triangle A'B'C' is similar to the triangle ABC on the ratio k = 1,5. Determine which sentences are true.
The perimeter of triangle A'B'C' is 1,5 times smaller than the perimeter of the triangle ABC.
The area of triangle A'B'C' is the area of the triangle ABC.
The height of the triangle ABC is of the height in triangle A'B'C'.
R12ijyadKDKCT
Exercise 2
Wersja alternatywna ćwiczenia: Trapeziums A'B'C'D' and ABCD are similar, their areas are equal to 144 cm2 and 36 cm2, respectively. The diagonal A'C'. Determine which sentence is true. Możliwe odpowiedzi: 1. Is four times longer than the diagonal AC., 2. Is twice as long as the diagonal AC., 3. It is twice shorter than the diagonal AC., 4. Is three times longer than the diagonal AC.
Wersja alternatywna ćwiczenia: Trapeziums A'B'C'D' and ABCD are similar, their areas are equal to 144 cm2 and 36 cm2, respectively. The diagonal A'C'. Determine which sentence is true. Możliwe odpowiedzi: 1. Is four times longer than the diagonal AC., 2. Is twice as long as the diagonal AC., 3. It is twice shorter than the diagonal AC., 4. Is three times longer than the diagonal AC.
Trapeziums A'B'C'D' and ABCD are similar, their areas are equal to 144 cm2 and 36 cm2, respectively. The diagonal A'C'. Determine which sentence is true.
Is four times longer than the diagonal AC.
Is twice as long as the diagonal AC.
It is twice shorter than the diagonal AC.
Is three times longer than the diagonal AC.
Exercise 3
All circles are similar. What is the similarity ratio of two circles? What is an area ratio of circles?
Write down your answer in English.
The similarity ratio of the two circles is equal to the ratio of its radii. The ratio of areas of two circles is equal to the ratio of radii squares, in other words – to ratio of square of similarity ratio.
Exercise 4
R1SGOFB0ci865
Wersja alternatywna ćwiczenia: Indicate which pairs of expressions or words are translated correctly. Możliwe odpowiedzi: 1. figury podobne - similar figures, 2. skala podobieństwa - similarity ratio, 3. obwód - perimeter, 4. pole - area, 5. romb - perimeter, 6. pole - ratio of area
Wersja alternatywna ćwiczenia: Indicate which pairs of expressions or words are translated correctly. Możliwe odpowiedzi: 1. figury podobne - similar figures, 2. skala podobieństwa - similarity ratio, 3. obwód - perimeter, 4. pole - area, 5. romb - perimeter, 6. pole - ratio of area
Indicate which pairs of expressions or words are translated correctly.
figury podobne - similar figures
skala podobieństwa - similarity ratio
obwód - perimeter
pole - area
romb - perimeter
pole - ratio of area
Rzadanie
Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.
RnhIupI5YgSnI1
Interaktywna gra, polegająca na łączeniu wyrazów w pary w ciągu jednej minuty. Czas zaczyna upływać wraz z rozpoczęciem gry. Jeden ruch to odkrywanie najpierw jednej potem drugiej karty z wyrazem. Każdy wyraz jest odczytywany. Kolejny ruch to odkrywanie trzeciej i czwartej karty. W ten sposób odsłuchasz wszystkie wyrazy. Nawigacja z poziomu klawiatury za pomocą strzałek, odsłuchiwanie wyrazów enterem lub spacją. Znajdź wszystkie pary wyrazów.
Interaktywna gra, polegająca na łączeniu wyrazów w pary w ciągu jednej minuty. Czas zaczyna upływać wraz z rozpoczęciem gry. Jeden ruch to odkrywanie najpierw jednej potem drugiej karty z wyrazem. Każdy wyraz jest odczytywany. Kolejny ruch to odkrywanie trzeciej i czwartej karty. W ten sposób odsłuchasz wszystkie wyrazy. Nawigacja z poziomu klawiatury za pomocą strzałek, odsłuchiwanie wyrazów enterem lub spacją. Znajdź wszystkie pary wyrazów.
Match Polish terms with their English equivalents.
similarity ratio
pole
figury podobne
similar figures
perimeter
area
obwód
skala podobieństwa
Source: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
