Przeczytaj

Mediana – co to takiego?

Mediana, zwana inaczej wartością środkową, zajmuje środkową pozycję w uporządkowanym szeregu statystycznym.

Będziemy ją oznaczać literą $M$ .

Zatem, aby wyznaczyć medianę, należy najpierw uszeregować dane, zgodnie ze wzrostem ich wartości. Mediana dzieli ciąg tych danych na dwie równoliczne części w ten sposób, że elementy jednej z tych części są nie większe od mediany, a drugiej z tych części – nie mniejsze od mediany.

MedianamedianaMediana jest miarą mianowaną. Ma takie same miano jak badana cecha statystyczna.

Można ją wyznaczyć dla każdego szeregu statystycznego.

Sposób wyznaczania mediany zależy od typu szeregu statystycznego oraz liczby danych.

Mediana nieparzystej liczby danych

W przypadku uporządkowanego zestawu danych o nieparzystej liczebności, mediana jest środkowym elementem zestawu.

Na przykład mediana zestawu liczb: $1$ , $1$ , $3$ , $5$ , $6$ , $7$ , $8$ , $8$ , $10$ jest równa $6$ .

Rw3ulXxNd1gNA

Ilustracja przedstawia ciąg liczb: jeden, jeden, trzy, pięć, sześć, siedem, osiem, osiem, dziesięć. Liczba sześć ma po obu swoich stronach po cztery cyfry i jest opisana jako mediana.

Przykład 1

Wyznaczymy medianę zestawu liczb: $1$ , $6$ , $2$ , $8$ , $5$ , $4$ , $3$ .

Porządkujemy zestaw danych: $1$ , $2$ , $3$ , $4$ , $5$ , $6$ , $8$ .

Jest $7$ liczb. Środkowa to liczba $4$ (z prawej i lewej strony liczby $4$ znajdują się po $3$ elementy).

RL69C6iw7ru5e

Ilustracja przedstawia ciąg liczb: jeden, dwa, trzy, cztery, pięć, sześć, osiem. Liczba cztery występująca w srodku ciągu opisana jest jako mediana, em równa się cztery..

Przykład 2

Grupę dziewcząt zapytano: Ile uprawiasz dyscyplin sportowych?

Otrzymano następujące dane: $0$ , $0$ , $0$ , $1$ , $1$ , $1$ , $1$ , $1$ , $2$ , $2$ , $3$ .

Określimy medianę tego zestawu danych.

Uzyskany szereg statystyczny jest już uporządkowany. Liczba elementów jest nieparzysta, zatem medianą będzie wartość środkowa, równa $1$ .

R1Yr4jhYCOEFf

Ilustracja przedstawia ciąg cyfr: zero, zero, zero, jeden, jeden, jeden, jeden, jeden, dwa, dwa, trzy. Jedynka występująca w środku ciągu, która ma obu stronach po pięć cyfr, jest opisana jako em równa się jeden.

Interpretacja wyniku: połowa dziewcząt nie uprawia żadnej dyscypliny sportowej lub uprawia jedną, a druga połowa uprawia co najmniej jedną dyscyplinę sportową.

Ważne!

Mediana nieparzystej liczby danych

Niech liczby $x_{1} \leq x_{2} \leq . . . \leq x_{n}$ będą uporządkowanym niemalejąco zbiorem wszystkich danych. Jeśli $n$ jest liczbą nieparzystą, to medianą liczb $x_{1}, x_{2}, . . ., x_{n}$ jest liczba $x_{k}$ , gdzie $k = \frac{n + 1}{2}$ .

Zatem:

M = x_{\frac{n + 1}{2}} .

Przykład 3

Wyznaczymy medianę danych, korzystając z uporządkowanego szeregu statystycznego.

$x_{1}$	$x_{2}$	$x_{3}$	$x_{4}$	$x_{5}$	$x_{6}$	$x_{7}$
$1$	$2$	$3$	$10$	$20$	$40$	$50$

Liczba elementów szeregu: $n = 7$ .

Medianą jest liczba $x_{k}$ , gdzie $k = \frac{7 + 1}{2} = 4$ .

Stąd $M = x_{4} = 10$ .

Medianą zestawu danych jest liczba $10$ .

Mediana parzystej liczby danych

W przypadku, gdy liczba danych jest parzysta, to „w środku” szeregu uporządkowanego znajdują się dwie liczby. Medianą jest wtedy średnia arytmetyczna tych liczb.

RvQ6ScpVIqqLs

Ilustracja przedstawia ciąg cyfr: cztery, sześć, osiem, osiem, dziewięć, jedenaście, trzynaście, piętnaście. Liczby osiem i dziewięć znajdujące się w środku ciągu to mediana i jest opisana jako ułamek: osiem dodać dziewięć przez dwa równa się osiem i pół.

Przykład 4

Wyznaczymy medianę zestawu danych: $1$ , $4$ , $4$ , $6$ , $1$ , $1$ , $5$ , $2$ .

Porządkujemy dane: $1$ , $1$ , $1$ , $2$ , $4$ , $4$ , $5$ , $6$ .

Liczba danych jest parzysta. Gdybyśmy zaznaczyli prostą, dzielącą zbiór danych na dwie równe części, to mediana byłaby średnią arytmetyczną dwóch liczb, sąsiadujących z prawej i lewej strony z linią podziału. Czyli dwóch liczb „środkowych”.

RCCLqNkjpDB4V

Ilustarcja przedstawia ciąg liczb: jeden, jeden, jeden, dwa, cztery, cztery, pięć, sześć. Liczby dwa i cztery ułożone w środku ciągu to mediana i jest opisana jako em równa się dwa dodać cztery przez dwa równa się trzy.

Medianą danego zbioru danych jest liczba $3$ .

Przykład 5

Określimy medianę wieku grupy $6$ osób, od których uzyskano następujące dane: $10 lat$ , $14 lat$ , $20 lat$ , $18 lat$ , $16 lat$ , $25 lat$ .

Tworzymy szereg uporządkowany: $10$ , $14$ , $16$ , $18$ , $20$ , $25$ .

Liczba danych jest parzysta. Obliczamy średnią arytmetyczną dwóch liczb „środkowych”.

\frac{16 + 18}{2} = 17

M = 17 lat

Mediana wieku badanej grupy osób jest równa 17 lat.

Interpretacja mediany: $50 %$ badanych osób ma wiek mniejszy bądź równy $17 lat$ , $50 %$ badanych osób ma wiek większy bądź równy $17 lat$ .

Ważne!

Mediana parzystej liczby danych

Niech liczby $x_{1} \leq x_{2} \leq \dots \leq x_{n}$ będą uporządkowanym niemalejąco zbiorem wszystkich danych. Jeśli $n$ jest liczbą parzystą, to medianą liczb $x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}$ jest liczba $M = \frac{x_{k} + x_{k + 1}}{2}$ , gdzie $k = \frac{n}{2}$ .

Przykład 6

Wyznaczymy medianę danych, korzystając z uporządkowanego szeregu statystycznego.

$x_{1}$	$x_{2}$	$x_{3}$	$x_{4}$	$x_{5}$	$x_{6}$	$x_{7}$	$x_{8}$
$- 1$	$- 2$	$0$	$4$	$10$	$12$	$50$	$57$

Liczba elementów szeregu: $n = 8$ .

Medianą jest liczba $\frac{x_{k} + x_{k + 1}}{2}$ , gdzie $k = \frac{8}{2} = 4$ .

Stąd:

M = \frac{x_{4} + x_{5}}{2} = \frac{4 + 10}{2} = 7

Medianą zestawu danych jest liczba $7$ .

Słownik

mediana

mediana uporządkowanego niemalejąco zestawu liczb $x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}$ , to:

liczba $x_{\frac{n + 1}{2}}$ , gdy $n$ jest liczbą nieparzystą
liczba $\frac{x_{\frac{n}{2}} + x_{\frac{n}{2} + 1}}{2}$ , gdy $n$ jest liczbą parzystą

Wprowadzenie

Galeria zdjęć interaktywnych

Mediana – co to takiego?

Mediana nieparzystej liczby danych

Mediana parzystej liczby danych

Słownik