Przyjmijmy, że pole niebieskiego kwadratu jest równe $1$. Kwadrat ten jest podobny do każdego z pozostałych kwadratów. Pod rysunkami zapisana jest skala podobieństwa danego kwadratu do kwadratu niebieskiego. Zapisane są też pola tych figur. Co zauważasz?

R17iiUipwf9Tu1

Rysunek czterech podobnych kwadratów. Pierwszy kwadrat jednostkowy ma pole P = 1. Drugi kwadrat zbudowany jest z czterech kwadratów jednostkowych, jego pole P = 4 i skala podobieństwa k = 2. Trzeci kwadrat zbudowany jest z dziewięciu kwadratów jednostkowych, jego pole P = 9 i skala podobieństwa k = 3. Czwarty kwadrat zbudowany jest z szesnastu kwadratów jednostkowych, jego pole P = 16 i skala podobieństwa k = 4.

Odpowiedź. Pole kwadratu jest równe kwadratowi skali podobieństwa.

Przyprostokątne trójkąta prostokątnego mają długości $4\mathrm{ dm}$ i $6\mathrm{ dm}$. Każdą z przyprostokątnych zmniejszamy dwukrotnie. Oblicz stosunek pola pomniejszonego trójkąta do pola danego trójkąta.
Każdy z boków trójkąta zmniejszono dwukrotnie. Zatem skala podobieństwa trójkąta otrzymanego do trójkąta danego jest równa $\frac{1}{2}$. Wynika z tego, że przyprostokątne trójkąta pomniejszonego mają długości $2\mathrm{ dm}$ i $3\mathrm{ dm}$.
Oznaczmy:

• $P$ – pole danego trójkąta,

• ${\mathrm{ P}}_1$ – pole trójkąta pomniejszonego.

Stosunek pól tych trójkątów jest równy $\frac{1}{4}$, czyli jest równy kwadratowi skali podobieństwa.

Prostokątna kartka w notesie ma wymiary $10\mathrm{ cm}$ i $8\mathrm{ cm}$. Kartka w książce ma wymiary $30\mathrm{ cm}$ i $24\mathrm{ cm}$. Ile razy pole powierzchni kartki w książce jest większe od pola powierzchni kartki w notesie?
Zauważmy, że prostokąty, w kształcie których są kartki, są podobne. Skala podobieństwa prostokąta w kształcie którego jest kartka w książce do prostokąta, w kształcie którego jest kartka w notesie, jest równa

Obliczamy stosunek pól tych prostokątów.

Stosunek pól powierzchni kartek jest równy $9$, czyli jest równy kwadratowi skali podobieństwa.
Na podstawie powyższych przykładów możemy wnioskować, że jeśli figura $F$ jest podobna do figury $G$ w skali $k$, to stosunek pól tych figur jest równy $k^2$.
Sprawdźmy nasze przypuszczenia jeszcze na kilku przykładach.

Pięciokąt $M$ jest podobny do pięciokąta $K$ w skali $1 : 8$. Pole pięciokąta $M$ jest równe $2$. Oblicz pole pięciokąta $K$.
Korzystamy z tego, że stosunek pól wielokątów podobnych jest równy kwadratowi skali podobieństwa. Stąd

Pole pięciokąta $K$ jest równe $128$.

Jedną z największych atrakcji turystycznych Gdańska jest Bazylika Mariacka, na której znajduje się największy w Polsce zegar. Został on zbudowany w $1637\mathrm{ r}$.
Pole powierzchni tarczy tego zegara jest równe około $16 m^2$. Pole powierzchni tarczy zegarka na rękę jest równa około $16$ ${\mathrm{cm}}^2$. Określ skalę podobieństwa tych tarcz.
Zapisujemy oba pola w  tej samej jednostce pola.

Dzielimy pole powierzchni większej tarczy przez pole powierzchni mniejszej tarczy. Obliczamy w ten sposób kwadrat skali podobieństwa tarcz.

Obliczamy teraz skalę podobieństwa.

Skala podobieństwa tarczy gdańskiego zegara do tarczy zegarka na rękę wynosi $100$.

Figury $F$ i  $G$ są podobne. Pole figury $G$ jest równe $7$. Oblicz pole figury $F$.

R34AF3xnCOlrl1

Rysunek dwóch figur podobnych F i G leżących na kratownicy.

Określamy najpierw skalę podobieństwa figur. W tym celu zaznaczamy w obu figurach odpowiadające sobie odcinki. Skala podobieństwa figury $F$ do figury $G$ jest równa stosunkowi długości tych odcinków.

ReOoQfIkfXkbb1

Rysunek dwóch figur podobnych F i G leżących na kratownicy. W obu figurach zaznaczone odpowiadające sobie odcinki.

Jeżeli przyjmiemy, że długość małej kratki jest równa $a$, to

Zatem $P_F=k^2\cdot P_G$, gdzie
$P_F$ – pole figury $F$
$P_G$ – pole figury $G$
Stąd

Pole figury $F$ jest równe $112$.

Pole rombu $F$ jest równe $125$. Romb ten jest podobny do rombu $G$, którego przekątne mają długości $2$ i $5$. Znajdź sumę długości przekątnych rombu $F$.
Oznaczmy:

• $P_F$ – pole rombu $F$,

• $P_G$ - pole rombu $G$,

• $k$- skala podobieństwa rombu $F$ do rombu $G$.

Wtedy

bo

Skala podobieństwa rombów jest równa $5$. Oznacza to, że każda z przekątnych rombu $F$ jest $5$ razy dłuższa od odpowiedniej przekątnej rombu $G$.
Zatem długości przekątnych rombu $F$ są równe $10$ i $25$.
Suma długości tych przekątnych jest równa $35$.

Dwa wielokąty są podobne. Obwód pierwszego z nich jest równy $12$, a pole $14$. Obwód drugiego wielokąta jest równy $2$. Oblicz pole drugiego wielokąta.
Obliczamy skalę $k$ podobieństwa wielokątów.

Obliczamy pole $P_2$ drugiego wielokąta.

Pole drugiego wielokąta jest równe $\frac{7}{18}$.

Skala podobieństwa dwóch kwadratów jest równa $\mathrm{0,5}$. Oblicz długość boku mniejszego kwadratu, jeżeli różnica pól tych kwadratów wynosi $27$.
Niech P oznacza pole mniejszego kwadratu. Wtedy pole większego kwadratu $P_W$ to

Zatem

Korzystamy z tego, że różnica pól tych kwadratów jest równa $27$ i wyznaczamy pole mniejszego kwadratu i długość a jego boku.

bo

Długość boku mniejszego kwadratu jest równa $3$.

Podstawy trapezu równoramiennego $\mathrm{ABCD}$ mają długości $10\mathrm{ cm}$ i $18\mathrm{ cm}$. Przekątne trapezu przecinają się w punkcie $E$. Wysokość trójkąta $\mathrm{DEC}$ jest równa $4\mathrm{ cm}$. Oblicz pole trapezu.

R1Qr8xShZT4pU1

Rysunek trapezu równoramiennego A B C D, w którym podstawa górna DC = 10 cm a podstawa dolna AB = 18 cm. Przekątne przecinają się w punkcie E, który dzieli wysokość trapezu na odcinki długości h i H. Odcinek h to wysokość trójkąta D E C. Odcinek H to wysokość trójkąta A E B.

Zauważmy, że trójkąty $\mathrm{AEB}$ i $\mathrm{DEC}$ mają równe kąty: kąty $\mathrm{AEB}$ i $\mathrm{DEC}$ to kąty wierzchołkowe, mają więc równe miary, kąty $\mathrm{EDC}$ i $\mathrm{EBA}$ to kąty naprzemianległe przy prostych równoległych, podobnie kąty $\mathrm{EAB}$ i  $\mathrm{DCA}$. Na podstawie cechy $\mathrm{kkk}$ stwierdzamy, że trójkąty $\mathrm{AEB}$ i $\mathrm{DEC}$ są podobne.
Skala podobieństwa $k$ tych trójkątów jest równa stosunkowi długości ich podstaw.

Stosunek wysokości tych trójkątów jest równy skali podobieństwa.

Wysokość trapezu jest równa sumie wysokości trójkątów $\mathrm{AEB}$ i $\mathrm{DEC}$.

Obliczamy pole trapezu.

Pole trapezu jest równe $\mathrm{156,8} {\mathrm{cm}}^2$.

Jezioro Śniardwy to największe jezioro w Polsce. Powierzchnia tego jeziora jest równa około $\mathrm{113,4} {\mathrm{km}}^2$. Na mapie powierzchnia ta jest równa $\mathrm{0,126}{\mathrm{cm}}^2$. W jakiej skali wykonana jest mapa?
Zapisujemy najpierw powierzchnię jeziora w cmIndeks górny 2².

Obliczamy kwadrat skali podobieństwa figury, w kształcie której jest jezioro na mapie, i figury, w kształcie której jest powierzchnia jeziora w rzeczywistości.

Obliczamy skalę podobieństwa tych figur.

Skala mapy jest równa obliczonej skali podobieństwa.
Mapa wykonana jest więc w skali $1 : 3 000 000$.