Własności trójkątów podobnych

R19eCRxGeEF0y1

Zasób interaktywny dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/a/D6QhoxTeI

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY NC 3.0.

Wiemy już, że wielokąty podobne mają ten sam kształt. Zatem miary kątów trójkątów podobnych są równe, a odpowiednie boki proporcjonalne.

Przykład 1

R1RTKKMegLplN1

Rysunek trójkątów A B C i D E F. W trójkącie A B C boki mają długości 3 cm, 4 cm i 2,5 cm. W trójkącie D E F boki mają długości 5 cm, 6 cm i 8 cm. Kąty C A B i F D E są równe, kąty A C B i D F E są równe oraz kąty C B A i F E D są równe. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Trójkąty $ABC$ i $DEF$ są podobne w skali $\frac{1}{2}$ .

\frac{|AC|}{|DF|} = \frac{|AB|}{|DE|} = \frac{|BC|}{|EF|} = \frac{1}{2}

RgSSVXbzbTJko1

Rysunek trójkątów A B C i D E F. Kąty C A B i F D E są równe, kąty A C B i D F E są równe oraz kąty C B A i F E D są równe. Zapis: trójkąt A B C podobny do trójkąta D E F. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Tabela. Dane
Własności trójkątów podobnych
miary odpowiednich kątów są równe	stosunek długości odpowiednich boków jest równy
$\|∢ CAB\| = \|∢ FDE\|$ $\|∢ ABC\| = \|∢ DEF\|$ $\|∢ BCA\| = \|∢ EFD\|$	$\frac{\|AC\|}{\|DF\|} = \frac{\|AB\|}{\|DE\|} = \frac{\|BC\|}{\|EF\|}$

Ważne!

Jeżeli trójkąty są podobne, to skali podobieństwa jest równy:

stosunek ich obwodów
stosunek ich odpowiednich odcinków (np. wysokości, środkowych)

Cechy podobieństwa trójkątów

Przykład 2

REpUnPGgUs9be1

Rysunek trzech trójkątów prostokątnych A B C, D E F i G H I. Najmniejszy trójkąt A B C ma przyprostokątne długości 2 i 1,5 oraz przeciwprostokątną długości 2,5. Trójkąt D E F ma przyprostokątne długości 3 i 4 a przeciwprostokątną 5. Trójkąt G H I ma przyprostokątne długości 4,5 i 6 oraz przeciwprostokątną długości 7,5. Odpowiednie kąty w trójkątach A C B, D E F i G I H mają miarę alfa, a kąty A B C, D E F i G H I miarę beta.

Popatrz na trójkąty przedstawione na rysunku. Drugi z nich powstał przez powiększenie długości każdego boku trójkąta $ABC$ dwa razy. Trzeci przez powiększenie długości każdego boku trójkąta $ABC$ trzy razy.
Odpowiadające sobie kąty mają jednakowe miary, a odpowiadające sobie boki są proporcjonalne. Takie trójkąty nazywamy podobnymi.
Figury podobne to takie, które mają jednakowy kształt, a mogą się różnić wielkością. Przykładami figur podobnych są kopie tego samego obrazka, które powiększamy lub pomniejszamy.

Żeby stwierdzić, czy dwa trójkąty są podobne, korzystamy z cech podobieństwa trójkątów.

Cechy podobieństwa trójkątów

Twierdzenie: Cechy podobieństwa trójkątów

Cecha bok‑bok‑bok ( $bbb$ )

Jeżeli każdy bok trójkąta $A'B'C'$ jest proporcjonalny do odpowiedniego boku trójkąta $ABC$ , to trójkąty te są podobne.

R1bafCpt9XUKL1

Zasób interaktywny dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/a/D6QhoxTeI

iCiq9n35Oi_d5e225

RSPcg6BAdXahw1

RaEcXctIppHWB1

R1ROQgwiTBV2z1

Skala podobieństwa trójkątów

Twierdzenie: Skala podobieństwa trójkątów

Jeżeli trójkąty $A'B'C'$ oraz $ABC$ są podobne, przy czym wierzchołki $A, B, C$ odpowiadają wierzchołkom odpowiednio $A^{'}, B^{'}, C'$ , to

\frac{|A' B'|}{|AB|} = \frac{|B' C'|}{|BC|} = \frac{|C' A'|}{|CA|}

oraz

|∢ A| = |∢ A'|, |∢ B| = |∢ B'|, |∢ C| = |∢ C'| .

Skalą $k$ podobieństwa trójkątów nazywamy iloraz długości odpowiadających sobie boków w trójkątach podobnych

\frac{|A' B'|}{|AB|} = \frac{|B' C'|}{|BC|} = \frac{|C' A'|}{|CA|} = k

Rcuo7CPrRW0Dr1

Rysunek trójkąta A B C o bokach długości a, b, c oraz trójkąta A prim B prim C prim o bokach długości ka, kb, kc.

Zauważ, że trójkąty podobne w skali $k = 1$ są przystające.
Podobieństwo trójkątów $A'B'C'$ oraz $ABC$ symbolicznie oznaczamy

∆ A^{'} B^{'} C^{'} ~ ∆ ABC .

R1SYXgVmnJ4j91

Zasób interaktywny dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/a/D6QhoxTeI

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY NC 3.0.

iCiq9n35Oi_d5e338

Zastosowanie cech podobieństwa trójkątów

Przykład 3

W trójkąt $ABC$ o bokach długości $a, b, c$ wpisano romb $ADEF$ tak, jak na rysunku. Wykażemy, że długość boku tego rombu jest równa $\frac{ab}{a + b}$ .

RkcKh07eqPfkW1

Zasób interaktywny dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/a/D6QhoxTeI

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY NC 3.0.

Przykład 4

Można wykazać, że odcinek łączący środki dwóch boków trójkąta jest równoległy do boku trzeciego. Uzasadnij, że jest równy połowie boku trzeciego.
Rozważmy trójkąt $ABC$ , w którym punkty $D$ i $E$ są środkami boków odpowiednio $AC$ i $BC$ oraz

|CB| = 2 a, |AB| = c, |DE| = x

R1K6Ih4LZJKcP1

Zasób interaktywny dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/a/D6QhoxTeI

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY NC 3.0.

classicmobile

Ćwiczenie 1

Rozstrzygnij, czy zdanie jest prawdziwe, czy fałszywe.

R1YOYi8Gl5JFF

Każde dwa trójkąty prostokątne są podobne.
Każde dwa trójkąty równoboczne są podobne.
Każde dwa trójkąty, w których stosunek miar kątów jest równy $1 : 2 : 4$ , są podobne.
Każde dwa trójkąty o równych obwodach są podobne.
Każde dwa trójkąty przystające są podobne.

static

Ćwiczenie 1

Rozstrzygnij, czy zdanie jest prawdziwe, czy fałszywe.

RzwWgBuYipbmd

Każde dwa trójkąty prostokątne są podobne.
Każde dwa trójkąty równoboczne są podobne.
Każde dwa trójkąty, w których stosunek miar kątów jest równy $1 : 2 : 4$ , są podobne.
Każde dwa trójkąty o równych obwodach są podobne.
Każde dwa trójkąty przystające są podobne.

classicmobile

Ćwiczenie 2

Trójkąty $ABC$ i $DEF$ są podobne. Długości boków trójkąta $ABC$ są równe $8, 6$ i $12$ . Najkrótszy bok trójkąta $DEF$ ma długość $3$ . Zatem najdłuższy bok trójkąta $DEF$ .

RBQs9v5m4mVE2

jest krótszy od każdego z boków trójkąta $ABC$
jest równy długości jednego z boków trójkąta $ABC$
jest równy $4$

static

Ćwiczenie 2

Trójkąty $ABC$ i $DEF$ są podobne. Długości boków trójkąta $ABC$ są równe $8, 6$ i $12$ . Najkrótszy bok trójkąta $DEF$ ma długość $3$ . Zatem najdłuższy bok trójkąta $DEF$ .

R15LHgB5dw30u

jest krótszy od każdego z boków trójkąta $ABC$
jest równy długości jednego z boków trójkąta $ABC$
jest równy $4$

classicmobile

Ćwiczenie 3

Trójkąty $ABC$ i $DEF$ są podobne. Miary dwóch kątów trójkąta $ABC$ są równe $126 °, 39 °$ . Najmniejszy kąt trójkąta $DEF$ ma miarę

RXL7GOdWcweCo

$39 °$
$54 °$
$25 °$
$15 °$

static

Ćwiczenie 3

Trójkąty $ABC$ i $DEF$ są podobne. Miary dwóch kątów trójkąta $ABC$ są równe $126 °, 39 °$ . Najmniejszy kąt trójkąta $DEF$ ma miarę

Rakf1G1LEFUXs

$39 °$
$54 °$
$25 °$
$15 °$

classicmobile

Ćwiczenie 4

Stosunek boków dwóch trójkątów podobnych jest równy $9 : 36$ . Stosunek obwodów tych trójkątów jest równy

R1XOZrETdj4jP

$36 : 9$
$3 : 6$
$1 : 4$
$18 : 36$

static

Ćwiczenie 4

Stosunek boków dwóch trójkątów podobnych jest równy $9 : 36$ . Stosunek obwodów tych trójkątów jest równy

R1TQ641KMqKet

$36 : 9$
$3 : 6$
$1 : 4$
$18 : 36$

classicmobile

Ćwiczenie 5

Trójkąty $ABC$ i $DEF$ są podobne.

R1du7DTAqmIVL1

Rysunek dwóch trójkątów podobnych. Pierwszy trójkąt ma boki długości x i 4. Drugi trójkąt ma boki długości 2,4 i 3,2. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Zatem

RKY6kV4T71Ivm

$x = 1,4$
$x = 5,3$
$x = 1,92$
$x = 3$

static

Ćwiczenie 5

Trójkąty $ABC$ i $DEF$ są podobne.

R1du7DTAqmIVL1

Zatem

RUO6cHp1TASRm

$x = 1,4$
$x = 5,3$
$x = 1,92$
$x = 3$

classicmobile

Ćwiczenie 6

Odcinki $BC$ i $DE$ są równoległe.

Rb1iBqkDuxlMq1

Grafika statyczna — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Zatem

ROpc5oeun5lDh

$x = 1,8$
$x = 4,5$
$x = 6$
$x = 9$

static

Ćwiczenie 6

Odcinki $BC$ i $DE$ są równoległe.

Rb1iBqkDuxlMq1

Zatem

Rl19ryQzxtdnZ

$x = 1,8$
$x = 4,5$
$x = 6$
$x = 9$

classicmobile

Ćwiczenie 7

Odcinki $BC$ i $DE$ są równoległe.

R1TzDHxiIjjs21

Rysunek trójkąta A D E. Punkt B dzieli bok AD trójkąta na dwa odcinki długości AB = 3 i BD = 2. Punkt C dzieli bok AE trójkąta na dwa odcinki długości AC i CE. Odcinki BC i DE są równoległe. Odcinek BC = x i odcinek DE = 5. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Zatem

R12SEx5Zhwza9

$x = 3$
$x = 7,5$
$x = 1$
$x = 1,2$

static

Ćwiczenie 7

Odcinki $BC$ i $DE$ są równoległe.

R1TzDHxiIjjs21

Zatem

RxUtn6TVXfiag

$x = 3$
$x = 7,5$
$x = 1$
$x = 1,2$

iCiq9n35Oi_d5e803

classicmobile

Ćwiczenie 8

Zaznacz, która cecha podobieństwa trójkątów pozwala stwierdzić, czy trójkąty na rysunku są podobne.

RKjdCBuU76YjO1

Rysunek dwóch równoramiennych trójkątów podobnych. W pierwszym trójkącie ramiona mają długość 7 a podstawa 3. W drugim trójkącie ramiona mają długość 3, 5 a podstawa 1,5. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RZDCoWyZz9poI

static

Ćwiczenie 9

Wiadomo, że odcinki $AB$ i $CD$ są równoległe.

RrgCFuZvdnyWT1

Rysunek trójkątów A B M i M D C leżących po obu stronach wspólnego wierzchołka M. Bok AB trójkąta A B M jest równoległy do boku CD trójkąta A B M. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Czy wtedy $\frac{|DM|}{|CM|} = \frac{|MB|}{|MA|}$ ?

Ćwiczenie 10

O dwóch trójkątach równoramiennych wiadomo, że mają jeden kąt równy. Czy są to więc na pewno trójkąty podobne?

Ćwiczenie 11

W trapezie $ABCD$ podstawy $AB$ i $DC$ mają długości $20 cm$ i $10 cm$ , a ramię $AD$ ma długość $8 cm$ . Przedłużenia ramion przecinają się w punkcie $E$ . Oblicz długość odcinka $DE$ .

$|DE| = 8 cm$

Ćwiczenie 12

W trójkącie $ABC$ punkt $D$ jest środkiem odcinka $AB$ , punkt $E$ leży na boku $BC$ . Odcinki
$AC$ i $DE$ są równoległe. Odcinek $AC$ ma długość $22 cm$ , odcinek $DB$ ma długość $8 cm$ i $CE$ ma długość $10 cm$ . Oblicz obwody trójkątów $ABC$ i $DBE$ .

$58 cm$ i $29 cm$

Ćwiczenie 13

W trójkącie $ABC$ bok $AB$ ma długość $10 cm$ . Na boku $AC$ zaznaczono punkt $D$ taki, że odcinek $AD$ jest cztery razy dłuższy od odcinka $DC$ . Przez punkt $D$ poprowadzono prostą równoległą do boku $BC$ , która przecięła bok $AB$ w punkcie $E$ . Oblicz długość odcinków $AE$ i $EB$ .

$8 cm$ i $2 cm$

classicmobile

Ćwiczenie 14

Trójkąt $A’B’C’$ o obwodzie $96 dm$ jest podobny do trójkąta $ABC$ o bokach długości $6 dm, 8 dm, 10 dm$ . Najkrótszy bok trójkąta $A’B’C’$ ma długość:

R2xVC0QSJhzyU

$3 dm$
$240 cm$
$90 cm$
$12 dm$

static

Ćwiczenie 14

Trójkąt $A’B’C’$ o obwodzie $96 dm$ jest podobny do trójkąta $ABC$ o bokach długości $6 dm, 8 dm, 10 dm$ . Najkrótszy bok trójkąta $A’B’C’$ ma długość:

R1XCUaLOo9WLE

$3 dm$
$240 cm$
$90 cm$
$12 dm$

Ćwiczenie 15

Wykaż, że odcinki łączące środki kolejnych boków dowolnego czworokąta tworzą równoległobok.

Ćwiczenie 16

Narysuj dowolny trójkąt i podziel go na dwa trójkąty, których stosunek pól wynosi $4 : 9$ .

Wskazówka
Podziel podstawę trójkąta na dwa odcinki, których stosunek długości jest równy $4 : 9$ . Odcinek poprowadzony z przeciwległego wierzchołka do punktu podziału dzieli dany trójkąt na szukane trójkąty.

Ćwiczenie 17

Obrazek ma kształt trójkąta o podstawie długości $10 cm$ i wysokości $8 cm$ . Obrazek chcemy powiększyć za pomocą kserografu tak, aby wysokość tak otrzymanego trójkąta była równa $32 cm$ . Jaką długość będzie miała wówczas podstawa tego trójkąta ?

$4 dm$

classicmobile

Ćwiczenie 18

Rozstrzygnij, czy zdanie jest prawdziwe, czy fałszywe.

RGaM0q73qIk09

Dowolne dwa trójkąty równoramienne są podobne.
Dowolne dwa trójkąty o jednakowych kątach są podobne.
Dowolne dwa trójkąty o jednakowych polach są podobne.

static

Ćwiczenie 19

W trapezie równoramiennym, którego boki mają długości $20, 12, 8, 8$ , przedłużono ramiona, które przecięły się w punkcie $S$ . Oblicz odległości punktu $S$ od obu podstaw.

6 $\sqrt{3}$ , $10 \sqrt{3}$

Ćwiczenie 20

Dane są dwa trójkąty podobne $ABC$ oraz $A’B’C’$ . Podstawy tych trójkątów mają długości $|AB| = 16,8, |A'B'| = 21 .$ Wysokość $CD$ opuszczona na bok $AB$ ma długość $14,4$ . Oblicz wysokość $C’D’$ trójkąta $A’B’C’$ opuszczoną na bok $A’B’$ .

$18$

R4WECUSszAeQD1

Zasób interaktywny dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/a/D6QhoxTeI

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY NC 3.0.

Rr4Rrc9JLCPU21

Zasób interaktywny dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/a/D6QhoxTeI

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY NC 3.0.

RlnJs9YheCYz21

Zasób interaktywny dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/a/D6QhoxTeI

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY NC 3.0.

Trójkąty prostokątne podobne

Pola figur podobnych

Cechy podobieństwa trójkątów

Własności trójkątów podobnych

Cechy podobieństwa trójkątów

Zastosowanie cech podobieństwa trójkątów