Cechy podobieństwa trójkątów

R19eCRxGeEF0y1

Zasób interaktywny dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/a/D6QhoxTeI

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY NC 3.0.

Przykład 1

R1RTKKMegLplN1

Rysunek trójkątów A B C i D E F. W trójkącie A B C boki mają długości 3 cm, 4 cm i 2,5 cm. W trójkącie D E F boki mają długości 5 cm, 6 cm i 8 cm. Kąty C A B i F D E są równe, kąty A C B i D F E są równe oraz kąty C B A i F E D są równe. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Trójkąty $ABC$ i $DEF$ są podobne w skali $\frac{1}{2}$ .

\frac{|AC|}{|DF|} = \frac{|AB|}{|DE|} = \frac{|BC|}{|EF|} = \frac{1}{2}

RgSSVXbzbTJko1

Rysunek trójkątów A B C i D E F. Kąty C A B i F D E są równe, kąty A C B i D F E są równe oraz kąty C B A i F E D są równe. Zapis: trójkąt A B C podobny do trójkąta D E F. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Tabela. Dane
Własności trójkątów podobnych
miary odpowiednich kątów są równe	stosunek długości odpowiednich boków jest równy
$\|∢ CAB\| = \|∢ FDE\|$ $\|∢ ABC\| = \|∢ DEF\|$ $\|∢ BCA\| = \|∢ EFD\|$	$\frac{\|AC\|}{\|DF\|} = \frac{\|AB\|}{\|DE\|} = \frac{\|BC\|}{\|EF\|}$

Ważne!

Jeżeli trójkąty są podobne, to skali podobieństwa jest równy:

stosunek ich obwodów
stosunek ich odpowiednich odcinków (np. wysokości, środkowych)

Przykład 2

REpUnPGgUs9be1

Rysunek trzech trójkątów prostokątnych A B C, D E F i G H I. Najmniejszy trójkąt A B C ma przyprostokątne długości 2 i 1,5 oraz przeciwprostokątną długości 2,5. Trójkąt D E F ma przyprostokątne długości 3 i 4 a przeciwprostokątną 5. Trójkąt G H I ma przyprostokątne długości 4,5 i 6 oraz przeciwprostokątną długości 7,5. Odpowiednie kąty w trójkątach A C B, D E F i G I H mają miarę alfa, a kąty A B C, D E F i G H I miarę beta.

Popatrz na trójkąty przedstawione na rysunku. Drugi z nich powstał przez powiększenie długości każdego boku trójkąta $ABC$ dwa razy. Trzeci przez powiększenie długości każdego boku trójkąta $ABC$ trzy razy.
Odpowiadające sobie kąty mają jednakowe miary, a odpowiadające sobie boki są proporcjonalne. Takie trójkąty nazywamy podobnymi.
Figury podobne to takie, które mają jednakowy kształt, a mogą się różnić wielkością. Przykładami figur podobnych są kopie tego samego obrazka, które powiększamy lub pomniejszamy.

Cechy podobieństwa trójkątów

Twierdzenie: Cechy podobieństwa trójkątów

Cecha bok‑bok‑bok ( $bbb$ )

Jeżeli każdy bok trójkąta $A'B'C'$ jest proporcjonalny do odpowiedniego boku trójkąta $ABC$ , to trójkąty te są podobne.

R1bafCpt9XUKL1

Zasób interaktywny dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/a/D6QhoxTeI

iCiq9n35Oi_d5e225

RSPcg6BAdXahw1

RaEcXctIppHWB1

R1ROQgwiTBV2z1

Skala podobieństwa trójkątów

Twierdzenie: Skala podobieństwa trójkątów

Jeżeli trójkąty $A'B'C'$ oraz $ABC$ są podobne, przy czym wierzchołki $A, B, C$ odpowiadają wierzchołkom odpowiednio $A^{'}, B^{'}, C'$ , to

\frac{|A' B'|}{|AB|} = \frac{|B' C'|}{|BC|} = \frac{|C' A'|}{|CA|}

oraz

|∢ A| = |∢ A'|, |∢ B| = |∢ B'|, |∢ C| = |∢ C'| .

Skalą $k$ podobieństwa trójkątów nazywamy iloraz długości odpowiadających sobie boków w trójkątach podobnych

\frac{|A' B'|}{|AB|} = \frac{|B' C'|}{|BC|} = \frac{|C' A'|}{|CA|} = k

Rcuo7CPrRW0Dr1

Rysunek trójkąta A B C o bokach długości a, b, c oraz trójkąta A prim B prim C prim o bokach długości ka, kb, kc.

Zauważ, że trójkąty podobne w skali $k = 1$ są przystające.
Podobieństwo trójkątów $A'B'C'$ oraz $ABC$ symbolicznie oznaczamy

∆ A^{'} B^{'} C^{'} ~ ∆ ABC .

R1SYXgVmnJ4j91

Zasób interaktywny dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/a/D6QhoxTeI

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY NC 3.0.

iCiq9n35Oi_d5e338

Przykład 3

W trójkąt $ABC$ o bokach długości $a, b, c$ wpisano romb $ADEF$ tak, jak na rysunku. Wykażemy, że długość boku tego rombu jest równa $\frac{ab}{a + b}$ .

RkcKh07eqPfkW1

Zasób interaktywny dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/a/D6QhoxTeI

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY NC 3.0.

Przykład 4

Można wykazać, że odcinek łączący środki dwóch boków trójkąta jest równoległy do boku trzeciego. Uzasadnij, że jest równy połowie boku trzeciego.
Rozważmy trójkąt $ABC$ , w którym punkty $D$ i $E$ są środkami boków odpowiednio $AC$ i $BC$ oraz

|CB| = 2 a, |AB| = c, |DE| = x

R1K6Ih4LZJKcP1

Zasób interaktywny dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/a/D6QhoxTeI

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY NC 3.0.

classicmobile

Ćwiczenie 1

Rozstrzygnij, czy zdanie jest prawdziwe, czy fałszywe.

R1YOYi8Gl5JFF

OBIEKT MULTIMEDIALNY KLIKNIJ, ABY OTWORZYĆ NA PEŁNYM EKRANIE

Kliknij, aby rozpocząć

Wystąpił błąd

Spróbuj ponownie później

Każde dwa trójkąty o równych obwodach są podobne.
Każde dwa trójkąty przystające są podobne.
Każde dwa trójkąty prostokątne są podobne.
Każde dwa trójkąty równoboczne są podobne.
Każde dwa trójkąty, w których stosunek miar kątów jest równy $1 : 2 : 4$ , są podobne.

static

Ćwiczenie 1

Rozstrzygnij, czy zdanie jest prawdziwe, czy fałszywe.

RzwWgBuYipbmd

OBIEKT MULTIMEDIALNY KLIKNIJ, ABY OTWORZYĆ NA PEŁNYM EKRANIE

Kliknij, aby rozpocząć

Wystąpił błąd

Spróbuj ponownie później

Każde dwa trójkąty przystające są podobne.
Każde dwa trójkąty, w których stosunek miar kątów jest równy $1 : 2 : 4$ , są podobne.
Każde dwa trójkąty o równych obwodach są podobne.
Każde dwa trójkąty prostokątne są podobne.
Każde dwa trójkąty równoboczne są podobne.

classicmobile

Ćwiczenie 2

Trójkąty $ABC$ i $DEF$ są podobne. Długości boków trójkąta $ABC$ są równe $8, 6$ i $12$ . Najkrótszy bok trójkąta $DEF$ ma długość $3$ . Zatem najdłuższy bok trójkąta $DEF$ .

RBQs9v5m4mVE2

OBIEKT MULTIMEDIALNY KLIKNIJ, ABY OTWORZYĆ NA PEŁNYM EKRANIE

Kliknij, aby rozpocząć

Wystąpił błąd

Spróbuj ponownie później

jest równy $4$
jest krótszy od każdego z boków trójkąta $ABC$
jest równy długości jednego z boków trójkąta $ABC$

static

Ćwiczenie 2

Trójkąty $ABC$ i $DEF$ są podobne. Długości boków trójkąta $ABC$ są równe $8, 6$ i $12$ . Najkrótszy bok trójkąta $DEF$ ma długość $3$ . Zatem najdłuższy bok trójkąta $DEF$ .

R15LHgB5dw30u

OBIEKT MULTIMEDIALNY KLIKNIJ, ABY OTWORZYĆ NA PEŁNYM EKRANIE

Kliknij, aby rozpocząć

Wystąpił błąd

Spróbuj ponownie później

jest równy długości jednego z boków trójkąta $ABC$
jest równy $4$
jest krótszy od każdego z boków trójkąta $ABC$

classicmobile

Ćwiczenie 3

Trójkąty $ABC$ i $DEF$ są podobne. Miary dwóch kątów trójkąta $ABC$ są równe $126 °, 39 °$ . Najmniejszy kąt trójkąta $DEF$ ma miarę

RXL7GOdWcweCo

OBIEKT MULTIMEDIALNY KLIKNIJ, ABY OTWORZYĆ NA PEŁNYM EKRANIE

Kliknij, aby rozpocząć

Wystąpił błąd

Spróbuj ponownie później

$25 °$
$15 °$
$54 °$
$39 °$

static

Ćwiczenie 3

Trójkąty $ABC$ i $DEF$ są podobne. Miary dwóch kątów trójkąta $ABC$ są równe $126 °, 39 °$ . Najmniejszy kąt trójkąta $DEF$ ma miarę

Rakf1G1LEFUXs

OBIEKT MULTIMEDIALNY KLIKNIJ, ABY OTWORZYĆ NA PEŁNYM EKRANIE

Kliknij, aby rozpocząć

Wystąpił błąd

Spróbuj ponownie później

$25 °$
$39 °$
$15 °$
$54 °$

classicmobile

Ćwiczenie 4

Stosunek boków dwóch trójkątów podobnych jest równy $9 : 36$ . Stosunek obwodów tych trójkątów jest równy

R1XOZrETdj4jP

OBIEKT MULTIMEDIALNY KLIKNIJ, ABY OTWORZYĆ NA PEŁNYM EKRANIE

Kliknij, aby rozpocząć

Wystąpił błąd

Spróbuj ponownie później

$3 : 6$
$18 : 36$
$36 : 9$
$1 : 4$

static

Ćwiczenie 4

Stosunek boków dwóch trójkątów podobnych jest równy $9 : 36$ . Stosunek obwodów tych trójkątów jest równy

R1TQ641KMqKet

OBIEKT MULTIMEDIALNY KLIKNIJ, ABY OTWORZYĆ NA PEŁNYM EKRANIE

Kliknij, aby rozpocząć

Wystąpił błąd

Spróbuj ponownie później

$18 : 36$
$36 : 9$
$3 : 6$
$1 : 4$

classicmobile

Ćwiczenie 5

Trójkąty $ABC$ i $DEF$ są podobne.

R1du7DTAqmIVL1

Rysunek dwóch trójkątów podobnych. Pierwszy trójkąt ma boki długości x i 4. Drugi trójkąt ma boki długości 2,4 i 3,2. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Zatem

RKY6kV4T71Ivm

OBIEKT MULTIMEDIALNY KLIKNIJ, ABY OTWORZYĆ NA PEŁNYM EKRANIE

Kliknij, aby rozpocząć

Wystąpił błąd

Spróbuj ponownie później

$x = 1,92$
$x = 3$
$x = 5,3$
$x = 1,4$

static

Ćwiczenie 5

Trójkąty $ABC$ i $DEF$ są podobne.

R1du7DTAqmIVL1

Zatem

RUO6cHp1TASRm

OBIEKT MULTIMEDIALNY KLIKNIJ, ABY OTWORZYĆ NA PEŁNYM EKRANIE

Kliknij, aby rozpocząć

Wystąpił błąd

Spróbuj ponownie później

$x = 1,92$
$x = 3$
$x = 5,3$
$x = 1,4$

classicmobile

Ćwiczenie 6

Odcinki $BC$ i $DE$ są równoległe.

Rb1iBqkDuxlMq1

Grafika statyczna — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Zatem

ROpc5oeun5lDh

OBIEKT MULTIMEDIALNY KLIKNIJ, ABY OTWORZYĆ NA PEŁNYM EKRANIE

Kliknij, aby rozpocząć

Wystąpił błąd

Spróbuj ponownie później

$x = 4,5$
$x = 6$
$x = 9$
$x = 1,8$

static

Ćwiczenie 6

Odcinki $BC$ i $DE$ są równoległe.

Rb1iBqkDuxlMq1

Zatem

Rl19ryQzxtdnZ

OBIEKT MULTIMEDIALNY KLIKNIJ, ABY OTWORZYĆ NA PEŁNYM EKRANIE

Kliknij, aby rozpocząć

Wystąpił błąd

Spróbuj ponownie później

$x = 4,5$
$x = 9$
$x = 1,8$
$x = 6$

classicmobile

Ćwiczenie 7

Odcinki $BC$ i $DE$ są równoległe.

R1TzDHxiIjjs21

Rysunek trójkąta A D E. Punkt B dzieli bok AD trójkąta na dwa odcinki długości AB = 3 i BD = 2. Punkt C dzieli bok AE trójkąta na dwa odcinki długości AC i CE. Odcinki BC i DE są równoległe. Odcinek BC = x i odcinek DE = 5. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Zatem

R12SEx5Zhwza9

OBIEKT MULTIMEDIALNY KLIKNIJ, ABY OTWORZYĆ NA PEŁNYM EKRANIE

Kliknij, aby rozpocząć

Wystąpił błąd

Spróbuj ponownie później

$x = 1$
$x = 1,2$
$x = 7,5$
$x = 3$

static

Ćwiczenie 7

Odcinki $BC$ i $DE$ są równoległe.

R1TzDHxiIjjs21

Zatem

RxUtn6TVXfiag

OBIEKT MULTIMEDIALNY KLIKNIJ, ABY OTWORZYĆ NA PEŁNYM EKRANIE

Kliknij, aby rozpocząć

Wystąpił błąd

Spróbuj ponownie później

$x = 7,5$
$x = 1,2$
$x = 3$
$x = 1$

iCiq9n35Oi_d5e803

classicmobile

Ćwiczenie 8

Zaznacz, która cecha podobieństwa trójkątów pozwala stwierdzić, czy trójkąty na rysunku są podobne.

RKjdCBuU76YjO1

Rysunek dwóch równoramiennych trójkątów podobnych. W pierwszym trójkącie ramiona mają długość 7 a podstawa 3. W drugim trójkącie ramiona mają długość 3, 5 a podstawa 1,5. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RZDCoWyZz9poI

OBIEKT MULTIMEDIALNY KLIKNIJ, ABY OTWORZYĆ NA PEŁNYM EKRANIE

Kliknij, aby rozpocząć

Wystąpił błąd

Spróbuj ponownie później

kkk
bkb
bbb

static

B

Ćwiczenie 9

Wiadomo, że odcinki $AB$ i $CD$ są równoległe.

RrgCFuZvdnyWT1

Rysunek trójkątów A B M i M D C leżących po obu stronach wspólnego wierzchołka M. Bok AB trójkąta A B M jest równoległy do boku CD trójkąta A B M. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Czy wtedy $\frac{|DM|}{|CM|} = \frac{|MB|}{|MA|}$ ?

B

Ćwiczenie 10

O dwóch trójkątach równoramiennych wiadomo, że mają jeden kąt równy. Czy są to więc na pewno trójkąty podobne?

B

Ćwiczenie 11

W trapezie $ABCD$ podstawy $AB$ i $DC$ mają długości $20 cm$ i $10 cm$ , a ramię $AD$ ma długość $8 cm$ . Przedłużenia ramion przecinają się w punkcie $E$ . Oblicz długość odcinka $DE$ .

$|DE| = 8 cm$

B

Ćwiczenie 12

W trójkącie $ABC$ punkt $D$ jest środkiem odcinka $AB$ , punkt $E$ leży na boku $BC$ . Odcinki
$AC$ i $DE$ są równoległe. Odcinek $AC$ ma długość $22 cm$ , odcinek $DB$ ma długość $8 cm$ i $CE$ ma długość $10 cm$ . Oblicz obwody trójkątów $ABC$ i $DBE$ .

$58 cm$ i $29 cm$

B

Ćwiczenie 13

W trójkącie $ABC$ bok $AB$ ma długość $10 cm$ . Na boku $AC$ zaznaczono punkt $D$ taki, że odcinek $AD$ jest cztery razy dłuższy od odcinka $DC$ . Przez punkt $D$ poprowadzono prostą równoległą do boku $BC$ , która przecięła bok $AB$ w punkcie $E$ . Oblicz długość odcinków $AE$ i $EB$ .

$8 cm$ i $2 cm$

classicmobile

Ćwiczenie 14

Trójkąt $A’B’C’$ o obwodzie $96 dm$ jest podobny do trójkąta $ABC$ o bokach długości $6 dm, 8 dm, 10 dm$ . Najkrótszy bok trójkąta $A’B’C’$ ma długość:

R2xVC0QSJhzyU

OBIEKT MULTIMEDIALNY KLIKNIJ, ABY OTWORZYĆ NA PEŁNYM EKRANIE

Kliknij, aby rozpocząć

Wystąpił błąd

Spróbuj ponownie później

$240 cm$
$12 dm$
$3 dm$
$90 cm$

static

Ćwiczenie 14

Trójkąt $A’B’C’$ o obwodzie $96 dm$ jest podobny do trójkąta $ABC$ o bokach długości $6 dm, 8 dm, 10 dm$ . Najkrótszy bok trójkąta $A’B’C’$ ma długość:

R1XCUaLOo9WLE

OBIEKT MULTIMEDIALNY KLIKNIJ, ABY OTWORZYĆ NA PEŁNYM EKRANIE

Kliknij, aby rozpocząć

Wystąpił błąd

Spróbuj ponownie później

$12 dm$
$3 dm$
$240 cm$
$90 cm$

C

Ćwiczenie 15

Wykaż, że odcinki łączące środki kolejnych boków dowolnego czworokąta tworzą równoległobok.

B

Ćwiczenie 16

Narysuj dowolny trójkąt i podziel go na dwa trójkąty, których stosunek pól wynosi $4 : 9$ .

Wskazówka
Podziel podstawę trójkąta na dwa odcinki, których stosunek długości jest równy $4 : 9$ . Odcinek poprowadzony z przeciwległego wierzchołka do punktu podziału dzieli dany trójkąt na szukane trójkąty.

A

Ćwiczenie 17

Obrazek ma kształt trójkąta o podstawie długości $10 cm$ i wysokości $8 cm$ . Obrazek chcemy powiększyć za pomocą kserografu tak, aby wysokość tak otrzymanego trójkąta była równa $32 cm$ . Jaką długość będzie miała wówczas podstawa tego trójkąta ?

$4 dm$

classicmobile

Ćwiczenie 18

Rozstrzygnij, czy zdanie jest prawdziwe, czy fałszywe.

RGaM0q73qIk09

OBIEKT MULTIMEDIALNY KLIKNIJ, ABY OTWORZYĆ NA PEŁNYM EKRANIE

Kliknij, aby rozpocząć

Wystąpił błąd

Spróbuj ponownie później

Dowolne dwa trójkąty o jednakowych kątach są podobne.
Dowolne dwa trójkąty o jednakowych polach są podobne.
Dowolne dwa trójkąty równoramienne są podobne.

static

B

Ćwiczenie 19

W trapezie równoramiennym, którego boki mają długości $20, 12, 8, 8$ , przedłużono ramiona, które przecięły się w punkcie $S$ . Oblicz odległości punktu $S$ od obu podstaw.

6 $\sqrt{3}$ , $10 \sqrt{3}$

B

Ćwiczenie 20

Dane są dwa trójkąty podobne $ABC$ oraz $A’B’C’$ . Podstawy tych trójkątów mają długości $|AB| = 16,8, |A'B'| = 21 .$ Wysokość $CD$ opuszczona na bok $AB$ ma długość $14,4$ . Oblicz wysokość $C’D’$ trójkąta $A’B’C’$ opuszczoną na bok $A’B’$ .