Wzory skróconego mnożenia stopnia trzeciego

Learning objectives

• You will develop the following competences: communicating in English, mathematical, IT and basic scientific and technical competence, your learning skills.

• You will get to know a method of converting algebraic expressions.

• You will get to know a method of applying short multiplication formulas of the third degree.

Learning effect

• You will learn to convert algebraic expressions.

• You will learn to apply short multiplication formulas of the third degree.

Recollect the operations on algebraic expressions and exponentiation.

The aim of the class is getting to know and applying short multiplication formulas in calculations.

Using the information work out the formula for the cube of the sum and the cube of the difference of two expressionscube of the difference of two expressionscube of the difference of two expressions. Formulate and write down the conclusion.

Conclusion:

For any expressions a, b the formulas are true:

• $(a+b{)}^3=a^3+3a^{2}b+3a{b}^2+b^3$ - the formula for the cube of the sum of a and b,

• $(a-b{)}^3=a^3-3a^{2}b+3a{b}^2-b^3$ - the formula for the cube of the difference of a and b.

Task 1

R1QnG31Lx7Ku81

nagranie abstraktu

nagranie abstraktu

Nagranie dostępne na portalu epodreczniki.pl

nagranie abstraktu

Analyse the material presented in the applet. It is a geometric illustration of the formula for the cube of the sum. Having analysed the applet, formulate the conclusion.

RZvLgEx2U0pIA1

Geogebra aplet - Ilustracja geometryczna wzoru na sześcian sumy. Galeria z opisami alternatywnymi poniżej.

Geogebra aplet - Ilustracja geometryczna wzoru na sześcian sumy. Galeria z opisami alternatywnymi poniżej.

Zasób interaktywny dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/a/D14DdwPzr

R1SM1L0T8j1cC1

W lewej części ilustracji umieszczony jest napis: „short multiplication formula”. Pod napisem zapisano wzór: nawias zwykły, w nawiasie, a dodać b, poza nawiasem, podniesione do potęgi trzeciej, równa się a do potęgi trzeciej dodać trzy pomnożone przez a do kwadratu pomnożone przez b dodać trzy pomnożone przez a pomnożone przez b do kwadratu dodać b do potęgi trzy. W prawej części ilustracji znajduje się przezroczysty sześcian o krawędzi długości a dodać b. Sześcian podzielony jest na osiem prostopadłościanów. Trzy prostopadłościany mają krawędzie długości a, a, b. Trzy kolejne mają krawędzie długości odpowiednio a, b, b. Pozostałe to sześciany, jeden ma krawędź długości a, drugiego krawędź ma długość b.

RUTiRmeImKnSZ1

W lewej części ilustracji umieszczony jest napis: „short multiplication formula”. Pod napisem zapisano wzór: nawias zwykły, w nawiasie, a dodać b, poza nawiasem, podniesione do potęgi trzeciej, równa się a do potęgi trzeciej dodać trzy pomnożone przez a do kwadratu pomnożone przez b dodać trzy pomnożone przez a pomnożone przez b do kwadratu dodać b do potęgi trzy. W prawej części ilustracji znajduje się przezroczysty sześcian o krawędzi długości a dodać b. Sześcian podzielony jest na osiem prostopadłościanów. Trzy prostopadłościany mają krawędzie długości a, a, b. Trzy kolejne mają krawędzie długości odpowiednio a, b, b. Pozostałe to sześciany, jeden ma krawędź długości a, drugiego krawędź ma długość b. W górnej części wyeksponowano sześcian o krawędzi długości a.

R1UOZJP7ptllH1

W lewej części ilustracji umieszczony jest napis: „short multiplication formula”. Pod napisem zapisano wzór: nawias zwykły, w nawiasie, a dodać b, poza nawiasem, podniesione do potęgi trzeciej, równa się a do potęgi trzeciej dodać trzy pomnożone przez a do kwadratu pomnożone przez b dodać trzy pomnożone przez a pomnożone przez b do kwadratu dodać b do potęgi trzy. W prawej części ilustracji znajduje się przezroczysty sześcian o krawędzi długości a dodać b. Sześcian podzielony jest na osiem prostopadłościanów. Trzy prostopadłościany mają krawędzie długości a, a, b. Trzy kolejne mają krawędzie długości odpowiednio a, b, b. Pozostałe to sześciany, jeden ma krawędź długości a, drugiego krawędź ma długość b. W górnej części wyeksponowano sześcian o krawędzi długości a i sześcian o krawędzi długości b.

Conclusion:

• You can illustrate graphically the cube of the sum of two expressionscube of the sum of two expressionscube of the sum of two expressions as the volume of a cube with the edge length a + b, where a > 0 and b > 0.

Conclusion:

There are two more short multiplication formulas of the third degreeshort multiplication formulas of the third degreeshort multiplication formulas of the third degree. These are the formulas for the sum and the difference of cubes:

• $a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$ - formula for the sum of cubes of a and b,

• $a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$ - formula for the difference of cubes of a and b.

Use the formulas to solve the tasks.

Having finished all the tasks, do the consolidation tasks. Formulate the conclusions to memorize.

Summary

For any expressions a, b the formulas are true:

• $(a+b{)}^3=a^3+3a^{2}b+3a{b}^2+b^3$ - the formula for the cube of the sum of a and b,

• $(a-b{)}^3=a^3-3a^{2}b+3a{b}^2-b^3$ - the formula for the cube of the difference of a and b,

• $a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$ - formula for the sum of cubes of a and b,

• $a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$ - formula for the difference of cubes of a and b.

Exercises

Glossary

Keywords

cube of the difference of two expressionscube of the difference of two expressionscube of the difference of two expressions

cube of the sum of two expressionscube of the sum of two expressionscube of the sum of two expressions

difference of cubes two expressionsdifference of cubes two expressionsdifference of cubes two expressions

short multiplication formulas of the third degreeshort multiplication formulas of the third degreeshort multiplication formulas of the third degree

sum of cubes of two expressionssum of cubes of two expressionssum of cubes of two expressions