Wzory skróconego mnożenia stopnia trzeciego
Learning objectives
You will develop the following competences: communicating in English, mathematical, IT and basic scientific and technical competence, your learning skills.
You will get to know a method of converting algebraic expressions.
You will get to know a method of applying short multiplication formulas of the third degree.
Learning effect
R15e5uyzxIOfn 1 nagranie abstraktu
nagranie abstraktu
Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.
Recollect the operations on algebraic expressions and exponentiation.
The aim of the class is getting to know and applying short multiplication formulas in calculations.
Using the information work out the formula for the cube of the sum and the cube of the difference of two expressions cube of the difference of two expressions cube of the difference of two expressions . Formulate and write down the conclusion.
Conclusion:
For any expressions a, b the formulas are true:
( a + b ) 3 = a 3 + 3 a 2 b + 3 a b 2 + b 3 - the formula for the cube of the sum of a and b,
( a - b ) 3 = a 3 - 3 a 2 b + 3 a b 2 - b 3 - the formula for the cube of the difference of a and b.
Task 1
R1QnG31Lx7Ku8 1 nagranie abstraktu
nagranie abstraktu
Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.
Analyse the material presented in the applet. It is a geometric illustration of the formula for the cube of the sum. Having analysed the applet, formulate the conclusion.
RZvLgEx2U0pIA 1 Geogebra aplet - Ilustracja geometryczna wzoru na sześcian sumy. Galeria z opisami alternatywnymi poniżej.
Geogebra aplet - Ilustracja geometryczna wzoru na sześcian sumy. Galeria z opisami alternatywnymi poniżej. Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.
Przejdź do poprzedniej ilustracji
Przejdź do następnej ilustracji
R1SM1L0T8j1cC 1 W lewej części ilustracji umieszczony jest napis: „short multiplication formula”. Pod napisem zapisano wzór: nawias zwykły, w nawiasie, a dodać b, poza nawiasem, podniesione do potęgi trzeciej, równa się a do potęgi trzeciej dodać trzy pomnożone przez a do kwadratu pomnożone przez b dodać trzy pomnożone przez a pomnożone przez b do kwadratu dodać b do potęgi trzy. W prawej części ilustracji znajduje się przezroczysty sześcian o krawędzi długości a dodać b. Sześcian podzielony jest na osiem prostopadłościanów. Trzy prostopadłościany mają krawędzie długości a, a, b. Trzy kolejne mają krawędzie długości odpowiednio a, b, b. Pozostałe to sześciany, jeden ma krawędź długości a, drugiego krawędź ma długość b.
Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.
RUTiRmeImKnSZ 1 W lewej części ilustracji umieszczony jest napis: „short multiplication formula”. Pod napisem zapisano wzór: nawias zwykły, w nawiasie, a dodać b, poza nawiasem, podniesione do potęgi trzeciej, równa się a do potęgi trzeciej dodać trzy pomnożone przez a do kwadratu pomnożone przez b dodać trzy pomnożone przez a pomnożone przez b do kwadratu dodać b do potęgi trzy. W prawej części ilustracji znajduje się przezroczysty sześcian o krawędzi długości a dodać b. Sześcian podzielony jest na osiem prostopadłościanów. Trzy prostopadłościany mają krawędzie długości a, a, b. Trzy kolejne mają krawędzie długości odpowiednio a, b, b. Pozostałe to sześciany, jeden ma krawędź długości a, drugiego krawędź ma długość b. W górnej części wyeksponowano sześcian o krawędzi długości a.
Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.
R1UOZJP7ptllH 1 W lewej części ilustracji umieszczony jest napis: „short multiplication formula”. Pod napisem zapisano wzór: nawias zwykły, w nawiasie, a dodać b, poza nawiasem, podniesione do potęgi trzeciej, równa się a do potęgi trzeciej dodać trzy pomnożone przez a do kwadratu pomnożone przez b dodać trzy pomnożone przez a pomnożone przez b do kwadratu dodać b do potęgi trzy. W prawej części ilustracji znajduje się przezroczysty sześcian o krawędzi długości a dodać b. Sześcian podzielony jest na osiem prostopadłościanów. Trzy prostopadłościany mają krawędzie długości a, a, b. Trzy kolejne mają krawędzie długości odpowiednio a, b, b. Pozostałe to sześciany, jeden ma krawędź długości a, drugiego krawędź ma długość b. W górnej części wyeksponowano sześcian o krawędzi długości a i sześcian o krawędzi długości b.
Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.
Conclusion:
R11FoYLFLBi9p 1 nagranie abstraktu
nagranie abstraktu
Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.
Task 2
Think – are the worked out relationships the only short multiplication formulas of the third degree short multiplication formulas of the third degree short multiplication formulas of the third degree ? Check your hypotheses by analysing the material presented in the interactive diagram. Formulate an appropriate conclusion.
R1VeV1X7UMl5a Ilustracja interaktywna przedstawia zapisy działań oznaczone numerami. Numer 1: w nawiasie a dodać b, zamknąć nawias do potęgi trzeciej równa się a do potęgi trzeciej dodać 3 razy a do potęgi drugiej razy b dodać 3 razy a razy b do potęgi drugiej dodać b do potęgi trzeciej. Numer 2: w nawiasie a odjąć b, zamknąć nawias do potęgi trzeciej równa się a do potęgi trzeciej odjąć 3 razy a do potęgi drugiej razy b dodać 3 razy a razy b do potęgi drugiej odjąć b do potęgi trzeciej. Numer 3: a do potęgi trzeciej dodać b do potęgi trzeciej równa się w nawiasie a dodać b, zamknąć nawias razy w nawiasie a do potęgi drugiej odjąć a razy b dodać b do potęgi drugiej. Numer 4: a do potęgi trzeciej odjąć b do potęgi trzeciej równa się w nawiasie a odjąć b, zamknąć nawias razy w nawiasie a do potęgi drugiej dodać a razy b dodać b do potęgi drugiej. Na numerach widoczne są podpisy. 1. the formula for the cube of the sum of a and b {audio}, 2. the formula for the cube of the difference of a and b {audio}, 3. the formula for the sum of cubes of a and b {audio}, 4. the formula for the difference of cubes of a and b {audio}.
Ilustracja interaktywna przedstawia zapisy działań oznaczone numerami. Numer 1: w nawiasie a dodać b, zamknąć nawias do potęgi trzeciej równa się a do potęgi trzeciej dodać 3 razy a do potęgi drugiej razy b dodać 3 razy a razy b do potęgi drugiej dodać b do potęgi trzeciej. Numer 2: w nawiasie a odjąć b, zamknąć nawias do potęgi trzeciej równa się a do potęgi trzeciej odjąć 3 razy a do potęgi drugiej razy b dodać 3 razy a razy b do potęgi drugiej odjąć b do potęgi trzeciej. Numer 3: a do potęgi trzeciej dodać b do potęgi trzeciej równa się w nawiasie a dodać b, zamknąć nawias razy w nawiasie a do potęgi drugiej odjąć a razy b dodać b do potęgi drugiej. Numer 4: a do potęgi trzeciej odjąć b do potęgi trzeciej równa się w nawiasie a odjąć b, zamknąć nawias razy w nawiasie a do potęgi drugiej dodać a razy b dodać b do potęgi drugiej. Na numerach widoczne są podpisy. 1. the formula for the cube of the sum of a and b {audio}, 2. the formula for the cube of the difference of a and b {audio}, 3. the formula for the sum of cubes of a and b {audio}, 4. the formula for the difference of cubes of a and b {audio}.
Short multiplication formulas of the third degree
Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.
Conclusion:
R1CbVW0RGpct8 1 nagranie abstraktu
nagranie abstraktu
Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.
There are two more short multiplication formulas of the third degree short multiplication formulas of the third degree short multiplication formulas of the third degree . These are the formulas for the sum and the difference of cubes:
a 3 + b 3 = ( a + b ) ( a 2 - a b + b 2 ) - formula for the sum of cubes of a and b,
a 3 - b 3 = ( a - b ) ( a 2 + a b + b 2 ) - formula for the difference of cubes of a and b.
Use the formulas to solve the tasks.
Task 3
R8Oiu7opMb0tI 1 nagranie abstraktu
nagranie abstraktu
Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.
Write down the expressions with algebraic sums.
a) ( 4 - b ) 3
b) ( 3 x - 5 ) 3
c) ( 3 3 - 2 ) 3
Task 4
Rg3ZmCiwMlxp0 1 nagranie abstraktu
nagranie abstraktu
Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.
Perform the indicated operations.
a) ( x + 2 ) ( x 2 - 2 x + 4 )
b) ( a 2 + 2 a b + 4 b 2 ) ( a - 2 b )
c) ( 3 - x ) ( 9 + 3 x + x 2 )
Task 5
R46TEfrGinSdZ 1 nagranie abstraktu
nagranie abstraktu
Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.
Perform the operations and the reduction of like terms.
a) ( 2 + a ) 3 + 3 ( a - 1 ) 3
b) ( b + 5 ) 3 - ( 5 - b ) ( 25 + 5 b + b 2 )
Task 6
R1CvMAYrutskZ 1 nagranie abstraktu
nagranie abstraktu
Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.
Factorize the expressions to the terms of maximum second degree.
a) x 4 + 729 x
b) 64 x - 27 x 4
c) 1 - x 6
Task 7
An extra task:
Prove, without the use of a calculator, that number:
a) 11 12 - 7 12 - can be divided by 17,
b) 17 18 - 16 18 - can be divided by 11.
Having finished all the tasks, do the consolidation tasks. Formulate the conclusions to memorize.
Summary
For any expressions a, b the formulas are true:
( a + b ) 3 = a 3 + 3 a 2 b + 3 a b 2 + b 3 - the formula for the cube of the sum of a and b,
( a - b ) 3 = a 3 - 3 a 2 b + 3 a b 2 - b 3 - the formula for the cube of the difference of a and b,
a 3 + b 3 = ( a + b ) ( a 2 - a b + b 2 ) - formula for the sum of cubes of a and b,
a 3 - b 3 = ( a - b ) ( a 2 + a b + b 2 ) - formula for the difference of cubes of a and b.
Exercises Ri7FfN7XGcmgQ Exercise 1
Wersja alternatywna ćwiczenia: Determine which sentences are true. Możliwe odpowiedzi: 1. Number 5 6 - 1 can be divided by 8. , 2. Expression 64 - 27 a 3 , after factorization becomes ( 4 - 3 a ) ( 16 + 12 a + 9 a 2 ) .
Wersja alternatywna ćwiczenia: Determine which sentences are true. Możliwe odpowiedzi: 1. Number 5 6 - 1 can be divided by 8. , 2. Expression 64 - 27 a 3 , after factorization becomes ( 4 - 3 a ) ( 16 + 12 a + 9 a 2 ) .
Determine which sentences are true.
Number 5 6 - 1 can be divided by 8.
Expression 64 - 27 a 3 , after factorization becomes ( 4 - 3 a ) ( 16 + 12 a + 9 a 2 ) .
zadanie
Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.
Exercise 2
Perform the operations and reduce the like terms. Next, calculate the value of expression for x = 2 ( 2 x - 1 ) 3 - ( x + 1 ) 3 + ( x + 2 ) 3 - ( x + 2 ) ( x 2 - 2 x + 4 ) .
Show solution Exercise 3
Describe in English short multiplication formulas of the third degree.
Rld4qW4DXzs02 Exercise 4
Wersja alternatywna ćwiczenia: Indicate which pairs of expressions or words are translated correctly. Możliwe odpowiedzi: 1. sześcian sumy dwóch wyrażeń - cube of the sum of two expressions , 2. sześcian różnicy dwóch wyrażeń - cube of the difference of two expressions , 3. suma sześcianów dwóch wyrażeń - sum of cubes of two expressions , 4. różnica sześcianów dwóch wyrażeń - short multiplication formulas of the third degree , 5. wzory skróconego mnożenia stopnia trzeciego - difference of cubes two expressions
Wersja alternatywna ćwiczenia: Indicate which pairs of expressions or words are translated correctly. Możliwe odpowiedzi: 1. sześcian sumy dwóch wyrażeń - cube of the sum of two expressions , 2. sześcian różnicy dwóch wyrażeń - cube of the difference of two expressions , 3. suma sześcianów dwóch wyrażeń - sum of cubes of two expressions , 4. różnica sześcianów dwóch wyrażeń - short multiplication formulas of the third degree , 5. wzory skróconego mnożenia stopnia trzeciego - difference of cubes two expressions
Indicate which pairs of expressions or words are translated correctly.
sześcian sumy dwóch wyrażeń - cube of the sum of two expressions
sześcian różnicy dwóch wyrażeń - cube of the difference of two expressions
suma sześcianów dwóch wyrażeń - sum of cubes of two expressions
różnica sześcianów dwóch wyrażeń - short multiplication formulas of the third degree
wzory skróconego mnożenia stopnia trzeciego - difference of cubes two expressions
zadanie
Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.
RLRZmuw1hrOxR 1 Interaktywna gra, polegająca na łączeniu wyrazów w pary w ciągu jednej minuty. Czas zaczyna upływać wraz z rozpoczęciem gry. Jeden ruch to odkrywanie najpierw jednej potem drugiej karty z wyrazem. Każdy wyraz jest odczytywany. Kolejny ruch to odkrywanie trzeciej i czwartej karty. W ten sposób odsłuchasz wszystkie wyrazy. Nawigacja z poziomu klawiatury za pomocą strzałek, odsłuchiwanie wyrazów enterem lub spacją. Znajdź wszystkie pary wyrazów.
Interaktywna gra, polegająca na łączeniu wyrazów w pary w ciągu jednej minuty. Czas zaczyna upływać wraz z rozpoczęciem gry. Jeden ruch to odkrywanie najpierw jednej potem drugiej karty z wyrazem. Każdy wyraz jest odczytywany. Kolejny ruch to odkrywanie trzeciej i czwartej karty. W ten sposób odsłuchasz wszystkie wyrazy. Nawigacja z poziomu klawiatury za pomocą strzałek, odsłuchiwanie wyrazów enterem lub spacją. Znajdź wszystkie pary wyrazów.
Match Polish terms with their English equivalents.
różnica sześcianów dwóch wyrażeń
cube of the difference of two expressions
sześcian różnicy dwóch wyrażeń
cube of the sum of two expressions
suma sześcianów dwóch wyrażeń
difference of cubes two expressions
sum of cubes of two expressions
sześcian sumy dwóch wyrażeń
wzory skróconego mnożenia stopnia trzeciego
short multiplication formulas of the third degree
Source: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Glossary cube of the difference of two expressions cube of the difference of two expressions
sześcian różnicy dwóch wyrażeń
R1M72HyeFUZ5i 1 wymowa w języku angielskim: cube of the difference of two expressions
wymowa w języku angielskim: cube of the difference of two expressions
Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.
cube of the sum of two expressions cube of the sum of two expressions
sześcian sumy dwóch wyrażeń
RE0gY6eJ6HzTt 1 wymowa w języku angielskim: cube of the sum of two expressions
wymowa w języku angielskim: cube of the sum of two expressions
Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.
difference of cubes two expressions difference of cubes two expressions
różnica sześcianów dwóch wyrażeń
RWzVp4zWFKkm7 1 wymowa w języku angielskim: difference of cubes two expressions
wymowa w języku angielskim: difference of cubes two expressions
Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.
short multiplication formulas of the third degree short multiplication formulas of the third degree
wzory skróconego mnożenia stopnia trzeciego
R1G0JACKsTaNq 1 wymowa w języku angielskim: short multiplication formulas of the third degree
wymowa w języku angielskim: short multiplication formulas of the third degree
Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.
sum of cubes of two expressions sum of cubes of two expressions
suma sześcianów dwóch wyrażeń
RPFkp1XdiZsDF 1 wymowa w języku angielskim: sum of cubes of two expressions
wymowa w języku angielskim: sum of cubes of two expressions
Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.
Keywords cube of the difference of two expressions cube of the difference of two expressions cube of the difference of two expressions
cube of the sum of two expressions cube of the sum of two expressions cube of the sum of two expressions
difference of cubes two expressions difference of cubes two expressions difference of cubes two expressions
short multiplication formulas of the third degree short multiplication formulas of the third degree short multiplication formulas of the third degree
sum of cubes of two expressions sum of cubes of two expressions sum of cubes of two expressions