2) uses linear equations on a plane, both in the slope‑intercept form and in the general form, determines the linear equation of a line with given properties (for example going through two points, having a given slopeslopeslope, parallel or perpendicular to another line, tangential to the circle etc.).
Using and interpreting the representation. Using mathematical objects and manipulating them, interpreting mathematical concepts. Selecting and creating mathematical models to solve practical and theoretical problems.
1. Finding equations of lines that: - contain altitudes of the triangle, - contain medians of the triangle, - are perpendicular bisectors of the triangle.
2. Communicating in English, developing basic mathematical, computer and scientific competences, developing learning skills.
The aim of the introduction part is revision of mathematical concepts that will be used during the lesson: - altitudes of a triangle and the orthocentre of a triangle,
- medianmedianmedian of a triangle and centroidcentroidcentroid of a triangle,
- perpendicular bisector of a line segment and a circle circumscribed about a triangle,
- slopeslopeslope of a line and line equation in the slope‑intercept form,
- line equations of a line that goes through two points,
- conditions for perpendicularity and parallelism of lines.
Students work in pairs and use computers. They investigate lines that contain altitudes of triangles, medians of triangles and perpendicular bisectors of triangles. Pairs draw one of three worksheets.
Task Worksheet 1. Open the applet: „Triangle, its altitudes, medians and perpendicular bisectors”. Choose the option ‘altitudes of a triangle’. Change the location of vertices of the triangle and observe how altitudes of the triangle, lines that contain them and points of intersection of these lines change. Write conclusions in the form of: - definition of the altitude of a triangle,
- theorem about the orthocentre of a triangle (also give the definition of the orthocentre of a triangle),
- classification of a triangle with regard to the location of the orthocentre in relation to the triangle.
Task Worksheet 2. Open the applet: „Triangle, its altitudes, medians and perpendicular bisectors”. Choose the option ‘medians of a triangle’. Change the location of vertices of the triangle and observe how medians and points of intersection of these lines change. Write conclusions in the form of: - definition of the medianmedianmedian of a triangle,
- theorem about the centroidcentroidcentroid of the triangle (also give the definition of the centroid of a triangle),
- answer to the question: Can be centroidcentroidcentroid of a triangle be located outside of this triangle?
Task Worksheet 3. Open the applet: „Triangle, its altitudes, medians and perpendicular bisectors”. Choose the option ‘perpendicular bisectors of a triangle’. Change the location of vertices of the triangle and observe how perpendicular bisectors and points of intersection of these lines change. Write conclusions in the form of: - definition of the perpendicular bisector of a line segment,
- theorem about the centre of a circle circumscribed about a triangle,
- classification of a triangle with regard to the location of the centre of a circle circumscribed about a triangle in relation to the triangle.
After having completed the work, students present their answers. The teacher adds some information, so that there are complete definitions and theorems (that students should know after completing appropriate classes from planimetry):
- definition of the altitude of a triangle as the proper line segment (the teacher should mention that often while discussing the altitude of triangle we mean not only the line segment, but also the length of this line segment, so there are tow meanings of the altitude of a triangle),
- definition of the orthocentre of a triangle with the theorem about the orthocentre of a triangle (the teacher points out that the orthocentre is the point of intersection of lines and not always it is the intersection of line segments),
- theorem about the classification of triangles with regard to the location of the orthocentre in relation to the triangle,
- definition of the medianmedianmedian of a triangle as the proper line segment,
- theorem about the centroidcentroidcentroid of a triangle (it is enough that students write that all medians of a triangle intersect at one point, the teacher can mention the other part of the theorem about the division of medians by the centroidcentroidcentroid, however, more important is the physical meaning of this point, for example as the point of support of a triangular cutting board that stays in equilibrium),
- theorem that the centroidcentroidcentroid of a triangle is always inside this triangle,
- definition of the perpendicular bisector of a triangle (the teacher should mention the geometric property of the perpendicular bisector of a line segment, that is the set of all points equidistant from endpoints of this line segment),
- theorem about a circle circumscribed about a triangle with the definition of the centre of this triangle,
- theorem about the classification of a triangle with regard to the location of the centre of a circle circumscribed about a triangle in relation to the triangle.
The whole exercise is a revision and should be done within the first 15 minutes of the lesson.
Students work individually, using computers. They learn how to find equations of lines containing altitudes, medians and perpendicular bisectors of sides of a triangle.
Task Open the applet: „Triangle, its altitudes, medians and perpendicular bisectors” and set the location of vertices of the ABC triangle so that A = ( - 3, 2), B = ( 2, - 3), C = ( 5, 6). Find: a) the equation of a line that contains the altitude of the ABC triangle that starts at the A vertex
b) the line equation that contains the medianmedianmedian BBIndeks dolny 11 of the triangle ABC,
c) the line equation of the perpendicular bisector of the AB side.
Verify each obtained equation by using the applet Equation of a line that goes through two given points.
After having completed the exercise, students chosen by the teacher write equations they found: a) ,
b) ,
c) .
The teacher starts discussion about finding each of these lines. The teacher tries to help students find the algorithm for determining each line, while paying attention to the minimal number of information necessary to do the task, for example if students propose the following algorithm to find the equation of the line hIndeks dolny AA:
1. calculate the slopeslopeslope of the line BC : ,
2. write the equation of the line BC in the form BC : ,
3. insert coordinatescoordinatescoordinates of the point to this equation: and calculate ,
4. write the equation of the line BC : ,
5. calculate the slopeslopeslope of the line hIndeks dolny AA, knowing that it is perpendicular to the line BC : ,
6. write the line equation hIndeks dolny AA in the form hIndeks dolny AA : ,
7. insert coordinatescoordinatescoordinates of the point to this equation: and calculate ,
8. write the equation of the line hIndeks dolny AA : ,
then the teacher changes the discussion to optimization of this algorithm by removing points 2., 3., 4. The teacher also shows that we can simplify the algorithm by replacing points 6. and 7. by using the line equation . As a result, we obtain the algorithm:
The teacher asks to write similar algorithm in case of the line containing the medianmedianmedian BBIndeks dolny 11. The effect of the discussion should be the following, optimal algorithm:
1. calculate coordinatescoordinatescoordinates of the midpoint BIndeks dolny 11 of the side AC: ,
2. calculate the slope of the line BBIndeks dolny 11 : ,
3. calculate the equation of the line BBIndeks dolny 11, using the equation:
of a line of a given slopeslopeslope a and going through a given point :
, that is .
In the similar way, the teacher moderates the discussion to reach the algorithm of finding the equation of the perpendicular bisector of the side AC:
1. calculate coordinates of the midpoint BIndeks dolny 11 of the side AC : ,
2. calculate the slopeslopeslope of the line AC : ,
3. calculate the slope of the line , knowing that it is perpendicular to the line AC : ,
4. write the equation of the line , using the equation:
of a line of a given slopeslopeslope a and going through a given point :
, that is .
Task In the ABC triangle from the previous exercise, find: a) equations of lines that contain altitudes of the ABC triangle that start at the B and C vertices,
b) line equations that contain medians AAIndeks dolny 11 and CCIndeks dolny 11 of the triangle ABC,
c) line equations of the perpendicular bisectors of sides AB and BC.
Verify each obtained equation by using the applet: „Equation of a line that goes through two given points” (M403).
Students work individually, doing the following exercises.
Task Point D = ( 2, 0) is the midpoint of the side BC of the triangle ABC, in which A = ( - 6, 1), B = ( - 1, - 4). Find the equation: a) of a line that contains the altitude of the ABC triangle that starts at the C vertex,
b) the line equation that contains the medianmedianmedian AC and BC of the triangle ABC,
c) the line equation of the perpendicular bisector of the AC side of the triangle ABC.
An extra task Point P = ( 6, 9) is the midpoint of the point CD of the rhombus ABCD, in which A = ( - 10, - 6) and B = ( 6, - 4). Find equations of lines containing sides BC and CD of this rhombus.
Wzór na obliczanie współrzędnych środka odcinka oraz warunek prostopadłości prostych to podstawowe informacje przydatne przy wyznaczaniu równań prostych zawierających środkowe, wysokości i symetralne boków trójkąta.
IX. Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej.
Zakres podstawowy. Uczeń:
2) posługuje się równaniami prostych na płaszczyźnie, w postaci kierunkowej i ogólnej, w tym wyznacza równanie prostej o zadanych własnościach (takich, jak na przykład przechodzenie przez dwa dane punkty, znany współczynnik kierunkowy, równoległość lub prostopadłość do innej prostej, styczność do okręgu itp.).
m971485d441fea71d_1528449068082_0
45 minut
m971485d441fea71d_1528449523725_0
Stosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi, interpretowanie pojęć matematycznych. Dobieranie i tworzenie modeli matematycznych przy rozwiązywaniu problemów praktycznych i teoretycznych.
m971485d441fea71d_1528449552113_0
1. Wyznaczanie równań prostych, które: - zawierają wysokości trójkąta, - zawierają środkowe trójkąta, - są symetralnymi boków trójkąta.
2. Porozumiewanie się w języku angielskim, rozwijanie matematycznych i podstawowych kompetencji naukowo‑technicznych oraz informatycznych, kształtowanie umiejętności uczenia się
m971485d441fea71d_1528450430307_0
Uczeń:
- wyznacza równanie prostej zawierającej wysokość trójkąta,
Celem części wprowadzającej jest przypomnienie pojęć matematycznych, które będą wykorzystywane w toku lekcji: - wysokości trójkąta i ortocentrum trójkąta,
- środkowej trójkąta i środka ciężkości trójkąta,
- symetralnej odcinka i okręgu opisanego na trójkącie,
- współczynnika kierunkowego prostej i równania prostej w postaci kierunkowej,
- równania prostej przechodzącej przez dwa punkty,
- warunku równoległości i warunku prostopadłości prostych.
Uczniowie w parach, korzystają z komputerów. Badają proste, które zawierają wysokości trójkąta, środkowe trójkąta i symetralne trójkąta. Pary losują jedną z trzech kart pracy.
Polecenie Karta pracy nr 1. Otwórz aplet: „Trójkąt, jego wysokości, środkowe i symetralne boków”. Wybierz opcję „wysokości trójkąta”. Zmieniaj położenie wierzchołków trójkąta i obserwuj, jak zmieniają się wysokości trójkąta, proste, które je zawierają i punkt przecięcia tych prostych.
[Geogebra aplet]
Zapisz wnioski w postaci: - definicji wysokości trójkąta,
- twierdzenia o ortocentrum trójkąta (podaj tu również definicję ortocentrum trójkąta),
- klasyfikacji trójkątów ze względu na położenie ortocentrum trójkąta względem tego trójkąta.
Polecenie Karta pracy nr 2. Otwórz aplet: „Trójkąt, jego wysokości, środkowe i symetralne boków”. Wybierz opcję „środkowe trójkąta” . Zmieniaj położenie wierzchołków trójkąta i obserwuj, jak zmieniają się środkowe trójkąta i punkt przecięcia tych prostych.
Zapisz wnioski w postaci: - definicji środkowej trójkąta,
- twierdzenia o środku ciężkości trójkąta (podaj tu również definicję środka ciężkości trójkąta),
- odpowiedzi na pytanie: Czy środek ciężkości trójkąta może znajdować się na zewnątrz tego trójkąta?
Polecenie Karta pracy nr 3. Otwórz aplet: „Trójkąt, jego wysokości, środkowe i symetralne boków”. Wybierz opcję „symetralne boków trójkąta”. Zmieniaj położenie wierzchołków trójkąta i obserwuj jak zmieniają się symetralne boków tego trójkąta i punkt przecięcia tych symetralnych.
Zapisz wnioski w postaci: - definicji symetralnej odcinka,
- twierdzenia o środku okręgu opisanego na trójkącie,
- klasyfikacji trójkątów ze względu na położenie środka okręgu opisanego na trójkącie względem tego trójkąta.
Po skończonej pracy, uczniowie prezentują swoje ustalenia. Nauczyciel uzupełnia ewentualne braki tak, żeby padły następujące definicje i twierdzenia (powinny one być uczniom znane po realizacji stosownych tematów z planimetrii):
- definicja wysokości trójkąta jako odpowiedniego odcinka (nauczyciel powinien tu wspomnieć, że często mówiąc o wysokości trójkąta mamy na myśli nie odcinek, ale długość tego odcinka, dlatego pojęcie wysokości trójkąta występuje w dwóch znaczeniach) ,
- definicja ortocentrum trójkąta wraz z twierdzeniem o ortocentrum trójkąta (nauczyciel zwraca uwagę na to, że ortocentrum jest punktem przecięcia prostych i nie zawsze jest to punkt przecięcia odcinków),
- twierdzenie o klasyfikacji trójkątów ze względu na położenie ortocentrum trójkąta względem tego trójkąta,
- definicja środkowej trójkąta jako odpowiedniego odcinka,
- twierdzenia o środku ciężkości trójkąta (wystarczy, że uczniowie zapiszą, że wszystkie środkowe trójkąta przecinają się w jednym punkcie, nauczyciel może przypomnieć drugą część tego twierdzenia dotyczącą podziału środkowych środkiem ciężkości, choć znacznie ważniejsze jest podanie fizycznego sensu tego punktu, np. jako punktu, w którym podparta trójkątna deska do krojenia będzie utrzymywała się w równowadze) ,
- stwierdzenia, że środek ciężkości trójkąta zawsze leży wewnątrz tego trójkąta,
- definicja symetralnej odcinka (nauczyciel powinien tu wspomnieć o geometrycznej własności symetralnej odcinka, czyli zbiorze wszystkich punktów płaszczyzny równoodległych od końców tego odcinka),
- twierdzenie o okręgu opisanym na trójkącie wraz z definicją środka tego okręgu,
- twierdzenie o klasyfikacji trójkątów ze względu na położenie środka okręgu opisanego na trójkącie względem tego trójkąta.
Całe ćwiczenie ma charakter powtórzeniowy i powinno być wykonane w ciągu pierwszego kwadransa lekcji.
m971485d441fea71d_1528446435040_0
Uczniowie pracują indywidualnie, korzystając z komputerów. Uczą się, jak wyznaczać równania prostych zawierających wysokości, środkowe i symetralne boków trójkąta.
Polecenie Otwórz aplet: „Trójkąt, jego wysokości, środkowe i symetralne boków” ustal tak położenie wierzchołków trójkąta ABC, żeby A = ( - 3, 2), B = ( 2, - 3), C = ( 5, 6). Wyznacz:
a) równanie prostej zawierającej wysokość trójkąta ABC opuszczoną z wierzchołka A,
b) równanie prostej zawierającej środkową BBIndeks dolny 11 trójkąta ABC,
c) równanie symetralnej boku AC.
Sprawdź poprawność każdego otrzymanego równania za pomocą apletu Równania prostej przechodzącej przez dwa dane punkty.
Po wykonaniu tego ćwiczenia, wskazani przez nauczyciela uczniowie zapisują wyznaczone przez siebie równania:
a) ,
b) ,
c) .
Nauczyciel inicjuje dyskusję na temat sposobu wyznaczania każdej z tych prostych. Tak kieruje dyskusją, żeby uczniowie zaproponowali algorytm wyznaczania każdej z prostych, przy czym za każdym razem zwraca uwagę na minimalną liczbę środków potrzebnych do realizacji zadania, np. jeśli uczniowie, przy wyznaczaniu równania prostej hIndeks dolny AA, zaproponują następujący algorytm:
1. oblicz współczynnik kierunkowy prostej BC : ,
2. zapisz równanie prostej BC w postaci prIndeks dolny BCBC : ,
3. wstaw współrzędne punktu do tego równania: i oblicz ,
4. zapisz równanie prostej BC : ,
5. oblicz współczynnik kierunkowy prostej hIndeks dolny AA, wiedząc, że jest ona prostopadła do prostej BC : ,
6. zapisz równanie prostej hIndeks dolny AA w postaci hIndeks dolny AA: ,
7. wstaw współrzędne punktu do tego równania: i oblicz ,
8. zapisze równanie prostej hIndeks dolny AA : ,
to nauczyciel tak kieruje dyskusją na temat optymalizacji tego algorytmu, żeby przynajmniej skrócić algorytm o zbędne kroki: 2., 3., 4. Pokazuje też, jeśli uczniowie sami tego nie zaproponują, że można jeszcze bardziej skrócić algorytm, zastępując kroki 6. i 7. wykorzystaniem równania prostej . W efekcie podaje optymalny algorytm:
1. oblicz współczynnik kierunkowy prostej BC : ,
2. oblicz współczynnik kierunkowy prostej hIndeks dolny AA, wiedząc, że jest ona prostopadła do prostej BC : ,
prostej o danym współczynniku kierunkowym a i przechodzącej przez dany punkt :
, czyli .
Nauczyciel prosi o zapisanie analogicznego algorytmu w przypadku prostej zawierającej środkową BBIndeks dolny 11. Efektem dyskusji powinien być następujący optymalny algorytm:
1. oblicz współrzędne środka BIndeks dolny 11 boku AC : ,
Polecenie Punkt D = ( 2, 0) jest środkiem boku BC trójkąta ABC, w którym A = ( - 6, 1), B = ( - 1, - 4). Wyznacz równanie:
a) prostej zawierającej wysokość opuszczoną z wierzchołka C tego trójkąta,
b) prostej przechodzącej przez środki boków AC i BC trójkąta ABC,
c) symetralnej boku AC trójkąta ABC.
Zadanie dla chętnych Punkt P = ( 6, 9) jest środkiem boku CD rombu ABCD, w którym A = ( - 10, - 6) i B = ( 6, - 4). Wyznacz równania prostych zawierających boki BC i CD tego rombu.
m971485d441fea71d_1528450119332_0
Uczniowie wykonują zadanie utrwalające i podsumowują lekcję, formułując najważniejsze informacje do zapamiętania.
Wzór na obliczanie współrzędnych środka odcinka oraz warunek prostopadłości prostych to podstawowe informacje przydatne przy wyznaczaniu równań prostych zawierających środkowe, wysokości i symetralne boków trójkąta.