Wyobraźmy sobie kulę wpisaną w stożek. Zastanówmy się: jakie warunki muszą być spełnione, aby stożek opisać na kuli? W jaki sposób wykreślić stożek opisany na kuli na kartce papieru? W odpowiedzi na te pytania pomoże nam aplet.
R1RZMBEGEtjbc
Ważne!
Stożek jest opisany na kuli wtedy i tylko wtedy, gdy kula jest styczna do podstawy stożka i każdej jego tworzącej.
Zadania dotyczące kuli wpisanej w stożek można sprowadzić do prostych zadań geometrii płaskiej. Na rysunku poniżej przedstawiono przekrój osiowy stożkaprzekrój osiowy stożkaprzekrój osiowy stożka opisanego na kuli. Przekrój osiowy tych brył jest kołem wpisanym w trójkąt równoramienny. Spostrzeżenie to pomoże nam w uproszczeniu planowania strategii rozwiązania wielu zadań geometrii przestrzennej.
Rz7JDw9FdeHUa
Dla przejrzystości rysunku, przekrój osiowy kuliprzekrój osiowy kuliprzekrój osiowy kuli wystarczy wykreślić jako okrąg. Tak wykreślony rysunek jest punktem startowym w planowaniu kolejnych kroków. Ważnym elementem rozwiązania zadania jest analiza własności otrzymanych figur oraz związków miarowych zachodzących między nimi. Do rozwiązania zadań dotyczących stożka opisanego na kuli wykorzystamy znane nam twierdzenia geometrii płaskiej.
Rozważmy przekrój osiowy stożka opisanego na kuli. Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku. Określimy najważniejsze związki miarowe zachodzące pomiędzy figurami tworzącymi przekrój osiowy tych brył.
RWIduu7bvXS1C
- długość wysokości stożka
- długość tworzącej stożka
- długość podstawy stożka
- długość promienia kuli
- miara kąta rozwarcia stożka
- miara kąta zawartego pomiędzy tworzącą stożka i płaszczyzną podstawy stożka
Zauważmy, że:
odcinek zawarty jest w dwusiecznej kąta ;
odcinek zawarty jest w dwusiecznej kąta ;
promień kuli jest prostopadły do tworzącej ;
jest podobny do na podstawie cechy kąt, kąt, kąt.
Ważne wskazówki do rozwiązywania zadań
Wykonuj rysunek przedstawiający sytuację opisaną w zadaniu. Wygodnie jest narysować przekrój osiowy odpowiednio ułożonych brył. Rysunek powinien być czytelny.
Przyjmuj oznaczenia. Oznaczenia pomogą w prowadzeniu toku rozumowania. Należy pamiętać o wprowadzeniu różnej wielkości liter dla oznaczenia długości promienia podstawy stożka i długości promienia kuli.
Przykład 1
W stożek o kącie rozwarcia i tworzącej długości wpisano kulę. Oblicz objętość kuli.
Rozwiązanie
Rysunek ilustrujący zadanie:
RBZ7j03zWQ4Ql
- długość promienia kuli
- długość promienia podstawy stożka
Następnie zapisujemy wzór na objętość kuli: .
Zauważmy, że przekrojem osiowym stożka o kącie rozwarcia jest trójkąt równoboczny.
Wynika stąd, że długość promienia kuli opisana jest zależnością , gdzie to długość wysokości stożka.
Wykorzystujemy wzór na długość wysokości w trójkącie równobocznym do obliczenia długości promienia kuli:
, zatem
, stąd
.
Ostatecznie objętość kuli wpisanej w ten stożek ma wartość
.
Przykład 2
W stożek o kącie rozwarcia wpisano kulę. Odległość środka kuli od wierzchołka stożka jest równa . Oblicz pole powierzchni kuli.
Rozwiązanie
Wystarczy narysować przekrój osiowy kuli wpisanej w stożek.
R11SAMbgvhh2q
Przyjmujemy oznaczenia na rysunku:
- promień wpisanej kuli;
- odległość środka kuli od wierzchołka stożka;
- miara kąta rozwarcia stożka.
Zauważmy, że trójkąt jest trójkątem prostokątnym o kątach ostrych: i .
Wykorzystując zależności między długościami boków trójkąta prostokątnego o kątach ostrych i otrzymujemy, że długość promienia kuli jest równa .
Obliczamy pole powierzchni kuli .
Stąd ostatecznie otrzymujemy:
.
Przykład 3
Na kuli o promieniu długości opisano stożek o wysokości długości . Oblicz pole powierzchni bocznej stożka.
Rozwiązanie
Wykonujemy rysunek przedstawiający tę sytuację.
RfIVXUnuLnIgE
Do rozwiązania zadania potrzebujemy długości następujących odcinków:
- długość wysokości stożka;
- długość promienia podstawy stożka;
- długość tworzącej stożka.
Na rysunku od razu dokonano podziału wysokości stożka na dwie części. Pierwszy odcinek , który odpowiada długości promienia kuli ma długość a odcinek , który stanowi różnicę wysokości i promienia kuli ma długość .
Zapisujemy wzór na pole powierzchni bocznej stożka:
.
Długości potrzebnych odcinków wyznaczymy, pracując na trójkątach podobnych i .
Uzupełniamy rysunek.
R16uYE0m4eESB
Możemy wykreślić te dwa trójkąty obok rysunku głównego.
RlqBM5kx3pUzz
Wyznaczamy długość odcinka , korzystając z twierdzenia Pitagorasa:
.
Wyznaczamy długości odcinków i , układając odpowiednie proporcje:
, zatem
oraz
, zatem
.
Obliczamy pole powierzchni bocznej stożka:
.
Przykład 4
W stożek wpisano kulę. Stosunek objętości stożka do objętości kuli jest równy . Kąt między tworzącą stożka a płaszczyzną podstawy ma miarę . Wyznacz stosunek długości promienia podstawy stożka do długości promienia kuli.
Rozwiązanie
Rozwiązanie zadania zaczynamy od wykonania czytelnego rysunku i przyjęcia oznaczeń. Wystarczy naszkicować odpowiedni przekrój osiowy.
R13uh8OXJRrjl
Zapisujemy warunek podany w zadaniu:
,
gdzie odpowiednio:
- długość wysokości stożka;
- długość promienia podstawy stożka;
- długość promienia kuli.
Przyjmujemy odpowiednie oznaczenia na rysunku.
R1I8KbwUvCQG1
Po przekształceniu wyrażenia opisującego stosunek, otrzymujemy
, stąd
.
Zauważmy, że w trójkącie prawdziwa jest zależność
.
Wynika stąd, że
.
Podstawiając wyznaczone do równania , otrzymujemy
, stąd
.
Zatem stosunek długości promienia podstawy stożka do długości promienia kuli wynosi
.
Przykład 5
Na dwóch kulach o promieniach i zewnętrznie stycznych opisano stożek. Oblicz wartość , gdzie oznacza kąt rozwarcia stożka.
Rozwiązanie
Wykreślamy przekrój osiowy tych brył.
RciLbJeyI4SQh
Wykreślamy potrzebne odcinki i zaznaczamy wielkości podane w zadaniu. Pamiętamy o poprowadzeniu na rysunku w odpowiedni sposób promieni obu kul. Przyjmujemy oznaczenia, które pomogą rozwiązać zadanie.
R1SGXDVPVVPwn
Miara kąta rozwarcia stożka to .
Zauważmy, że
oraz
, zatem
.
Zauważmy, że długość odcinka wynosi
,
ponieważ ona jest sumą długości promieni kul.
Do wyznaczenia funkcji trygonometrycznej kąta potrzebujemy długości odcinków albo albo . Do wyznaczenia długości tych odcinków wykorzystamy podobieństwo trójkątów oraz .
Wykreślamy trójkąty podobne oraz .
R4bsvCey9pe83
Wyznaczmy cosinusa kąta .
Zauważmy, że
.
Zatem najwygodniej będzie wyznaczyć funkcję sinusa kąta . Układamy proporcję wynikającą z podobieństwa trójkątów i :
.
Wynika stąd, że
, zatem
.
Stąd mamy, że
.
Słownik
przekrój osiowy stożka
przekrój osiowy stożka
przekrój płaszczyzną zawierającą oś obrotu stożka, przekrój ten jest trójkątem równoramiennym
przekrój osiowy kuli
przekrój osiowy kuli
przekrój płaszczyzną przechodzącą przez środek kuli, przekrój ten nazywamy kołem wielkim