Think what you remember about proportionality and its properties. The aim of the lesson will be to learn about quantities which are inversely proportional.
Po lewej stronie rysunku znajduje się tekst: Graph of the inverse proportion. Let us look at the rectangles with area equal dwanaście, Poniżej tekstu narysowany jest prostokąt, którego dłuższy bok (poziomy) oznaczony jest literą y, a krótszy bok (pionowy) oznaczony jest literą x. Wewnątrz prostokąta jest zapis (wielką literą) P równa się dwanaście. Poniżej zapis: If jeżeli x równa się pięć dziesiętnych, then y równa się dwadzieścia cztery. Po prawej stronie rysunku znajduje się rysunek prostokąta, którego krótszy bok (poziomy) ma długość x równą pięć dziesiętnych, a dłuższy bok (pionowy) ma długość y równą dwadzieścia cztery.
The relationship between the sides of a rectangle with a fixed field - 1
Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.
R1OqELGdIbKp5
Po lewej stronie rysunku znajduje się tekst: Graph of the inverse proportion. Let us look at the rectangles with area equal dwanaście. Poniżej tekstu narysowany jest prostokąt, którego dłuższy bok (poziomy) oznaczony jest literą y, a krótszy bok (pionowy) oznaczony jest literą x. Wewnątrz prostokąta jest zapis (wielką literą) P równa się dwanaście. Poniżej zapis: If jeżeli x równa się jeden, then y równa się dwanaście. Niżej tekst Place each of those rectangles on the plane. Rectangle's vertex has coordinates A równa się, nawias zwykły, w nawiasie, jeden, przecinek, ułamek zwykły, w liczniku dwanaście, w mianowniku jeden, równa się, nawias zwykły, w nawiasie, jeden, przecinek, dwanaście. Po prawej stronie rysunku znajduje się układ współrzędnych. Oś poziomą oznaczono małą literą x i zaznaczono liczby od zera do dwunastu. Oś pionową oznaczono małą literą y i zaznaczono liczby od zera do dwunastu. W tak dobranym układzie współrzędnych narysowano prostokąt w ten sposób, że bok y leży na osi y, a bok x na osi x. Wierzchołki prostokąta mają współrzędne: lewy dolny wierzchołek - zero, przecinek zero; prawy dolny wierzchołek - jeden, przecinek zero; lewy, górny wierzchołek - zero, przecinek dwanaście; czwarty wierzchołek prostokąta, oznaczony wielką literą A, ma współrzędne jeden, przecinek, dwanaście.
The relationship between the sides of a rectangle with a fixed field - 2
Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.
RxN7zXh4I2O7Z
Po lewej stronie rysunku znajduje się tekst: Graph of the inverse proportion. Let us look at the rectangles with area equal dwanaście. Poniżej tekstu narysowany jest prostokąt, którego dłuższy bok (poziomy) oznaczony jest literą y, a krótszy bok (pionowy) oznaczony jest literą x. Wewnątrz prostokąta jest zapis (wielką literą) P równa się dwanaście. Poniżej zapis: If jeżeli x równa się dwanaście, then y równa się jeden. Niżej tekst Place each of those rectangles on the plane. Rectangle's vertex has coordinates A równa się, nawias zwykły, w nawiasie, dwanaście, przecinek, ułamek zwykły, w liczniku dwanaście, w mianowniku dwanaście, równa się, nawias zwykły, w nawiasie, dwanaście, przecinek, jeden. Po prawej stronie rysunku znajduje się układ współrzędnych. Oś poziomą oznaczono małą literą x i zaznaczono liczby od zera do dwunastu. Oś pionową oznaczono małą literą y i zaznaczono liczby od zera do dwunastu. W tak dobranym układzie współrzędnych narysowano prostokąty w ten sposób, że bok y leży na osi y, a bok x na osi x, lewy dolny wierzchołek każdego z prostokątów leży w początku układu współrzędnych. Pierwszy prostokąt x równe dwa, y równe dwanaście drugich, czyli sześć. Drugi prostokąt x równe trzy, y równe dwanaście trzecich, czyli cztery. Trzeci prostokąt x równe cztery, y równe dwanaście czwartych, czyli trzy. Czwarty prostokąt x równe pięć, y równe dwanaście piątych dwa i dwie piąte. Piąty prostokąt x równe sześć, y równe dwanaście szóstych, czyli dwa. Szósty prostokąt x równe siedem, y równe dwa i cztery dziesiąte. Siódmy prostokąt x równe osiem, y równe dwanaście siódmych, czyli w przybliżeniu jeden i siedemdziesiąt jeden setnych. Ósmy prostokąt x równe dziewięć, y równe dwanaście dziewiątych, czyli jeden i jedna trzecia. Dziewiąty prostokąt x równe dziesięć, y równe dwanaście dziesiątych, czyli jeden i jedna piąta. Dziesiąty prostokąt x równe jedenaście, y równe dwanaście jedenastych, czyli w przybliżeniu jeden i dziewięć setnych. Jedenasty prostokąt x równe dwanaście, y równe dwanaście dwunastych, czyli jeden. Przez wierzchołki prostokątów, które nie leżą na osiach układu współrzędnych (prawe, górne), można poprowadzić linię będącą wykresem proporcjonalności odwrotnej.
The relationship between the sides of a rectangle with a fixed field - 3
The function describing the relationship between positive inverse proportional values and is called inversely proportional, and the product ∙ = is called the inversely proportional coefficientproportional coefficientproportional coefficient.
The relationship between the inversely proportional quantities and can also be written in the form .
A passenger car traveling at an average speedspeedspeed of covers a certain distancedistancedistance in 2 hours and 12 minutes. In what timetimetime will a motorcyclist cover this route with an average speedspeedspeed of ? At what speedspeedspeed should the car go to cover this route in 4 hours?
The food supplies collected in the 80‑people‑school canteen are enough for 6 days. How many days would this food last if the number of people at the school canteen increased by 40? (we assume that the portions will remain unchanged).
Two positive values and are inversely proportional if, and only if, their product is constant.
Exercises
Exercise 1
R1cwEGsDuehjD
Wersja alternatywna ćwiczenia: Determine which sentences are true. Możliwe odpowiedzi: 1. The area of the circle and its radius length are inversely proportional quantities., 2. The sides of the rectangle with a area equal to 20 are inversely proportional., 3. The volume of the cube is inversely proportional to the length of its side., 4. The lengths of cathetus of the right-angled rectangular triangle with a surface area of 12 are inversely proportional.
Wersja alternatywna ćwiczenia: Determine which sentences are true. Możliwe odpowiedzi: 1. The area of the circle and its radius length are inversely proportional quantities., 2. The sides of the rectangle with a area equal to 20 are inversely proportional., 3. The volume of the cube is inversely proportional to the length of its side., 4. The lengths of cathetus of the right-angled rectangular triangle with a surface area of 12 are inversely proportional.
Determine which sentences are true.
The area of the circle and its radius length are inversely proportional quantities.
The sides of the rectangle with a area equal to 20 are inversely proportional.
The volume of the cube is inversely proportional to the length of its side.
The lengths of cathetus of the right-angled rectangular triangle with a surface area of 12 are inversely proportional.
zadanie
Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.
Exercise 2
The driver drove the distance with an average speed of [] at some time . If he drove at a speed of higher, then his route would be over 48 minutes shorter. Calculate .
Exercise 3
Give three examples of inversely proportional quantities in English.
Exercise 4
R13CzcL3eEGMl
Wersja alternatywna ćwiczenia: Indicate which pairs of expressions or words are translated correctly. Możliwe odpowiedzi: 1. droga - distance, 2. prędkość - speed, 3. czas - time, 4. współczynnik proporcjonalności - inverse proportionality, 5. proporcjonalność odwrotna - proportional coefficient
Wersja alternatywna ćwiczenia: Indicate which pairs of expressions or words are translated correctly. Możliwe odpowiedzi: 1. droga - distance, 2. prędkość - speed, 3. czas - time, 4. współczynnik proporcjonalności - inverse proportionality, 5. proporcjonalność odwrotna - proportional coefficient
Indicate which pairs of expressions or words are translated correctly.
Interaktywna gra, polegająca na łączeniu wyrazów w pary w ciągu jednej minuty. Czas zaczyna upływać wraz z rozpoczęciem gry. Jeden ruch to odkrywanie najpierw jednej potem drugiej karty z wyrazem. Każdy wyraz jest odczytywany. Kolejny ruch to odkrywanie trzeciej i czwartej karty. W ten sposób odsłuchasz wszystkie wyrazy. Nawigacja z poziomu klawiatury za pomocą strzałek, odsłuchiwanie wyrazów enterem lub spacją. Znajdź wszystkie pary wyrazów.
Interaktywna gra, polegająca na łączeniu wyrazów w pary w ciągu jednej minuty. Czas zaczyna upływać wraz z rozpoczęciem gry. Jeden ruch to odkrywanie najpierw jednej potem drugiej karty z wyrazem. Każdy wyraz jest odczytywany. Kolejny ruch to odkrywanie trzeciej i czwartej karty. W ten sposób odsłuchasz wszystkie wyrazy. Nawigacja z poziomu klawiatury za pomocą strzałek, odsłuchiwanie wyrazów enterem lub spacją. Znajdź wszystkie pary wyrazów.
Match Polish terms with their English equivalents.
prędkość
inverse proportionality
czas
distance
współczynnik proporcjonalności odwrotnej
speed
coefficient of inverse proportionality
droga
proporcjonalność odwrotna
time
Source: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.