3. Wielokąty foremne

Każdy zajmujący się matematyką czy jej historią, zna postać francuskiego matematyka Pierre de Fermata. Ale niewielu zdaje sobie sprawę, że jedno z podstawowych twierdzeń teorii liczb, tzw. małe twierdzenie Fermata, zostało sformułowane wcześniej przez wybitnego polskiego matematyka, żyjącego w latach 1585 – 1652, profesora Akademii Krakowskiej, a w latach 1632 – 1652 proboszcza parafii w Staszowie - Jana Brożka. To słynne twierdzenie sformułował on na 42 lata przed Fermatem i podobnie jak Fermat, zajmował się wielokątami foremnymi gwiaździstymi.

Dla danego $n$-kąta foremnego możemy rozważyć łamaną zamkniętą o $n$ wierzchołkach, utworzoną z tych przekątnych tego wielokąta, które mają równą długość - otrzymujemy wówczas wielokąt foremny gwiaździsty.

Najbardziej znanym wielokątem foremnym gwiaździstym jest pentagram (patrz rysunek).

R1QUFF3LZQS4A1

Ilustracja przedstawia pięciokąt gwiaździsty, który jak wskazuje jego nazwa, jest w kształcie pięcioramiennej gwiazdy. Figura ta jest pięciokątem foremnym, którego boki stanowią podstawy trójkątów równoramiennych. Na każdym z boków pięciokąta oparto identyczny trójkąt, uzyskując figurę w kształcie foremnej gwiazdy.

To właśnie Jan Brożek nazwał kąty przy wierzchołkach wielokąta gwiaździstego kątami sterczącymi. Brożek podał sposób kreślenia różnych wielokątów gwiaździstych dla danej liczby wierzchołków $n$. Temu celowi służy odpowiedni rozkład liczby $n$ na składniki. Liczba możliwych do zbudowania różnych pięciokątów jest równa $2$, ponieważ liczbę $5$ możemy rozłożyć, z dokładnością do kolejności, na następujące dwie sumy: $5=1+4=2+3$. Oznacza to, że po podzieleniu okręgu na $5$ równych części otrzymamy: pięciokąt foremny, gdy połączymy kolejne punkty podziału oraz pięciokąt gwiaździsty, gdy połączymy co drugi z takich punktów (co drugi wierzchołek pięciokąta foremnego).

Zauważ, że mówiąc o trójkącie foremnym (równobocznym) wystarczy zażądać równości samych długości boków lub tylko równości miar kątów. Ale już w przypadku czworokątów foremnych musimy wymagać przystawania zarówno boków, jak i kątów. Romb niebędący kwadratem jest przykładem wielokąta, którego wszystkie boki są równe, ale który nie jest foremny. Z kolei prostokąt, który nie jest kwadratem to przykład czworokąta, którego wszystkie kąty są równe, a który nie jest foremny.

Przejdziemy teraz do klasycznej geometrii z zastosowaniem cyrkla i linijki. Naszym zadaniem będzie konstrukcja wybranych $n$–kątów foremnych spełniających zadane warunki. W opisywanych przykładach, w aplecie oraz ćwiczeniach skupimy się przede wszystkim na konstrukcjach $n$–kąta, gdy zadana jest długość jego boku.

Przykład 1

Zauważmy, że mając dany $n$–kąt foremny, którego wszystkie wierzchołki leżą na okręgu możemy, wykorzystując konstrukcję symetralnej odcinka, skonstruować wielokąt foremnywielokąt foremnywielokąt foremny o podwojonej liczbie boków.

Rozważmy kwadrat taki jak na rysunku i dwie proste, które są symetralnymi równoległych boków (symetralna boku $AB$ jest jednocześnie symetralną boku $CD$ i podobnie dla boków $CB$ i $AD$).

R1LP7OF6AS69C

Na Ilustracji przedstawiono kwadrat wpisany w okrąg. Wierzchołki kwadratu A B C D leżą na okręgu. Zacieniowano pole kwadratu. Zaznaczono symetralne boków kwadratu.

Proste te przecinają dany okrąg w czterech punktach. Spróbuj określić, czym są te punkty.

Oczywiście otrzymane punkty, wraz z punktami $A$, $B$, $C$ i $D$, są wierzchołkami ośmiokąta. Jest to ośmiokąt foremny wpisany w dany okrąg (patrz: rysunek poniżej).

RLGTN6PMMPC1Q

Na ilustracji przedstawiono ośmiokąt foremny wpisany w okrąg. Literami A, B, C, D oznaczono co drugi wierzchołek ośmiokąta, które po połączeniu utworzą kwadrat. Miejsca przecięcia symetralnych odcinków stanowiących bok kwadratu z okręgiem, stanowią co drugi wierzchołek ośmiokąta.

Jeśli teraz poprowadzimy symetralne wszystkich boków otrzymanego ośmiokąta, to punkty wspólne tych symetralnych i okręgu wyznaczą kolejne wierzchołki szesnastokąta foremnego (patrz: rysunek).

R1DGLU8H4GL5S

Na ilustracji przedstawiono okrąg, w który wpisano ośmiokąt oraz szesnastokąt foremny. Literami A, B, C, D oznaczono co drugi wierzchołek ośmiokąta, które po połączeniu utworzą kwadrat. Co drugi wierzchołek ośmiokąta i szesnastokąta pokrywają się. Miejsca przecięcia symetralnych ośmiokąta z okręgiem, stanowią co drugi wierzchołek szesnastokąta.

Zauważ, że taką operację można prowadzić dowolną ilość razy, otrzymując wielokąt foremny wpisany w dany okrąg, który ma $2^m$ boków (dla $m>2$) – jedynym ograniczeniem jest dokładność naszych rysunków (zapewne już kolejny wielokąt o 32 bokach byłby niemal nieodróżnialny od szesnastokąta, czy od danego okręgu).

Analogicznie moglibyśmy skonstruować sześciokąt foremny wpisany w dany okrąg, mając wcześniej trójkąt równoboczny, który w ten okrąg jest wpisany.

Teraz jednak zajmiemy się konstrukcją wybranych wielokątów, gdy dane są długości ich boków. Pominiemy znaną doskonale konstrukcję trójkąta równobocznego o danym boku. Także konstrukcja kwadratu o boku zadanej długości, gdy znany jest sposób konstrukcji symetralnej, nie powinna nastręczać trudności. Pora więc na konstrukcję pięciokąta i sześciokąta foremnego.

Opis konstrukcji sześciokąta foremnego.

• Odłóż na płaszczyźnie odcinek o długości $a$ równej długości boku sześciokąta.

• Wykreśl okrąg o dowolnym środku i promieniu równym $a$.

• Na otrzymanym okręgu zaznacz dowolny punkt i nazwij go, np.: $A$.

• Z punktu $A$ zakreśl łuk promieniem równym $a$, aż do przecięcia z okręgiem (odkładamy cięciwę $AB$). Następnie z punktu $B$ odłóż cięciwę $BC$ równą promieniowi okręgu, następnie z punktu $C$ odłóż cięciwę $CD$ itd. W ten sposób podzielisz okrąg na 6 równych części.

• Połącz kolejne końce cięciw, a otrzymasz szukany sześciokąt.

Zauważ, że przedstawiona konstrukcja jest konstrukcją sześciokąta foremnego o danym boku i jednocześnie konstrukcją sześciokąta wpisanego w okrąg o danym promieniu.

W Przykładzie pierwszym, wychodząc od wielokąta o danej liczbie boków, konstruowaliśmy wielokąt, którego liczba boków była dwukrotnie większa. Okazuje się, że czasami warto postąpić odwrotnie. Jeśli bowiem wykreślimy sześciokąt foremny i połączymy kolejno odcinkami co drugi jego wierzchołek, to otrzymamy trójkąt równoboczny. Tym samym, otrzymaliśmy metodę konstrukcji trójkąta równobocznego wpisanego w okrąg o zadanym promieniu. Podobną operację można przeprowadzić w przypadku dziesięciokąta i pięciokąta foremnego.

Opis konstrukcji pięciokąta foremnego wpisanego w okrąg o zadanym promieniu.

• Odłóż na płaszczyźnie odcinek o długości $a$ równej długości promienia okręgu opisanego na pięciokącie.

• Wykreśl symetralną danego odcinka, w celu wyznaczenia odcinka o długości równej $\frac{1}{2}a$.

• Wykreśl okrąg o dowolnym środku i promieniu równym a i poprowadź dowolną średnicę – środek okręgu oznacz przez $O$, końce średnicy przez $A$, $B$.

• Poprowadź symetralną odcinka $AB$ – punkty wspólne otrzymanej prostej z okręgiem, które wyznaczają średnicę prostopadłą do $AB$, oznacz przez $C$ i $D$.

• Na średnicy $CD$ odłóż (po dowolnej stronie prostej $AB$) odcinek $OE$ o długości równej $\frac{1}{2}a$.

• Poprowadź odcinek $EC$, na którym odłóż odcinek $EF$ o długości równej $\frac{1}{2}a$ – pozostała część odcinka $EC$, czyli odcinek $CF$, jest bokiem dziesięciokąta foremnego wpisanego w ten okrąg.

• Z dowolnego punktu okręgu, np. z punktu $C$ zakreśl łuk promieniem równym długości odcinka $CF$, aż do przecięcia z okręgiem (zaznaczysz w ten sposób końce cięciwy). Z końca zaznaczonego łuku zakreśl ponownie łuk o takim samym promieniu, by przeciął się z okręgiem, itd. W ten sposób podzielisz okrąg na 10 równych części.

• Połącz kolejne końce cięciw, a otrzymasz dziesięciokąt foremny.

• Połącz co drugi z wierzchołków otrzymanego dziesięciokąta, a otrzymasz pięciokąt foremny.

R1CXT7HEJNNZ9

Na ilustracji narysowane są wcześniej wymienione kroki prowadzące do narysowania dziesięciokąta. Grafika przedstawia okrąg o środku O, w który wpisany jest dziesięciokąt. Przez wszystkie wspólne wierzchołki figur zarysowane są linią przerywaną fragmenty okręgów. Linią przerywaną poprowadzona jest pionowa oś przekroju dużego wyjściowego okręgu. Zaznaczone są także punkty wspólne osi oraz okręgu: na dole punkt D oraz na górze punkt C. Wewnątrz okręgu narysowana jest również pozioma średnica A B. Poziomy odcinek A O podzielony jest na pół za pomocą pionowej osi narysowanej linią przerywaną. Środek tego odcinka oznaczono jako punkt E. Punkt ten stanowi środek mniejszego okręgu, o promieniu dwukrotnie mniejszym od dużego wyjściowego okręgu, a jego średnica to odcinek A O. Okręgi te są styczne wewnętrznie, a ich punktem wspólnym jest punkt A. Z punktu E poprowadzono ukośny odcinek do punktu C leżącego na przecięciu dużego okręgu i jego pionowej osi przekroju. Tak powstaje trójkąt prostokątny E O C. Dodajmy jeszcze, że punkt wspólny przekątnej trójkąta oraz małego okręgu oznaczono jako F. Na rysunku zarysowany jest linią przerywaną także fragment większego okręgu przechodzący prze punkty F oraz przez punkt wspólny okręgu i dziesięciokąta leżący po prawej stronie punktu C.

Dowód poprawności konstrukcji dziesięciokąta (pięciokąta) foremnego wpisanego w okrąg o danym promieniu wykracza poza wymagania matematyki szkolnej, ale z pewnością sama konstrukcja (mimo rozbudowanego opisu) nie jest skomplikowana. Inaczej rzecz się ma z konstrukcją pięciokąta o boku zadanej długości. Przygotuj cyrkiel i linijkę, a następnie odtwórz na kartce opisaną niżej konstrukcję.

Wielokąty gwiaździste

Wiadomo, że wszystkie wielokąty foremne o takiej samej liczbie boków są podobne. Ale już wielokąty foremne gwiaździstewielokąt foremny gwiaździstywielokąty foremne gwiaździste o takiej samej liczbie boków nie muszą być figurami geometrycznymi podobnymi. Okazuje się, że istnieje tyle różnych (tzn. niepodobnych) $n$-kątów foremnych gwiaździstych, ile jest liczb naturalnych względnie pierwszych z $n$, z przedziału $\left(1,\frac{n}{2}\right)$. Dla $n=7$ istnieją dwie takie liczby, które są względnie pierwsze z liczbą $7$ i które należą do zbioru $\left(1,\frac{7}{2}\right)$ - są to liczby $2$ i $3$. Oczekujemy zatem, że dla danego siedmiokąta foremnego, będą dwa różne siedmiokąty foremne gwiaździste. Poniższe rysunki pokazują, że rzeczywiście tak jest.

R1KZZ54HZZ9NS

Ilustracja przedstawia dwie figury ustawione obok siebie. Z lewej mamy siedmiokąt gwiaździsty, czyli siedmiokąt foremny, którego boki są jednocześnie podstawami identycznych trójkątów równoramiennych. Wierzchołki łączące ramiona tych trójkątów połączono odcinkami i utworzono drugi, większy siedmiokąt foremny. Analogiczna jest konstrukcja po prawej, przy czym kąt przy wierzchołku łączącym ramiona trójkątów w lewej figurze jest większy, niż w kąt z figurze po prawej, zatem siedmiokąt po lewej ma bardziej szpiczaste kąty sterczące.

Sposób konstrukcji takich dwóch siedmiokątów wynika z metody Brożka. Mamy, że $7=1+6=2+5=3+4$. Pierwszy rozkład na składniki „definiuje” siedmiokąt foremny, kolejny wskazuje na możliwość łączenia co drugiego z wierzchołków siedmiokąta, a ostatni pozwala skonstruować wielokąt gwiaździstywielokąt foremny gwiaździstywielokąt gwiaździsty, poprzez łączenie co trzeciego z wierzchołków siedmiokąta foremnego.

Przykład 3

Naszym celem będzie teraz skonstruowanie wielokątów foremnych gwiaździstych utworzonych z przekątnych danego ośmiokąta foremnego.

Wyznaczymy najpierw liczbę takich figur. W przedziale $\left(1,\frac{8}{2}\right)$, są dwie liczby naturalne: $2$ i $3$. Liczba $2$ nie jest względnie pierwsza z liczbą $8$, ale liczba $3$ jest względnie pierwsza z liczbą $8$. Wiemy więc, że jest jeden ośmiokąt foremny gwiaździsty.

Korzystając z metody Brożka możemy zapisać, że $8=1+7=2+6=3+5=4+4$. Pierwszy z rozkładów na składniki opisuje ośmiokąt foremny. Rozkład $8=2+6$, wyznaczony przez liczbę $2$, która nie jest względnie pierwsza z liczbą $8$, prowadzi do „zamknięcia” łamanej zanim dotrze ona do każdego z wierzchołków.

R1J9JNLUGFUK7

Ilustracja przedstawia łamaną zamkniętą rozpiętą na czterech wierzchołkach ośmiokąta tak, że wierzchołki łamanej pokrywają się z co drugim wierzchołkiem ośmiokąta. Łamana przyjmuje postać kwadratu.

Okaże się, że rozkład $8=3+5$, wyznaczony przez liczbę $3$, która jest względnie pierwsza z liczbą $8$, prowadzi do skonstruowania ośmiokąta gwiaździstego.

R3J3DOAG5KA4R

Ilustracja przedstawia ośmiokąt foremny, w który wpisany jest ośmiokąt foremny gwiaździsty.

Pozostaje dodać, że rozkład $8=4+4$ prowadzi w oczywisty sposób do konstrukcji odcinka.

Aplet

Zapoznaj się z poniższym apletem, aby na jego podstawie rozwiązać kolejne polecenia związane z konstrukcją dziesięciokąta i sześciokąta foremnego.

R1F7GALCMKPON

Na aplecie przedstawiono kolejne etapy konstruowania sześciokąta. Zaczynamy od wyznaczamy odcinek długości a. Etap 1. Kreślimy okrąg o promieniu a. Otrzymujemy pierwszy wierzchołek A. Etap 2. Z wierzchołka A, kreślimy łuk w odległości a. Miejsce przecięcia łuku z okręgiem stanowi wierzchołek B. Etap 3. Z wierzchołka B, kreślimy łuk w odległości a. Miejsce przecięcia łuku z okręgiem stanowi wierzchołek C. Etap 4. Z wierzchołka C, kreślimy łuk w odległości a. Miejsce przecięcia łuku z okręgiem stanowi wierzchołek D. Etap 5. Z wierzchołka D, kreślimy łuk w odległości a. Miejsce przecięcia łuku z okręgiem stanowi wierzchołek E. Etap 6. Z wierzchołka E, kreślimy łuk w odległości a. Miejsce przecięcia łuku z okręgiem stanowi wierzchołek F. Etap 7. Łączymy kolejno wykreślone wierzchołki. Można wyświetlić także trójkąt, łączący wierzchołek A, B i E. Na aplecie przedstawiono także kolejne etapy kreślenia pięciokąta.Zaczynamy jak poprzednio od wyznaczamy odcinek długości a. Etap 1. Konstruujemy symetralną odcinka. Etap 2. Po wykreśleniu symetralnej odcinka, odmierzamy cyrklem długość początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, a. Etap 3. Kreślimy okrąg o promieniu długości a. Zaznaczamy środek O, okręgu, oraz średnicę łączącą punkty A,B na okręgu. Od środka O, wykreślamy długość początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, a. Etap 4. Konstrukcyjnie wyznaczamy średnicę DC okręgu, prostopadłą do średnicy AB. Etap 5. Ze środka okręgu wykreślamy łuk długości początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, a, który przecina promień DO w punkcie E. Etap 6. Punkt E łączymy z punktem B. Z punktu E, kreślimy łuk, przecinający odcinek E B w punkcie F. Otrzymujemy odcinek FB. Etap 7. Z punktu B kreślimy łuk w odległości długości odcinka F B, a jego przecięcie z okręgiem stanowi kolejny punkt. Z otrzymanego punktu, znowu kreślimy łuk i tak do pokrycia się łuku z punktem B. Etap 8. Miejsca przecięć łuków z okręgiem, zaznaczamy punktami. W ostatnim etapie łączymy co drugi punkt na okręgu i w ten sposób otrzymujemy pięciokąt foremny.

Na aplecie przedstawiono kolejne etapy konstruowania sześciokąta. Zaczynamy od wyznaczamy odcinek długości a. Etap 1. Kreślimy okrąg o promieniu a. Otrzymujemy pierwszy wierzchołek A. Etap 2. Z wierzchołka A, kreślimy łuk w odległości a. Miejsce przecięcia łuku z okręgiem stanowi wierzchołek B. Etap 3. Z wierzchołka B, kreślimy łuk w odległości a. Miejsce przecięcia łuku z okręgiem stanowi wierzchołek C. Etap 4. Z wierzchołka C, kreślimy łuk w odległości a. Miejsce przecięcia łuku z okręgiem stanowi wierzchołek D. Etap 5. Z wierzchołka D, kreślimy łuk w odległości a. Miejsce przecięcia łuku z okręgiem stanowi wierzchołek E. Etap 6. Z wierzchołka E, kreślimy łuk w odległości a. Miejsce przecięcia łuku z okręgiem stanowi wierzchołek F. Etap 7. Łączymy kolejno wykreślone wierzchołki. Można wyświetlić także trójkąt, łączący wierzchołek A, B i E. Na aplecie przedstawiono także kolejne etapy kreślenia pięciokąta.Zaczynamy jak poprzednio od wyznaczamy odcinek długości a. Etap 1. Konstruujemy symetralną odcinka. Etap 2. Po wykreśleniu symetralnej odcinka, odmierzamy cyrklem długość początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, a. Etap 3. Kreślimy okrąg o promieniu długości a. Zaznaczamy środek O, okręgu, oraz średnicę łączącą punkty A,B na okręgu. Od środka O, wykreślamy długość początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, a. Etap 4. Konstrukcyjnie wyznaczamy średnicę DC okręgu, prostopadłą do średnicy AB. Etap 5. Ze środka okręgu wykreślamy łuk długości początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, a, który przecina promień DO w punkcie E. Etap 6. Punkt E łączymy z punktem B. Z punktu E, kreślimy łuk, przecinający odcinek E B w punkcie F. Otrzymujemy odcinek FB. Etap 7. Z punktu B kreślimy łuk w odległości długości odcinka F B, a jego przecięcie z okręgiem stanowi kolejny punkt. Z otrzymanego punktu, znowu kreślimy łuk i tak do pokrycia się łuku z punktem B. Etap 8. Miejsca przecięć łuków z okręgiem, zaznaczamy punktami. W ostatnim etapie łączymy co drugi punkt na okręgu i w ten sposób otrzymujemy pięciokąt foremny.

Zasób interaktywny dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/a/D1786NRFQ

Zestaw ćwiczeń interaktywnych

1

Ćwiczenie 1

Narysuj kwadrat. Zaznacz środki jego boków. Połącz zaznaczone punkty tak, aby otrzymać czworokąt. Wyjaśnij, czy otrzymany czworokąt jest wielokątem foremnym? Dlaczego?

R1HLKvC33m0av

Szkicownik.

Szkicownik.

W narysowanym kwadracie zaznaczono środki jego boków i połączono zaznaczone punkty tak, że otrzymano czworokąt. Wyjaśnij, czy otrzymany czworokąt jest wielokątem foremnym? Dlaczego?

R1EOnsVtjzdDD

(Uzupełnij).

Pokaż podpowiedź

Zwróć uwagę na długości powstałych boków oraz na miary kątów między bokami.

Pokaż odpowiedź

RqX1FVeqE412f

Kwadrat, którego środki boków zostały połączone, tworząc obrócony o 45 stopni mniejszy kwadrat.

Tak, otrzymany czworokąt jest kwadratem, ponieważ ma wszystkie boki równej długości oraz przekątne równej długości.

1

Ćwiczenie 2

Narysuj kwadrat. Podziel każdy z jego boków na trzy równe części. Połącz punkty podziału tak, aby otrzymać ośmiokąt. Wyjaśnij, czy otrzymany ośmiokąt jest wielokątem foremnym? Dlaczego?

R1Whnq8wMSOsQ

Szkicownik.

Szkicownik.

W narysowanym kwadracie podzielono każdy z jego boków na trzy równe części i połączono punkty podziału tak, że otrzymano ośmiokąt. Wyjaśnij, czy otrzymany ośmiokąt jest wielokątem foremnym? Dlaczego?

R1aXaqS4s3zY0

(Uzupełnij).

Pokaż podpowiedź

Zwróć uwagę na długości powstałych boków oraz na miary kątów między bokami.

Pokaż odpowiedź

RoBIfow41HXzq

Ośmiokąt utworzony na podstawie kwadratu. Boki ośmiokąta leżące na bokach kwadratu oznaczono literą b, a pozostałe boki literą a.

Nie, otrzymany ośmiokąt nie jest ośmiokątem foremnym, ponieważ nie wszystkie boki tej figury są równej długości. Boki oznaczone literą $a$ są przeciwprostokątnymi trójkątów równoramiennych, więc są dłuższe od boków $b$.

1

Ćwiczenie 3

Narysuj trójkąt równoboczny. Zaznacz środki jego boków. Połącz zaznaczone punkty tak, aby otrzymać trójkąt. Wyjaśnij, czy otrzymany trójkąt jest wielokątem foremnym? Dlaczego?

R1WpDCt0wnQiX

Szkicownik.

Szkicownik.

W narysowanym trójkącie równobocznym  zaznaczono środki jego boków i połączono je tak, że otrzymano trójkąt. Wyjaśnij, czy otrzymany trójkąt jest wielokątem foremnym? Dlaczego?

RT3oVeWwoe4ms

(Uzupełnij).

Pokaż podpowiedź

Zwróć uwagę na długości powstałych boków oraz na miary kątów między bokami.

Pokaż rozwiązanie

RVf2iyMJldqEl

Trójkąt równoboczny, którego środki boków zostały połączone, tworząc obrócony mniejszy trójkąt równoboczny.

Zauważmy, że trzy trójkąty powstałe po połączeniu ze sobą środków boków trójkąta równobocznego są trójkątami do siebie przystającymi (np. z cechy bok‑kąt‑bok). Ponadto trójkąty te są równoramienne i kąt między ramionami ma miarę $60°$, więc są one trójkątami równobocznymi. Stąd fioletowy trójkąt jest trójkątem równobocznym, czyli wielokątem foremnym.

2

Ćwiczenie 4

Narysuj trójkąt równoboczny. Podziel każdy z jego boków na trzy równe części. Połącz punkty podziału tak, aby otrzymać sześciokąt. Wyjaśnij, czy otrzymany sześciokąt jest wielokątem foremnym? Dlaczego?

R1ZgW5Ozxy1Yn

Szkicownik.

Szkicownik.

W narysowanym trójkącie równobocznym podzielono każdy z jego boków na trzy równe części i połączono punkty podziału tak, że otrzymano sześciokąt. Wyjaśnij, czy otrzymany sześciokąt jest wielokątem foremnym? Dlaczego?

RA3lnI583bOzb

(Uzupełnij).

Pokaż podpowiedź

Zwróć uwagę na długości powstałych boków oraz na miary kątów między bokami.

Pokaż rozwiązanie

R1VYBC6B8Sp6g

Sześciokąt foremny, utworzony na podstawie trójkąta równobocznego.

Zauważmy, że trzy trójkąty powstałe po połączeniu ze sobą zaznaczonych punktów są trójkątami do siebie przystającymi (np. z cechy bok‑kąt‑bok). Ponadto trójkąty te są równoramienne i kąt między ramionami ma miarę $60°$, więc są one trójkątami równobocznymi. Stąd wszystkie długości boków powstałego sześciokąta są równej długości. Zauważmy także, że wszystkie kąty tego sześciokąta są kątami przystającymi do kąta o mierze $60°$. Mają zatem miarę $180°-60°=120°$. Stąd otrzymany sześciokąt jest sześciokątem foremnym.

Ćwiczenie 5

Dany jest dziewięciokat foremny, taki jak na rysunku.

RO4G1P326DP8K

Ilustracja przedstawia dziewięciokąt foremny.

Wyznacz liczbę różnych dziewięciokątów foremnych gwiaździstych i skonstruuj te wielokąty, korzystając z dołączonego rysunku.

Pokaż podpowiedź

Pamiętaj, że istnieje tyle różnych (tzn. niepodobnych) $n$-kątów foremnych gwiaździstych, ile jest liczb naturalnych względnie pierwszych z $n$, z przedziału $\left(1,\frac{n}{2}\right)$.

Pokaż rozwiązanie

Liczbami całkowitymi z przedziału $\left(1,\frac{9}{2}\right)$, są liczby: $2$, $3$, $4$. Liczba $3$ nie jest względnie pierwsza z liczbą $9$. Liczby $2$ i $4$ są względnie pierwsze, dlatego mamy dwa wielokąty gwiaździste, które powstaną poprzez łączenia odpowiednio co drugiego i co czwartego z wierzchołków.

Słownik