Przeczytaj
W przestrzeni rozważamy trzy podstawowe obiekty: punkt, prostą, płaszczyznę. Przez dowolne dwa punkty można poprowadzić dokładnie jedną prostą. Przez dowolne trzy niewspółliniowe punkty można poprowadzić dokładnie jedną płaszczyznę. Problemy geometrii przestrzennej dają się często rozwiązać jako problemy planimetrii dzięki odpowiedniemu wyborowi płaszczyzny lub przekroju płaszczyznąprzekroju płaszczyzną.
Na płaszczyźnie możliwe są tylko dwa położenia dwóch prostych: proste przecinające się (w jednym punkcie) lub proste równoległe. W przestrzeni mówimy, że dwie proste przecinają się, jeśli mają dokładnie jeden punkt wspólny. Jeśli dwie proste mają co najmniej dwa punkty wspólne, to są równe.
Dwie przecinające się proste wyznaczają dokładnie jedną płaszczyznę.
Załóżmy, że proste , przecinają się w punkcie . Wtedy istnieje punkt różny od należący do prostej oraz punkt różny od należący do prostej . Nie istnieje prosta przechodząca przez wszystkie trzy punkty , , . Stąd wynika, że przez punkty , , można poprowadzić dokładnie jedną płaszczyznę. Na tej płaszczyźnie leży prosta , bo jej dwa punkty , należą do tej płaszczyzny. Podobnie, prosta leży na tej płaszczyźnie.
Z powyższej własności wynika, że do wyznaczenia wspólnej płaszczyzny prostych przecinających się wystarczy znać punkt przecięcia prostych i po jednym punkcie z każdej prostej różnym od punktu przecięcia. Można również wyznaczyć płaszczyznę znając dwa różne punkty na jednej prostej i jeden punkt na drugiej prostej.
W przypadku prostych równoległych można było stosować aksjomat równoległości, który mówi, że dla prostej i punktu nienależącego do niej, istnieje w płaszczyźnie zawierającej prostą i punkt dokładnie jedna prosta zawierająca i niemająca punktów wspólnych z .
Zadajmy sobie pytanie, ile jest prostych przecinających prostą i zawierających punkt nienależący do niej.
Ponieważ, dla dwóch różnych punktów , na prostej można poprowadzić proste i i są to różne proste, to odpowiedź brzmi:
Przez prostą i punkt nienależący do niej można poprowadzić tyle prostych, ile jest punktów na prostej .
Znów odwołajmy się do własności prostych równoległych, która mówi, że jeśli dwie proste są równoległe do trzeciej, to są równoległe do siebie. Własność ta nie zachodzi dla prostych przecinających się. Na rysunku niebieskie proste przecinają się z różową prostą, ale nie mają punktów wspólnych, bo są równoległe.
Ponieważ proste przecinające się wyznaczają jednoznacznie wspólną płaszczyznę, to możemy do nich stosować własności i pojęcia znane z planimetrii, na przykład, możemy mówić o kątach między prostymi. Między innymi możemy stosować twierdzenie Talesa i twierdzenie o prostych równoległych przeciętych trzecią prostą.
Trzy różne proste parami przecinające się w trzech parami różnych punktach leżą na jednej płaszczyźnie.
Załóżmy, że dane są proste , , parami przecinające się. Niech będzie punktem wspólnym prostych , , punktem wspólnym prostych , , a – prostych , . Z założenia punkty , , są parami różne, więc prosta , , .
Gdyby punkty , , leżały na jednej prostej, to mielibyśmy . Zatem punkty , , wyznaczają dokładnie jedną płaszczyznę i , , leżą na tej płaszczyźnie.
Wyznaczymy kąt jaki tworzy krawędź boczna ostrosłupa prawidłowegoostrosłupa prawidłowego czworokątnego z przekątną podstawy, jeśli wiemy, że długość boku podstawy wynosi , a długość wysokości tego ostrosłupa wynosi .
Rozwiązanie:
Na rysunku przedstawiony jest ostrosłup prawidłowy czworokątny o podstawie i wierzchołku w punkcie . Z własności takich ostrosłupów wynika, że wszystkie krawędzie boczne mają równe długości, a spodek wysokości jest punktem przecięcia przekątnych podstawy. Możemy więc wybrać dowolną krawędź, na przykład , i wyznaczyć dla niej wymagany kąt.
Zauważmy, że trzy proste: zawierająca krawędź , zawierająca przekątną oraz zawierająca wysokość ostrosłupa, są parami przecinającymi się prostymi i punkty przecięcia , , są parami różne. Stąd proste te wyznaczają płaszczyznę, której przekrój z ostrosłupem tworzy trójkąt . Do dalszej analizy rozwiązania wystarczy rozważyć tylko trójkąt i jego własności znane z planimetrii.
Na rysunku przedstawiony jest trójkąt . Z własności ostrosłupa prawidłowego czworokątnego wynika, że jest wysokością trójkąta równoramiennego , więc kąt jest kątem prostym, a odcinek ma długość równą połowie długości przekątnej kwadratu .
Stąd , .
Korzystając z funkcji trygonometrycznych w trójkącie dostajemy . Stąd .
Pęk prostych
Zbiór prostych przecinających się w jednym punkcie nazywamy pękiem prostych przechodzących przez . Punkt nazywamy wierzchołkiem pęku.
Rozważmy dowolny punkt przestrzeni. Wtedy przez każdy punkt można poprowadzić prostą . Stąd punkt należy do pęku prostych przechodzących przez i stąd cała przestrzeń jest pękiem wszystkich prostych przechodzących przez .
Pokażemy, że dowolną sferę i kulę możemy wyznaczyć z pęku prostych.
Rozwiązanie:
Załóżmy, że mamy sferę o środku w punkcie i promieniu . Wtedy każdy punkt tej sfery należy do prostej z pęku prostych o wierzchołku i jest odległy od środka o . Z drugiej strony, zbiór wszystkich punktów należących do pęku prostych o środku i odległych od środka o jest sferą o środku w i promieniu .
Analogicznie, kula o środku w punkcie i promieniu jest zbiorem punktów należących do pęku prostych o środku , których odległość od środka jest nie większa niż .
Rozważmy płaszczyznę i punkt leżący na tej płaszczyźnie. Wtedy dla dowolnego punktu na tej płaszczyźnie można poprowadzić . Stąd wynika, że każdy punkt płaszczyzny należy do pęku prostych przechodzących przez . Zatem płaszczyzna jest pękiem prostych leżących na tej płaszczyźnie i przechodzących przez .
Mamy na płaszczyźnie prostą i punkt nieleżący na tej prostej. Wyznaczymy na tej płaszczyźnie pęk prostych przechodzących i przecinających prostą .
Rozwiązanie:
Popatrzmy na rysunek:
Weźmy dowolny punkt leżący na płaszczyźnie. Jeśli prosta przecina prostą , to należy do pęku prostych przechodzących i przecinających prostą .
Jeśli prosta nie przecina prostej , to nie należy do tego pęku.
Stąd wynika, że do pęku nie należy prosta równoległa do poprowadzona przez punkt , przy czym punkt należy do tego pęku.
Zatem pęk prostych przechodzących przez i przecinających prostą jest płaszczyzną z usuniętą prostą równoległą do poprowadzoną przez punkt oraz punkt .
Mamy w przestrzeni prostą i punkt nieleżący na tej prostej. Wyznaczymy w przestrzeni pęk prostych przechodzących przez i przecinających prostą .
Rozwiązanie:
Punkt i prosta wyznaczają jednoznacznie płaszczyznę i każda prosta z pęku prostych przechodzących i przecinających prostą też leży na tej płaszczyźnie.
Zatem pęk prostych przechodzących przez i przecinających prostą jest płaszczyzną wyznaczoną przez i z usuniętą prostą równoległą do poprowadzoną przez punkt oraz punkt .
Przez wierzchołki i kwadratu o boku poprowadzono proste przecinające się w punkcie w taki sposób, że prosta jest prostopadła do przekątnej kwadratu i punkt dzieli tę przekątną w stosunku . Ponadto, odcinki i mają długość .
Pokażemy pod jakim kątem do przekątnej należy poprowadzić proste z wierzchołków i , żeby należały one do pęku prostych przechodzących przez (równoważnie, żeby był ostrosłupem o podstawie oraz wierzchołku ). Wyznaczymy również objętość tego ostrosłupa.
Rozwiązanie:
Popatrzmy na rysunek. Jeśli wyznaczymy wymagane proste, to powstanie ostrosłup o podstawie i wierzchołku , w którym jest wysokością.
Należy więc wyznaczyć kąty i . W tym celu skorzystamy z funkcji trygonometrycznych w trójkątach prostokątnych i , bo odcinek leży na prostej prostopadłej do przekątnej . Wiemy, że , bo jest przekątną kwadratu o boku . Ponadto, z warunków zadania wynika, że oraz .
Chcemy teraz wyznaczyć długość odcinka . Zauważamy, że trójkąt jest trójkątem prostokątnym, bo jest wysokością ostrosłupa. Twierdzenie Pitagorasa zastosowane do tego trójkąta pozwoli wyznaczyć pod warunkiem, że znamy długość .
Wyznaczymy korzystając z twierdzenia cosinusów zastosowanego w trójkącie , w którym , oraz , bo jest to kąt, jaki tworzy przekątna z bokiem kwadratu.
Zatem i stąd .
Z twierdzenia Pitagorasa wynika, że , więc .
Stąd , więc po odczytaniu z tablic tangensa dostajemy .
, więc po odczytaniu z tablic tangensa dostajemy .
Objętość tego ostrosłupa wynosi .
Ważnym zastosowaniem pęku prostych przechodzących przez jest tworzenie figur (brył) przestrzennych.
Na płaszczyźnie mamy pewną figurę płaską, na przykład trójkąt. Ustalamy punkt , który nie leży na tej płaszczyźnie. W kolejnym kroku prowadzimy przez każdy punkt trójkąta prostą przez punkt . Uzyskany w ten sposób pęk prostych przechodzących przez tworzy nieskończoną figurę jak na rysunku.
Na rysunku zaznaczono kilka punktów trójkąta i poprowadzono proste przez punkt .
Czerwone punkty są wierzchołkami tego trójkąta. Pęk prostych poprowadzonych przez wierzchołki (czerwone proste) i punkt utworzy krawędzie powstałej bryły.
Punkty niebieskie i czerwone leżą na bokach trójkąta, więc pęk prostych poprowadzonych przez wszystkie punkty na bokach trójkąta i punkt utworzy ściany powstałej bryły, czyli powierzchnię tej bryły.
Zielone punkty leżą we wnętrzu trójkąta. Wszystkie punkty trójkąta wyznaczają pęk prostych przechodzących przez , który stanowi całą bryłę. Zaznaczona na niebiesko część powstałej bryły jest ostrosłupem trójkątnym.
Na rysunku zaznaczono kilka punktów koła i poprowadzono przez te punkty i punkt leżący poza płaszczyzną, na której leży to koło.
Pęk prostych poprowadzonych przez wszystkie punkty koła i punkt utworzy uogólniony stożek, która jest sumą dwóch nieskończonych pochylonych stożków o wspólnym wierzchołku.
Można uzyskać również bryły i powierzchnie ograniczone, biorąc fragment między dwiema płaszczyznami jak na rysunku. Przedstawiony fragment jest pochylonym stożkiem ściętym.
Ograniczając figury uzyskane wyżej w ten sposób, że punkt jest wierzchołkiem, a podstawą dana figura na płaszczyźnie dostajemy znane bryły, między innymi takie jak, stożki i ostrosłupy.
Wybierając różne płaszczyzny przekroju uogólnionego stożka wyznaczonego przez punkt i okrąg możemy w przekroju uzyskać różne krzywe, które nazywane są krzywymi stożkowymi: okrąg, elipsa, parabola, hiperbola, obszar ograniczony prostymi przecinającymi się, prosta (zobacz rysunek).
Przy pomocy lampy możemy wykonać doświadczenie, w którym zmieniając położenie lampy spróbujemy na ścianie lub na podłodze uzyskać różne przekroje stożka.
Popatrzmy na kilka rysunków przedstawiających różne przekroje uogólnionego stożka płaszczyzną.
Słownik
część wspólna bryły i płaszczyzny
ostrosłup, którego podstawą jest wielokąt foremny