Remind the most important information about the equation with one unknown. The goal of the lesson is solving quadratic equations. Find the definition of the quadratic equation in the available sources.
Consider how such equation can be solved. Note that solving a quadratic equationquadratic equationquadratic equation is equivalent to a calculation of x‑intercepts of the corresponding quadratic functionquadratic functionquadratic function.
The existence and the number of solutions of the quadratic equation , where depend on the sign of the discriminant . Find the theorem on the number of the roots of the quadratic equationquadratic equationquadratic equation.
solution of the quadratic equation
Theorem: solution of the quadratic equation
The quadratic equation , where :
has no solution when ,
has one solution , when ,
has two solutions , when .
Re1x79oX1Vtc8
Schemat blokowy przedstawia algorytm obliczania pierwiastków równania kwadratowego. Na górze znajduje się napis: The algorithm for determining the roots of a quadratic equation. Poniżej prostokąt z zaokrąglonymi rogami, w nim zapis: Given is the equation a x do kwadratu dodać b x dodać c równa się zero where a, b, c należą do zbioru liczb rzeczywistych, a różne od zera. Od elementu strzałka w dół do prostokąta, w którym znajduje się zapis: Find wielka litera delta równa się b kwadrat odjąć cztery razy a razy c. Od elementu strzałka w dół do rombu, w którym znajduje się zapis: is duża delta jest mniejsza od zera, znak zapytania. Z rombu wychodzą dwie strzałki. Pierwsza strzałka w prawo do prostokąta z zaokrąglonymi rogami, nad strzałką zapis YES. W elemencie zapis: The equation has no solution. Druga strzałka wychodząca z rombu prowadzi w dół do kolejnego rombu. Obok strzałki zapis NO. W rombie zapis: is wielka litera delta jest większa od zera, znak zapytania. Z rombu wychodzą dwie strzałki. Pierwsza strzałka w prawo do prostokąta, nad strzałką zapis YES. W prostokącie zapis: Find x z indeksem dolnym jeden równa się ułamek, w liczniku minus b odjąć pierwiastek kwadratowy z delty, w mianowniku dwa razy a oraz x z indeksem dolnym dwa równa się ułamek, w liczniku minus b dodać pierwiastek kwadratowy z delty, w mianowniku dwa razy a. Od prostokąta strzałka w dół do prostokąta z zaokrąglonymi rogami. W elemencie znajduje się zapis: x z indeksem dolnym jeden and x z indeksem dolnym dwa are the solutions of the equation a x do kwadratu dodać b x dodać c równa się zero. Druga strzałka od rombu prowadzi w dół do prostokąta, obok strzałki zapis NO. W prostokącie zapis: Find x z indeksem dolnym zero równa się ułamek, w liczniku minus b, w mianowniku dwa razy a. Od prostokąta strzałka w dół do prostokąta z zaokrąglonymi rogami. W elemencie znajduje się zapis: x z indeksem dolnym zero is the only solution of the equation a x do kwadratu dodać b x dodać c równa się zero.
Algorithm of finding the roots of the quadratic equation
Analyse the applet presenting the method of solving incomplete quadratic equationsquadratic equationquadratic equations without determining the discriminant and draw conclusions.
RcZco2oiQj5Tp1
Aplet geogebra: Rozwiązywanie równań kwadratowych niezupełnych. Poniżej znajduje się galeria będąca wersją alternatywną dla aplikacji.
Aplet geogebra: Rozwiązywanie równań kwadratowych niezupełnych. Poniżej znajduje się galeria będąca wersją alternatywną dla aplikacji.
Na rysunku znajduje się tekst: Add the constant to both sides, poniżej równanie – sześć pomnożone przez x kwadrat równa się cztery. Niżej tekst: Divide both sides by constant so that you get the form, poniżej równanie – x kwadrat równa się zero i sześćdziesiąt siedem setnych. Niżej tekst: Count the square root and find the solutions. Poniżej: x równa się pierwiastek kwadratowy z zera i sześćdziesięciu siedmiu setnych lub x równa się minus pierwiastek kwadratowy z zera i sześćdziesięciu siedmiu setnych.
Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.
RtMxjeLSRkiqQ1
Na rysunku znajduje się tekst: Add the constant to both sides, poniżej równanie: pięć pomnożone przez x kwadrat równa się jeden. Niżej tekst: Divide both sides by constant so that you get the form, poniżej równanie: x kwadrat równa się zero dwie dziesiętne. Niżej tekst: Count the square root and find the solutions. Poniżej: x równa się pierwiastek kwadratowy z zera i dwóch dziesiętnych lub x równa się minus pierwiastek kwadratowy z zera i dwóch dziesiętnych.
Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.
RWrobNHwrrGQL1
Na rysunku znajduje się tekst: Factorise the left-hand side of the equation, poniżej równanie: x pomnożone przez, otwórz nawias zwykły, w nawiasie, cztery pomnożone przez x odjąć jeden, zamknij nawias, równa się zero. Poniżej tekst: You get two linear equations. Niżej równania: x równa się zero lub cztery pomnożone przez x odjąć jeden równa się zero. Poniżej tekst: Find the solutions. Niżej równania: x równa się zero, lub cztery pomnożone przez x równa się jeden, niżej równania – x równa się zero, lub x równa się zero i dwadzieścia pięć setnych.
Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.
R1e22IQKFAeT81
Na rysunku znajduje się tekst: Factorise the left-hand side of the equation, poniżej równanie: x pomnożone przez, otwórz nawias zwykły, w nawiasie, sześć pomnożone przez x odjąć dwa, zamknij nawias, równa się zero. Poniżej tekst: You get two linear equations. Niżej równania: x równa się zero lub sześć pomnożone przez x odjąć dwa równa się zero. Poniżej tekst: Find the solutions. Niżej równania: x równa się zero, lub sześć pomnożone przez x równa się dwa, niżej równania – x równa się zero, lub x równa się zero i trzydzieści trzy setne.
The perimeter of a rhombus is 116 cm. The lengths of the diagonals of this rhombus differ by 2 cm. Calculate the area of the rhombus.
Task 6
An extra task:
For what values of m the equation has two roots fulfilling the condition ?
Perform consolidating exercises.
Remember:
The quadratic equation , where .
has no solution when ∆ < 0,
has one solution , when ∆ = 0,
has two solutions , when ∆ > 0.
Exercises
Exercise 1
RQcoz3RHRsSEp
Wersja alternatywna ćwiczenia: Determine which sentences are true. Możliwe odpowiedzi: 1. The roots of the equation are {-4, 4}., 2. The roots of the equation are {-11, 11}., 3. The roots of the equation are {-5, 1}, 4. The equation hasn't any roots., 5. The equation hasn't any roots., 6. The root of the equation is {1}.
Wersja alternatywna ćwiczenia: Determine which sentences are true. Możliwe odpowiedzi: 1. The roots of the equation are {-4, 4}., 2. The roots of the equation are {-11, 11}., 3. The roots of the equation are {-5, 1}, 4. The equation hasn't any roots., 5. The equation hasn't any roots., 6. The root of the equation is {1}.
Determine which sentences are true.
The roots of the equation are {-4, 4}.
The roots of the equation are {-11, 11}.
The roots of the equation are {-5, 1}
The equation hasn't any roots.
The equation hasn't any roots.
The root of the equation is {1}.
Rzadanie
Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.
Exercise 2
Give an example of a quadratic equation:
that has no solution,
which is solved by two opposite numbers,
whose the only solution is the number .
Exercise 3
Describe in English the method of solving the quadratic equation .
Exercise 4
Rhvgq5gOffP49
Wersja alternatywna ćwiczenia: Indicate which pairs of expressions or words are translated correctly. Możliwe odpowiedzi: 1. funkcja kwadratowa - quadratic function, 2. równanie kwadratowe niezupełne - incomplete quadratic equation, 3. równanie kwadratowe - quadratic equation, 4. pierwiastek równania kwadratowego - root of the quadratic equation, 5. algorytm - number of solutions of an equation, 6. liczba rozwiązań równania - algorithm
Wersja alternatywna ćwiczenia: Indicate which pairs of expressions or words are translated correctly. Możliwe odpowiedzi: 1. funkcja kwadratowa - quadratic function, 2. równanie kwadratowe niezupełne - incomplete quadratic equation, 3. równanie kwadratowe - quadratic equation, 4. pierwiastek równania kwadratowego - root of the quadratic equation, 5. algorytm - number of solutions of an equation, 6. liczba rozwiązań równania - algorithm
Indicate which pairs of expressions or words are translated correctly.
pierwiastek równania kwadratowego - root of the quadratic equation
algorytm - number of solutions of an equation
liczba rozwiązań równania - algorithm
zadanie
Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.
R15vzynMHJVbA1
Interaktywna gra, polegająca na łączeniu wyrazów w pary w ciągu jednej minuty. Czas zaczyna upływać wraz z rozpoczęciem gry. Jeden ruch to odkrywanie najpierw jednej potem drugiej karty z wyrazem. Każdy wyraz jest odczytywany. Kolejny ruch to odkrywanie trzeciej i czwartej karty. W ten sposób odsłuchasz wszystkie wyrazy. Nawigacja z poziomu klawiatury za pomocą strzałek, odsłuchiwanie wyrazów enterem lub spacją. Znajdź wszystkie pary wyrazów.
Interaktywna gra, polegająca na łączeniu wyrazów w pary w ciągu jednej minuty. Czas zaczyna upływać wraz z rozpoczęciem gry. Jeden ruch to odkrywanie najpierw jednej potem drugiej karty z wyrazem. Każdy wyraz jest odczytywany. Kolejny ruch to odkrywanie trzeciej i czwartej karty. W ten sposób odsłuchasz wszystkie wyrazy. Nawigacja z poziomu klawiatury za pomocą strzałek, odsłuchiwanie wyrazów enterem lub spacją. Znajdź wszystkie pary wyrazów.
Match Polish terms with their English equivalents.
quadratic equation
liczba rozwiązań równania
algorytm
równanie kwadratowe
quadratic function
algorithm
number of solutions of an equation
root of the quadratic equation
funkcja kwadratowa
pierwiastek równania kwadratowego
Source: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
