- Przedziałem otwartym o końcach a, b (a < b) nazywamy zbiór wszystkich liczb rzeczywistych, które są większe od a i jednocześnie mniejsze od b.
Zapis symboliczny: a < x < b zapisujemy jako a, b.

- Przedziałem domkniętym o końcach a, b (a ≤ b) nazywamy zbiór wszystkich liczb rzeczywistych, które są niemniejsze od a (czyli większe od a lub równe a) i jednocześnie nie większe od b (czyli mniejsze od b lub równe b).
Zapis symboliczny: a ≤ x ≤ b zapisujemy jako 〈a, b〉.

- Przedział liczbowy, to zbiór wszystkich liczb rzeczywistych spełniających nierówność postaci a < x < b, x > a, b > a lub analogiczne nierówności nieostre. Liczby a i b (a < b) są danymi liczbami rzeczywistymi.

- Przedziałem otwartym o końcach a, b (a < b) nazywamy zbiór wszystkich liczb rzeczywistych, które są większe od a i jednocześnie mniejsze od b.

- Przedziałem domkniętym o końcach a, b (a ≤ b) nazywamy zbiór wszystkich liczb rzeczywistych, które są niemniejsze od a (czyli większe od a lub równe a) i jednocześnie nie większe od b (czyli mniejsze od b lub równe b).

- W przypadku, gdy oba końce przedziału liczbowego są liczbami, przedział liczbowy nazywa się przedziałem ograniczonym, w przeciwnym przypadku przedział liczbowy jest nieograniczony i nazywa się go przedziałem nieskończonym.

Przedziały liczbowe, przedziały jako zbiory

Trzeci

I. Liczby rzeczywiste. Uczeń:

6) posługuje się pojęciem przedziału liczbowego, zaznacza przedziały na osi liczbowej.

45 minut

Interpretowanie i operowanie informacjami przedstawionymi w tekście, zarówno matematycznym, jak i popularnonaukowym, a także w formie wykresów, diagramów, tabel.

1. Porozumiewanie się w języku angielskim, rozwijanie matematycznych i podstawowych kompetencji naukowo‑technicznych oraz informatycznych, kształtowanie umiejętności uczenia się.

2. Poznanie definicji przedziałów liczbowych.

3. Zaznaczanie przedziałów liczbowych na osi liczbowej.

Uczeń:

- poznaje definicję przedziałów liczbowych,

- zaznacza przedziały liczbowe na osi liczbowej.

1. Mapy mentalne.

2. Analiza sytuacyjna.

1. Praca indywidualna.

2. Praca grupowa.

Uczniowie, pracując w grupach, porządkują swoje wiadomości na temat rozwiązywania nierówności i sposobu przedstawiania zbioru rozwiązań na osi liczbowej. Tworzą mapy mentalne. Każda grupa rozwiązuje jedną nierówność i jej rozwiązanie umieszcza na planszy.

Uczniowie prezentują swoje plansze i wspólnie określają sposób przedstawienia zbioru rozwiązań nierówności na osi liczbowej.

Nauczyciel weryfikuje ich informacje i wyjaśnia wątpliwości.

Nauczyciel informuje uczniów, że celem zajęć jest poznanie przedziałów liczbowych oraz ich zaznaczanie na osi liczbowej.

Uczniowie, w dostępnych źródłach, szukają definicji przedziału liczbowego. Zapisują odpowiedni wniosek.

Wniosek, który powinni sformułować uczniowie:

- Przedział liczbowy, to zbiór wszystkich liczb rzeczywistych spełniających nierówność postaci a < x < b, x > a, b > a lub analogiczne nierówności nieostre. Liczby a i b (a < b) są danymi liczbami rzeczywistymi.

Definicja

- Przedziałem otwartym o końcach a, b (a < b) nazywamy zbiór wszystkich liczb rzeczywistych, które są większe od a i jednocześnie mniejsze od b.
Zapis symboliczny: a < x < b zapisujemy jako a, b.

Definicja

- Przedziałem domkniętym o końcach a, b (a ≤ b) nazywamy zbiór wszystkich liczb rzeczywistych, które są niemniejsze od a (czyli większe od a lub równe a) i jednocześnie nie większe od b (czyli mniejsze od b lub równe b).
Zapis symboliczny: a ≤ x ≤ b zapisujemy jako 〈a, b〉.

Korzystając z poznanych definicji, uczniowie rozwiązują zadanie.

Polecenie
Zaznacz na osi liczbowej i zapisz za pomocą przedziału następujące zbiory:

a) $-2\le x\le 7$,

b) $8\le x\le 11$,

c) $-4<x<6$,

d) $0<x<9$.

Polecenie
Dyskusja – czy wszystkie przedziały liczbowe dzielą się na otwarte i domknięte? Uczniowie stawiają hipotezy, sprawdzają je analizując materiał przedstawiony na Ilustracji interaktywnej. Formułują wniosek.

[Ilustracja interaktywna]

Wniosek, który powinni zanotować uczniowie:

- W przypadku, gdy oba końce przedziału liczbowego są liczbami, przedział liczbowy nazywa się przedziałem ograniczonym, w przeciwnym przypadku przedział liczbowy jest nieograniczony i nazywa się go przedziałem nieskończonym.

Uczniowie, pracując samodzielnie, rozwiązują zadania.

Polecenie
Zaznacz na osi liczbowej i zapisz za pomocą przedziału następujące zbiory:

a) $x\le 7$,

b) $x>-3$,

c) $x<2$,

d) $x\ge -4$.

Polecenie
Uzupełnij zapis według wzoru: „$jeżelix\in ⟨-5,3),to-5\le x<3$, albo $jeżelix\in (-2,\infty ),tox>-2$”:

a) $jeżelix\in ⟨-6,0),to\dots$

b) $jeżelix\in ⟨-1,5),to\dots$

c) $jeżelix\in ⟨-6,9⟩,to\dots$

d) $jeżelix\in ⟨4,\infty ),to\dots$

Polecenie dla chętnych:
Zaznacz na osi liczbowej zbiór rozwiązań układu nierówności:

a) $\left\{\begin{array}{c}x\ge -3\\ x<10\end{array}\right.$

b) $\left\{\begin{array}{c}x>0\\ x\le 7\end{array}\right.$

c) $\left\{\begin{array}{c}x>3\\ x<9\end{array}\right.$

d) $\left\{\begin{array}{c}x\ge -4\\ x\le 8\end{array}\right.$

Polecenie
Wyznacz wszystkie liczby naturalne spełniające jednocześnie obie nierówności:

a) $3x-6<0i5x+4>9$,

b) $8x-3<7i3x+4>-2$.

Po rozwiązaniu wszystkich zadań, uczniowie prezentują uzyskane wyniki. Nauczyciel ocenia prace uczniów, wyjaśnia wszystkie wątpliwości.

Uczniowie wykonują ćwiczenia utrwalające.

Wspólnie formułują wnioski do zapamiętania.

- Przedział liczbowy, to zbiór wszystkich liczb rzeczywistych spełniających nierówność postaci a < x < b, x > a, b > a lub analogiczne nierówności nieostre. Liczby a i b (a < b) są danymi liczbami rzeczywistymi.

- Przedziałem otwartym o końcach a, b (a < b) nazywamy zbiór wszystkich liczb rzeczywistych, które są większe od a i jednocześnie mniejsze od b.

- Przedziałem domkniętym o końcach a, b (a ≤ b) nazywamy zbiór wszystkich liczb rzeczywistych, które są niemniejsze od a (czyli większe od a lub równe a) i jednocześnie nie większe od b (czyli mniejsze od b lub równe b).

- W przypadku, gdy oba końce przedziału liczbowego są liczbami, przedział liczbowy nazywa się przedziałem ograniczonym, w przeciwnym przypadku przedział liczbowy jest nieograniczony i nazywa się go przedziałem nieskończonym.