Przykład pierwszy Dana jest funkcja p, która każdej liczbie rzeczywistej dodatniej x przyporządkowuje pole trójkąta równobocznego o boku długości x. Podaj dziedzinę tej funkcji i zbiór wartości. Przedstaw ją za pomocą wzoru, grafu częściowego, częściowego zbioru par uporządkowanych, tabelki częściowej oraz wykresu. Rozwiązanie. Rysujemy rysunek pomocniczy, czyli trójkąt równoboczny o boku x. Zaczniemy od wyznaczenia dziedziny i zbioru wartości funkcji p. Dziedzina funkcji to zbiór wszystkich liczb rzeczywistych dodatnich. Zbiór wartości tej funkcji to również wszystkie dodatnie liczby rzeczywiste. Następnie zapisujemy funkcję p za pomocą wzoru p nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, początek ułamka, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, mianownik, cztery, koniec ułamka. Ponieważ dziedziną funkcji jest zbiór nieskończony, wykonamy graf częściowy dla funkcji p tylko dla wybranych pięciu elementów z dziedziny. Te elementy to kolejno: jeden, przecinek, dwa, przecinek, trzy, przecinek, cztery, przecinek, pięć. Graf częściowy rysujemy standardowo, jako dwie pionowe elipsy reprezentujący zbiory X oraz Y. Lewa elipsa przedstawia zbiór X, jest to wybrany przez nas fragment dziedziny funkcji p. Prawa elipsa to zbiór Y, w którym umieszczamy elementy ze zbioru wartości funkcji p odpowiadające danym argumentom ze zbioru X. Od elementów ze zbioru X prowadzimy strzałki z grotami umieszczonymi przy elementach ze zbioru Y, które im odpowiadają. Zbiór Y zawiera następujące elementy: początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, mianownik, cztery, koniec ułamka, przecinek, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, przecinek, początek ułamka, dziewięć pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, mianownik, cztery, koniec ułamka, przecinek, cztery pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, przecinek, początek ułamka, dwadzieścia pięć pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, mianownik, cztery, koniec ułamka. Pary powstałe w wyniku odwzorowaniu zbioru X w zbiór Y to kolejno: nawias, jeden, średnik, początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, mianownik, cztery, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, przecinek, nawias, dwa, średnik, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, zamknięcie nawiasu, przecinek, nawias, trzy, średnik, początek ułamka, dziewięć pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, mianownik, cztery, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, przecinek, nawias, cztery, średnik, cztery pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, zamknięcie nawiasu, przecinek, nawias, pięć, średnik, początek ułamka, dwadzieścia pięć pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, mianownik, cztery, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu. Zapisujemy teraz funkcję p w postaci częściowego zbioru par uporządkowanych: nawias klamrowy, nawias, jeden, średnik, początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, mianownik, cztery, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, przecinek, nawias, dwa, średnik, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, zamknięcie nawiasu, przecinek, nawias, trzy, średnik, początek ułamka, dziewięć pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, mianownik, cztery, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, przecinek, nawias, cztery, średnik, cztery pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, zamknięcie nawiasu, przecinek, nawias, pięć, średnik, początek ułamka, dwadzieścia pięć pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, mianownik, cztery, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, zamknięcie nawiasu klamrowego. Dziedziną funkcji jest zbiór nieskończony, dlatego wykonujemy tabelkę częściową tylko dla wybranych pięciu elementów z dziedziny. Tabela składa się z dwóch wierszy i sześciu kolumn. Pierwsza kolumna określa, co wpisujemy w następne kolumny w danym wierszu. Wiersz pierwszy to elementy x należące do dziedziny, wiersz drugi to wartości dla tych argumentów, czyli elementy zbioru wartości funkcji p określone jako p nawias, x, zamknięcie nawiasu. W wierszu pierwszym w kolejnych kolumnach mamy zapisane kolejno elementy: jeden, przecinek, dwa, przecinek, trzy, przecinek, cztery, przecinek, pięć. W wierszu drugim zapisujemy wartości odpowiadające danym argumentom, czyli kolejno zaczynając od drugiej kolumny mamy: początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, mianownik, cztery, koniec ułamka, przecinek, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, przecinek, początek ułamka, dziewięć pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, mianownik, cztery, koniec ułamka, przecinek, cztery pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, przecinek, początek ułamka, dwadzieścia pięć pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, mianownik, cztery, koniec ułamka. Na koniec funkcję p przedstawiamy za pomocą wykresu. Wykonujemy rysunek pomocniczy. Rysujemy układ współrzędnych, skupiając się głównie na pierwszej ćwiartce, gdyż zarówno dziedzina, jak i zbiór wartości funkcji to liczby rzeczywiste dodatnie. Przykładowy rysunek: Rysujemy układ współrzędnych z poziomą osią X od zera do siedmiu i pionową osią Y od zera do jedenastu. Zaznaczamy szacunkowo punkty: nawias, jeden, średnik, początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, mianownik, cztery, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, przecinek, nawias, dwa, średnik, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, zamknięcie nawiasu, przecinek, nawias, trzy, średnik, początek ułamka, dziewięć pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, mianownik, cztery, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, przecinek, nawias, cztery, średnik, cztery pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, zamknięcie nawiasu, przecinek, nawias, pięć, średnik, początek ułamka, dwadzieścia pięć pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, mianownik, cztery, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu oraz punkt nawias, zero, średnik, zero, zamknięcie nawiasu, który nie należy do wykresu, ale jest jego początkiem. Przeprowadzamy linię przez punkty, która jest prawym, skierowanym do góry ramieniem paraboli. Przykład drugi Samochód osobowy porusza się ruchem jednostajnym ze stałą prędkością sześćdziesiąt początek ułamka, km, mianownik, h, koniec ułamka. Przedstaw za pomocą wzoru, grafu częściowego, tabelki częściowej, częściowego zbioru uporządkowanych par, wykresu długości drogi s, jaką pokonał samochód w zależności od czasu t trwania tego ruchu. Rozwiązanie. Zaczniemy od wyznaczania dziedziny i zbioru wartości funkcji, opisującej zależność drogi od czasu. Zauważmy, że oba te zbiory to liczby rzeczywiste dodatnie, gdyż czas i odległość nie mogą być liczbami ujemnymi. Punkt początkowy (czyli wartość zero dla obu parametrów pomijamy). Następie zapisujemy funkcję za pomocą wzoru, gdzie s nawias, t, zamknięcie nawiasu, równa się, sześćdziesiąt, razy, t, gdy t, większy niż, zero, przy czym t to czas trwania ruchu liczony w godzinach. Pamiętając, że dziedzina jest zbiorem nieskończonym, do wykonania grafu, wybieramy dziewięć punktów z dziedziny. Te elementy to kolejno: zero przecinek pięć, średnik, jeden, średnik, jeden przecinek pięć, średnik, dwa, średnik, dwa przecinek pięć, średnik, trzy, średnik, trzy przecinek pięć, średnik, cztery, średnik, cztery przecinek pięć. Graf częściowy rysujemy standardowo, jako dwie pionowe elipsy reprezentujący zbiory X oraz Y. Lewa elipsa przedstawia zbiór X, jest to wybrany przez nas fragment dziedziny funkcji s. Prawa elipsa to zbiór Y, w którym umieszczamy elementy ze zbioru wartości funkcji s odpowiadające danym argumentom ze zbioru X. Od elementów ze zbioru X prowadzimy strzałki z grotami umieszczonymi przy elementach ze zbioru Y, które im odpowiadają. Zbiór Y zawiera następujące elementy: trzydzieści, średnik, sześćdziesiąt, średnik, dziewięćdziesiąt, średnik, sto dwadzieścia, średnik, sto pięćdziesiąt, średnik, sto osiemdziesiąt, średnik, dwieście dziesięć, średnik, dwieście czterdzieści, średnik, dwieście siedemdziesiąt. Pary powstałe w wyniku odwzorowaniu zbioru X w zbiór Y to kolejno: nawias, zero przecinek pięć, średnik, trzydzieści, zamknięcie nawiasu, przecinek, nawias, jeden, średnik, sześćdziesiąt, zamknięcie nawiasu, przecinek, nawias, jeden przecinek pięć, średnik, dziewięćdziesiąt, zamknięcie nawiasu, przecinek, nawias, dwa, średnik, sto dwadzieścia, zamknięcie nawiasu, przecinek, nawias, dwa przecinek pięć, średnik, sto pięćdziesiąt, zamknięcie nawiasu, przecinek, nawias, trzy, średnik, sto osiemdziesiąt, zamknięcie nawiasu, przecinek, nawias, trzy przecinek pięć, średnik, dwieście dziesięć, zamknięcie nawiasu, przecinek, nawias, cztery, średnik, dwieście czterdzieści, zamknięcie nawiasu, przecinek, nawias, cztery przecinek pięć, średnik, dwieście siedemdziesiąt, zamknięcie nawiasu. Dziedziną funkcji jest zbiór nieskończony, dlatego wykonujemy tabelkę częściową tylko dla wybranych pięciu elementów z dziedziny. Tabela składa się z dwóch wierszy i sześciu kolumn. Pierwsza kolumna określa, co wpisujemy w następne kolumny w danym wierszu. Wiersz pierwszy to elementy x należące do dziedziny, wiersz drugi to wartości dla tych argumentów, czyli elementy zbioru wartości funkcji s określone jako s nawias, t, zamknięcie nawiasu. W wierszu pierwszym w kolejnych kolumnach mamy zapisane kolejno elementy: zero przecinek pięć, średnik, jeden, średnik, jeden przecinek pięć, średnik, dwa, średnik, dwa przecinek pięć, średnik, trzy, średnik, trzy przecinek pięć, średnik, cztery, średnik, cztery przecinek pięć. W wierszu drugim zapisujemy wartości odpowiadające danym argumentom, czyli kolejno zaczynając od drugiej kolumny mamy: trzydzieści, średnik, sześćdziesiąt, średnik, dziewięćdziesiąt, średnik, sto dwadzieścia, średnik, sto pięćdziesiąt, średnik, sto osiemdziesiąt, średnik, dwieście dziesięć, średnik, dwieście czterdzieści, średnik, dwieście siedemdziesiąt. Zapisujemy teraz funkcję p w postaci częściowego zbioru par uporządkowanych: nawias klamrowy, nawias, zero przecinek pięć, średnik, trzydzieści, zamknięcie nawiasu, przecinek, nawias, jeden, średnik, sześćdziesiąt, zamknięcie nawiasu, przecinek, nawias, jeden przecinek pięć, średnik, dziewięćdziesiąt, zamknięcie nawiasu, przecinek, nawias, dwa, średnik, sto dwadzieścia, zamknięcie nawiasu, przecinek, nawias, dwa przecinek pięć, średnik, sto pięćdziesiąt, zamknięcie nawiasu, przecinek, nawias, trzy, średnik, sto osiemdziesiąt, zamknięcie nawiasu, przecinek, nawias, trzy przecinek pięć, średnik, dwieście dziesięć, zamknięcie nawiasu, przecinek, nawias, cztery, średnik, dwieście czterdzieści, zamknięcie nawiasu, przecinek, nawias, cztery przecinek pięć, średnik, dwieście siedemdziesiąt, zamknięcie nawiasu, zamknięcie nawiasu klamrowego. Na koniec przedstawiamy funkcję drogi od czasu za pomocą wykresu. Wykonujemy rysunek pomocniczy. Rysujemy układ współrzędnych, skupiając się głównie na pierwszej ćwiartce, gdyż zarówno dziedzina, jak i zbiór wartości funkcji to liczby rzeczywiste dodatnie. Przykładowy rysunek: Rysujemy układ współrzędnych z poziomą osią opisaną jako t nawias kwadratowy, h, zamknięcie nawiasu kwadratowego od zera do sześciu i pionową osią opisaną jako s nawias kwadratowy, km, zamknięcie nawiasu kwadratowego od zera do dwustu siedemdziesięciu. Zaznaczamy kolejne punkty: nawias, zero przecinek pięć, średnik, trzydzieści, zamknięcie nawiasu, przecinek, nawias, jeden, średnik, sześćdziesiąt, zamknięcie nawiasu, przecinek, nawias, jeden przecinek pięć, średnik, dziewięćdziesiąt, zamknięcie nawiasu, przecinek, nawias, dwa, średnik, sto dwadzieścia, zamknięcie nawiasu, przecinek, nawias, dwa przecinek pięć, średnik, sto pięćdziesiąt, zamknięcie nawiasu, przecinek, nawias, trzy, średnik, sto osiemdziesiąt, zamknięcie nawiasu, przecinek, nawias, trzy przecinek pięć, średnik, dwieście dziesięć, zamknięcie nawiasu, przecinek, nawias, cztery, średnik, dwieście czterdzieści, zamknięcie nawiasu, przecinek, nawias, cztery przecinek pięć, średnik, dwieście siedemdziesiąt, zamknięcie nawiasu oraz punkt nawias, zero, średnik, zero, zamknięcie nawiasu, który nie należy do wykresu, ale jest jego początkiem. Przeprowadzamy linię przez punkty, która jest fragmentem prostej.