Animacja

Polecenie 1

Zapoznaj się z animacją prezentującą wyznaczanie punktów wspólnych dwóch okręgów, a następnie rozwiąż polecenia.

ROwvDBFk7p40A

Film dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/a/D1BOWuQR5

Film nawiązujący do treści materiału dotyczący punktów wspólnych dwóch okręgów.

Polecenie 2

Sprawdź, czy okręgi o równaniach ${(x - 1)}^{2} + {(y - 4)}^{2} = 81$ i ${(x - 6)}^{2} + (y + 8)^{2} = 25$ przecinają się.

Aby okręgi się przecinały musi być spełniony warunek $|r_{1} - r_{2}| < |O_{1} O_{2}| < r_{1} + r_{2}$ .

Okrąg o równaniu ${(x - 1)}^{2} + {(y - 4)}^{2} = 81$ ma środek w punkcie $O_{1} = (1, 4)$ i promień $r_{1} = 9$ .

Okrąg o równaniu ${(x - 6)}^{2} + {(y + 8)}^{2} = 25$ ma środek w punkcie $O_{2} = (6, - 8)$ i promień $r_{2} = 5$ .

Ponieważ

$|O_{1} O_{2}|$ $= \sqrt{{(6 - 1)}^{2} + {(- 8 - 4)}^{2}} = \sqrt{{(5)}^{2} + {(- 12)}^{2}} = \sqrt{169} = 13$

i $r_{1} = 9$ , $r_{2} = 5$ , to spełniony jest warunek $|r_{1} - r_{2}| < |O_{1} O_{2}| < r_{1} + r_{2}$ , bo $9 - 5 < 13 < 9 + 5$ . Zatem okręgi się przecinają.

Polecenie 3

Okręgi o równaniach $x^{2} + {(y - 1)}^{2} = 16$ i $x^{2} + {(y + 4)}^{2} = 9$ przecinają się. Oblicz współrzędne punktów przecięcia tych okręgów.

Aby znaleźć punkty przecięcia okręgów rozwiązujemy układ równań:

$\{\begin{cases} x^{2} + {(y - 1)}^{2} = 16 (1) \\ x^{2} + {(y + 4)}^{2} = 9 (2) \end{cases}$ .

W tym celu odejmujemy stronami od równania $(1)$ równanie $(2)$ i otrzymujemy ${(y - 1)}^{2} - {(y + 4)}^{2} = 7$ .

Po przekształceniach:

$y^{2} - 2 y + 1 - (y^{2} + 8 y + 16) = 7$

$y^{2} - 2 y + 1 - y^{2} - 8 y - 16 = 7$

$- 10 y - 15 = 7$

otrzymujemy: $10 y = - 22$ ,

stąd: $y = - \frac{11}{5}$ .

Podstawiając $y = - \frac{11}{5}$ do pierwszego równania otrzymujemy:

$x^{2} + {(- \frac{11}{5} - 1)}^{2} = 16$

$x^{2} = \frac{144}{25}$ ,

stąd

$x_{1} = \frac{12}{5}$ , $x_{2} = - \frac{12}{5}$ .

Punkty przecięcia tych okręgów to: $(\frac{12}{5}; - \frac{11}{5})$ lub $(- \frac{12}{5}; - \frac{11}{5})$ .

Przeczytaj

Sprawdź się