W tym materiale wykorzystamy definicję kąta między prostą i płaszczyzną. Przeanalizujemy zadania dotyczące kątów, jakie możemy wykreślić w stożku pomiędzy jego płaszczyzną podstawy a odpowiednim odcinkiem.
Zapoznaj się z apletem Geogebry, który przedstawia najbardziej charakterystyczne kąty w stożku.
Rlq4k5eWu4oIC
Zwróć uwagę, że do zaznaczenia kątów pomiędzy tworzącymi stożka a płaszczyzną podstawy wystarczy wykreślić przekrój osiowy stożkaprzekrój osiowy stożkaprzekrój osiowy stożka. Spostrzeżenie to pomoże nam zaplanować strategię rozwiązania zadania.
Przykład 1
Pole powierzchni przekroju osiowego stożka wynosi . Kąt między tworzącą stożka a płaszczyzną podstawy stożkakąt pomiędzy prostą i płaszczyznąKąt między tworzącą stożka a płaszczyzną podstawy stożka ma miarę . Obliczmy objętość stożka.
Rozwiązanie
Wykreślmy przekrój osiowy stożka i przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku.
RZwtntA003Cbi
- długość wysokości stożka - długość tworzącej stożka - długość średnicy podstawy stożka - miara kąta nachylenia tworzącej stożka do płaszczyzny podstawy stożka
Z warunków zadania mamy układ zależności: .
Stąd , zatem .
Stąd wynika, że i .
Objętość stożka obliczamy ze wzoru , zatem .
Przykład 2
Trójkąt równoramienny o bokach długości , , jest przekrojem osiowym stożka. Wyznaczmy miarę kąta nachylenia tworzącej stożka do płaszczyzny podstawy stożka.
Rozwiązanie
Wykreślmy przekrój osiowy stożka i przyjmijmy oznaczenia.
Rest6PKL81MI1
- długość średnicy podstawy stożka - długość tworzącej stożka - miara kąta pomiędzy tworzącą stożka i płaszczyzną podstawy stożka
Zauważmy, że , stąd mamy .
Przykład 3
Długość tworzącej stożka jest o dłuższa od długości średnicy podstawy stożka. Tworząca stożka tworzy z płaszczyzną podstawy stożka kąt , taki, że . Obliczmy pole powierzchni bocznej stożka.
Rozwiązanie
Wykreślamy przekrój osiowy stożka i przyjmujemy oznaczenia.
RW0mHLgBsU4RD
- długość tworzącej stożka - długość promienia podstawy stożka - kąt pomiędzy tworzącą stożka i płaszczyzną podstawy stożka
Z warunków zadania mamy układ zależności: i .
Korzystając z zależności , wyznaczymy wartość .
Mamy zatem . Wiedząc, że kąt jest kątem ostrym otrzymujemy .
Podstawiając do naszego układu warunków otrzymujemy zależność: , stąd , a stąd wynika, że i .
Pole powierzchni bocznej stożka wynosi .
Przykład 4
Na wspólnej podstawie zbudowano dwa stożki (jeden wewnątrz drugiego). Kąt pomiędzy tworzącą „niższego” stożka i płaszczyzną podstawy ma miarę , a kąt pomiędzy tworzącą „wyższego” stożka i płaszczyzną podstawy ma miarę . Różnica wysokości stożków jest równa . Wyznaczmy objętość bryły zawartej pomiędzy powierzchniami bocznymi tych stożków.
Rozwiązanie
Wykreślmy przekrój osiowy tak zbudowanych stożków i przyjmijmy oznaczenia.
Ra50kDzU8fwst
- długość wysokości „niższego” stożka - długość wysokości „wyższego” stożka - długość promienia podstawy stożka
Objętość części zawartej pomiędzy powierzchniami bocznymi stożka obliczymy jako różnicę objętości odpowiednio stożka „wyższego” i „niższego”. Mamy zatem:
Wystarczy zatem wyznaczyć długość promienia podstawy stożka.
Zauważmy, że z trójkąta mamy zależność , stąd i z trójkąta mamy zależność , stąd .
Z warunków zadania wiemy, że , zatem .
Stąd , zatem .
Szukana objętość wyraża się zatem wzorem .
Przykład 5
Stosunek pola powierzchni całkowitej stożka do pola powierzchni bocznej stożka jest równy . Wyznaczmy miarę kąta nachylenia tworzącej stożka do płaszczyzny podstawy.
Rozwiązanie
Wykreślmy przekrój osiowy stożka i przyjmijmy oznaczenia.
RLuEAbzGMrSNV
- długość tworzącej stożka - długość promienia podstawy stożka - miara kąta pomiędzy tworzącą stożka i płaszczyzną podstawy stożka