Pole powierzchni przekroju osiowego stożka wynosi $80 {\mathrm{cm}}^2$. Kąt między tworzącą stożka a płaszczyzną podstawy stożkakąt pomiędzy prostą i płaszczyznąKąt między tworzącą stożka a płaszczyzną podstawy stożka ma miarę $\alpha$. Obliczmy objętość stożka.

Rozwiązanie

Wykreślmy przekrój osiowy stożka i przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku.

RZwtntA003Cbi

Ilustracja przedstawia przekrój osiowy stożka, trójkąt równoramienny ASB. Z wierzchołka S poprowadzona jest wysokość padająca na środek krawędzi podstawy AB w punkcie O. Ma ona długość H. Ponadto boki oznaczono literą l, a odcinek OB literą r. Zaznaczono również kąt wewnętrzy między tworzącą a płaszczyzną podstawy o mierze $\alpha$.

$H=\left|OS\right|$ - długość wysokości stożka
$l=\left|BS\right|$ - długość tworzącej stożka
$2r=\left|AB\right|$ - długość średnicy podstawy stożka
$\left|\sphericalangle ABS\right|=\alpha$ - miara kąta nachylenia tworzącej stożka do płaszczyzny podstawy stożka

Z warunków zadania mamy układ zależności: $\frac{1}{2}·2r·H=80 \mathrm{i} \frac{H}{r}=tg\alpha$.

Stąd $H=r·tg\alpha$, zatem $r·r·tg\alpha =80$.

Stąd wynika, że $r=\sqrt{\frac{80}{tg\alpha }}=\frac{4\sqrt{5}}{\sqrt{tg\alpha }}$ i $H=\frac{4\sqrt{5}}{\sqrt{tg\alpha }}·tg\alpha =4\sqrt{5tg\alpha }$.

Objętość stożka obliczamy ze wzoru $V=\frac{1}{3}\pi r^{2}H$, zatem $V=\frac{1}{3}\pi ·\frac{80}{tg\alpha }·4\sqrt{5tg\alpha }=\frac{320\sqrt{5tg\alpha }}{3tg\alpha }\pi {\mathrm{cm}}^3$.

Trójkąt równoramienny o bokach długości $a$, $a$, $a\sqrt{3}$ jest przekrojem osiowym stożka. Wyznaczmy miarę kąta nachylenia tworzącej stożka do płaszczyzny podstawy stożka.

Rozwiązanie

Wykreślmy przekrój osiowy stożka i przyjmijmy oznaczenia.

Rest6PKL81MI1

Ilustracja przedstawia przekrój osiowy stożka, trójkąt równoramienny ASB. Z wierzchołka S poprowadzona jest wysokość padająca na środek krawędzi podstawy AB w punkcie O. Ma ona długość H. Ponadto boki trójkąta mają długość a, a krawędź podstawy $a\sqrt{3}$. Zaznaczono również kąt wewnętrzy między tworzącą a płaszczyzną podstawy o mierze $\alpha$.

$\left|AB\right|=a\sqrt{3}$ - długość średnicy podstawy stożka
$\left|BS\right|=a$ - długość tworzącej stożka
$\left|\sphericalangle ABS\right|=\alpha$ - miara kąta pomiędzy tworzącą stożka i płaszczyzną podstawy stożka

Zauważmy, że $\cos \alpha =\frac{\left|OB\right|}{\left|BS\right|}=\frac{\frac{1}{2}a\sqrt{3}}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}$, stąd mamy $\alpha =30°$.

Długość tworzącej stożka jest o $4 \mathrm{cm}$ dłuższa od długości średnicy podstawy stożka. Tworząca stożka tworzy z płaszczyzną podstawy stożka kąt $\alpha$, taki, że $\sin \alpha =\frac{\sqrt{55}}{8}$. Obliczmy pole powierzchni bocznej stożka.

Rozwiązanie

Wykreślamy przekrój osiowy stożka i przyjmujemy oznaczenia.

RW0mHLgBsU4RD

Ilustracja przedstawia przekrój osiowy stożka, trójkąt równoramienny ASB. Z wierzchołka S poprowadzona jest wysokość padająca na środek krawędzi podstawy AB w punkcie O. Ma ona długość H. Ponadto boki oznaczono literą l, a odcinek OB literą r. Zaznaczono również kąt wewnętrzy między tworzącą a płaszczyzną podstawy o mierze $\alpha$.

$\left|BS\right|=l$ - długość tworzącej stożka
$\left|BO\right|=r$ - długość promienia podstawy stożka
$\left|\sphericalangle ABS\right|=\alpha$ - kąt pomiędzy tworzącą stożka i płaszczyzną podstawy stożka

Z warunków zadania mamy układ zależności: $l=2r+4$ i $\cos \alpha =\frac{r}{l}$.

Korzystając z zależności ${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$, wyznaczymy wartość $\cos \alpha$.

Mamy zatem ${\left(\frac{\sqrt{55}}{8}\right)}^2+{\cos }^2\alpha =1$. Wiedząc, że kąt $\alpha$ jest kątem ostrym otrzymujemy $\cos \alpha =\frac{3}{8}$.

Podstawiając do naszego układu warunków otrzymujemy zależność: $\frac{3}{8}=\frac{r}{2r+4}$, stąd $3\left(2r+4\right)=8r$, a stąd wynika, że $r=6$ i $l=16$.

Pole powierzchni bocznej stożka wynosi $P_b=\pi rl=\pi ·6·16=96\pi {\mathrm{cm}}^2$.

Na wspólnej podstawie zbudowano dwa stożki (jeden wewnątrz drugiego). Kąt pomiędzy tworzącą „niższego” stożka i płaszczyzną podstawy ma miarę $\alpha$, a kąt pomiędzy tworzącą „wyższego” stożka i płaszczyzną podstawy ma miarę $\beta$. Różnica wysokości stożków jest równa $a$. Wyznaczmy objętość bryły zawartej pomiędzy powierzchniami bocznymi tych stożków.

Rozwiązanie

Wykreślmy przekrój osiowy tak zbudowanych stożków i przyjmijmy oznaczenia.

Ra50kDzU8fwst

Ilustracja przedstawia przekrój osiowy dwóch stożków o tej samej podstawie, niższy trójkąt równoramienny A B S indeks dolny jeden koniec indeksu oraz wyższy trójkąt A B S indeks dolny dwa koniec indeksu. Z wierzchołka S indeks dolny 2 koniec indeksu poprowadzona jest wysokość przechodząca przez wierzchołek S indeks dolny jeden koniec indeksu padająca na środek krawędzi podstawy A B w punkcie O. Różnica wysokości obu trójkątów ma długość a. Odcinek O B oznaczono literą r. Zaznaczono również dwa kąty wewnętrze, pierwszy między tworzącą S indeks dolny jeden koniec indeksu a płaszczyzną podstawy O B  o mierze $\alpha$ oraz drugi między tworzącą S indeks dolny dwa koniec indeksu a płaszczyzną podstawy O B  o mierze beta.

$\left|O{S}_1\right|$ - długość wysokości „niższego” stożka
$\left|O{S}_2\right|$ - długość wysokości „wyższego” stożka
$\left|OB\right|=r$ - długość promienia podstawy stożka

Objętość części zawartej pomiędzy powierzchniami bocznymi stożka obliczymy jako różnicę objętości odpowiednio stożka „wyższego” i „niższego”. Mamy zatem:
$V=\frac{1}{3}\pi r^2·\left|O{S}_2\right|-\frac{1}{3}\pi r^2·\left|O{S}_1\right|=\frac{1}{3}\pi r^2·\left(\left|O{S}_2\right|-\left|O{S}_1\right|\right)=\frac{1}{3}\pi r^2·a$

Wystarczy zatem wyznaczyć długość promienia podstawy stożka.

Zauważmy, że z trójkąta $OB{S}_1$ mamy zależność $tg\alpha =\frac{\left|O{S}_1\right|}{r}$, stąd $\left|O{S}_1\right|=r·tg\alpha$ i z trójkąta $OB{S}_2$ mamy zależność $tg\beta =\frac{\left|O{S}_2\right|}{r}$, stąd $\left|O{S}_2\right|=r·tg\beta$.

Z warunków zadania wiemy, że $a=\left|O{S}_2\right|-\left|O{S}_1\right|$, zatem $a=r·tg\beta -r·tg\alpha$.

Stąd $a=r\left(tg\beta -tg\alpha \right)$, zatem $r=\frac{a}{tg\beta -tg\alpha }$.

Szukana objętość wyraża się zatem wzorem $V=\frac{1}{3}\pi ·{\left(\frac{a}{tg\beta -tg\alpha }\right)}^2·a=\frac{a^3\pi }{3{\left(tg\beta -tg\alpha \right)}^2}$.

Stosunek pola powierzchni całkowitej stożka do pola powierzchni bocznej stożka jest równy $\frac{\sqrt{3}+2}{2}$. Wyznaczmy miarę kąta nachylenia tworzącej stożka do płaszczyzny podstawy.

Rozwiązanie

Wykreślmy przekrój osiowy stożka i przyjmijmy oznaczenia.

RLuEAbzGMrSNV

Ilustracja przedstawia przekrój osiowy stożka, trójkąt równoramienny ASB. Z wierzchołka S poprowadzona jest wysokość padająca na środek krawędzi podstawy AB w punkcie O. Ma ona długość H. Ponadto boki oznaczono literą l, a odcinek OB literą r. Zaznaczono również kąt wewnętrzy między tworzącą a płaszczyzną podstawy o mierze $\alpha$.

$\left|BS\right|=l$ - długość tworzącej stożka
$\left|BO\right|=r$ - długość promienia podstawy stożka
$\left|\sphericalangle ABS\right|=\alpha$ - miara kąta pomiędzy tworzącą stożka i płaszczyzną podstawy stożka

Z warunków zadania mamy: $\frac{P_c}{P_b}=\frac{\pi r\left(r+l\right)}{\pi rl}=\frac{r+l}{r}=\frac{r}{l}+1$.

Zauważmy, że $\frac{r}{l}=\cos \alpha$, zatem $\frac{r}{l}+1=\frac{\sqrt{3}+2}{2}$, stąd $\frac{r}{l}=\frac{\sqrt{3}+2}{2}-1$.

Stąd wynika, że $\cos \alpha =\frac{\sqrt{3}}{2}$, zatem $\alpha =30°$.

przekrój stożka płaszczyzną zawierającą oś obrotu stożka; przekrój osiowy stożka jest trójkątem równoramiennym

kąt między prostą a jej rzutem prostopadłym na płaszczyznę