Wykreślmy rysunek pomocniczy. Wycinek koła przedstawia powierzchnię boczną stożka.

RZHFmx6p2xrgK

Ilustracja przedstawia powierzchnię boczną stożka po rozwinięciu będącą wycinkiem koła oraz przekrój osiowy stożka będący trójkątem równoramiennym A B S. Wycinek koła o promieniu o długości l i długości łuku dwa pi r posiada zaznaczony kąt przy wierzchołku S, pomiędzy dwoma promieniami wycina. Kąt ten wynosi sto dwadzieścia stopni. W trójkącie równoramiennym z wierzchołka S poprowadzona jest wysokość padająca na środek krawędzi podstawy A B w punkcie O. Ma ona długość H. Ponadto boki oznaczono literą l, a odcinek O B literą r. Zaznaczono również kąt wewnętrzy między tworzącą a płaszczyzną podstawy o mierze $\alpha$.

Przyjmijmy oznaczenia:
$\left|BS\right|=l$ - długość tworzącej stożka
$\left|BO\right|=r$ - długość promienia podstawy stożka;
$\left|\sphericalangle ABS\right|=\alpha$ - miara kąta pomiędzy tworzącą stożka i płaszczyzną podstawy stożka

Zauważmy, że $\cos \alpha =\frac{r}{l}$. Ponadto powierzchnia boczna stożka stanowi $\frac{1}{3}$ powierzchni koła o promieniu długości odpowiadającej długości tworzącej stożka.

Zatem $\pi rl=\frac{1}{3}\pi l^2$, stąd $r=\frac{1}{3}l$, zatem $\cos \alpha =\frac{\frac{1}{3}l}{l}=\frac{1}{3}$.

Wykreślmy przekrój osiowy stożka oraz wycinek kołowy, z którego stożek został zwinięty. Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku.

R1VpWEMGL5FVN

Ilustracja przedstawia powierzchnię boczną stożka po rozwinięciu będącą wycinkiem koła oraz przekrój osiowy stożka będący trójkątem równoramiennym A B S. Wycinek koła o promieniu o długości l i długości łuku dwa pi r posiada zaznaczony kąt przy wierzchołku S, pomiędzy dwoma promieniami wycina. Kąt ten został oznaczony jako alfa. W trójkącie równoramiennym z wierzchołka S poprowadzona jest wysokość padająca na środek krawędzi podstawy A B w punkcie O. Ma ona długość H. Ponadto boki oznaczono literą l, a odcinek O B literą r. Zaznaczono również kąt wewnętrzy między tworzącą a płaszczyzną podstawy o mierze beta.

Zauważmy, że $\cos \beta =\frac{r}{l}$.

Zadanie rozwiążemy dwoma metodami.

I metoda

Wiemy, że długość łuku wycinka koła o promieniu długości $l$ i kącie środkowym $\alpha$ wyrażamy wzorem $2\pi l·\frac{\alpha }{360°}$, zatem $2\pi r=2\pi l·\frac{\alpha }{360°}$, stąd wynika $r=l·\frac{\alpha }{360°}$.

Z zależności $\cos \beta =\frac{r}{l}$ otrzymujemy $\cos \beta =\frac{l·\frac{\alpha }{360°}}{l}$, stąd $\cos \beta =\frac{\alpha }{360°}$.

II metoda

Wiemy, że pole wycinka koła o promieniu $l$ i kącie środkowym wyrażamy wzorem $\pi l^2·\frac{\alpha }{360°}$, pole to odpowiada polu powierzchni bocznej zwiniętego stożka, zatem $\pi rl=\pi l^2·\frac{\alpha }{360°}$, stąd $r=l·\frac{\alpha }{360°}$.

Z zależności $\cos \beta =\frac{r}{l}$ otrzymujemy $\cos \beta =\frac{l·\frac{\alpha }{360°}}{l}$, stąd $\cos \beta =\frac{\alpha }{360°}$.