Sprawdź się

Pokaż ćwiczenia:

Ćwiczenie 1

Na rysunku wykreślono przekrój osiowy stożka. Przeciągnij poprawną odpowiedź.

RbPXA45CGD8Cg

Ilustracja przedstawia przekrój osiowy stożka, trójkąt równoramienny A B S. Z wierzchołka S poprowadzona jest wysokość padająca na środek krawędzi podstawy AB w punkcie O. Ma ona długość H. Ponadto boki oznaczono literą l, a odcinek OB literą r.

RNHmhwMyAV7Sa

$∢ A S B$ , $∢ O S B$ , $∢ B A S$

Kąt nachylenia tworzącej stożka do płaszczyzny podstawy to kąt .............

Ćwiczenie 2

Uzupełnij zdanie.

RamqQXWqbBQjF

Ilustracja przedstawia przekrój osiowy stożka, trójkąt równoramienny A B S . Zaznaczono kąt rozwarcia stożka przy wierzchołku S między dwoma tworzącymi stożka o mierze stu czterdziestu ośmiu stopni.

ROCclYeglCRJK

Jeżeli kąt rozwarcia stożka jest równy $148 °$ , to kąt nachylenia tworzącej stożka do płaszczyzny podstawy wynosi: ............ $°$ .

R1VYpJAW15uu62

Ćwiczenie 3

Pole powierzchni bocznej stożka jest dwa razy większe od pola powierzchni jego podstawy. Zaznacz poprawne odpowiedzi (możliwa jest więcej niż jedna poprawna odpowiedź):

Miara kąta nachylenia tworzącej stożka do płaszczyzny podstawy jest dwa razy mniejsza od miary kąta rozwarcia stożka.
Miara kąta nachylenia tworzącej stożka do płaszczyzny podstawy jest równa mierze kąta rozwarcie stożka.
Sinus kąta nachylenia tworzącej stożka do płaszczyzny podstawy wynosi $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .
Miara kąta nachylenia tworzącej stożka do płaszczyzny podstawy jest większa od kąta rozwarcia stożka.

Ćwiczenie 4

Na rysunku wykreślono wycinek koła, z którego zwinięto stożek o kącie nachylenia tworzącej stożka do płaszczyzny podstawy miary $α$ .

R11qc62EzrkZQ

Ilustracja przedstawia wycinek koła o długości promienia równej dwadzieścia cztery. Kąt przy wierzchołku S utworzony pomiędzy dwoma promieniami wycinka wynosi sto pięćdziesiąt stopni.

RbPHW9x2bqcj9

Ćwiczenie 5

Tworząca stożka ma długość $10 cm$ i jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem $45^{\circ}$ . Oblicz pole powierzchni bocznej stożka.

Wykreślmy przekrój osiowy stożka.

REpUCqEQJQnwo

Ilustracja przedstawia przekrój osiowy stożka, trójkąt równoramienny A B S. Zaznaczono kąt wewnętrzy przy wierzchołku B między tworzącą a płaszczyzną podstawy o mierze 45 stopni.

Zauważmy, że przekrój osiowy stożka jest trójkątem prostokątnym równoramiennym, zatem $|A S| = |B S| = 10$ i $|A B| = 10 \sqrt{2}$ , stąd wynika, że długość promienia podstawy stożka wynosi $r = 5 \sqrt{2}$ . Pole powierzchni bocznej stożka ma wartość $P_{b} = π r l = π \cdot 10 \sqrt{2} \cdot 10 = 100 \sqrt{2} π {cm}^{2}$ .

Ćwiczenie 6

Przekrojem osiowym stożka jest trójkąt równoramienny o polu powierzchni równym $25 \sqrt{15} {cm}^{2}$ . Cosinus kąta nachylenia tworzącej stożka do płaszczyzny podstawy wynosi $\frac{1}{4}$ . Wyznacz pole powierzchni całkowitej stożka.

Wykreślmy przekrój osiowy stożka.

RkhigNALBVGFJ

Ilustracja przedstawia przekrój osiowy stożka, trójkąt równoramienny ASB. Z wierzchołka S poprowadzona jest wysokość padająca na środek krawędzi podstawy AB w punkcie O. Ma ona długość H. Ponadto boki oznaczono literą l, a odcinek OB literą r. Zaznaczono również kąt wewnętrzy między tworzącą a płaszczyzną podstawy o mierze α.

Z warunków zadania mamy $\cos α = \frac{1}{4}$ , zatem $\frac{r}{l} = \frac{1}{4}$ , stąd $l = 4 r$ .

Pole przekroju osiowego wyznaczmy ze wzoru $P = \frac{1}{2} \cdot 2 r \cdot l \cdot \sin α$ .

Korzystając z zależności $\sin^{2} α + \cos^{2} α = 1$ , otrzymujemy $\sin α = \frac{\sqrt{15}}{4}$ .

Zatem $\frac{1}{2} \cdot 2 r \cdot 4 r \cdot \frac{\sqrt{15}}{4} = 25 \sqrt{15}$ , stąd $r = 5$ i $l = 20$ .

Pole powierzchni całkowitej stożka obliczymy ze wzoru $P_{c} = π r (r + l)$ , stąd $P_{c} = 125 π {cm}^{2}$ .

Ćwiczenie 7

Pole powierzchni bocznej stożka jest cztery razy większe od pola powierzchni przekroju osiowego stożka. Wyznacz sinus kąta nachylenia tworzącej stożka do płaszczyzny podstawy. W obliczeniach przyjmij $π \approx \frac{22}{7}$ .

Wykreślamy przekrój osiowy stożka.

R4fmh1OkxRTWg

Z warunków zadania mamy zależność $π r l = 4 \cdot \frac{1}{2} \cdot 2 r \cdot H$ . Przyjmując $π \approx \frac{22}{7}$ , otrzymujemy zależność $\frac{22}{7} l = 4 H$ , stąd $\frac{H}{l} = \frac{11}{14}$ , zatem $\sin α = \frac{11}{14}$ .

Ćwiczenie 8

Na wspólnej podstawie zbudowano dwa stożki (jeden wewnątrz drugiego). Kąt pomiędzy tworzącą „niższego” stożka i płaszczyzną podstawy ma miarę $α$ , a kąt pomiędzy tworzącą „wyższego” stożka i płaszczyzną podstawy ma miarę $2 α$ . Długość wysokości „niższego” stożka wynosi $b$ . Wyznacz stosunek objętości „wyższego” stożka do objętości „niższego” stożka.

Wykreślmy przekrój osiowy opisanych stożków.

RFlOX84Yhrzzv

Ilustracja przedstawia przekrój osiowy dwóch stożków o tej samej podstawie, niższy trójkąt równoramienny A B S indeks dolny jeden koniec indeksu oraz wyższy trójkąt A B S indeks dolny dwa koniec indeksu. Z wierzchołka S indeks dolny 2 koniec indeksu poprowadzona jest wysokość przechodząca przez wierzchołek S indeks dolny jeden koniec indeksu padająca na środek krawędzi podstawy A B w punkcie O. Wysokość mniejszego trójkąta ma długość b. Odcinek O B oznaczono literą r. Zaznaczono również dwa kąty wewnętrze, pierwszy między tworzącą S indeks dolny jeden koniec indeksu a płaszczyzną podstawy O B o mierze α oraz drugi między tworzącą S indeks dolny dwa koniec indeksu a płaszczyzną podstawy O B o mierze dwa alfa.

Stosunek objętości odpowiednio „wyższego” stożka do objętości „niższego” stożka wyznaczymy ze wzoru $\frac{V_{S w}}{V_{S m}} = \frac{\frac{1}{3} π r^{2} \cdot |O S_{2}|}{\frac{1}{3} π r^{2} \cdot |O S_{1}|} = \frac{|O S_{2}|}{b}$ .

Zauważmy, że z trójkąta $O B S_{2}$ mamy zależność $tg 2 α = \frac{|O S_{2}|}{r}$ , stąd $|O S_{2}| = r tg 2 α$ , natomiast z trójkąta $O B S_{1}$ mamy $tg α = \frac{b}{r}$ , stąd $r = \frac{b}{tg α}$ .

Odpowiednio podstawiając otrzymujemy $|O S_{2}| = \frac{b \cdot tg 2 α}{tg α}$ .

Wynika stąd, że $\frac{V_{S w}}{V_{S m}} = \frac{|O S_{2}|}{b} = \frac{tg 2 α}{tg α}$ .

Aplet

Dla nauczyciela