Sprawdź się

Pokaż ćwiczenia:

Ćwiczenie 1

Na rysunku wykreślono przekrój osiowy stożka. Przeciągnij poprawną odpowiedź.

RbPXA45CGD8Cg

Ilustracja przedstawia przekrój osiowy stożka, trójkąt równoramienny A B S. Z wierzchołka S poprowadzona jest wysokość padająca na środek krawędzi podstawy AB w punkcie O. Ma ona długość H. Ponadto boki oznaczono literą l, a odcinek OB literą r.

RNHmhwMyAV7Sa

Ćwiczenie 2

Uzupełnij zdanie.

RamqQXWqbBQjF

Ilustracja przedstawia przekrój osiowy stożka, trójkąt równoramienny A B S . Zaznaczono kąt rozwarcia stożka przy wierzchołku S między dwoma tworzącymi stożka o mierze stu czterdziestu ośmiu stopni.

ROCclYeglCRJK

R1VYpJAW15uu62

Ćwiczenie 3

Ćwiczenie 4

Na rysunku wykreślono wycinek koła, z którego zwinięto stożek o kącie nachylenia tworzącej stożka do płaszczyzny podstawy miary $α$ .

R11qc62EzrkZQ

Ilustracja przedstawia wycinek koła o długości promienia równej dwadzieścia cztery. Kąt przy wierzchołku S utworzony pomiędzy dwoma promieniami wycinka wynosi sto pięćdziesiąt stopni.

RbPHW9x2bqcj9

Ćwiczenie 5

Tworząca stożka ma długość $10 cm$ i jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem $45^{\circ}$ . Oblicz pole powierzchni bocznej stożka.

Wykreślmy przekrój osiowy stożka.

REpUCqEQJQnwo

Ilustracja przedstawia przekrój osiowy stożka, trójkąt równoramienny A B S. Zaznaczono kąt wewnętrzy przy wierzchołku B między tworzącą a płaszczyzną podstawy o mierze 45 stopni.

Zauważmy, że przekrój osiowy stożka jest trójkątem prostokątnym równoramiennym, zatem $|A S| = |B S| = 10$ i $|A B| = 10 \sqrt{2}$ , stąd wynika, że długość promienia podstawy stożka wynosi $r = 5 \sqrt{2}$ . Pole powierzchni bocznej stożka ma wartość $P_{b} = π r l = π \cdot 10 \sqrt{2} \cdot 10 = 100 \sqrt{2} π {cm}^{2}$ .

Ćwiczenie 6

Przekrojem osiowym stożka jest trójkąt równoramienny o polu powierzchni równym $25 \sqrt{15} {cm}^{2}$ . Cosinus kąta nachylenia tworzącej stożka do płaszczyzny podstawy wynosi $\frac{1}{4}$ . Wyznacz pole powierzchni całkowitej stożka.

Wykreślmy przekrój osiowy stożka.

RkhigNALBVGFJ

Ilustracja przedstawia przekrój osiowy stożka, trójkąt równoramienny ASB. Z wierzchołka S poprowadzona jest wysokość padająca na środek krawędzi podstawy AB w punkcie O. Ma ona długość H. Ponadto boki oznaczono literą l, a odcinek OB literą r. Zaznaczono również kąt wewnętrzy między tworzącą a płaszczyzną podstawy o mierze α.

Z warunków zadania mamy $\cos α = \frac{1}{4}$ , zatem $\frac{r}{l} = \frac{1}{4}$ , stąd $l = 4 r$ .

Pole przekroju osiowego wyznaczmy ze wzoru $P = \frac{1}{2} \cdot 2 r \cdot l \cdot \sin α$ .

Korzystając z zależności $\sin^{2} α + \cos^{2} α = 1$ , otrzymujemy $\sin α = \frac{\sqrt{15}}{4}$ .

Zatem $\frac{1}{2} \cdot 2 r \cdot 4 r \cdot \frac{\sqrt{15}}{4} = 25 \sqrt{15}$ , stąd $r = 5$ i $l = 20$ .

Pole powierzchni całkowitej stożka obliczymy ze wzoru $P_{c} = π r (r + l)$ , stąd $P_{c} = 125 π {cm}^{2}$ .

Ćwiczenie 7

Pole powierzchni bocznej stożka jest cztery razy większe od pola powierzchni przekroju osiowego stożka. Wyznacz sinus kąta nachylenia tworzącej stożka do płaszczyzny podstawy. W obliczeniach przyjmij $π \approx \frac{22}{7}$ .

Wykreślamy przekrój osiowy stożka.

R4fmh1OkxRTWg

Z warunków zadania mamy zależność $π r l = 4 \cdot \frac{1}{2} \cdot 2 r \cdot H$ . Przyjmując $π \approx \frac{22}{7}$ , otrzymujemy zależność $\frac{22}{7} l = 4 H$ , stąd $\frac{H}{l} = \frac{11}{14}$ , zatem $\sin α = \frac{11}{14}$ .

Ćwiczenie 8

Na wspólnej podstawie zbudowano dwa stożki (jeden wewnątrz drugiego). Kąt pomiędzy tworzącą „niższego” stożka i płaszczyzną podstawy ma miarę $α$ , a kąt pomiędzy tworzącą „wyższego” stożka i płaszczyzną podstawy ma miarę $2 α$ . Długość wysokości „niższego” stożka wynosi $b$ . Wyznacz stosunek objętości „wyższego” stożka do objętości „niższego” stożka.

Wykreślmy przekrój osiowy opisanych stożków.

RFlOX84Yhrzzv

Ilustracja przedstawia przekrój osiowy dwóch stożków o tej samej podstawie, niższy trójkąt równoramienny A B S indeks dolny jeden koniec indeksu oraz wyższy trójkąt A B S indeks dolny dwa koniec indeksu. Z wierzchołka S indeks dolny 2 koniec indeksu poprowadzona jest wysokość przechodząca przez wierzchołek S indeks dolny jeden koniec indeksu padająca na środek krawędzi podstawy A B w punkcie O. Wysokość mniejszego trójkąta ma długość b. Odcinek O B oznaczono literą r. Zaznaczono również dwa kąty wewnętrze, pierwszy między tworzącą S indeks dolny jeden koniec indeksu a płaszczyzną podstawy O B o mierze α oraz drugi między tworzącą S indeks dolny dwa koniec indeksu a płaszczyzną podstawy O B o mierze dwa alfa.

Stosunek objętości odpowiednio „wyższego” stożka do objętości „niższego” stożka wyznaczymy ze wzoru $\frac{V_{S w}}{V_{S m}} = \frac{\frac{1}{3} π r^{2} \cdot |O S_{2}|}{\frac{1}{3} π r^{2} \cdot |O S_{1}|} = \frac{|O S_{2}|}{b}$ .

Zauważmy, że z trójkąta $O B S_{2}$ mamy zależność $tg 2 α = \frac{|O S_{2}|}{r}$ , stąd $|O S_{2}| = r tg 2 α$ , natomiast z trójkąta $O B S_{1}$ mamy $tg α = \frac{b}{r}$ , stąd $r = \frac{b}{tg α}$ .

Odpowiednio podstawiając otrzymujemy $|O S_{2}| = \frac{b \cdot tg 2 α}{tg α}$ .

Wynika stąd, że $\frac{V_{S w}}{V_{S m}} = \frac{|O S_{2}|}{b} = \frac{tg 2 α}{tg α}$ .

Aplet

Dla nauczyciela