Iloczyn i iloraz potęg o takich samych wykładnikach

ialyH7qGHo_d5e82

Działania na potęgach

Twierdzenie: Działania na potęgach

Iloczyn potęg o takich samych wykładnikach

Dla dowolnych liczb rzeczywistych $a \neq 0$ i $b \neq 0$ i dowolnej liczby całkowitej $n$ prawdziwa jest równość

a^{n} ∙ b^{n} = {(a ∙ b)}^{n} .

RSc0RT5yFz1P31

Iloraz potęg o takich samych wykładnikach

Dla dowolnych liczb rzeczywistych $a \neq 0$ i $b \neq 0$ i dowolnej liczby całkowitej $n$ prawdziwa jest równość

\frac{a^{n}}{b^{n}} = {(\frac{a}{b})}^{n} .

RXdhHaVVnbedK1

Ćwiczenie 1

Oblicz w pamięci.

$2^{5} ∙ ({\frac{1}{2})}^{5}$
$3^{3} ∙ ({\frac{1}{9})}^{3}$
${(- 4)}^{3} ∙ {(- \frac{1}{8})}^{3}$
$({\frac{1}{2})}^{2} ∙ ({- 8)}^{2}$
${(- 0,1)}^{3} ∙ {(10)}^{3}$

$1$
$\frac{1}{27}$
$\frac{1}{8}$
$16$
$- 1$

Ćwiczenie 2

Zapisz bez użycia nawiasów.

${(xy)}^{2}$
${(3 x)}^{3}$
${(\frac{1}{2} xy)}^{4}$
${(0,2 x^{2})}^{2}$
${(2 x^{3} ∙ \frac{1}{3} y)}^{3}$

$x^{2} y^{2}$
$27 x^{3}$
$\frac{1}{16} x^{4} y^{4}$
$0,04 x^{4}$
$\frac{8}{27} x^{9} y^{3}$

Ćwiczenie 3

Rl9sFWkVuJcKt1

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 4

RLByjzqgI4cpD1

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 5

R1bT7DXXZ8MOn1

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R1BbqyeaWt3Xe

Ćwiczenie 6

Przeciągnij i upuść.

2^{3} \cdot 25^{3} =

2^{4}

, 2.

5^{8}

, 3.

2^{6}

, 4.

52^{3}

, 5.

2^{2}

, 6.

2^{4}

, 7.

4^{5}

, 8.

4^{5}

, 9.

{- 5}^{4}

, 10.

{(- 60)}^{3}

, 11.

4^{3}

, 12.

- {\frac{1}{10}}^{3}

, 13.

{(- 60)}^{2}

, 14.

- {\frac{1}{10}}^{4}

, 15.

3^{5}

, 16.

- {\frac{1}{10}}^{5}

, 17.

2^{5}

, 18.

5^{4}

, 19.

25^{3}

, 20.

50^{3}

, 21.

{(- 60)}^{5}

, 22.

1^{5}

, 23.

4^{6}

, 24.

2^{4}

12^{2} \cdot {(- 5)}^{2} =

2^{4}

, 2.

5^{8}

, 3.

2^{6}

, 4.

52^{3}

, 5.

2^{2}

, 6.

2^{4}

, 7.

4^{5}

, 8.

4^{5}

, 9.

{- 5}^{4}

, 10.

{(- 60)}^{3}

, 11.

4^{3}

, 12.

- {\frac{1}{10}}^{3}

, 13.

{(- 60)}^{2}

, 14.

- {\frac{1}{10}}^{4}

, 15.

3^{5}

, 16.

- {\frac{1}{10}}^{5}

, 17.

2^{5}

, 18.

5^{4}

, 19.

25^{3}

, 20.

50^{3}

, 21.

{(- 60)}^{5}

, 22.

1^{5}

, 23.

4^{6}

, 24.

2^{4}

{(\frac{1}{2})}^{4} \cdot 8^{4} =

2^{4}

, 2.

5^{8}

, 3.

2^{6}

, 4.

52^{3}

, 5.

2^{2}

, 6.

2^{4}

, 7.

4^{5}

, 8.

4^{5}

, 9.

{- 5}^{4}

, 10.

{(- 60)}^{3}

, 11.

4^{3}

, 12.

- {\frac{1}{10}}^{3}

, 13.

{(- 60)}^{2}

, 14.

- {\frac{1}{10}}^{4}

, 15.

3^{5}

, 16.

- {\frac{1}{10}}^{5}

, 17.

2^{5}

, 18.

5^{4}

, 19.

25^{3}

, 20.

50^{3}

, 21.

{(- 60)}^{5}

, 22.

1^{5}

, 23.

4^{6}

, 24.

2^{4}

{(2 \frac{1}{2})}^{4} \cdot {(- 2)}^{4} =

2^{4}

, 2.

5^{8}

, 3.

2^{6}

, 4.

52^{3}

, 5.

2^{2}

, 6.

2^{4}

, 7.

4^{5}

, 8.

4^{5}

, 9.

{- 5}^{4}

, 10.

{(- 60)}^{3}

, 11.

4^{3}

, 12.

- {\frac{1}{10}}^{3}

, 13.

{(- 60)}^{2}

, 14.

- {\frac{1}{10}}^{4}

, 15.

3^{5}

, 16.

- {\frac{1}{10}}^{5}

, 17.

2^{5}

, 18.

5^{4}

, 19.

25^{3}

, 20.

50^{3}

, 21.

{(- 60)}^{5}

, 22.

1^{5}

, 23.

4^{6}

, 24.

2^{4}

{(- \frac{3}{2})}^{5} \cdot {(- \frac{2}{3})}^{5} =

2^{4}

, 2.

5^{8}

, 3.

2^{6}

, 4.

52^{3}

, 5.

2^{2}

, 6.

2^{4}

, 7.

4^{5}

, 8.

4^{5}

, 9.

{- 5}^{4}

, 10.

{(- 60)}^{3}

, 11.

4^{3}

, 12.

- {\frac{1}{10}}^{3}

, 13.

{(- 60)}^{2}

, 14.

- {\frac{1}{10}}^{4}

, 15.

3^{5}

, 16.

- {\frac{1}{10}}^{5}

, 17.

2^{5}

, 18.

5^{4}

, 19.

25^{3}

, 20.

50^{3}

, 21.

{(- 60)}^{5}

, 22.

1^{5}

, 23.

4^{6}

, 24.

2^{4}

{(- 0,01)}^{3} \cdot 10^{3} =

2^{4}

, 2.

5^{8}

, 3.

2^{6}

, 4.

52^{3}

, 5.

2^{2}

, 6.

2^{4}

, 7.

4^{5}

, 8.

4^{5}

, 9.

{- 5}^{4}

, 10.

{(- 60)}^{3}

, 11.

4^{3}

, 12.

- {\frac{1}{10}}^{3}

, 13.

{(- 60)}^{2}

, 14.

- {\frac{1}{10}}^{4}

, 15.

3^{5}

, 16.

- {\frac{1}{10}}^{5}

, 17.

2^{5}

, 18.

5^{4}

, 19.

25^{3}

, 20.

50^{3}

, 21.

{(- 60)}^{5}

, 22.

1^{5}

, 23.

4^{6}

, 24.

2^{4}

{(\frac{1}{2})}^{4} \cdot 8^{4} \cdot {(\frac{1}{2})}^{4} =

2^{4}

, 2.

5^{8}

, 3.

2^{6}

, 4.

52^{3}

, 5.

2^{2}

, 6.

2^{4}

, 7.

4^{5}

, 8.

4^{5}

, 9.

{- 5}^{4}

, 10.

{(- 60)}^{3}

, 11.

4^{3}

, 12.

- {\frac{1}{10}}^{3}

, 13.

{(- 60)}^{2}

, 14.

- {\frac{1}{10}}^{4}

, 15.

3^{5}

, 16.

- {\frac{1}{10}}^{5}

, 17.

2^{5}

, 18.

5^{4}

, 19.

25^{3}

, 20.

50^{3}

, 21.

{(- 60)}^{5}

, 22.

1^{5}

, 23.

4^{6}

, 24.

2^{4}

{(0,75)}^{2} \cdot {(1 \frac{1}{3})}^{2} \cdot 2^{2} =

2^{4}

, 2.

5^{8}

, 3.

2^{6}

, 4.

52^{3}

, 5.

2^{2}

, 6.

2^{4}

, 7.

4^{5}

, 8.

4^{5}

, 9.

{- 5}^{4}

, 10.

{(- 60)}^{3}

, 11.

4^{3}

, 12.

- {\frac{1}{10}}^{3}

, 13.

{(- 60)}^{2}

, 14.

- {\frac{1}{10}}^{4}

, 15.

3^{5}

, 16.

- {\frac{1}{10}}^{5}

, 17.

2^{5}

, 18.

5^{4}

, 19.

25^{3}

, 20.

50^{3}

, 21.

{(- 60)}^{5}

, 22.

1^{5}

, 23.

4^{6}

, 24.

2^{4}

Przeciągnij i upuść.

$- {\frac{1}{10}}^{5}$ , $1^{5}$ , $4^{5}$ , $2^{6}$ , $- {\frac{1}{10}}^{3}$ , $5^{8}$ , $4^{5}$ , $4^{4}$ , ${(- 60)}^{3}$ , $50^{3}$ , $2^{4}$ , $2^{4}$ , $2^{2}$ , $5^{4}$ , $4^{3}$ , $2^{5}$ , $4^{6}$ , $52^{3}$ , ${- 5}^{4}$ , $25^{3}$ , ${(- 60)}^{5}$ , ${(- 60)}^{2}$ , $3^{5}$ , $- {\frac{1}{10}}^{4}$

$2^{3} \cdot 25^{3} =$ ............
$12^{2} \cdot {(- 5)}^{2} =$ ............
${(\frac{1}{2})}^{4} \cdot 8^{4} =$ ............
${(2" \frac{1}{2})}^{4} \cdot {(- 2)}^{4} =$ ............
${(- \frac{3}{2})}^{5} \cdot {(- \frac{2}{3})}^{5} =$ ............
${(- 0,01)}^{3} \cdot 10^{3} =$ ............
${(\frac{1}{2})}^{4} \cdot 8^{4} \cdot {(\frac{1}{2})}^{4} =$ ............
${(0,75)}^{2} \cdot {(1" \frac{1}{3})}^{2} \cdot 2^{2} =$ ............

Iloczyn i iloraz potęg o tych samych wykładnikach - zadanie interaktywne

Ćwiczenie 7

R1ZuvXM56HTBh1

Połącz w pary.

${(2" a" b)}^{4}$
${(4" a^{2}" b)}^{2}$
${(2 a^{2} b^{2} \cdot 2 a)}^{2}$
${(4" a" b^{3})}^{3}$
${(8" a^{3}" b" a" b^{2})}^{2}$
${(2 a^{0} b^{9} \cdot 2 a b^{0})}^{3}$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

ialyH7qGHo_d5e477

Ćwiczenie 8

Oblicz w pamięci.

$2^{3} : {(- 2)}^{3}$
${(- 3)}^{2} : {(- 3)}^{2}$
$({\frac{1}{5})}^{1} : 5^{1}$
${(0,2)}^{5} : {(0,4)}^{5}$
${(- \frac{1}{2})}^{2} : {(- \frac{1}{4})}^{2}$

$- 1$
$1$
$\frac{1}{25}$
$\frac{1}{32}$
$4$

Ćwiczenie 9

Rz9zXnaZGYvaJ1

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 10

R1DJJ3oPKZxym1

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 11

RQsnpSY7hj5Vi1

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 12

Zapisz bez użycia nawiasów.

${(x : y)}^{3}$
${(4 : x)}^{2}$
${(3 x : y)}^{4}$
${(0,3 : x^{2})}^{2}$
${(2 x^{2} : 3 y)}^{3}$

$x^{3} : y^{3}$
$16 : x^{2}$
$81 x^{4} : y^{4}$
$0,09 : x^{4}$
$8 x^{6} : 27 y^{3}$

Ćwiczenie 13

RNxNVLj0iTr14

Przeciągnij i upuść.

$- 5^{4}$ , $2^{4}$ , $3^{4}$ , $- 5^{6}$ , $4^{5}$ , $- {(\frac{1}{10})}^{3}$ , $5^{4}$ , $2^{9}$ , $5^{20}$ , $2^{3}$ , $1^{4}$ , ${(\frac{1}{2})}^{4}$ , $5^{10}$ , $5^{2}$ , $2^{4}$ , ${(\frac{1}{2})}^{3}$ , $- {(\frac{4}{10})}^{3}$ , $10^{4}$ , $- {(\frac{2}{10})}^{3}$ , $10^{5}$ , $2^{7}$ , $1^{5}$ , ${(\frac{1}{2})}^{2}$ , $3^{5}$

$20^{3} : 10^{3} =$ ............
$25^{2} : {(- 5)}^{2} =$ ............
${(\frac{1}{2})}^{4} : {(\frac{1}{2})}^{4} =$ ............
${(- \frac{3}{2})}^{5} : {(- \frac{3}{2})}^{5} =$ ............
${(2" \frac{1}{2})}^{4} : {(- \frac{1}{2})}^{4} =$ ............
${(- 0,01)}^{3} : {(0,1)}^{3} =$ ............
${(\frac{1}{2})}^{4} \cdot 8^{4} : 2^{4} =$ ............
${(0,75)}^{2} : {(\frac{3}{4})}^{2} : 2^{2} =$ ............

Ćwiczenie 14

R1RI46Sv1ET7R1

Przeciągnij i upuść.

${(2 a : b)}^{4}$
${(4 a^{2} : 2 b)}^{2}$
${(2 a^{2} b^{2} : 2 a b^{3})}^{2}$
${(4 a : b^{3})}^{3}$
${(8 a^{3} b : a b^{2})}^{2}$
${(2 a^{3} b^{0} : 2 a^{0} b)}^{3}$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

ialyH7qGHo_d5e706

Ćwiczenie 15

R1ezDmWwmQaKf1

Przeciągnij i upuść.

$8^{2}$ , $5^{7}$ , $2^{5}$ , $3^{7}$ , $9^{3}$ , $9^{4}$ , $5^{5}$ , $3^{5}$ , $8^{5}$ , $5^{6}$ , $2^{4}$ , $9^{2}$ , $8^{4}$ , $3^{6}$ , $2^{3}$

$2^{3} \cdot 4^{3} \cdot$ ............ $= 16^{3}$
$3^{2} \cdot$ ............ $: 9^{2} = 3^{2}$
$25^{5} :$ ............ $: 5^{5} = 1^{5}$
$32^{4} : 2^{4} : 4^{4}$ ............ $= 2^{4}$
$4^{2} \cdot 2^{2} : 4^{2} \cdot$ ............ $= 16^{2}$
$27^{5} \cdot 2^{5} : 9^{5} :$ ............ $= 2^{5}$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 16

Iloraz $80^{15} : {(- 20)}^{15}$ jest równy

RsqfYnRbBCVqM

$40^{15}$
${(- 4)}^{15}$
${(- 4)}^{0}$
$4^{15}$

Ćwiczenie 17

Wyrażenie ${(3 x^{3} y)}^{2}$ jest równe

R1BbN5guvke6q

$3 x^{5} y^{2}$
$9 x^{3} y^{2}$
$9 x^{6} y^{2}$
$3 x^{6} y^{2}$

Ćwiczenie 18

Wyrażenie $({\frac{9 x^{2} y}{3 x y^{2}})}^{4}$ zapisane bez użycia nawiasów ma postać

R1dwdvzAN2Bvz

$\frac{9 x^{2} y^{4}}{3 x y^{8}}$
$\frac{3 x^{4}}{y^{4}}$
$\frac{9^{4} x^{8} y^{4}}{3^{4} x y^{8}}$
$\frac{3^{4} x^{4}}{y^{4}}$

classicmobile

Ćwiczenie 19

Rozstrzygnij, czy zdanie jest prawdziwe, czy fałszywe.

R1GBiQSvpLBC7

Iloczyn $2^{3} ∙ 3^{3} ∙ ({\frac{1}{2})}^{3} ∙ 2^{3}$ zapisany w postaci potęgi to $6^{12}$ .
Iloczyn $2^{3} ∙ 3^{3} ∙ ({\frac{1}{2})}^{3} ∙ 2^{3}$ zapisany w postaci potęgi to $6^{3}$ .
Iloraz ${0,0001}^{5} : {0,001}^{5}$ zapisany w postaci potęgi to ${0,1}^{10}$ .
Iloraz ${0,0001}^{5} : {0,001}^{5}$ zapisany w postaci potęgi to ${0,1}^{5}$ .
Wyrażenie ${(- 2 x^{2} y)}^{3}$ po uproszczeniu wynosi $8 x^{6} y^{3}$ .
Wyrażenie ${(- 2 x^{2} y)}^{3}$ po uproszczeniu wynosi $- 8 x^{6} y^{3}$ .
Wyrażenie $({\frac{{2 a}^{3} ∙ b^{2}}{3 b})}^{2}$ po uproszczeniu wynosi $\frac{2 a^{6} b^{2}}{3}$ .
Wyrażenie $({\frac{{2 a}^{3} ∙ b^{2}}{3 b})}^{2}$ po uproszczeniu wynosi $\frac{4 a^{6} b^{2}}{9}$ .

static

Ćwiczenie 19

Rozstrzygnij, czy zdanie jest prawdziwe, czy fałszywe.

R1994iZlh308t

Iloczyn $2^{3} ∙ 3^{3} ∙ ({\frac{1}{2})}^{3} ∙ 2^{3}$ zapisany w postaci potęgi to $6^{12}$ .
Iloczyn $2^{3} ∙ 3^{3} ∙ ({\frac{1}{2})}^{3} ∙ 2^{3}$ zapisany w postaci potęgi to $6^{3}$ .

Ćwiczenie 20

Jak zmieni się pole kwadratu o boku $x$ $cm$ , jeżeli jego bok zwiększymy czterokrotnie?

Pole zwiększy się $16$ -krotnie.

Potęgowanie potęgi

Porównywanie potęg